ĐƯỜNG TRUNG BÌNH của HÌNH THANG (2)

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang EA  ED    EF FB  FC  đường trung bình hình thang Các định lý a Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai G ABCD hình thang (đáy AB, CD ) T K EA  ED, EF / / AB / / DC FB  FC L b Định lý 2: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy G ABCD hình thang (đáy AB, CD ) T K EA  ED, FB  FC EF / / AB, EF / /CD, EF  L B Bài tập áp dụng Tính x, y AB  CD Bài 1: hình vẽ Lời giải Xét hình thang ABFE có Xét hình thang CDHG có CD  AB  EF  16   12  x  12cm 2 EF  CD  GH 12  y  16   y  20 2 Vậy x  12cm, y  20cm Bài 2: Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , M trung điểm AD , N trung điểm BC Gọi P, Q theo thứ tự giao điểm MN với BD AC Cho CD  8cm , MN  6cm a Tính AB b Tính MP, PQ, QN Lời giải a Xét hình thang ABCD có M trung điểm AD , N trung điểm BC  MN đường trung bình hình thang ABCD  MN   AB  2MN  CD  4cm b Ta có: MP  1 AB  2cm, NQ  AB  2cm  PQ  6cm 2 Cho hình thang ABCD  AB / /CD  Gọi E , F Bài 3: trung điểm AD BC Phân giác góc A B cắt EF theo thứ tự I K a Chứng minh AIE , BKF tam giác cân b Chứng minh AID, BKC tam giác vuông c IE  1 AD, KF  BC 2 d Cho AB  5cm, CD  13cm, AD  6cm, BC  Tính IK ( AB  CD) Lời giải µ µ ¶ a Ta có A1  I1  A2  AEI cân E , tương tự BKF cân F I$ Iµ1  Iµ2  1800  900  AID b vuông I , tương tự BKC vng K c Ta có AID vuông I E trung điểm d EF   EI  IK  KF  9= AD  EI  AD 1 AD  IK  BC  IK  2,5cm 2 Bài 4: Cho hình thang ABCD , đường phân A giác góc ngồi đỉnh A D cắt M Các đường phân giác M góc ngồi đỉnh B C cắt N a Chứng minh MN / / CD b Tính chu vi hình thang ABCD , biết M' B N 2 D C MN  4cm c MN có độ dài nửa chu vi hình thang ABCD Lời giải a Gọi M ' N ' giao điểm AM , BN vi DC ả A ả àA  D µ  900  ·AMD  900  AMD D 2 Ta có: vng M  DM đường cao, đường phân giác  ADM ', BCN ' cân D C  M , N trung điểm AM ' BN '  MN / / CD b Chu vi hình thang ABCD là: AB  BC  CD  DA  AB  M ' D  DC  CN '  AB  M ' N '  MN  8(cm) c Từ ý a ta có: MN   AB  M ' N ' N' mà: M ' N '  M ' D  BC  CN '  AD  DC  BC  ADM '; BCN : can   MN   AB  BC  CD  DA  Bài 5: Cho tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Gọi G trọng tâm tam giác Vẽ đường thẳng BD, CE , MH , GI vng góc với Ay Chứng minh rằng: BD  CE  2MH BD  CE  3GI Lời giải Theo giả thiết M trung điểm BC nên AM trung tuyến ABC nên trọng tâm G tam giác nằm đường trung tuyến AM AG  AM AJ  JG  GM  1 Gọi J trung điểm AG Vẽ JK  Ay  K  Ay  , ta có: JK / /GI / / MH / / BD / /CE  2 Ta hai hình thang vng BDEC JKHM  AK  KI  IH Từ     DH  HE theo định nghĩa đường trung bình Do JK đường trung bình AIG GI , MH đường trung bình hình thang vng JKHM BDEC Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang vuông BDEC JKHM , ta được: BD  CE  MH  3 MH  JK  2GI  4 JK  GI   Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác AIG , ta có: MH  GI  2GI  MH  GI   2 Thay (5) vào (4) ta được: Thay (6) vào (3) ta được: BD  CE  3GI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E , K , F B trung điểm AD, BC , AC A a Chứng minh EK / /CD, FK / / AB E ( AB  CD) b So sánh EF F K D c Tìm điều kiện tứ giác ABCD để điểm E , F , K EF  C thẳng hàng, chứng minh ( AB  CD ) Lời giải 1 EF  EK  KF  CD  AB   AB  CD  2 b Xét A EFK , có c Để E , F , K thẳng hàng, EF đồng thời song song với AB, CD Tức tứ giác ABCD hình thang Cho hình thang M , N , P, Q  AB / /CD   EF   AB  CD  ABCD  AB / / CD  Bài 2: Gọi A B trung điểm M AD, BD, AC , BC Chứng minh Q N P a) M , N , P, Q nằm đường D thẳng b) NP  DC  AB Lời giải a) Ta có MN đường trung bình hình thang ABCD  MN / / AB Tương tự, ta được: MP / /CD; MQ / / AB, CD  MN , MP, MQ / / AB  dpcm C 1 DC  AB  MP  MN  MP  MN  NP b) Ta có: Cho hình thang ABCD  AB / / CD  với Bài 3: AB  a, BC  b, CD  c, DA  d Các tia phân giác góc A D cắt E , tia phân giác góc B C cắt F Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AD BC a) Chứng minh M , E , N , F nằm đường thẳng b) Tính độ dài MN , MF , NF theo a, b, c, d Lời giải a) Gọi P Q giao điểm AE , AF với CD Chứng minh tương tự b) Ta có: MN  1 ( AB  CD )  (a  c) 2 Lại có: c  CD  CQ  QD  BC  QD  b  QD  BCD : can   QD  c  b Trong hình thang ABQD có M trung điểm AD MF / / DQ nên chứng minh F trung điểm BQ , từ chứng minh MF đường trung bình hình thang ABQD Vì MF đường trung bình hình thang ABQD  MF  1 ( AB  DQ)  (a  c  b ) 2 1 FN  CQ  b 2 Mặt khác, FN đường trung bình tam giác BCQ , tức Bài 4: Cho hình M , N , P, Q thang ABCD  AB / / CD  Gọi A B trung điểm M AD, BD, AC , BC Chứng minh Q N P a) M , N , P, Q nằm đường D thẳng b) NP  C DC  AB Lời giải a) Ta có MN đường trung bình hình thang ABCD  MN / / AB Tương tự, ta được: MP / /CD; MQ / / AB, CD  MN , MP, MQ / / AB  đpcm 1 DC  AB  MP  MN  MP  MN  NP b) Ta có: Bài 5: Cho tứ giác ABCD Có G trung điểm đoạn nối trung điểm hai đường chéo AC BD Gọi m đường thẳng khơng cắt cạnh hình thang ABCD ; Gọi A ', B ', C ', D ', G ' hình chiếu A, B, C , D, G minh GG '  lên đường thẳng m Chứng  A ' A  BB ' CC ' DD ' Lời giải Gọi E F trung điểm AC BD ; E ' F ' hình chiếu E , F đường thẳng m Khi đó, GG ' đường trung bình hình thang EE ' FF ' GG '  1  EE ' FF '  2 Mà EE ' FF ' đường trung bình hình thang AA ' C ' C BB ' D ' D  EE '  1  AA ' CC ' ; FF '   BB ' DD '  2 Thay vào (1) ta đpcm ...  DH  HE theo định nghĩa đường trung bình Do JK đường trung bình AIG GI , MH đường trung bình hình thang vng JKHM BDEC Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang vuông BDEC JKHM , ta... QD  c  b Trong hình thang ABQD có M trung điểm AD MF / / DQ nên chứng minh F trung điểm BQ , từ chứng minh MF đường trung bình hình thang ABQD Vì MF đường trung bình hình thang ABQD  MF ... giải Gọi E F trung điểm AC BD ; E ' F ' hình chiếu E , F đường thẳng m Khi đó, GG ' đường trung bình hình thang EE ' FF ' GG '  1  EE ' FF '  2 Mà EE ' FF ' đường trung bình hình thang AA '