Chuyen de on thi vao 10 on tap hinh hoc tong hop

ƠN TẬP HÌNH HỌC TỔNG HỢP A CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh hai góc - Chứng minh hai góc góc thứ ba - Chứng minh hai góc với hai góc khác - Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba - Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song vng góc - Hai góc so le trong, so le ngồi đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc tam giác cân - Hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh tam giác cân tam giác - Hai cạnh tương ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây tương ứng căng hai cung đường tròn hai đường trịn - Tính chất hai tiếp tuyến cắt Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song - Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba - Chứng minh hai đường thẳng vng góc vơi đường thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: vị trí so le trong, vị trí so le ngồi, vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đường tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng,… Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vng góc - Chúng song song với hai đường thẳng vng góc khác - Chứng minh chúng chân đường cao tam giác - Đường kính qua trung điểm dây dây không qua tâm - Chúng phân giác hai góc kề bù - Tính chất hai đường chéo hình thoi, hình vng Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy - Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bẳng 1800 - Dựa vào hai góc đối đỉnh - Dựa vào hai đường thẳng qua điểm song song vng góc với đường thẳng khác - Dựa vào hai góc có cạnh trùng - Chứng minh chúng ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác ngồi hai góc kia) - Vận dụng định lý đảo định lý Thales Dạng 6: Chứng minh hai tam giác - Hai tam giác thường: + Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) + Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c) + Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g) - Hai tam giác vng: + Có cạnh góc nhọn (cgv-gn ch-gn) + Có cạnh huyền cạnh góc vng (ch-cgv) + Cạnh góc vng đơi (cgv-cgv) Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng - Hai tam giác thường: + Có hai góc đơi (g.g) + Có góc xen hai cạnh tương ứng tỉ lệ (c.g.c) + Có ba cạnh tương ứng tỉ lệ (c.c.c) - Hai tam giác vng: + Có góc nhọn (g.g) + Có hai cạnh góc vng tương ứng tỉ lệ (c.g.c) + Có cạnh huyển cạnh góc vng tương ứng tỉ lệ (c.g.c) Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối điện - Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kể nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc - Dựa vào phương tích đường trịn B BÀI TẬP Bài Cho hai đường tròn (O;R) (O’;r) tiếp xúc C Gọi AC, BC hai đường kính (O) (O’) DE dây cung vng góc trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng DC với đường tròn (O’) F BD cắt (O’) G Chứng minh: a) Tứ giác AEBF hình thoi; b) Ba điểm B, E, F thẳng hàng; c) Bốn điểm M, D, B, F thuộc đường tròn; d) DF, EG, AB đồng quy; e) MF DE ; g) MF tiếp tuyến (O’) Bài Xét tam giác ABC có góc B, C nhọn Các đường trịn đường kính AB AC cắt điểm thứ hai H Một đường thẳng d qua A cắt hai đường trịn nói M, N a) Chứng minh H thuộc cạnh BC b) Tứ giác BCNM hình gì? Tại sao? c) Gọi P, Q trung điểm BC, MN Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc đường trịn d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn Bài Cho nửa (O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By Từ C điểm nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax, By E, F a) Chứng minh FE=AE+BF b) Gọi M giao điểm OE với AC , N giao điểm OF với BC Tứ giác MCNO hình gì? Tại sao? c) Gọi D giao điểm AF BE Chứng minh CD//AE d) Chứng minh EF.CD=EC.FB e) Khi C di chuyển (O) M,N di chuyển đường nào? g) Xác định vị trí C để diện tích EOF bé nhất? Bài Cho nửa (O) đường kính AB, M điểm nửa đường tròn Hạ MH AB, vẽ hai nửa đường trịn (I) đường kính AH, (K) đường kính BH nằm phía nửa (O), cắt MA,MB P,Q Chứng minh : a) MH=PQ; b) PQ tiếp tuyến chung (I), (K); c) PQ2=AH.BH; MP.MA=MQ.MB; d) Tứ giác APQB nội tiếp e) Xác định vị trí M để chu vi, diện tích tứ giác IPQK lớn Bài Cho nửa (O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By Từ M điểm nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax, By C, D Các đường thẳng AD, BC cắt N Chứng minh: a) CD=AB+BD; b) MN//AC; c) CD.MN=CM.DB; d) Điểm M nằm vị trí nửa (O) AC+BD nhỏ nhất? Bài Cho ABC cân A, I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK Chứng minh: a) Bốn điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O; b) AC tiếp tuyến (O); c) Biết AB = AC = 20cm , BC = 24cm tính bán kính (O); d) Tính phần giới hạn (O) tứ giác ABOC Bài Cho hình vng ABCD, điểm E cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC K, H Chứng minh: a) Tứ giác BHCD nội tiếp; b) Tính ̂ c) KC.KD=KH.KB; d) Khi E di chuyển BC H di chuyển đường Bài Cho (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn AB lấy điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N (O) điểm P Chứng minh: a) Tứ giác OMNP nội tiếp; b) Tứ giác CMPO hình bình hành; c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vào điểm; d) Khi M di chuyển AB P chay đoạn thẳng cố định Bài Cho ABC vuông A (với AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F Chứng minh: a) Tứ giác AFHE hình chữ nhật; b) Tứ giác BEFC nội tiếp; c) AE.AB=AF.AC; d) EF tiếp tuyến chung hai nửa đường trịn Bài 10 Cho (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, P Ax cho AP > R từ P kẻ tiếp tuyến PM với (O) M Đường thẳng vng góc với AB O căt BM N AN cắt OP K, PM cắt ON J, PN cắt OM J Chứng minh : a) Tứ giác APMO nội tiếp BM//OP; b) Tứ giác OBNP hình bình hành; c) PI = OI; PJ = OJ; d) Ba điểm I, J, K thẳng hàng Bài 11 Cho nửa (O) đường kính AB điểm M 1/2(O) (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I, tia phân giác góc IAM cắt nửa (O) E, cắt tia BM F Tia BE cắt Ax H, cắt AM K Chứng minh: a) IA2=IM.IB; b) BAF cân; c) Tứ giác AKFH hình thoi; d) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường trịn Bài 12 Cho ABC vng A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đường kính MC Đường thẳng BM cắt (O) D Đường thẳng AD cắt (O) S, BC cắt (O) E Chứng minh: a) Tứ giác ABCD nội tiếp, CA phân giác góc SBC; b) AB, EM, CD đồng quy; c) DM phân giác góc ADE; d) M tâm đường tròn nội tiếp Bài 13 Cho ADE ABC vuông A Trên cạnh AB lấy điểm D (O) đường kính BD cắt BC E Đường thẳng CD, AE cắt (O) F, G Chứng minh: a) ABC ~ EBD; b) Tứ giác ADEC, AFBC nội tiếp; c) AC//FG; d) AC, DE, BF đồng quy Bài 14 Cho (O; 3cm) tiếp xúc với (O’; 1cm) A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B (O), C (O’)) a) Chứng minh ̂ b) Tính BC c) Tính diện tích phần giới hạn tiếp tuyến BC cung nhỏ AB , AC hai đường tròn Bài 15 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC= 4cm CB=9cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E, EA cắt (I) M, EB cắt (K) N Chứng minh: a) EC = MN; b) MN tiếp tuyến chung (I) (K); c) Tính MN; d) Tính diện tích giới hạn ba nửa đường trịn Bài 16 Cho (O) đường kính AB = 2R điểm M di chuyển nửa đường tròn Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với nửa đường tròn (O) M tiếp xúc với AB N MA, MB cắt (E) C, D Chứng minh: a) CD//AB; b) MN phân giác ̂ MN qua điểm cố định K; c) Tích KM.KN khơng đổi; d) Gọi CN cắt KB C’, DN cắt AK D’ Tìm M để chu vi Bài 17 Cho NC’D’ nhỏ ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB, AC E, F , đường thẳng qua A vng góc với EF cắt BC I Chứng minh: a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật; b) AE.AB = AF.AC; c) IB = IC; d) Nếu diện tích ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF ABC vng cân Bài 18 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao AD, BE cắt H kéo dài cắt đường tròn (O) điểm thứ hai tương ứng D’ E’ a) Chứng minh DD’ = DH, EE’ = EH b) Chứng minh bán kính đường trịn qua H hai ba đỉnh A, B, C R c) Nối CH cắt AB G cắt đường tròn (O) điểm thứ hai G’ Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’G’ Bài 19 Cho tam giác ABC cân A (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) điểm M cung nhỏ AC Tia Bx vng góc với AM cắt tia CM D a) Chứng minh góc AMD góc ABC b) Chứng minh tam giác BMD cân ABC nội tiếp (O) đường kính AA’ Trên cạnh AB lấy điểm M Bài 84 Cho cạnh CA kéo dài lấy điểm N cho BM=CN, MN cắt BC I Chứng minh: a) MA’N cân; b) Tứ giác AMA’N, MBA’I nội tiếp; c) I trung điểm MN Bài 85 Cho nội tiếp (O), đường thẳng d thay đổi qua A cắt hai tiếp tuyến B C tương ứng M N, d cắt (O) E khỏc A, MC cắt BN F Chứng minh: a) b) Tứ giác BMEF nội tiếp; c) Đường thẳng EF qua điểm cố định d thay đổi Bài 86 Cho  ABC nội tiếp đường tròn tâm O, tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đường tròn M a) Chứng minh rằng: OM  BC b) Dựng tia phân giác ngồi Ax góc A Chứng minh rằng: Ax qua điểm cố định c)Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR : FB EC = FC EB Bài 87 Cho đường tròn (O; R) điểm A với OA = R , đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M, N; gọi I trung điểm đoạn MN a) Chứng minh OI  MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B, C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB, AC Suy A, O , B , C bốn đỉnh hình vng c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhỏ BC (O) Bài 88 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R, C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF Gọi D giao điểm đường thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đường trịn a)  AFC  BEC có quan hệ với nào? Tại sao? b) Chứng minh  FEC vuông cân c) Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp Bài 89 Cho đường trịn đường kính AB, điểm C, D đường trịn cho C, D khơng nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD M, N; giao điểm MN với AC, AD H, I; giao điểm MD với CN K a) Chứng minh NKD; MAK cân b)Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK Bài 90 Cho hai đường trịn (O1) (O2) tiếp xúc với A, kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) điểm B, C cắt Ax điểm M Kẻ đường kính BO1D CO2E a) Chứng minh: M trung điểm BC b) Chứng minh: O1MO2 vuông c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng C , A , D thẳng hàng d) Gọi I trung điểm DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d Bài 91 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB điểm M đường tròn Gọi điểm cung AM, MB H, I Các dây AM HI cắt K Hạ a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi b) Chứng minh IP tiếp tuyến (O; R) c) Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đường tròn (O; R) d) Chứng minh M di động thì đường thẳng HI ln ln tiếp xúc với đường trịn cố định Bài 92 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn ˆ cho cung AC < 900 COD 900 Gọi M điểm nửa đường tròn cho C điểm chính cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD E F; tia AM cắt tia BD S a) Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: D điểm cung MB c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt tia OC, OD I, K Chứng minh tứ giác OBKM; OAIM nội tiếp d) Xác định vị trí C D cho điểm M , O , B , K , S thuộc đường tròn Bài 93 Cho ABC (AB = AC ), cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC B, C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q Chứng minh: a)Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp b) MI2 = MH MK c) Tứ giác IPMQ nội tiếp Suy PQ MI d) Nếu KI = KB IH = IC Bài 94 Cho  ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc cung nhỏ AC, Cx tia qua M Gọi D điểm đối xứng A qua O Trên tia đối tia MB lấy MH = MC, Gọi K I theo thứ tự trung điểm CH BC Chứng minh: a) Chứng minh: MA tia phân giác góc tia BMx b) Chứng minh: MD // CH c)Tìm điểm cách bốn điểm A, I, C, K d) Khi M chuyển động cung nhỏ AC, tìm tập hợp trung điểm E BM Bài 95 Cho  ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 600; tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Kéo dài đường cao CH  ABC cắt BD E Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đường tròn này, Các đường thẳng AB CG cắt M a) Tam giác BCD tam giác gì? Tại sao? b) Chứng minh: Bốn điểm B E C G nội tiếp c) Tứ giác AFGM hình gì? Tại sao? d)Chứng minh:  MBG cân Bài 96 Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh BC lấy điểm M Gọi (O1) đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với AB B, gọi (O2) đường tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với AC C Đường tròn (O1) (O2) cắt D (D không trùng với A) BO1 cắt CO2 E Chứng minh: a) BCD tam giác vuông b) O1D tiếp tuyến (O2) c) Năm điểm A, B, D, E, C nằm đường tròn d) Xác định vị trí M để O1O2 ngắn Bài 97 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B đỉnh C cắt H cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E F a) Chứng minh rằng: AE = AF b) Chứng minh rằng: A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH c) Kẻ đường kính BD Chứng minh tứ giác ADCH hình bình hành Bài 98 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB M cắt cạnh AC N Từ A kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt cạnh BC I Chứng minh rằng: a) MN đường kính đường trịn đường kính AH; b) Tứ giác BMNC nội tiếp; c) BI = IC Bài 99 Cho tam giác ABC vuông C, O trung điểm AB D điểm cạnh AB (D không trùng với A, O, B) Gọi I J thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD BCD Chứng minh rằng: a) OI // BC; b) Bốn điểm I, J, O, D nằm đường tròn; c) CD tia phân giác góc BAC OI = OJ Bài 100 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh rằng: a) CEFD tứ giác nội tiếp; b) Tia FA tia phân giác góc BFM; c) BE.DN = EN.BD Bài 101 Tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M trung điểm AC, I trung điểm OD a) Chứng minh OM // DC b) Chứng minh tam giác ICM cân c) BM cắt AD N Chứng minh IC2 = IA.IN Bài 102 Cho tam giác vuông ABC C, nội tiếp đường tròn tâm O Trên cung nhỏ AC ta lấy điểm M (M khác A C) Vẽ đường trịn tâm A bán kính AC, đường tròn cắt đường tròn (O) điểm D (D khác C) Đoạn thẳng BM cắt đường tròn tâm A điểm N a) Chứng minh MB tia phân giác góc ̂ b) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn tâm A nói c) So sánh góc CNM với góc MDN d) Cho biết MC = a , MD = b Hãy tính đoạn thẳng MN theo a b Bài 103 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đường tròn ngoại tiếp I a) Chứng minh OI vng góc với BC b) Chứng minh BI2 = AI.DI c) Gọi H hình chiếu vng góc A BC Chứng minh góc BAH = góc CAO Bài 104 Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Giả sử ̂ ̂ a) Chứng minh tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA b) Chứng minh minh: BC 2 AB So sánh BC đường chéo hình vng cạnh AB c) Chứng tỏ BA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC d) Đường thẳng qua C song song với MA, cắt đường thẳng AB D Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC Bài 105 Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh: a) Tứ giác CBMD nội tiếp; b) Khi điểm D di động đường trịn ̂ ̂ khơng đổi; c) DB DC = DN AC Bài 106 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác góc A, B cắt đường tròn tâm O D E, gọi giao điểm hai đường phân giác I, đường thẳng DE cắt CA, CB M, N a) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân b) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC c) Tứ giác CMIN hình gì? Bài 107 Cho đường trịn tâm O cát tuyến CAB (C ngồi đường trịn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F a) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp b) Chứng minh góc CAE góc MEB c) Chứng minh: CE CM = CF CI = CA CB Bài 108 Cho tam giác ABC vuông A có AC < AB, AH đường cao kẻ từ đỉnh A Các tiếp tuyến A B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E, MC cắt đường cao AH F Kéo dài CA cho cắt đường thẳng BM D Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM N a) Chứng minh OM//CD M trung điểm đoạn thẳng BD b) Chứng minh EF // BC c) Chứng minh HA tia phân giác góc MHN Bài 109 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm cung AC (không chứa B) kẻ MH vng góc với AC; MK vng góc với BC a) Chứng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ̂ ̂ c) Chứng minh  AMB đồng dạng với  HMK Bài 110 Cho ∆PBC nhọn Gọi A chân đường cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC Đường trịn đường kính BC cắt cạnh PB PC M N Nối N với A cắt đường trịn đường kính BC điểm thứ E a) Chứng minh điểm A, B, N, P nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn ? b) Chứng minh EM vng góc với BC c) Gọi F điểm đối xứng N qua BC Chứng minh rằng: AM.AF=AN.AE Bài 111 Trên đường thẳng lấy ba điểm A, B, C cố định theo thứ tự Gọi (O) đường tròn tâm O thay đổi ln ln qua A B Vẽ đường kính I J vng góc với AB; E giao điểm I J AB Gọi M N theo thứ tự giao điểm CI C J ( M I, N J) Chứng minh: a) IN, JM CE đồng quy D b) Gọi F trung điểm CD Chứng minh OF MN Bài 112 Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm đường trịn Một góc xAy = 900 quay quanh A ln thoả mãn Ax, Ay cắt đường trịn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tương ứng B, C Đường trịn đường kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tương ứng M, N Tia OM cắt đường tròn P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chứng minh rằng: a) AMON hình chữ nhật; b) MN // BC; c) Tứ giác PHOB nội tiếp đường trịn; d) Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMNmax Bài 113 Xét  ABC có góc B, C nhọn Các đường trịn đường kính AB AC cát điểm thứ hai H Một đường thẳng d qua A cắt hai đường trịn nói M, N Gọi P, Q trung điểm BC, MN a) Chứng minh: H thuộc cạnh BC b) Tứ giác BCNM hình gì? Tại sao? c) Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc đường trịn d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn Bài 114 Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn a) Chứng minh: Bốn điểm A, O, E, C thuộc đường trịn b) Chứng minh: góc AOC góc BIC c) Chứng minh: BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài 115 Cho đường trịn (O) bán kính R, dây AB cố định ( AB < 2R) điểm M cung lớn AB Gọi I trung điểm dây AB (O’) đường tròn qua M tiếp xúc với AB A Đường thẳng MI cắt (O) (O’) thứ tự N, P Chứng minh: a) IA2 = IP IM; b) tứ giác ANBP hình bình hành; c) IB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP; d) Chứng minh M di chuyển trọng tâm G tam giác PAB chạy cung tròn cố định Bài 116 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, M điểm cung AB K thuộc cung BM (K khác M B) AK cắt MO I Gọi H hình chiếu M lên AK Chứng minh: a) Tứ giác OIKB nội tiếp; b) Tứ giác AMHO nội tiếp; c) Tam giác HMK tam giác gì? d) OH phân giác góc MOK; e) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P hình chiếu K lên AB) Bài 117 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc B, góc C cắt đường trịn thứ tự D E, hai tia phân giác cắt F Gọi I, K theo thứ tự giao điểm dây DE với cạnh AB, AC a) Chứng minh EBF, DAF cân b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình gì? Tại sao? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi Bài 118 Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I cho AI = OA Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C không trùng với M, N, B) Nối AC cắt MN E Chứng minh: a) Tứ giác IECB nội tiếp; b) AME ACM đồng dạng , từ suy AM2 = AE AC; c) AE AC – AI IB = AI2 d) Hãy tìm vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài 119 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM