ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang EA ED EF FB FC đường trung bình hình thang Các định lý a Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai G ABCD hình thang (đáy AB, CD ) T K EA ED, EF / / AB / / DC FB FC L b Định lý 2: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy G ABCD hình thang (đáy AB, CD ) T K EA ED, FB FC EF / / AB, EF / /CD, EF L B Bài tập áp dụng Tính x, y AB CD Bài 1: hình vẽ Lời giải Xét hình thang ABFE có Xét hình thang CDHG có CD AB EF 16 12 x 12cm 2 EF CD GH 12 y 16 y 20 2 Vậy x 12cm, y 20cm Bài 2: Cho hình thang ABCD AB / /CD , M trung điểm AD , N trung điểm BC Gọi P, Q theo thứ tự giao điểm MN với BD AC Cho CD 8cm , MN 6cm a Tính AB b Tính MP, PQ, QN Lời giải a Xét hình thang ABCD có M trung điểm AD , N trung điểm BC MN đường trung bình hình thang ABCD MN AB 2MN CD 4cm b Ta có: MP 1 AB 2cm, NQ AB 2cm PQ 6cm 2 Cho hình thang ABCD AB / /CD Gọi E , F Bài 3: trung điểm AD BC Phân giác góc A B cắt EF theo thứ tự I K a Chứng minh AIE , BKF tam giác cân b Chứng minh AID, BKC tam giác vuông c IE 1 AD, KF BC 2 d Cho AB 5cm, CD 13cm, AD 6cm, BC Tính IK ( AB CD) Lời giải µ µ ¶ a Ta có A1 I1 A2 AEI cân E , tương tự BKF cân F I$ Iµ1 Iµ2 1800 900 AID b vuông I , tương tự BKC vng K c Ta có AID vuông I E trung điểm d EF EI IK KF 9= AD EI AD 1 AD IK BC IK 2,5cm 2 Bài 4: Cho hình thang ABCD , đường phân A giác góc ngồi đỉnh A D cắt M Các đường phân giác M góc ngồi đỉnh B C cắt N a Chứng minh MN / / CD b Tính chu vi hình thang ABCD , biết M' B N 2 D C MN 4cm c MN có độ dài nửa chu vi hình thang ABCD Lời giải a Gọi M ' N ' giao điểm AM , BN vi DC ả A ả àA D µ 900 ·AMD 900 AMD D 2 Ta có: vng M DM đường cao, đường phân giác ADM ', BCN ' cân D C M , N trung điểm AM ' BN ' MN / / CD b Chu vi hình thang ABCD là: AB BC CD DA AB M ' D DC CN ' AB M ' N ' MN 8(cm) c Từ ý a ta có: MN AB M ' N ' N' mà: M ' N ' M ' D BC CN ' AD DC BC ADM '; BCN : can MN AB BC CD DA Bài 5: Cho tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Gọi G trọng tâm tam giác Vẽ đường thẳng BD, CE , MH , GI vng góc với Ay Chứng minh rằng: BD CE 2MH BD CE 3GI Lời giải Theo giả thiết M trung điểm BC nên AM trung tuyến ABC nên trọng tâm G tam giác nằm đường trung tuyến AM AG AM AJ JG GM 1 Gọi J trung điểm AG Vẽ JK Ay K Ay , ta có: JK / /GI / / MH / / BD / /CE 2 Ta hai hình thang vng BDEC JKHM AK KI IH Từ DH HE theo định nghĩa đường trung bình Do JK đường trung bình AIG GI , MH đường trung bình hình thang vng JKHM BDEC Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang vuông BDEC JKHM , ta được: BD CE MH 3 MH JK 2GI 4 JK GI Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác AIG , ta có: MH GI 2GI MH GI 2 Thay (5) vào (4) ta được: Thay (6) vào (3) ta được: BD CE 3GI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E , K , F B trung điểm AD, BC , AC A a Chứng minh EK / /CD, FK / / AB E ( AB CD) b So sánh EF F K D c Tìm điều kiện tứ giác ABCD để điểm E , F , K EF C thẳng hàng, chứng minh ( AB CD ) Lời giải 1 EF EK KF CD AB AB CD 2 b Xét A EFK , có c Để E , F , K thẳng hàng, EF đồng thời song song với AB, CD Tức tứ giác ABCD hình thang Cho hình thang M , N , P, Q AB / /CD EF AB CD ABCD AB / / CD Bài 2: Gọi A B trung điểm M AD, BD, AC , BC Chứng minh Q N P a) M , N , P, Q nằm đường D thẳng b) NP DC AB Lời giải a) Ta có MN đường trung bình hình thang ABCD MN / / AB Tương tự, ta được: MP / /CD; MQ / / AB, CD MN , MP, MQ / / AB dpcm C 1 DC AB MP MN MP MN NP b) Ta có: Cho hình thang ABCD AB / / CD với Bài 3: AB a, BC b, CD c, DA d Các tia phân giác góc A D cắt E , tia phân giác góc B C cắt F Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AD BC a) Chứng minh M , E , N , F nằm đường thẳng b) Tính độ dài MN , MF , NF theo a, b, c, d Lời giải a) Gọi P Q giao điểm AE , AF với CD Chứng minh tương tự b) Ta có: MN 1 ( AB CD ) (a c) 2 Lại có: c CD CQ QD BC QD b QD BCD : can QD c b Trong hình thang ABQD có M trung điểm AD MF / / DQ nên chứng minh F trung điểm BQ , từ chứng minh MF đường trung bình hình thang ABQD Vì MF đường trung bình hình thang ABQD MF 1 ( AB DQ) (a c b ) 2 1 FN CQ b 2 Mặt khác, FN đường trung bình tam giác BCQ , tức Bài 4: Cho hình M , N , P, Q thang ABCD AB / / CD Gọi A B trung điểm M AD, BD, AC , BC Chứng minh Q N P a) M , N , P, Q nằm đường D thẳng b) NP C DC AB Lời giải a) Ta có MN đường trung bình hình thang ABCD MN / / AB Tương tự, ta được: MP / /CD; MQ / / AB, CD MN , MP, MQ / / AB đpcm 1 DC AB MP MN MP MN NP b) Ta có: Bài 5: Cho tứ giác ABCD Có G trung điểm đoạn nối trung điểm hai đường chéo AC BD Gọi m đường thẳng khơng cắt cạnh hình thang ABCD ; Gọi A ', B ', C ', D ', G ' hình chiếu A, B, C , D, G minh GG ' lên đường thẳng m Chứng A ' A BB ' CC ' DD ' Lời giải Gọi E F trung điểm AC BD ; E ' F ' hình chiếu E , F đường thẳng m Khi đó, GG ' đường trung bình hình thang EE ' FF ' GG ' 1 EE ' FF ' 2 Mà EE ' FF ' đường trung bình hình thang AA ' C ' C BB ' D ' D EE ' 1 AA ' CC ' ; FF ' BB ' DD ' 2 Thay vào (1) ta đpcm ... DH HE theo định nghĩa đường trung bình Do JK đường trung bình AIG GI , MH đường trung bình hình thang vng JKHM BDEC Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang vuông BDEC JKHM , ta... QD c b Trong hình thang ABQD có M trung điểm AD MF / / DQ nên chứng minh F trung điểm BQ , từ chứng minh MF đường trung bình hình thang ABQD Vì MF đường trung bình hình thang ABQD MF ... giải Gọi E F trung điểm AC BD ; E ' F ' hình chiếu E , F đường thẳng m Khi đó, GG ' đường trung bình hình thang EE ' FF ' GG ' 1 EE ' FF ' 2 Mà EE ' FF ' đường trung bình hình thang AA '