on thi tot nghiep

Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12 PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b) 1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈(a,b) mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )<f(x 2 ). 2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈(a,b) mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )>f(x 2 ). 3) x 0 ∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không xác định hay bằng 0. II. Định lý: 1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại một điểm c∈(a,b) sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) '( ).( ) '( ) f b f a f b f a f c b a hay f c b a − − = − = − 2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b). • Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b). • Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b). (Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng). B. CÁC BÀI TẬP : Bài 1: Cho hàm số 3 2 3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − + . a) Khảo sát hàm số khi m=1. b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. c) Định m để hàm số giảm trên (1,4). Bài 2: Cho hàm số 2 2y x x= − a) Tính y’’(1) b) Xét tính đơn điệu của hàm số. Bài 3: Cho hàm số 1 2 mx y x m − = + a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2. b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1. c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. Bài 4: Chứng minh rằng a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2). b) 1 2 x R x e x + ≥ + ∀ ∈ . c) x>1 ln x e x ≥ ∀ . Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm : 5 3 2 1 0x x x− + − = ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x 0 ∈(a,b) . • Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x 0 ta có f(x) < f(x 0 ) (x ≠ x 0 ). • Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x 0 ta có f(x)>f(x 0 ) (x ≠ x 0 ). 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 1 Chuyên đề 1 : Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12 Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x 0 ∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0. Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ) a) Nếu f’(x 0 ) > 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 ); f’(x) < 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 + δ) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x 0 - δ; x 0 ) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x 0 ; δ+ x 0 ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu thì điểm x 0 là điểm cực trị. Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x 0 và f’(x 0 ) = 0, f''(x o ) ≠ 0 thì x o là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa 1) Nếu f”(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu f”(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại. Nói cách khác: 1) f’(x 0 ) = 0, f”(x 0 ) > 0 ⇒ x 0 là điểm cực tiểu. 2) f’(x 0 ) = 0, f”(x 0 ) < 0 ⇒ x 0 là điểm cực đại. B . CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số 4 2 2 2 1y x mx m= − + − + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1). Bài 2: Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + a) Khảo sát hàm số khi m=-1. b) Xác định m để hàm số có hai cực trị. Bài 3: Cho hàm số mmxxmxy 26)1(32 23 −++−= a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C). b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó. c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞). Bài 4: Cho hàm số 2 2 2 1x kx k y x k − + + = − với tham số k. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1 2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A. 3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0. Bài 5: Định m để hàm số 3 2 2 1 ( 1) 1 3 y x mx m m x= − + − + + đạt cực tiểu tại x = 1. Bài 6: Cho hàm số 2 1 x x m y x − + = + Xác định m sao cho hàm số. a) Có cực trị. b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau. Bài 7: Cho hàm số 3 2 ( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m= = − + − a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 2 Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12 ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x M x D f x M ∀ ∈ ≤ ∃ ∈ = (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x m x D f x m ∀ ∈ ≥ ∃ ∈ = (ký hiệu m=minf(x) ) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b) 3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. + Tìm các điểm tới hạn x 1 ,x 2 , ., x n của f(x) trên [a,b]. + Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), ., f(x n ), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên [ , ] [ , ] max ( ) ; min ( ) a b a b M f x m f x= = B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) 3 2 2 3 1y x x= + − trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) 2 4y x x= + − . c) 3 4 2sinx- sin 3 y x= trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) d) 2 os2x+4sinxy c= x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ) e) 2 3 2y x x= − + trên đoạn [-10,10]. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y= x 1 3x 6x 9 + + − + + trên đoạn[-1,3]. Bài 3: Chứng minh rằng 2 2 6 3 2 7 2 x x x + ≤ ≤ + + với mọi giá trị x. ℑ4. LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1) Định nghĩa : +Cung AB lồi nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía trên cung. +Cung AB lõm nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía dưới cung. 2) Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên (a;b). + Nếu f”(x)<0 với mọi x∈(a,b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó. + Nếu f”(x)>0 với mọi x∈(a,b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó. + Nếu f’’(x) đổi dấu khi xđi qua x 0 thì điểm M 0 (x 0 ,f(x 0 )) là điểm uốn của đồ thị hàm số. B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Tìm a,b để hàm số 3 2 axy x x b= − + + nhận điểm (1;1) làm điểm uốn. Bài 2: Chứng minh rằng đồ thị hàm số 2 2 1 1 x y x x + = + + có ba điểm uốn thẳng hàng. Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 3 Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12 Bài 3: Cho hàm số 3 2 3 2y x x= − + viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất. ℑ5. TIỆM CẬN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận đứng: Nếu 0 lim ( ) x x f x → = ∞ thì đường thẳng (d) có phương trình x=x 0 là tiệm cân đứng của đồ thị (C). 2) Tiệm cận ngang: Nếu 0 lim ( ) x f x y →∞ = thì đường thẳng (d) có phương trình y=x 0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C). 3) Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là lim [ ( ) (ax+b)] 0 x f x →+∞ − = hoặc lim [ ( ) (ax+b)] 0 x f x →−∞ − = hoặc lim[ ( ) (ax+b)] 0 x f x →∞ − = . 4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b. x ( ) lim b= lim[ ( ) ax] x f x a f x x →∞ →∞ = − . B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: 1. Khảo sát hàm số . 2 4 5 2 x x y x − + − = − 2. Xác định m để đồ thị hàm số 2 2 ( 4) 4 5 2 x m x m m y x m − − − + − − = + − có các tiệm cận trùng với các tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ) Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số a) 2 1y x= − b) 3 2 1 1 x x y x + + = − c) 2 3 1 1 2 x x y x + + = − . d) 2 2 1 3 2 5 x x y x x + + = − − PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn - Bảng biến thiên 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Giới hạn, tiệm cận - Bảng biến thiên 3. Đồ thị Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 4 Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.  Các dạng đồ thị hàm số:  Hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)  Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)  Hàm số nhất biến : )bcad( dcx bax y 0 ≠− + + =  Hàm số hữu tỷ (2/1) : 2 1 1 ax bx c y a x b + + = + (tử, mẫu không có nghiệm chung, . ) Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 5 x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ? x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ? y I x y O Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến x O I x y O • I x y O • I Dạng 2: hàm số không có cực trị x y O • I x y O • I Dạng 1: hàm số có cực trị Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12 Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox. Các bước giải Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau: Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận: Ví dụ 1: 1. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x− = m ( dùng bảng 1) 2. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x− = 3m -2 ( dùng bảng 2) 3. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x− = 3 2 1 3 m m− ( dùng bảng 3) Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay. Nhấn mạnh cho học sinh nhớ và vận dụng thành thạo các công thức: • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b) → Ta sử dụng công thức b a S f x dx = ∫ ( ) (I) • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] → Ta sử dụng công thức b a S f x g x dx = − ∫ ( ) ( ) (II) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox. → Ta dùng công thức [ ] 2 b a V f x dx π = ∫ ( ) (III) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy. → Ta dùng công thức [ ] 2 = ∫ b a V g y dy( ) π (IV) Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:  Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng: Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 6 Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12  Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).  Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).  Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).  Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả.  Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:  Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)  Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả. Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng x = 1. Giải: (0,75 đ) Ta có: e x = 2 ⇔ x = ln2 Diện tích hình phẳng cần tìm S = ( ) 1 1 ln2 ln 2 2 2 x x e dx e dx− = − ∫ ∫ (0,25 đ) = ( ) 1 ln2 2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4 x e x e e− = − − − = + − (đvdt) (0,25đ + 0,25đ) Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x 2 và trục Ox. Giải: Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Từ đồ thị ta có: 3 3 3 2 3 2 0 0 3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − + ∫ ∫ 3 4 3 0 4 x x   = − +  ÷   = 27/4 ( đvdt) Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2) Bài 1: Cho hàm số y = x 3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x – k +1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 – (m - 1)x + m = 0 a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C). c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA. Bài 3: Cho hàm số y = (x +1) 2 (x –1) 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x 2 – 1) 2 – 2n + 1 = 0 Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 7 Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 4: Cho hàm số mx mxm y − +− = )1( (m khác 0) và có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 2 ), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4. Bài 5: Cho hàm số 1 2 + +− = x xx y a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số 4 4 2 − +− = mx mxx y a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Dùng đồ thị (C 2 ) giải và biện luận phương trình : x 2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0. c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C 2 ), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x = 1. d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra. Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = 2 4 1 x ; y = xx 3 2 1 2 +− . Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x 2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox. Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x 2 và y = x quay quanh Ox. Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao diểm của hai đường cong (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1) Ví dụ Cho hàm số 1 1 − + = x x y và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong. Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình 1 1 1 −= − + mx x x (điều kiện x khác 1) 0)2( 2 =+−⇔ xmmx 0))2(( =+−⇔ mmxx +Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm +Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và x = 2m m + . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1) Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm. + m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm. B ài tập: Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 8 Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12 Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 3 2 2 3 2 x x y x= + − và đường thẳng (T): 13 1 ( ) 12 2 y m x− = + . KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27 12 − ), 3 giao điểm ( m > 27 12 − ) Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số 3 4 1 x y x + = − . KQ: -28 < a ≤ 0 Bài 3) Cho đường cong (C): 2 2 2 1 x x y x − + = − . Tìm các giá trị của k sao cho trên (C) có 2 điểm khác nhau P, Q thỏa mãn điều kiện: P P Q Q x y k x y k + =    + =   . Dạng 4: Cực trị của hàm số  Yêu cầu đối với học sinh :  Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:  Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị.  Hàm số bậc 4 dạng : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.  Hàm số nhất biến dạng: ax+b cx+d =y → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.  Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: 2 ax bx c y a 'x b' + + = + → không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.  Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x 0 ∈ (a;b) • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x 0 thì hàm số có cực trị tại x = x 0 • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x 0 . • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x 0 thì hàm số có cực đại tại x = x 0 . (Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x 0 nhưng hàm số có xác định tại đó).  Hoặc: • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x) ≠ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x 0 . • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x 0 . • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x 0 . Bài tập: Định tham số m để: 1). Hàm số y = 3 2 1 ( 6) 1 3 x mx m x+ + + − có cực đại và cực tiểu. Kết quả: m < - 2 hay m > 3 2). Hsố y = 2 2 1 x mx mx + − − có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1 Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 9 Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12 3). Hàm số y = 2x 3 – 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x 1 , x 2 và khi đó x 2 – x 1 không phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x 2 – x 1 = 1 4). Hàm số y = x 3 – 3x 2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 ( )( 1) y y x x x x − − − = 2. Kết quả : m < 1 Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số? Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ (C).  Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y 0 = f’(x 0 ) ( ) 0 x x− hay y – y 0 = k(x – x 0 ) (*)  Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x 0 , y 0 , f’(x 0 ) thay vào (*). Rút gọn ta có kết quả Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x A ;y A )  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A ) (1)  Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) A A f x k x x y f x k = − +   =   Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả. Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến. (hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) ) C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x 0 ( hoành độ tiếp điểm)  Bước 2: Tìm y 0 và thay vào dạng y = k(x – x 0 ) + y 0 . ta có kết quả C2:  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)  Bước 2: Lập và giải hệ pt: ( ) '( ) f x kx m f x k = +   =  ⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả Bài tập về pttt của đồ thị: Bài 1: Cho hàm số y = x 2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0 a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 – m – 1, có đồ thị (C). a) Tìm các điểm cố định của (Cm). b) Lập pttt tại các điểm cố định đó. Bài 3: Cho hàm số y = -x 4 + 2mx 2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau Bài 4: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành Bài 5: Cho hàm số y = 2 ax -2 2 x x + − . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5) Bài 7: Viết pttt của đồ thị hàm số y = 2 2 2 1 x x x + + + đi qua B(1;0) Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn Trang 10 [...]... nhau • • Trong phương trình mặt phẳng khơng có biến x thì mặt phẳng song song Ox, khơng có biến y thì song song Oy, khơng có biến z thì song song Oz B/ BÀI TẬP: Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD... khác nhau trong đó nhất thi t phải có mặt chữ số 1 và chữ số 3 h) Gồm tám chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số khác có mặt đúng một lần i) Tính tổng tất cả các số tự nhiên ở câu b) 2) Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ Giáo viên muốn chon bốn học sinh để trực lớp Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chon nhóm trực, biết rằng: a) Số nam nữ trong nhóm là... (trong đó hai đường thẳng x = a; x = b có thể thi u một hoặc cả hai) b a) Cơng thức: V = π ∫  f ( x )  dx   2 (3) a b) Các bước thực hiện: • Bước 1: Nếu hai đường x = a, x = b đề bài cho thi u một hoặc cả hai thì giải phương trình f ( x ) = 0 (PTHĐGĐ của ( C ) và trục Ox) để tìm • Bước 2: Áp dụng cơng thức (3) 4) Bài tập: x 2 − 6x + 5 Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong... mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu − Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ khơng đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ Bài 1: Tính các tích phân sau đây: Trang 14 Ngun Văn Cơng-THPT số 2 Văn Bàn... ) dx a Trong đó p ( x ) là hàm số đa thức, còn q ( x ) là hàm sin α ( x ) hoặc cosα ( x )  u = p( x) → Trong trường hợp này ta đặt:  dv = q ( x ) dx  Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào cơng thức ta được b b a a ∫ vdu phức tạp hơn ∫ udv ban đầu Trang 17 Ngun Văn Cơng-THPT số 2 Văn Bàn Tài liệu tham khảo ơn tập tốn 12 b ∫ p ( x ) q ( x ) dx b) Dạng 2: a Trong đó p (... hạn bởi đường cong ( C ) : y = và trục Ox 2x − 1 Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( C ) : y = x ( x − 3) và trục Ox 2 Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( C ) : y = x − x và trục Ox 4 2 Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( C ) : y = x − 3 x + 1 và đường 3 thẳng d : y = 3 Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi... nhau và khác nhau ở hai câu trong bài   Trong một chi đồn có 25 đồn viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn một Ban chấp hành gồm một bí thư, một phó bí thư và ba uỷ viên? (mỗi đồn viên chỉ đảm nhiệm nhiều nhất một chức vụ)  Muốn chọn một Ban chấp hành ta phải thực hiện tất cả ba cơng việc: CV1–chọn một bí thư, CV2–chọn một phó bí thư, CV3–chọn ba uỷ viên CV1: Chọn một đồn viên trong 25 đồn viên làm bí thư... với số hạng tổng qt là: 2 2 k +1  2 k +1 1k +1  n k x C  − = Cn từ đó dẫn đến tính S = ∫ ( 1 + x ) dx ÷ k +1 1  k +1 k +1 1 k n Tuy nhiên, trong các đề thi thường kết hợp nhiều dạng, nhiều kiểu nên cần ghép các dạng tốn, nhiều kiến thức từ dễ đến khó trong một bài ơn tập giúp học sinh rèn tư duy, tìm ra qui luật, qui lạ về quen… C MỘT SỐ BÀI TẬP: 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số... hạn bởi: ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) ; x = a; x = b (trong đó hai đường thẳng x = a; x = b có thể thi u một hoặc cả hai) Trang 18 Ngun Văn Cơng-THPT số 2 Văn Bàn Tài liệu tham khảo ơn tập tốn 12 b a) Cơng thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx (2) a b) Các bước thực hiện: • Bước1: Nếu hai đường x = a, x = b đề bài cho thi u một hoặc cả hai thì giải phương trình f ( x ) = g ( x ) (PTHĐGĐ của... (∆2) là: A1 x + B1 y + C1 A +B 2 1 2 1 =± A2 x + B2 y + C 2 2 2 A2 + B2 B BÀI TẬP: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy: Bài 4: Cho 3 điểm A(-1;3), B(-2;0), C(3;1) a) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương trình tổng qt của đường thẳng BC b) Viết phương trình tổng qt của đường thẳng (∆1) qua A và song song với BC c) Viết phương trình tổng qt của đường thẳng (∆2) qua A và vng góc với . 2. Sự biến thi n - Chiều biến thi n, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn - Bảng biến thi n 1. Tập xác định 2. Sự biến thi n - Chiều biến thi n, cực. dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không