HC1 04 duong trung binh cua tam giac

[Document title] Toán Họa PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Định lí 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba Định lí 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh III BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD  AB Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE  AC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D đến AD, K chân đường vng góc kẻ từ C đến AE a) Chứng minh HK song song với DE b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC 10 Bài 2: Cho ABC có AB  AC , AH đường cao Gọi M, N, K trung điểm AB, AC, BC a) Chứng minh MNKH hình thang cân b) Trên tia AH AK lấy điểm E D cho H trung điểm AE K trung điểm AD Chứng minh tứ giác BCDE hình thang cân Bài 3: Cho ABC có trung tuyến AM, I điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC D a) Nếu AD  DC Khi chứng minh I trung điểm AM b) Nếu I trung điểm AM Khi chứng minh AD  1 DC , ID  BD DC c) Nếu Khi cạnh AB lấy điểm E cho AB  AE Chứng minh BD, CE, AM đồng quy AD  Bài 4: Dùng tính chất đường trung bình tam giác chứng minh tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AB = CD Gọi E, F trung điểm AC, DB · · Đường thẳng EF cắt AB, CD H,K Chứng minh rằng: KHB  HKC Bồi dưỡng lực học mơn Tốn [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN Tốn Họa ABCD  AB PCD  Bài 6: Hình thang cân có AB  cm, CD  10 cm, BD  cm Tính khoảng cách từ trung điểm I BD đến cạnh CD Bài 7: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Gọi I trung điểm AH, E giao điểm BI AC Tính độ dài AE EC, biết AH  12 cm, BC  18 cm Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M trung điểm HC, K trung điểm AH Chứng minh BK vng góc với AM Bài 9: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Gọi K hình chiếu vng góc H lên AC Gọi I trung điểm HK Chứng minh rằng: AI ^ BK KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: a) D ABD cân B, đường cao BH nên BH đồng thời đường trung tuyến nên AH = HD Tương tự AK = K E nên HK đường trung bình D ADE nên HK / / DE ; b) HK  HK = DE DE 10   5 cm 2 (vì DE = DB + BC + CF = AB + BC + CA = 10 cm ) Bài 2: a) MN đường trung bình D ABC Þ MN / / BC Þ MN / / HK , hay MI / / BH MI / / BH MA = MB Þ IA = I H · · D MAH cân A nên HMI = IMA (1) NK đường trung bình D ABC Þ NK / / AB · · Þ MNK = IMA (hai góc vị tri so le trong) (2) Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa · · · · Từ (1) (2) suy HMI = MNK (so le trong) hay HMN = MNK · · Tứ giác MNHK có MN / / HK nên tứ giác hình thang, lại có HMN = MNK hình thang cân b) HK đường trung bình AED  HK //ED hay BC //ED nên tứ giác BCDE hình thang  NK đường trung bình ACD  NK //CD mà NK / / AB nên AB / / CD ·  ·ABH  BCD (so le trong) (3) Dễ thấy ABE cân B BH vừa đường cao vừa trung tuyến ·  BH phân giác ·ABE  ·ABH  HBE (4) · · · · Từ (3), (4)  HBE  BCD hay  CBE  BCD · · Hình thang BCDE có CBE  BCD  tứ giác BCDE hình thang cân Bài 3: a) Khi AD  DC Gọi N trung điểm DC, MN đường trung bình D BCD Þ MN / / BD Þ MN / / I D D AMN có MN / / ID AD = DN Þ AI = I M b) Khi AI = IM Kẻ MN / / BD Xét D AMN ta có ID / / MN AI = IM nên AD = DN Xét D BCD có MN / / BD;MB = MC nên ND = NC Vậy ID  BD c) Khi AD  AD  DC , dễ dàng DC AB  AE Ta có I giao điểm BD AM Gọi F trung điểm BE Ta có MF đường trung bình D BEC Þ FM / / CE Bồi dưỡng lực học mơn Tốn [Document title] Tốn Họa PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN DC IA = IM (theo câu a) nên EI đường trung bình D AFM Þ EI / / FM AD  Có FM / / CE EI / / FM nên E, I, C thẳng hàng hay EC qua điểm I Bài 4: Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Khi D BCD cân C nên BC = CD 1 D BCD Þ AM = DC = BC 2 AM đường trung bình Bài 5: E trung điểm AC, F trung điểm BD Gọi M trung điểm BC Nên EM đường trung bình ABC  EM  AB · · EM / / AB Þ MEF = AHK Và FM đường trung bình BCD  FM  CD · · FM/ / CD Þ EFM = HKD Mà AB = CD nên AB = CD Þ VFME cân · · · · D Þ MEF = AHK = EFM = HK · · D Þ K · HB = HK · C Þ AHK = HK (kề bù) Bài 6: Kẻ BH  CD,IK  CD Ta có: CH  CD  AB 10   3 2 (cm) 2 2 2 Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔBHC , ta có: BH  BC  CH    16   BH  cm Bồi dưỡng lực học mơn Tốn [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN Tốn Họa Tam giác BDH có BI  ID IK PBH nên IK đường trung bình  IK  BH  2 2 (cm) Bài 7: Kẻ HK // BE ta chứng minh AE = EK = KC Kết quả: AE = 5cm, EC = 10cm Bài 8: Tam giác AHC có AK  KH HM  MC  MK đường trung bình ΔAHC  MK PA C Ta lại có A C  AB nên MK  AB Tam giác ABM có: A H  BM MK  AB  K trực tâm, suy BK  AM Bài 9: Gọi J trung điểm KC, ta có IJ đường trung bình tam giác KHC Do IJ / / HC Þ IJ ^ AH Trong tam giác AHJ có IJ ^ AH,HI ^ AJ Từ đó, I trực tâm tam giác AHJ  AI  HJ (1) Trong tam giác BKC, HJ đường trung bình, suy HJ / / BK (2) Từ (1) (2) suy AI ^ BK Bồi dưỡng lực học môn Toán ... = DC = BC 2 AM đường trung bình Bài 5: E trung điểm AC, F trung điểm BD Gọi M trung điểm BC Nên EM đường trung bình ABC  EM  AB · · EM / / AB Þ MEF = AHK Và FM đường trung bình BCD  FM ... MK đường trung bình ΔAHC  MK PA C Ta lại có A C  AB nên MK  AB Tam giác ABM có: A H  BM MK  AB  K trực tâm, suy BK  AM Bài 9: Gọi J trung điểm KC, ta có IJ đường trung bình tam giác... khoảng cách từ trung điểm I BD đến cạnh CD Bài 7: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Gọi I trung điểm AH, E giao điểm BI AC Tính độ dài AE EC, biết AH  12 cm, BC  18 cm Bài 8: Cho tam giác ABC