HH6 CHUYÊN đề 3 CHỦ đề 2 đoạn THẲNG, độ dài đoạn THẲNG, TRUNG điểm của đoạn THẲNG

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC HH6 CHUYÊN ĐỀ - ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC CHỦ ĐỀ 2: ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Đoạn thẳng hình gồm điểm A , điểm B tất điểm nằm A B Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương AB = CD ⇔ AB CD có độ dài AB < CD ⇔ độ dài đoạn thẳng AB nhỏ độ dài đoạn thẳng CD AB > CD ⇔ độ dài đoạn thẳng AB lớn độ dài đoạn thẳng CD Điểm nằm hai điểm: Nếu điểm M nằm điểm A điểm B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Nếu AM + MB ≠ AB điểm M khơng nằm A B TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm hai điểm M B AM + MN + NB = AB VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM = a (đơn vị dài) Trên tia Ox , OM = a , ON = b < a < b hay OM < ON điểm M nằm hai điểm O N Trên tia Ox có điểm M , N , P , OM = a ; ON = b , OP = c < a < b < c hay OM < ON < OP điểm N nằm hai điểm M P TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB thì: Điểm M nằm hai điểm A , B MA = MB = AB Nếu M nằm hai đầu đoạn thẳng AB MA = AB M trung điểm đoạn AB Mỗi đoạn thẳng có trung điểm PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng chứng minh điểm nằm I.Phương pháp giải Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng nhận xét sau:  • Nếu điểm M nằm điểm A điểm B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B • Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm hai điểm M B AM + MN + NB = AB • Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA = MB = AB  Để chứng minh điểm nằm hai điểm ta thường sử dụng nhận xét sau: • Nếu AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC • Trên tia Ox , OM = a , ON = b < a < b hay OM < ON điểm M nằm hai điểm O N • Nếu tia OM tia ON hai tia đối điểm O nằm hai điểm M N II.Bài toán Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = cm Gọi C điểm nằm A B , AC = cm M trung điểm BC Tính BM Lời giải: Vì điểm C nằm hai điểm A B Nên AC + BC = AB ⇒ + BC = Suy BC = − = (cm) Vì M trung điểm đoạn thẳng BC Nên BM = BC = = (cm) 2 Bài 2: Cho đoạn thẳng AB = cm M điểm nằm hai điểm A B Gọi C D trung điểm đoạn thẳng AM MB Tính độ dài đoạn thẳng CD Lời giải: Vì điểm M nằm hai điểm A B nên AM + MB = AB Vì C D trung điểm đoạn thẳng AM MB nên ta có: CM = AM MB , MD = 2 Vì M nằm A B , C nằm A M , D nằm M B , suy M nằm C D Do CD = CM + MD = AM MB AB + = = = (cm) 2 2 Bài 3: Trên tia Ox cho điểm A , B , C , D biết A nằm B C ; B nằm C D ; OA = cm, OD = cm, BC = cm độ dài đoạn AC gấp đôi độ dài đoạn BD Tính độ dài đoạn BD , AC TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Lời giải: Vì A nằm B C nên BA + AC = BC ⇒ BA + AC = ⇒ AC = − AB ( 1) Vì A nằm B C ; B nằm C D ⇒ B nằm A D Trên tia Ox , ta có OD < OA ( < ) Nên điểm D nằm hai điểm O A Suy : OD + DA = OA ⇒ + DA = ⇒ DA = (cm) Vì B nằm hai điểm A D Nên DB + BA = DA ⇒ DB + BA = ( 2) ⇒ BD = − AB Từ ( 1) ( ) ta có: AC − BD = Theo đề ra: AC = BD thay vào ( 3) ( 3) Ta có BD − BD = ⇒ BD = (cm) ⇒ AC = BD ⇒ AC = (cm) Vậy AC = (cm), BD = (cm) Bài 4: Đoạn thẳng AB = 36 cm chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài khơng theo thứ tự đoạn thẳng AM , MN , NP PB Gọi E , F , G , H theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM , MN , NP, PB Biết độ dài đoạn thẳng EH = 30 cm Tính độ dài đoạn thẳng FG Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Vì đoạn thẳng AB chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không theo thứ tự đoạn thẳng AM , MN , NP , PB nên suy điểm M , N , P nằm hai điểm A , B theo thứ tự M nằm A N , N nằm M P , P nằm N B Mặt khác : E , F , G , H theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM , MN , NP , PB nên điểm E nằm hai điểm A H , điểm H nằm hai điểm E B Do ta có: AE + EH + HB = AB Mà AB = 36 , EH = 30 Suy ra: AE + 30 + HB = 36 ( 1) ⇒ AE + HB =36 – 30 = Mà AE = AM PB HB = (do E H trung điểm AM PB ) 2 ( 2) Từ ( 1) ( ) ta có : AE + HB = AM PB AM + PB + = =6 2 ⇒ AM + PB = 12 (cm) Vì điểm M , N , P nằm hai điểm A , B theo thứ tự M nằm A N , N nằm M P , P nằm N B nên ta có: AM + MP + PB = AB Suy ra: MP = AB – ( AM + PB ) =36 –12 ⇒ MP = 24 ( cm ) Mặt khác F , G trung điểm MN , NP nên ta có: FN = Do ta có: FN + NG = MN NP ; NG = 2 MN NP MN + NP + = (*) 2 Theo đề bài, thứ tự điểm chia thứ tự trung điểm đoạn thẳng N điểm nằm hai điểm F , G N điểm nằm hai điểm M , P Do ta có: FN + NG = FG , MN + NP = MP Thay vào (*) ta có: FG = MP 24 = = 12 (cm) 2 Vậy độ dài đoạn thẳng FG 12 (cm) Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài 28 cm chia thành ba đoạn thẳng không theo thứ tự AC , CD DB Gọi E , F trung điểm đoạn thẳng AC , DB Biết độ dài đoạn EF = 16 cm TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Tìm độ dài đoạn CD Lời giải: Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AC , CD DB Vậy hai điểm C , D nằm hai điểm A B Vì E trung điểm AC nên AE = F trung điểm DB nên FB = Từ ( 1) ( ) có : AE + FB = AC ( 1) DB ( 2) AC DB AC + BD + ⇒ AE + FB = 2 Vì điểm E điểm F nằm hai điểm A , B điểm E nằm hai điểm A , F Nên: AE + EF + FB = AB ⇒ AE + FB = AB − EF Suy AE + FB = AC + BD = 28 − 16 = 12 Suy ra: AC + BD = 24 (cm) Vậy đoạn CD = AB - ( AC + BD ) = 28 - 24 = (cm) Bài 6: Cho đoạn thẳng AB = cm Trên tia đối tia AB lấy điểm C Biết E trung điểm đoạn thẳng CA , F trung điểm đoạn thẳng CB a) Chứng tỏ độ dài đoạn CB lớn độ dài đoạn CA b) Tìm độ dài đoạn EF Lời giải: a) Điểm C thuộc tia đối tia AB nên điểm A nằm hai điểm B , C Suy BC = BA + AC Mà BA, AC , BC > Suy độ dài đoạn CB lớn độ dài đoạn CA b) Vì F trung điểm đoạn CB , nên : CF = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CB ( 1) Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Vì E trung điểm đoạn CA , nên : CE = CA ( 2) Mà CA < CB ( câu a), nên CE < CF , chứng tỏ điểm E nằm hai điểm C , F Suy : CF = CE + EF ⇒ EF = CF - CE ( 3) Thay ( 1) ( ) vào ( 3) , ta có : EF = CB CA CB − CA AB − = = = = (cm) 2 2 Vậy EF = (cm) Bài 7: Vẽ tia Ax Trên tia Ax xác định hai điểm B C cho B nằm A , C AC = cm, AB = 3BC Tính độ dài đoạn AB, BC (Đề thi HSG huyện Hưng Hà 2020-2021) Lời giải: Vì điểm B nằm hai điểm A , C nên AB + BC = AC Mà AB = 3BC , AC = cm Suy ra:  3BC + BC =  8  ⇒ BC =  8  ⇒ BC = (cm) Do đó: AB = 2.3 = (cm) Vậy AB = (cm), BC = (cm) Bài 8: Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA = cm, OB = cm Gọi  I trung điểm đoạn thẳng OA , K trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dài đoạn thẳng AB , IK (Đề thi HSG huyện Nông Cống 2020 - 2021) Lời giải: Trên tia Ox , ta có OA < OB ( < ) nên điểm A nằm hai điểm O B Do đó: OA + AB = OB TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC ⇒ + AB = ⇒ AB = − = (cm) Vì  I trung điểm đoạn thẳng OA Nên OI = IA = OA = = (cm) 2 Vì K trung điểm đoạn thẳng AB Nên AK = KB = AB = = (cm) 2 Mà điểm A nằm hai điểm O B , điểm  I nằm hai điểm O A , K nằm hai điểm A B nên suy A nằm hai điểm I K Suy ra: AI + AK = IK ⇒ IK = + = (cm) Vậy AB = (cm), IK = (cm) Bài 9: Cho ba điểm A , O , B cho OA = cm, OB = cm AB = cm Lấy điểm M nằm đường thẳng AB cho OM = cm Tính độ dài đoạn thẳng AM ? (Đề thi HSG huyện Hoa Lư 2020-2021) Lời giải: Vì OA + OB = AB + = nên điểm O nằm hai điểm A B ⇒ O nằm đường thẳng AB hai tia OA , OB đối +) Trường hợp 1: M nằm tia OB Ta có: OM OA hai tia đối nên O nằm A M Khi đó: AM = AO + OM = + = (cm) +) Trường hợp 2: M nằm tia OA TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Trên tia OA , ta có OM < OA (do < ) nên điểm M nằm hai điểm O A Khi đó: OM + MA = OA ⇒ AM = OA − OM = − = (cm) Vậy AM = (cm), AM = (cm) Bài 10: Cho đoạn thẳng AB biết AB = 10 cm Lấy điểm C , D đoạn AB ( C , D không trùng với A , B ) cho AD + BC = 13 cm Chứng minh rằng: Điểm C nằm hai điểm A D Tính độ dài đoạn thẳng CD (Đề thi HSG huyện Gia Bình 2020-2021) Lời giải: 1) Vì điểm C nằm đọan AB nên điểm C nằm hai điểm A , B Suy AC + CB = AB ⇒ AC + CB = 10 ⇒ AC = 10 − CB ( 1) Theo ta có: AD + BC = 13 ⇒ AD = 13 − BC ( 2) Từ ( 1) ( ) suy AC < AD Trên tia AB có AC < AD nên điểm C nằm hai điểm A D 2) Vì điểm C nằm A D nên AC + CD = AD Ta có: AD + BC = 13 ⇒ AC + CD + BC = 13 ⇒ ( AC + BC ) + CD = 13 ⇒ AB + CD = 13 ⇒ CD = 13 − AB ⇒ CD = 13 − 10 = (cm) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Vậy CD = (cm) Dạng 2: Chứng minh điểm trung điểm đoạn thẳng, chứng minh đẳng thức độ dài có liên quan I.Phương pháp giải Để chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB , ta thường làm sau: Cách Bước 1: Chứng tỏ điểm M nằm A B Bước 2: Chứng tỏ MA = MB Cách Chứng minh MA = MB = AB Cách Bước 1: Chứng tỏ điểm M nằm A B Bước 2: Chứng tỏ MA = AB AB MB = 2 II Bài toán Bài 1: Gọi A B hai điểm tia Ox cho OA = cm, OB = cm Trên tia BA lấy điểm C cho BC = cm Tính độ dài đoạn thẳng AB AC Lời giải: Trên tia Ox , ta có: OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm hai điểm O B Suy AB + OA = OB ⇒ AB = OB − OA ; Mà OA = cm, OB = cm Nnên AB = − = (cm) Trên tia BA , ta có BA < BC (2 < 3) nên điểm A nằm hai điểm B C Suy AC + BA = BC ⇒ AC = BC − BA Mà BC = cm, AB = cm Do đó: AC = − = (cm) Vậy AB = (cm), AC = (cm) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Bài 2: Trên tia Ox cho điểm A , B , C , D Biết A nằm B C ; B nằm C D ; OA = cm, OD = cm, BC = cm AC = 3BD a) Tính độ dài AC b) Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD Lời giải: a) Đặt BD = x (cm) ⇒ AC = 3x (cm) Trên tia Ox có OD < OA ( < ) Nên điểm D nằm hai điểm O A Suy ra: OD + DA = OA ⇒ DA = OA − OD = − = (cm) Vì điểm B nằm hai điểm D C , điểm A nằm hai điểm B C Nên điểm B nằm hai điểm D A Suy DB + BA = DA ⇒ DB + BA = ⇒ x + BA = ( 1) Vì A nằm B C nên: BA + AC = BC hay x + BA = ( 2) Từ ( 1) ( ) ta có: (3x + BA) − ( x + BA) = − ⇒ 2x = ⇒ x = ⇒ AC = 3.2 = (cm) Vậy AC = (cm) b) Theo ( 1) ta có: x + BA = mà x = ⇒ BA = Mà BD = x = ⇒ BD = BA Mặt khác điểm B nằm điểm D A Suy B trung điểm đoạn thẳng AD Bài 3: Trên tia Ox lấy hai điểm M N , cho OM = cm ON = cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Lấy điểm P tia Ox , cho MP = cm Tính độ dài đoạn thẳng OP TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC c) Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN Lời giải: a) Trên tia Ox , ta có: OM < ON ( < ) nên M nằm hai điểm O N ⇒ OM + MN = ON ⇒ + MN = ⇒ MN = − = (cm) Vậy MN = (cm) b)TH1: P nằm M N Vì P nằm M N mà M nằm hai điểm O N Nên M nằm O P ⇒ OP = OM + MP ⇒ OP = + = (cm) TH2: P nằm O M Vì P nằm O M Nên OM = OP + PM ⇒ = OP + ⇒ OP = (cm) c)Vì M nằm O P nên MO + MP = OP ⇒ OP = + = (cm) Trên tia Ox , ta có OP < ON ( < ) nên P nằm O N ⇒ OP + PN = ON ⇒ + PN = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC ⇒ PN = (cm) Do đó: MP = PN ( 1) Trên tia Ox , ta có: OM < OP < ON ( < < ) nên P nằm M N ( 2) Từ ( 1) ( ) suy P trung điểm MN Bài 4: Cho điểm A , B , C nằm đường thẳng Các điểm M , N trung điểm đoạn thẳng AB , AC Chứng tỏ rằng: BC = MN Bài tốn có trường hợp, chứng tỏ trường hợp đó? Lời giải: - Trường hợp 1: Hai điểm B , C phía với A , tức hai tia AB , AC trùng * Trường hợp chia làm hai trường hợp nhỏ : AB > AC , AC > AB (hai trường hợp chứng minh tương tự) Giả sử: AC > AB Vì N trung điểm AC , nên: AN = NC = AC Vì M trung điểm AB , nên: AM = MB = AB ( 1) ( 2) Từ ( 1) ( ) ta có : AN − AM = ( 3) AC AB AC − AB − = 2 Ta xét AC > AB , nên điểm B nằm hai điểm A C Suy ra: AC = AB + BC => BC = AC − AB ( 4) AB < AC => AM < AN nên điểm M nằm hai điểm A N Suy ra: AN = AM + MN => MN = AN − AM ( ) Thay ( ) ( ) vào ( 3) , ta có: MN = BC hay BC = 2MN * Trường hợp 2: Hai tia AB AC đối Mà điểm M thuộc tia AB , điểm N thuộc tia AC TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Nên AM AN hai tia đối M trung điểm AB , nên: AM = MB = N trung điểm AC , nên: AN = NC = AB ( 6) AC ( 7) Từ ( ) ( ) có: AM + AN = AB + AC ( 8) Vì AB , AC hai tia đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm B , C ( 9) Suy ra: BC = BA + AC Vì M N thuộc hai tia đối AB , AC nên điểm A nằm hai điểm M , N ( 10 ) Suy ra: MN = AM + AN Thay ( ) ( 10 ) vào ( ) , ta có : MN = BC hay BC = 2MN Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài a chia thành ba đoạn thẳng hai điểm chia P , Q theo thứ tự đoạn AP , PQ , QB cho AP = PQ = 2QB Tìm khoảng cách giữa: a) Điểm A điểm I với I trung điểm QB b) Điểm E điểm I với E trung điểm đoạn AP Lời giải: a) Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AP , PQ , QB nên suy AB = AP + PQ + QB Mà AP = PQ = 2QB ( 1) Suy ra: PQ = QB ( 2) Vậy AB = 2QB + BQ + QB = 4QB ( 3) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Vì I trung điểm QB , nên : QI = IB = QB ( 4) I trung điểm QB , mà Q nằm hai điểm A , B nên I nằm hai điểm A , B ( 5) Suy ra: AB = AI + IB Từ ( 3) ta có: AB = 4QB ⇒ QB = AB QB AB QB AB ⇒ = ⇒ IB = QI = = 8 ( 6) Thay ( ) vào ( ) có: AB = AI + AB ⇒ AI = AB − ⇒ AI = AB AB − AB = 8 AB a = (cm) 8 b) Theo ( 3) ta có: AB = 4QB Theo ( 1) ta có: 2QB = AP Vậy ta suy ra: AB = AP ⇒ AP = AB Mà E trung điểm AP , nên EP = AP AB = ( 7) mà PQ = QB , Vậy : PQ = QB = AB ( 8) Theo đầu bài, đoạn AB chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP , PQ , QB ( 9) Suy EI = EP + PQ + QI Thay ( ) , ( ) , ( ) vào ( ) có: EI = ⇒ EI = AB AB AB + + 4 AB 5a ⇒ EI = (cm) 8 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Bài tập 6: Trên tia Ox vẽ điểm A , B , C cho OA = 12cm , OB = 19cm , OC = 26cm Điểm B có trung điểm đoạn thẳng AC hay khơng? Vì sao? Lời giải: Trên tia Ox ta có OA < OB (12 < 19 ) nên A nằm hai điểm O B Suy ra: OA + AB = OB ⇒ AB = OB − OA = 19 − 12 = (cm) ( 1) Trên tia Ox ta có OB < OC (19 < 26 ) nên điểm B nằm hai điểm O C Suy ra: OB + BC = OC ⇒ BC = OC − OB = 26 − 19 = (cm) ( 2) Từ ( 1) ( ) suy AB = BC ( 3) Mặt khác Trên tia Ox ta có OA < OB < OC ( 12 < 19 < 26 ) suy điểm B nằm hai điểm A C ( 4) Từ ( 3) ( ) ⇒ B trung điểm đoạn thẳng AC Bài tập 7: Cho đoạn thẳng AB trung điểm M Chứng tỏ C điểm thuộc đoạn thẳng MB CM = CA − CB Lời giải: Vì điểm M nằm hai điểm A C nên: CA = MA + CM ( 1) Vì điểm C nằm hai điểm M B nên: CM + CB = MB => CB = MB − CM Vì M trung điểm AB nên MA = MB = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ( 2) AB ( 3) Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Từ ( 1) , ( ) ( 3) ta được: CA − CB = 2CM Suy ra: CM = CA − CB Bài tập 8: Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA = a (cm), OB = b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB , biết b < a b) Xác định điểm M tia Ox cho OM = ( a + b) Lời giải: a) Trên tia Ox , ta có: OB < OA ( b < a ) nên điểm B nằm điểm O điểm A Suy ra: OB + AB = OA Suy ra: AB = OA − OB = a − b a + b 2b + a − b a −b = =b+ = b) Vì M nằm tia Ox OM = ( a + b) = 2 2 OB + OA − OB = OB + AB 2 ⇒M điểm thuộc đoạn thẳng AB cho AM = BM Bài 9: Trên tia Oy , lấy điểm M H cho OM = cm, OH = 10 cm Tính độ dài đoạn thẳng HM Điểm M có trung điểm đoạn thẳng OH khơng? Vì sao? Cho đoạn thẳng AB Điểm C thuộc tia đối tia BA Gọi M , N theo thứ tự trung điểm AB AC Chứng minh rằng: CM = CA + CB BC MN = 2 (Đề thi HSG huyện Ninh Bình 2020-2021) Lời giải: 1) Chứng minh M nằm O H Ta có OM + MH = OH ⇒ MH = 10 − = 5cm TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Điểm M có trung điểm đoạn thẳng OH : M nằm O H MH = MO (= cm) 2) Chứng minh rằng: CM = CA + CB BC MN = 2 Vì M trung điểm AB , điểm C thuộc tia đối tia BA nên M nằm A C Suy ra: CA = CM + AM ⇒ CM = AC − AM ( 1) Lại có B nằm M C ⇒ CM = CB + BM ( ) Từ ( 1) ( ) ⇒ 2CM = AC − AM + BC + MB = AC + BC ( AM = MB ) Vậy CM = CA + CB Lại có N trung điểm AC ⇒ CN = AC Có AB < AC , M , N theo thứ tự trung điiểm AB AC ⇒ AM < AN ⇒ M nằm A N ⇒ AN = AM + MN ⇒ MN = AN − AM = AC − AB BC = 2 Bài 10: Trên tia Ox lấy hai điểm A , B cho OA = cm, OB = cm a) Tính độ dài đoạn thẳng AB b) Trên tia đối tia Ox lấy điểm C cho O trung điểm đoạn thẳng AC Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA cho OM = OA Hỏi M có trung điểm đoạn thẳng BC khơng? Vì sao? Lời giải: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC a) Trên tia Ox có OA < OB , (3 < 5) nên điểm A nằm hai điểm B O Suy OA + AB = OB ⇒ AB = OB − OA ⇒ AB = − = (cm) Vậy AB = (cm) b) Vì điểm O trung điểm đoạn thẳng AC nên OC = OA = (cm) Vì điểm M thuộc đoạn thẳng OA OM = OA Nên điểm M trung điểm đoạn thẳng OA Suy OM = MA = : = 1,5 (cm) Vì hai điểm C , M nằm hai tia đối gốc O nên điểm O nằm hai điểm C , M Suy ra: CO + OM = CM ⇒ + 1,5 = CM ⇒ CM = 4,5 (cm) Trên tia Ox có OM < OB (1,5 < 5) nên điểm M nằm hai điểm O B Suy ra: OM + MB = OB ⇒ MB = OB − OM ⇒ MB = − 1,5 = 3,5 (cm) Ta thấy MB ≠ MC (3,5 ≠ 4,5) nên điểm M không trung điểm đoạn thẳng BC TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Một số điểm cần khắc phục: - Không dùng gạch đầu dịng văn tốn học - Căn hai bên cho đoạn văn - Một số chỗ, chữ chưa viết in nghiêng Cần format lại toàn công thức Mathtype để đồng - Tất đơn vị cần viết in đứng - Hình vẽ canh trang, vẽ kiểu điểm nhỏ - Cần đồng chữ “Bài tập” hay “Bài” - Nên gom đề thi HSG vào phần III Bài toán thường gặp đề HSG - Còn nhiều chỗ chữ Mathtype nhỏ chữ word Cần khắc phục PHẢN BIỆN LẦN - Format tồn cơng thức Mathtype để sửa kí hiệu suy chữ nghiêng - Một số hình vẽ chưa vẽ điểm nhỏ - Các đơn vị cần viết in đứng (đưa mathtype) - Chưa sửa hết lỗi dùng gạch đầu dịng - Đánh số cơng thức phải đưa vào mathtype, đặt số cặp ngoặc Ví dụ ( 1) Đề nghị GVSB sốt lại lượt tồn để sửa theo nội dung phản biện Vì với nội dung cần sửa giống nhau, GVPB comment 1,2 lỗi đầu Một số lỗi nhỏ khác, GVPB ghi phần comment TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 ... N nằm hai điểm M P TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB thì: Điểm M nằm hai điểm A , B MA = MB =... tự trung điểm đoạn thẳng AM , MN , NP, PB Biết độ dài đoạn thẳng EH = 30 cm Tính độ dài đoạn thẳng FG Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG... đầu đoạn thẳng AB MA = AB M trung điểm đoạn AB Mỗi đoạn thẳng có trung điểm PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng chứng minh điểm nằm I.Phương pháp giải Để tính độ dài đoạn thẳng