1 ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1 Nhận biết tam giác cân, tam giác đều Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau Bài 1 Bà[.]
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Nhận biết tam giác cân, tam giác Vận dụng tính chất tam giác cân, tam giác để tính số đo góc chứng minh góc nhau, cạnh Bài Bài 1: Bài Bài Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? E Q K G 36° 70° I 40° 60° J 36° N R S M Lời giải: a) Trong KIJ có K + I + J = 180 Ta có K = 180 − I − J = 70 K =I IJK cân J b) Ta có: QRS có QR = QS QRS = 60 QRS Suy QRN = QSM (c.g.c) QN = QM QMN cân c) Ta có DGF = 72 DGE = 108; DEF = 36 Xét DEF có EDF = EFD = 72 suy DEF cân E Xét DFG có DGF = DFG = 72 DFG cân D Xét DGE có EDG = DEG = 36 DGE cân G Bài Tìm số đo x hình vẽ sau: T X 70° S V Y Lời giải: Vì TS = TY nên TSY cân T D 72° F TYS = S = 70 Vì TY = YV nên TYV cân Y YTV = V = x Ta có TYS góc ngồi TYV nên TYS = YTV + V = x = 70 x = 35 Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Trên đường thẳng AB lấy điểm D cho BD = BC ( D A khác phía so với B ) Tính số đo góc tam giác ADC Lời giải: D B A C Có ABC = ACB = 45 CBD = 135 Tam giác BCD cân B suy ADC = BCD = 180 − 135 = 22,5 Suy ACD = 67,5 Bài Cho ABC cân A Trên cạnh AC , AB lấy M , N cho AM = AN a) Chứng minh ABM = ACN b) Gọi O giao điểm BM CN Chứng minh tam giác OBC cân Lời giải: A N M O C B a) Xét AMB ANC ta có: AM = AN (gt) BAC góc chung AB = AC ( ABC cân A ) Suy AMB = ANC (c.g.c) ABM = ACN b) Ta có: ABC = ABM + MBC , ACB = ACN + NCB Mà ABM = ACN (cmt), ABC = ACB ( ABC cân A ) Do MBC = NCB Hay OBC = OCB OBC cân O Bài Cho xOy = 60°, điểm A thuộc tia phân giác xOy Kẻ AC ⊥ Oy ( C Oy ) Tam giác OBC tam giác gì? Tại sao? AB ⊥ Ox ( B Ox ) Lời giải: y B A O C x Xét ABO ACO ta có: AOB = AOC (vì OA phân giác xOy ) ABO = ACO = 90 OA cạnh chung Suy ABO = ACO (ch.gn) OB = OC OBC cân O OBC có BOC = 60 OBC Bài Cho tam giác ABC vuông A , BC = AB D trung điểm cạnh AC Đường thẳng vng góc với AC D cắt BC E Chứng minh b) ABE a) EAC cân Lời giải: B E D A C a) Xét EAD ECD có DA = DC; EDA = EDC; ED chung suy EDA = ECD Suy EA = EC ECA cân ABE + ECA = 90 b) Ta có ECA = EAC ABE + EAC = 90 BAE = EBA (cùng phụ góc BAE ) Suy ABE cân E EC = BE = EA = AB = AB ABE Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A( AB AC ) Tia phân giác góc A cắt BC D Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BC D , cắt AC F Trên AB lấy điểm F cho AE = AF Chứng minh b) DBF tam giác cân; a) ABC = DEC ; c) DB = DE Lời giải: B D F A C E a) Ta có ABC + ACB = 90; ACB + DEC = 90 suy ABC = DEC b) Xét FAD EAD có: AD chung; FAD = EAD; AF = AE Suy FAD = EDA (c.g.c) DFA = DEA; DFB = DEC mà ABC = DEC ABC = DFB DBF cân D c) Ta có FAD = EDA DE = DF (1) Tam giác DBF cân D DB = DF (2) Từ (1) (2) suy DB = DE Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải tốn Bài Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B = 40 Tính số đo góc ABC Lời giải: A 40° B C Vì A nằm đường trung trực BC nên AB = AC Suy ABC cân A Tính được: ACB = 40 , BAC = 100 Bài Cho ABC cân A có A 90 Các đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự D E hai trung trực cắt F a) Biết A = 110 Tính số đo góc DAE b) Chứng minh BAC = DAE + 180 c) Tính số đo DFE Lời giải: A B D E F a) ABC cân A B=C = 180 − BAC 180 − 110 = = 35 2 Ta có D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB DA = DB C ADB cân D B = A1 = 35 Tương tự E nằm đường trung trực đoạn thẳng AC EA = EC AEC cân E C = A3 = 35 DAE = BAC − A1 − A3 = 110 − 2.35 = 40 b) Ta có: DAE + 180 = A2 + ( B + C + BAC ) = A2 + A1 + A3 + BAC = BAC + BAC = 2BAC Vậy BAC = DAE + 180 Bài Cho góc xOy Từ điểm A nằm góc kẻ AH vng góc với Ox ( H thuộc Ox ) AK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ) Trên tia đối tia HA lấy điểm B cho HB = HA Trên tia đối tia KA lấy điểm C cho KC = KA Chứng minh OB = OC Lời giải: y C K A H O x B Ox đường trung trực AB , O AB Nên OA = OB (1) Tương tự ta có Oy đường trung trực AC , O AC Nên OA = OC (2) Từ (1) (2) suy OB = OC Bài Cho ABC vuông A M trung điểm cạnh AB Đường trung trực cạnh AB cắt cạnh BC N Gọi I giao điểm CM AN a Chứng minh ANB tam giác cân So sánh: NAB NBA b Chứng minh N trung điểm BC c Nếu IB = IC , tính số đo ABC Lời giải: B B N M M N I I 2 C A C A a) Vì N nằm đường trung trực đoạn AB nên NA = NB ANB tam giác cân đỉnh N b) ANB tam giác cân đỉnh N nên B = A1 ABC vuông A nên B + ACB = 90 Mà A1 + A2 = 90 Nên A2 = ACB Suy ANC cân N AN = NC Mà NA = NB nên NB = NC Do N trung điểm BC c) Nếu IB = IC mà NB = NC nên IN đường trung trực BC Mà A IN nên AB = AC Khi ABC vng cân A ABC = 45 Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Bài Cho xOy = 90 Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B Kẻ đường trung trực HM đoạn thẳng OA ( H OA , M AB ) Chứng minh M thuộc đường trung trực OB Lời giải: y B M O H A x Ta có HM đường trung trực đoạn thẳng OA nên MA = MO OMA cân M O2 = A1 Mặt khác, A1 + B1 = O2 + O1 = 90 O1 = B1 MO = MB Vậy M thuộc trung trực OB Bài Cho tam giác ABC có cân A Gọi H trung điểm BC a) Chứng minh ABH = ACH b) Chứng minh AH đường trung trực BC c) Trên tia đối tia HA lấy điểm I cho HA = HI Chứng minh rằng: IC // AB d) Chứng minh CAH = CIH A H B C I a) ABH ACH có: AB = AC (gt) AH cạnh chung HB = HC ( H trung điểm BC ) Suy ra: ABH = ACH (c-c-c) b) Ta có: AHB + AHC = 180 ( góc kề bù) Mà AHB = AHC ( ABH = ACH ) AHB = 900 AH ⊥ BC Mà H trung điểm BC (gt) Nên AH đường trung trực BC c) ABH IHC có: HA = HI (gt) AHB = IHC (đối đỉnh) HB = HC ( H trung điểm BC ) Suy ra: ABH = IHC (c-g-c) BAH = CIH Mà BAH CIH vị trí so le Nên IC // AB d) Ta có: BAH = CAH ( ABH = ACH ) Mà BAH = CIH ( cm trên) Nên CAH = CIH Bài Cho tam giác ABC có AB AC Xác định điểm D AC cho DA + DB = AC Lời giải: A D B C Ta có: AC = DA + DC Nên DA + DB = AC DA + DB = AD + DC DB = DC D thuộc đường trung trực BC Vậy D giao điểm AC với đường trung trực BC DA + DB = AC Bài Cho bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình có AB // CD BC // AD hình vẽ Giao điểm AC BD O Từ O vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC , AD M , N Chứng minh AC trung trực MN AM = MC = CN = NA Lời giải: B M C O A N Chứng minh được: BAC = DCA (g.c.g) nên BC = AD ; BOC = DOA (g.c.g) nên OC = AO Do BC // AD nên MCO = NAO (so le trong) D MOC = NOA OM = ON , AC ⊥ MN trung điểm MN nên AC trung trực MN Suy AM = AN CM = CN , MN trung trực AC nên AM = MC Suy AM = MC = CN = NA Bài Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H Từ H kẻ đường thẳng song song với AI , cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh: a) Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC ; b) Khi H di động đoạn thẳng IC đường trung trực đoạn thẳng EF ln cố định Lời giải: E A F B I H C a) Vì HE // AI nên E = A1 (đồng vị) F1 = A2 (so le trong) Mà A1 = A2 , E = F1 AEF cân A AE = AF Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC b) Vì EF // AI nên đường trung trực EF vng góc với AI Từ kết ý a), suy đường trung trực EF qua điểm A vng góc với AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF cố định 10 PHIẾU BÀI TẬP Dạng Nhận biết tam giác cân, tam giác Vận dụng tính chất tam giác cân, tam giác để tính số đo góc chứng minh góc nhau, cạnh 11 Bài Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? Giải thích sao? E D A I 80° 60° 50° B C M G K F H Bài Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? Giải thích sao? F M E G H D L O N P Bài Cho tam giác ABC cân A Tính số đo góc cịn lại tam giác ABC biết: a) A = 40°; c) C = 60° b) B = 50°; Bài Tìm số đo x hình vẽ sau: B C x D A Bài Cho tam giác ABD cân A có A = 40° Trên tia đối tia DB lấy điểm C cho DC = DA Tính số đo góc ACB Bài Cho tam giác ABC vuông A , B = 30 Trên cạnh BC lấy M cho AM = BM Chứng minh AMC Bài Cho tam giác ABC Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D Qua D kẻ đường thẳng song song với BC , cắt cạnh AB E Chứng minh tam giác EBD cân Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D Trên cạnh AB AC lấy điểm E F cho AE = CF Chứng minh ABD, ADC, AEF vuông cân 12 Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm M, N , P cho AM = BN = CP Chứng minh tam giác MNP Bài 10 Cho tam giác ABC cân A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D , tia phân giác góc C cắt cạnh AB E Chứng minh tam giác ADE cân Bài 11 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D , tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Chứng minh tam giác ADE cân Bài 12 Cho xOy = 120°, điểm A thuộc tia phân giác xOy Kẻ AB ⊥ Ox ( B Ox ) AC ⊥ Oy ( C Oy ) Tam giác ABC tam giác gì? Tại sao? Bài 13 Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°) Kẻ BD vng góc với AC D , kẻ CE vng góc với AB E a) Chứng minh tam giác ADE cân b) Chứng minh DE // BC c) Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh IB = IC d) Chứng minh AI ⊥ BC Bài 14 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm M cạnh BC (MB MC ) Trên tia đối tia CB lấy điểm N cho BM = CN Đường thẳng qua M vng góc với BC cắt AB E Đường thẳng qua N vng góc BC cắt AC F a) Chứng minh: EM = FN b) Qua E kẻ ED // AC ( D BC ) Chứng minh MB = MD c) EF cắt BC O Chứng minh OE = OF Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán I Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng II Bài tốn Bài Cho hai điểm A , B nằm đường trung trực đoạn thẳng MN , Chứng minh MAB NAB ABC cân B Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC Chứng minh ABD CBD Bài Cho Bài Tam giác ABC vng A có C = 30 Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD AC Tính số đo góc BDA Bài Cho góc vng xOy Điểm M nằm góc Vẽ điểm N P cho tia Ox đường trung trực MN Oy đường trung trực MP a) Chứng minh ON = OP b) Chứng minh ba điểm P , O , N thẳng hàng 13 Bài Cho ABC vuông A Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC H , cắt BC D Nối A D a) So sánh số đo góc DAB DBA b) Chứng minh D trung điểm BC Bài Cho ABC Các đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự M N a) Biết B = 30 , C = 45 Tính số đo góc BAC MAN b) Chứng minh MAN = BAC − 180 Bài Cho góc vuông xOy Trên tia Ox , Oy lấy hai điểm A B (không trùng với O ) Đường trung trực đoạn thẳng OA OB cắt M Chứng minh: a) A , M , B thẳng hàng b) M trung điểm AB Bài ABC có B − C = 30° Đường trung trực BC cắt AC K a) Chứng minh KBC = KCB b) Tính số đo góc ABK c) Biết AB = cm , AC = cm Tính chu vi tam giác ABK Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Bài Cho đoạn thẳng AB = cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính cm đường trịn tâm B bán kính cm Hai đường trịn cắt D , E Chứng minh: a) Điểm A thuộc đường trung trực DE b) AB đường trung trực DE Bài Cho đoạn thẳng AB Dựng tam giác cân MAB , NAB M N ( M , N nằm khác phía so với AB ) Chứng minh: a) Điểm M thuộc đường trung trực AB ; b) MN đường trung trực AB Bài Cho ABC , đường phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh: a) BD = DE ; b) AD đường trung trực BE Bài Cho DEF có DE = DF Lấy điểm K nằm tam giác cho KE = KF Kẻ KP vng góc với DE ( P DE ), KQ vng góc với DF ( Q DF ) Chứng minh: a) K thuộc đường trung trực EF PQ ; b) DK đường trung trực EF PQ Từ suy PQ // EF 14 Bài Cho ABC cân A , M trung điểm BC ME vng góc với AB , MF vng góc với AC Chứng minh: a) AM trung trực của BC ; b) ME = MF AM trung trực EF ; c) EF // BC Bài Cho góc xOy khác góc bẹt Oz tia phân giác xOy Gọi M điểm thuộc tia Oz Qua M vẽ đường thẳng a vng góc với Ox A, cắt Oy C vẽ đường thẳng b vng góc với Oy B , cắt Ox D Chứng minh: a) Điểm O thuộc đường trung trực AB ; b) OM đường trung trực AB ; c) OM đường trung trực CD d) AB // CD Bài Cho hai điểm A , B nằm phía với đường thẳng d Xác định vị trí điểm M đường thẳng d cho M cách hai điểm A B Bài Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°) Đường trung trực cạnh AC cắt tia CB điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh.: a) Chứng minh ADC cân; b) Chứng minh DAC = ABC ; c) Chứng minh AD = CE ; d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh CF đường trung trực DE Bài Cho ABC nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q đối xứng với H qua AB ; AC a) Chứng minh AP = AQ b) Gọi I , K giao điểm PQ với AB , AC Chứng minh API = AHI AHK = AQK c) Chứng minh HA tia phân giác IHK d) Cho BAC = 60° Tính số đo góc PAQ Bài 10 Cho tam giác ABC vng A Tia phân giác B cắt AC E Từ E kẻ EH vng góc với BC H a) Chứng minh: ABE = HBE b) Chứng minh BE đường trung trực đoạn thẳng AH c) Kẻ AD ⊥ BC ( D BC ) Chứng minh AH tia phân giác DAC Phần III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI 15 Dạng Nhận biết tam giác cân, tam giác Vận dụng tính chất tam giác cân, tam giác để tính số đo góc chứng minh góc nhau, cạnh Bài 1: Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? E Q K G 36° 70° I 40° 60° J 72° 36° N R S M F D Bài Tìm số đo x hình vẽ sau: T X 70° S V Y Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Trên đường thẳng AB lấy điểm D cho BD = BC ( D A khác phía so với B ) Tính số đo góc tam giác ADC Bài Cho ABC cân A Trên cạnh AC , AB lấy M , N cho AM = AN a) Chứng minh ABM = ACN b) Gọi O giao điểm BM CN Chứng minh tam giác OBC cân Bài Cho xOy = 60°, điểm A thuộc tia phân giác xOy Kẻ AC ⊥ Oy ( C Oy ) Tam giác OBC tam giác gì? Tại sao? AB ⊥ Ox ( B Ox ) Bài Cho tam giác ABC vuông A , BC = AB D trung điểm cạnh AC Đường thẳng vng góc với AC D cắt BC E Chứng minh b) ABE a) EAC cân Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A( AB AC ) Tia phân giác góc A cắt BC D Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BC D , cắt AC F Trên AB lấy điểm F cho AE = AF Chứng minh a) ABC = DEC b) DBF tam giác cân c) DB = DE Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải tốn Bài Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B = 40 Tính số đo góc ABC 16 Bài Cho ABC cân có A 90 Các đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự D E hai trung trực cắt F a) Biết A = 110 Tính số đo góc DAE b) Chứng minh BAC = DAE + 180 c) Tính số đo DFE Bài Cho góc xOy Từ điểm A nằm góc kẻ AH vng góc với Ox ( H thuộc Ox ) AK vng góc với Oy ( K thuộc Oy ) Trên tia đối tia HA lấy điểm B cho HB = HA Trên tia đối tia KA lấy điểm C cho KC = KA Chứng minh OB = OC Bài Cho ABC vuông A M trung điểm cạnh AB Đường trung trực cạnh AB cắt cạnh BC N Gọi I giao điểm CM AN a Chứng minh ANB tam giác cân So sánh: NAB NBA b Chứng minh N trung điểm BC c Nếu IB = IC , tính số đo ABC Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Bài Cho xOy = 90 Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B Kẻ đường trung trực HM đoạn thẳng OA ( H OA , M AB ) Chứng minh M thuộc đường trung trực OB Bài Cho tam giác ABC có AB AC Xác định điểm D AC cho DA + DB = AC Bài Cho bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình có AB // CD BC // AD hình vẽ Giao điểm AC BD O Từ O vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC , AD M , N Chứng minh AC trung trực MN AM = MC = CN = NA B M C O A N D Bài Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác B cắt AC E Từ E kẻ EH vng góc với BC H a) Chứng minh: ABE = HBE b) Chứng minh BE đường trung trực đoạn thẳng AH c) Kẻ AD ⊥ BC ( D BC ) Chứng minh AH tia phân giác DAC 17 Bài Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H Từ H kẻ đường thẳng song song với AI , cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh: a) Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC ; b) Khi H di động đoạn thẳng IC đường trung trực đoạn thẳng EF cố định 18 ... = EDA DE = DF (1) Tam giác DBF cân D DB = DF (2) Từ (1) (2) suy DB = DE Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải tốn Bài Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B... Ox đường trung trực AB , O AB Nên OA = OB (1) Tương tự ta có Oy đường trung trực AC , O AC Nên OA = OC (2) Từ (1) (2) suy OB = OC Bài Cho ABC vuông A M trung điểm cạnh AB Đường trung trực... = CE Chứng minh tam giác ADE cân Bài 12 Cho xOy = 120 °, điểm A thuộc tia phân giác xOy Kẻ AB ⊥ Ox ( B Ox ) AC ⊥ Oy ( C Oy ) Tam giác ABC tam giác gì? Tại sao? Bài 13 Cho tam giác ABC cân