ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG A Tóm tắt lý thuyết A B Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang F E EA ED EF FB FC đường trung bình hình thang D Các định lý C a Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai G ABCD hình thang (đáy AB, CD ) T K EA ED, EF / / AB / / DC FB FC L b Định lý 2: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy G ABCD hình thang (đáy AB, CD ) T K EA ED, FB FC EF / / AB, EF / / CD, EF L B Bài tập áp dụng Tính x, y AB CD Bài 1: hình vẽ A C E G Lời giải Xét hình thang ABFE có Xét hình thang CDHG có CD AB EF 16 12 x 12cm 2 EF CD GH 12 y 16 y 20 2 Vậy x 12cm, y 20cm 8cm B D x 16cm y F H Bài 2: Cho hình thang ABCD AB / /CD , M A B trung điểm AD , N trung điểm BC Gọi P, Q theo thứ tự giao điểm MN với BD AC Cho N P M Q CD 8cm , MN 6cm G H a Tính AB b Tính MP, PQ, QN Lời giải a Xét hình thang ABCD có M trung điểm AD , N trung điểm BC MN ( AB CD ) MN đường trung bình hình thang ABCD AB 2 MN CD 4cm 1 MP AB 2cm, NQ AB 2cm PQ 6cm 2 b Ta có: Bài 3: Cho hình thang ABCD AB / / CD Gọi E , F A trung điểm AD BC Phân giác góc A B cắt EF theo thứ tự E I K a Chứng minh AIE , BKF tam giác D cân b Chứng minh AID, BKC tam giác vuông 1 IE AD, KF BC 2 c d Cho AB 5cm, CD 13cm, AD 6cm, BC 7 Tính IK B I K F C Lời giải a Ta có A1 I1 A2 AEI cân E , tương tự BKF cân F I I I 1800 900 AID b vuông I , tương tự BKC vuông K AD EI AD c Ta có AID vuông I E trung điểm d EF 9 EI IK KF 9= 1 AD IK BC IK 2,5cm 2 Bài 4: Cho hình thang ABCD , đường phân A giác góc ngồi đỉnh A D cắt M Các đường phân giác M góc ngồi đỉnh B C cắt N a Chứng minh MN / / CD b Tính chu vi hình thang ABCD , biết M' B N 2 D C MN 4cm c MN có độ dài nửa chu vi hình thang ABCD Lời giải a Gọi M ' N ' giao điểm AM , BN với DC A A D 900 AMD 900 AMD D 2 Ta có: vng M DM đường cao, đường phân giác ADM ', BCN ' cân D C M , N trung điểm AM ' BN ' MN / / CD b Chu vi hình thang ABCD là: AB BC CD DA AB M ' D DC CN ' AB M ' N ' 2MN 8(cm ) c Từ ý a ta có: MN AB M ' N ' N' mà: M ' N ' M ' D BC CN ' AD DC BC ADM '; BCN : can MN Bài 5: Cho tam giác ABC , M trung điểm AB BC CD DA B M cạnh BC Gọi G trọng tâm tam giác G Vẽ đường thẳng BD, CE , MH , GI vng C J góc với Ay Chứng minh rằng: A BD CE 2MH BD CE 3GI K D I H E y Lời giải Theo giả thiết M trung điểm BC nên AM trung tuyến ABC nên trọng tâm G AG AM tam giác nằm đường trung tuyến AM AJ JG GM 1 Gọi J trung điểm AG Vẽ JK Ay K Ay , ta có: JK / / GI / / MH / / BD / / CE 2 Ta hai hình thang vng BDEC JKHM AK KI IH Từ DH HE theo định nghĩa đường trung bình Do JK đường trung bình AIG GI , MH đường trung bình hình thang vng JKHM BDEC Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang vng BDEC JKHM , ta được: BD CE 2MH 3 MH JK 2GI 4 JK GI Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác AIG , ta có: MH GI 2GI MH GI 2 Thay (5) vào (4) ta được: Thay (6) vào (3) ta được: BD CE 3GI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E , K , F B trung điểm AD, BC , AC A a Chứng minh EK / /CD, FK / / AB E ( AB CD) b So sánh EF F K D c Tìm điều kiện tứ giác ABCD để điểm E , F , K C thẳng hàng, chứng minh EF ( AB CD ) Lời giải 1 EF EK KF CD AB AB CD 2 b Xét A EFK , có c Để E , F , K thẳng hàng, EF đồng thời song song với AB, CD Tức tứ giác ABCD hình thang AB / /CD EF AB CD Bài 2: Cho hình thang M , N , P, Q ABCD AB / / CD Gọi A B trung điểm M AD, BD, AC , BC Chứng minh Q N P a) M , N , P, Q nằm đường D thẳng NP DC AB b) Lời giải a) Ta có MN đường trung bình hình thang ABCD MN / / AB Tương tự, ta được: MP / /CD; MQ / / AB, CD MN , MP, MQ / / AB dpcm C 1 DC AB 2MP MN MP MN NP b) Ta có: Bài 3: Cho hình thang ABCD AB / / CD với AB a, BC b, CD c, DA d Các tia phân giác góc A D cắt E , tia phân giác góc B C cắt F Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AD BC a) Chứng minh M , E, N , F nằm đường thẳng b) Tính độ dài MN , MF , NF theo a, b, c, d Lời giải a) Gọi P Q giao điểm AE , AF với CD Chứng minh tương tự 1 MN ( AB CD) (a c ) 2 b) Ta có: Lại có: c CD CQ QD BC QD b QD BCD : can QD c b Trong hình thang ABQD có M trung điểm AD MF / / DQ nên chứng minh F trung điểm BQ , từ chứng minh MF đường trung bình hình thang ABQD Vì MF đường trung bình hình thang ABQD 1 MF ( AB DQ ) (a c b ) 2 1 FN CQ b 2 Mặt khác, FN đường trung bình tam giác BCQ , tức Bài 4: Cho hình M , N , P, Q thang ABCD AB / / CD Gọi A B trung điểm M AD, BD, AC , BC Chứng minh Q N P a) M , N , P, Q nằm đường D thẳng C NP DC AB b) Lời giải a) Ta có MN đường trung bình hình thang ABCD MN / / AB Tương tự, ta được: MP / /CD; MQ / / AB, CD MN , MP, MQ / / AB đpcm 1 DC AB 2MP MN MP MN NP b) Ta có: Bài 5: Cho tứ giác ABCD Có G trung điểm đoạn nối trung điểm hai đường chéo AC BD Gọi m đường thẳng không cắt cạnh hình thang ABCD ; Gọi A ', B ', C ', D ', G ' hình chiếu A, B, C , D, G minh GG ' lên đường thẳng m Chứng A ' A BB ' CC ' DD ' Lời giải Gọi E F trung điểm AC BD ; E ' F ' hình chiếu E , F đường thẳng m Khi đó, GG ' đường trung bình hình thang EE ' FF ' GG ' 1 EE ' FF ' 2 Mà EE ' FF ' đường trung bình hình thang AA ' C ' C BB ' D ' D EE ' 1 AA ' CC ' ; FF ' BB ' DD ' 2 Thay vào (1) ta đpcm