Đường trung bình của tam giác

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC A Tóm tắt lý thuyết A Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác N M MA MB    MN NA  NC  đường trung bình ABC B Tương tự ta có MP, NP đường trung bình ABC p C Các định lý a Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba ABC , MA MB, MN / / BC GT AN  NC KL b Định lý 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh GT KL ABC , MA MB, NA NC MN / / BC; MN  BC B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm AB, AC , BC Tính chu vi MN  BC ; AB 8cm, AC 10cm, BC 12cm tam giác MNP , biết Lời giải Chu vi MNP MN  NP  PM 4   15(cm) Bài 2:   Cho tam giác ABC có A 60 , B 70 Gọi D A 60° E theo thứ tự trung điểm D AB, AC Xác định dạng tứ giác BDEC E 70° tính góc tứ giác B Lời giải C Ta có ED đường trung bình ABC  DE / / BC  BDEC hình thang  500  D  1100 ; E  1300 C Bài 3:   Cho hình thang ABCD có A D 90 A H B AB 2 AD 2CD Kẻ CH vuông góc với AB Tại H O O' a) Tính số đo góc hình thang ABCD D b) Chứng minh ABC vng cân C c) Tính chu vi hình thang AB 6cm d) Gọi O giao điểm AC DH , O ' giao điểm DB CH Chứng minh AB 4OO ' Lời giải     a) Ta có ADCH , có: A D H C 90 AH / /CD, AD / / CH AHCD hình thang cân hai đáy AH , CD  AD CH AHCD hình thang cân với hai đáy AD, CH AH CD BH  AB  AH 2CD  CD CD CH  AD BH   0    Do BCH vuông cân H , suy B 45 , BCH 45 , C BCH  DCH 45  90 135     Vậy A D 90 , B 45 , C 135 b) ABC có H trung điểm AB CH  AB  ABC cân C  Lại có B 45  ABC vng cân C AB 6cm, AD CD  AB 3cm c) Ta có ABC vng cân C  BC  AB  3  cm  2 Chu vi hình thang ABCD là: AB BC  CD  DA 6    12   cm  0   d) Dễ thấy ACD 45  HDC 45  DH / / BC  DH  AC Vì ACD vuông cân O nên O trung điểm AC Ta có DO ' C BO ' H  gcg   OC O ' H hay O ' trung điểm CH Xét AHC có O ' O đường trung bình nên AH 2O ' O Mà AB 2 AH  AB 4O ' O Bài 4: Cho ABC  AC  AB  , đường cao AH Gọi D, E , K A theo thứ tự trung điểm AB, AC , BC Chứng minh rằng: I D E a) DE đường trung trực AH b) DEKH hình thang cân B H Lời giải a) Ta có DE đường trung bình ABC  DE / / BC  DE  AH  1 Gọi I giao điểm DE AH ABH có AD DB DI / / BC  AI IH   Từ  1    DE đường trung trực AH AH  EH EA  AC  3 DE đường trung trực ABC  DK  AC DK đường trung bình  4 Từ  3    EH DK Hình thang DEKH có hai đường chéo nên hình thang cân Bài 5: K C Cho tam giác ABC , tia đối tia BC A lấy điểm D cho BD BA Trên tia đối K H tia CB lấy điểm E cho CE CA Kẻ BH  AD, CK  AE Chứng minh D C B E a AH HD b HK / / BC Lời giải a) Ta có ABH DBH  AH HD; ACK ECK  AK KE b) Xét ADE , có AH HD; AK KE  HK / / DE  HK / / BC Bài 6: Cho tam giác ABC , kẻ trung tuyến AM A Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho D AD DE EC I a Chứng minh rằng: ME / / BD E b Gọi I giao điểm AM , BD Chứng B minh AI IM C M ID  BD c Chứng minh: Lời giải a) Ta có ME đường trung bình BCD  ME / / BD b) Xét AME có D trung điểm AE , ID / / ME  IA IM 1 DI  EM ; EM  DB  DI  BD 2 c) Bài 7: Cho tam giác ABC , A trung điểm D BD, B trung điểm EC AC DE cắt I A J I Chứng minh rằng: DI  DE E Lời giải Qua B kẻ đường thẳng BJ / /CI cắt ED J B C  EJ  JI DE    DI  (đpcm)  JI ID Bài 8: Cho ABC vuông A , kẻ đường cao AH E Từ H kẻ Hx  AB P , Hx lấy điểm D A cho P trung điểm HD Từ H kẻ D Q Hy vng góc với AC Q Hy lấy P điểm E cho Q trung điểm HE B H C a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng b) PQ / / DE c) PQ  AH Lời giải         a) ADP AHP (cgc )  A1  A3 , tương tự ta có A2  A4  A1  A2  A3  A4 180  A, D, E thẳng hàng (đpcm) b Ta có PQ đường trung bình HDE  PQ / / ED DA  AE AH PQ  DE    AH 2 c Bài 9: Cho tứ giác ABCD   có C 40 , D 80 M AD BC E , F trung điểm P N AB, CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng AD BC , AD EF A E B I C Lời giải 0 0  Ta có D 180  40  80 60 F D Goị I trung điểm  EI / / BC  BD    IF / / BC   E  E  N  ( slt ) F   Lại có: N1  N (đối đỉnh) 1  F   N  M  IE IF = CB  AD  E 2 +) Có:    Mà N1  M 60 (góc ngồi tam giác)  M 30 Bài 10: Cho tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối A tia BA cho BD BA , M trung N điểm BC Gọi K giao điểm DM K AC , Chứng minh rằng: AK 2 KC B M C bình D Lời giải Kẻ BN / / DM ( N thuộc AC ) Xét ADK , có: AB DB, BN / / DK  BN đường trung  AN  NK  AK 2 NK (1) Lại có MK đường trung bình BNC  NK KC (2)  AK 2 KC (đpcm) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 4: ADK Hình thang ABCD  AB / / CD  cân có A AB 4cm, CD 10cm, BD 5cm Tính khoảng B I cách từ trung điểm I BD đến CD D K C H Lời giải Kẻ BH  CD, IK  CD Ta có CH  CD  AB 10   3  cm  2 BH BC  CH 52  32 16 42  BH 4  cm  Áp dụng định lí Pytago vào BHC , ta có: Tam giác BDH có BI ID, IK / / BH  IK đường trung bình  IK  BH 2  cm  Bài 2: Tam giác vuông   90 ABC B  A có đường cao BD Gọi E , F trung điểm BD, DC H giao điểm AE , BF Tính D góc AHF E F H B C Lời giải Từ giả thiết suy EF đường trung bình BCD Áp dụng định lí đường trung bình giả thiết vào BCD , ta được:  EF / / BC  EF  AB   B 90 hay EF đường cao ABF Theo giả thiết BD đường cao ABC nên đường cao tam giác ABF suy E trực tâm tam giác ABF hay AH đường cao thứ ba tam giác  Do AHF 90 Bài 3:  ABC A 900 Cho  , đường cao A AH Gọi M trung điểm HC , K trung điểm K AH Chứng minh BK  AM M H B C Lời giải Tam giác AHC có AK HK HM MC  MK đường trung bình AHC  MK / / AC Ta lại có AC  AB  MK  AB AMB có AH  BM , MK  AB  K trực tâm  BK  AM Bài 4: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến A ứng với BC Trên cạnh AC lấy điểm D D I AD  DC cho Kẻ Mx / / BD cắt AC E E B Đoạn BD cắt AM I Chứng minh H K M C rằng: a) AD DE EC b) S AIB S IBM c) S ABC 2S IBC Lời giải a Xét BDC có ME / / BD , M trung điểm BC E trung điểm DC  DE EC  DC  AD DE EC b Ta có D trung điểm AE  ID AME  IA IM  S AIB S IBM c Hạ đường cao AH IK ABC , IBC đường trung bình AHM  IK  AH IK đường trung bình Xét ABC IBC có chung đáy BC hai đường cao AH 2 IK Bài 5: ABC Cho tam giác cân A , hai đường A trung tuyến BD CE cắt G Gọi M , N trung điểm BG CG , I E K trung điểm GM GN D G a Chứng minh BD CE b Chứng minh tứ giác IEDK I hình thang K M cân N B C c Tính DE  IK , biết BC 10cm Lời giải a) ABD ACE (cgc)  BD CE b) Có IK / / ED / / MN / / BC  IEDK hình thang Ta chứng minh DI EK 1 3 1 DI DG  GI DG  GM GM (MB )  GM  GM  DB  DB 2 2 1 3 1 EK EG  GK EG  GN GN  GN  GN  EC  EC 2 2 +) Ta lại có BD EC  DI EK  IEDK hình thang cân c) DE  IK 7,5cm Bài 6:  Cho tam giác ABC  AB  AC  có A 50 A E Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD  AC D 12 Gọi E , F trung điểm AD, BC I  Tính BEF 1 B F C Lời giải Do E , F trung điểm AD, BC nên ta vẽ thêm I trung điểm DC EI FI theo thứ tự đường trung bình hai tam giác ADC BCD Đặt BD  AC 2a Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác ta có: FI / / BD  1 , FI a   , EI a   , EI / / AC    F   E 1 Từ   (so le trong) (5)  F   FI EI  E Từ     (trong tam giác, đối diện với hai cạnh hai góc nhau) (6)  E   E Từ        BEI  A 500 Từ     (dồng vị)    Mà BEI 2 E1  E1 25 Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến BD A CE Trên cạnh BC lấy điểm M , N cho BM MN NC Gọi I giao điểm G E D AM BD , K giao điểm AN , CE K I Chứng minh rằng: B a) BCDE hình thang M F N C b) K trung điểm EC c) BC 4 IK Lời giải a) Ta có DE đường trung bình tam giác ABC  DE / / BC  BCDE hình thang b) Gọi G giao điểm AN DE Ta có E trung điểm AB DE / / BN  G trung điểm AN  EG đường trung 1 ABN  EG  BN  BC bình DE  BC  EG  ED  G Ta lại có trọng tâm ACE 10  AK trung tuyến ACE  K trung điểm EC c) Chứng minh tương tự ta có I trung điểm EF Gọi F trung điểm BC , ta có DF / / AB DK / / AB  D, K , F thẳng hàng 1 DK  AE  AB  DF  K trung điểm DF 1 DEF  IK  DE DE  BC  IK  BC 2 Suy IK đường trung bình , mà Hay BC 4 IK 11