CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HP Bài 1 : Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) , các đường cao AD , BE cắt nhau tại H , Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE . a. Chứng minh DE = ½ BC b. Chứng minh : DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) c. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm , AH = 6 cm . Bài 2 : Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M ( M ≠ O) , đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P . Chứng minh rằng a. Tứ giác OMNP nội tiếp b. Tứ giác CMPO là hình bình hành c. Tích CM.CN không phụ thuyộc vò trí của điểm M . d. Khi M chạy trên đoạn thẳng AB thì điểm P nằm trên đoạn thẳng nào ? Bài 3 : Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ( AB > AC) . Kẻ đường cao AH , trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ các nửa đường tròn đường kính BH , HC cắt AB tại E và cắt AC tại F . a. Chứng minh EF là tiếp tuyến của hai nửa đường tròn b. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp c. Chứng minh HD 2 + HE 2 = AE . AB d. Chứng minh AB + AC > BC 2 Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax và trên tiếp tuyến lấy điểm P sao cho AP > R . Từ P . kẻ tiép tuyến với đường tròn tại (O) tại M . a. Chứng minh BM // OP b. Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N . Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành . c. Biết AN cắt OP tại K , PM cắt ON tại I ; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J . Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng . Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh a. các từ giác ADEC và ÀBC nội tiếp b. AC // FG c. Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Lấy bất kỳ một điểm M thuộc cạnh AB , qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CM , đường thẳng này cắt các đường thẳng CM , CA lần lượt tại D và E . Chứng minh : a. Tứ giác BDAC nội tiếp b. DA là tia phân giác của góc EDC c. Tam giác EDA đồng dạng với tam giác ECB . d. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AM = AN . Từ A , M kẻ các đường thẳng vuông gọc với BN chúng cắt BC lần lượt tại K , L . Chứng minh KL = KC Bài 7 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , kẻ đường kính AI . Gọi H là giao điểm ba đường cao AD , BE , CF . Gọi M là trung điểm của BC a. Gọi H 1 là điểm đối xứng của H qua BC , . Chứng minh các điểm H 1 nằm trên đường tròn (O) b. Chứng minh : hai điểm H và I đối xứng nhau qua M và AH = 2OM c. Nếu góc A bằng 45 0 thì AH = BC d. Nếu AH = OA , tính góc BAC . e. EF cắt AI tại K , chứng minh tứ giác CIKF nội tiếp . f. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC , HAC , HAB đèu bằng đường tròn (O) Bài 8 : Cho tam giác ABC cân tại C ( góc C nhọn) , nội tiếp trong đường tròn tâm (O) . Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC . a. Kẻ đường kính COK , chứng minh MK là tia phân giác của góc AMB . b. Trên tia AM lấy điểm D sao cho BM = MD ( M nằm giữa A và D) . Chứng minh MK // BD c. Kéo dài CM cắt BD tại I . Chứng minh : I là trung điểm của BD và MA + MB ≤ 2 AC . Bài9: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O ; R) , D là điểm tùy ý trên cạnh AB , dựng hai đường tròn (O 1 ) , (O 2 ) qua D và lần lượt tiếp xúc với CA , CB tại A và B ; (O 1 ) , (O 2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai E ( E ≠ D) . CE cắt AB tại F . a. Chứng minh E nằm trên đường tròn (O ; R) b. Tiếp tuyến của (O 1 ) tại D cắt BE tại G , chứng minh FG // CB c. Khi tam giác ABC cân tại C , chứng minh F ≡ D d. Khi tam giác ABC vuông cân tại C , một đường tròn (I) tiếp xúc với dây cung BC tại trung điểm K của BC và tiếp xúc vpí cung nhỏ BC của (O ; R) tại M . Tính độ dài tiếp tuyến của (I) kẻ từ A theo R . Bài10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , M là trung điểm của BC , AD là đường cao . Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . a. Chứng minh góc EDC = góc BAE b. Chứng minh DE ⊥ AC và MN là đường trung trực của DE ( N là trung điểm của AB) c. Xác đònh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF . Bài 11 : Cho hình vuông ABCD . 1. Trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh BC lấy điểm F sao cho AE = AF . a. Chứng minh ∆ DAE = ∆ ABF b. AF cắt DE tại O . Chứng minh tứ giác DOFC nội tiếp 2. Gọi M , N , P , Q là các điểm thuộc bốn cạnh của hình vuông ABCD . Tứ giác MNPQ có tính chất gì để chu vi của nó nhỏ nhất ? Bài 13 : Cho đường tròn ( O ; R) , và điểm A cố đònh trên đường tròn , kẻ tiếp tuyến Ax , điểm M tùy ý trên Ax ; kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với (O) . B là tiếp điểm . Gọi I là trung điểm của MA , BI cắt đường tròn (O) ở điểm K , tia MK cắt (O) ở C . a. Chứng minh ∆MIK đồng dạng ∆ BIM b. Chứng minh BC // MA c. Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên tia Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc một đường tròn cố đònh . d. Xác đònh vò trí của M trên tia Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành ? Bài 14 . Cho đường tròn (O) , từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB , AC . Từ điểm M thuộc cung nhỏ BC kẻ MI ⊥ BC , MK ⊥ AB , MH ⊥ AC . a. Chứng minh tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp b. Chứng minh MI 2 = MH.MK c. Chứng minh EF // BC d. Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFH là N . Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố đònh . Bài 15 : Cho tam giác ABC ( Góc A < 90 0 ) nội tiếp trong đường tròn tâm (O;R) , các đường cao BD , CE của tam giác cắt đường tròn (O) tại các điểm theo thứ tự N , M . a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b. Chứng minh MN // DE c. Chứng minh OA ⊥ DE d. Khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE có bán kính không đổi . Bài 16 : Cho tam giác ABC , gọi M , N là trung điểm của AB , AC . Kẻ đường cao AH . Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AMN , gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh : ba điểm O , I , A thẳng hàng a. Chứng minh góc IAC = góc HAB b. Kẻ dây AE của đường tròn (I) song song với MN . ME cắt MN tại K . Chứng minh KM = KN . c. HE cắt đường trong (I) tại D . Chứng minh tứ giác BHDM nội tiếp . Bài 17 . Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Từ điểm C trên cung AB kẻ CH ⊥ AB . Gọi I , K lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác CAH và CBH . Đường thẳng IK cắt CA , CB tại M ,N . a. Chứng minh CM = CN b. Xác đònh vò trí của C để tứ giác ABMN nội tiếp c. Kẻ CD ⊥ MN . Chứng minh khi C chuyển động trên cung AB thì CD luôn đi qua một điểm cố đònh . d. Tìm vò trí của điểm C để diện tích của tam giác CMN là lớn nhất ? Bài 18 . Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm M ( M ≠ B , M ≠ C) và trên cạnh CD lấy điểm N sao cho góc MAN = 45 0 . Đường chéo BD cắt AM , AN lần lượt tại P , Q . a. Chứng minh : 5 điểm P,Q,M,N C cúng nằm trên một đường tròn b. Gọi I là giao điểm của NP và MQ . Chứng minh AI vuông góc với MN tại H và AH = AB . c. Chứng minh diện tích của tam giác AMN gấp đôi diện tích của tam giác APQ . Bài 19 : Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) . Đường tròn tâm O 1 tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M , tiếp xúc với hai cạnh AB , AC lần lượt tại L và K . Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với đường tròn (O) . a. Chứng minh : ME là tia phân giác của góc AMC . b. Tia phân giác Mx của góc BMC cắt LK tại I . Chứng minh bốn điểm M , I , K , C cùng thuộc một đường tròn . c. Chứng minh tia CI là tia phân giác của góc BCA . Bài 20 . Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B , người ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax , Ay vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I . Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn đường kính CI cắt IK tại P . a. Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp b. Chứng minh Ai.BK = AC.CB c. Chứng minh tam giác APB là tam giác vuông d. Giả sử A, B , I cố đònh . Hãy xác đònh vò trí của điểm C sao cho diện tích hình thang ABKI lớn nhất . . CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HP Bài 1 : Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) , các đường cao AD , BE cắt. CM.CN không phụ thuyộc vò trí của điểm M . d. Khi M chạy trên đoạn thẳng AB thì điểm P nằm trên đoạn thẳng nào ? Bài 3 : Cho tam giác vuông ABC vuông tại