TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT ĐỀ ĐỀ XUẤT THI OLYMPIC DHBB NĂM 2023 MƠN: TỐN 11 (x ) Bài 1/ Cho số thực £ a £ dãy số n n³ xác định điều kiện ìï ïï x1 = a , ïï í ïï a xn2- , " n > ïï xn = 2 ïỵ Chứng minh dãy số (x ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Bài 2/ Tìm tất hàm số f : R ® R thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) f ( x + 1) ³ f ( x) + với x Ỵ R ; n n³ ii) f ( xy) ³ f ( x) f ( y) với x , y Ỵ R Bài 3/ Tìm tất số nguyên dương k thỏa điều kiện: tồn số nguyên m ³ 2, n ³ để k + k = nm ( O) Lấy điểm D , E Bài Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn thuộc cạnh CA , AB cho DE không song song với BC Các tia BD , CE cắt đường tròn ( O) M , N ( M ¹ B, N ¹ C ) Đường trịn tâm M , bán kính MC cắt đoạn thẳng BD P Đường trịn tâm N , bán kính NB cắt đoạn thẳng CE Q ( O) Chứng minh a Gọi T trung điểm cung BC khơng chứa điểm A đường trịn TP = TQ b Chứng minh đường thẳng DE , PQ , BC đồng quy Bài 5/ Theo dọc đường tròn, người ta ghi sẵn 299 số gồm số số Ở bước sau trị chơi, người chơi phép thực hai động tác sau: 1/ Thay số có hiệu tổng hai số nằm kề với (lúc chưa thay) đường tròn; 2/ Chọn tùy ý hai số mà chúng (trên đường trịn) có hai số, trừ số chọn cho cộng số chọn cho Hỏi sau hữu hạn bước ta thu a/ 298 số hai số nằm kề đường tròn? b/ 297 số ba số nằm kề liên tiếp đường tròn? ………………………… HẾT…………………………… Giáo viên đề: Phan Anh Tiến, sđt 0355421807, Email: phanhtienlk@gmail.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT ĐỀ ĐỀ XUẤT THI OLYMPIC DHBB NĂM 2023 MÔN: TOÁN 11 HƯỚNG DẪN GIẢI (x ) Bài 1/ Cho số thực £ a £ dãy số n n³ xác định điều kiện ìï ïï x1 = a , ïïí ïï a xn2- x = , " n > ïï n 2 ïỵ Chứng minh dãy số (x ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Giải a £ xn £ (1) 1/ Bằng quy nạp ta chứng minh n n³ é aù ê0; ú ê 2ú x = lim x ûcủa phương trình n , có, nghiệm đoạn ë 2/ Giới hạn a x2 x= Û x + x - a = Û c =: x =- + + a 2 a c2 a 0£ c= £ (1') a ³ 2 Vì nên 3/ Từ cơng thức truy hồi dãy nên ta có ỉa x ÷ n- ÷ xn - c = ç ç ç ÷ ç2 ÷ è ø ỉa c c - xn2- ữ ỗ ữ = ỗ ữ ữ ỗ ố2 ứ ổ 1ử =ỗ - ữ ữ ỗ ữ( xn- + c) ( xn- - c) ỗ ố 2ứ = n- ổ 1ử =ỗ - ữ ữ ç ÷ ç è 2ø n- Õ ( x + c ) ( x i =1 i - c) (2) + Từ (1) (1’) suy £ xi + c £ a £ 1, " i Ỵ Z nên n- £ Õ( xi + c) £ i =1 Từ (2) kéo theo £ xn - c £ n- x1 - c , " n > Vì lim xn =- + + a Bài 2/ Tìm tất hàm số f : R ® R thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) f ( x + 1) ³ f ( x) + với x Ỵ R ; ii) f ( xy) ³ f ( x) f ( y) với x , y Ỵ R Giải n ( f ( x)) Giả sử f nghiệm hàm Ta quy ước f ( x) viết thay n f ( x) ³ f ( x) ³ 0, " x ³ 0.(1) Từ ii) ta có ïìï ff(1) = f (0 + 1) ³ (0) + ³ í ï ff(1) = f (1.1) ³ (1)2 Do ïỵ suy f (1) = f (0) = (2) Theo i) quy nạp ta f ( x + n) ³ f ( x) + n, " x Ỵ R, n Ỵ N (3) n n + Theo ii) quy nạp ta f ( x ) ³ f ( x) , " x ³ 0, n Ỵ Z (4) éxùỴ N , { x} ³ Với x ³ suy ë û ù éù éù f ( x) = f ( { x} + é ëxû) ³ f ( { x} ) + ëxû³ ëxû> x - + Vì vậy, x > 1, n Ỵ Z ìï ïï ï í ïï ïï ỵ f ( xn ) > xn - > ổ1 ữ ffỗ ữ ỗ ữ ỗx n ứ ố ổn ữ (2) ị = ff( 1) = xỗ ữf x( nf ) ç n÷ ç è x ø ỉ1 ÷ ç ữ ỗ ữ ( theo (1),(4)) ỗx ứ ố n ổ1 ữ ỗ x ữ ỗ n ữ ỗx ứ ( ố n - 1f ) ổ1 ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốx ứ n Hay ổ1 ữ ffỗ ị ữÊ n ỗ ữ x - ỗ ốx ứ n ổ1 ữ ỗ ữÊ ỗ ữ ỗ ốx ứ n xn - 1 = x n 1- xn ổ1 ữ fỗ Ê ữ ỗ ỗ ữ Cho n đ Ơ , t bt ng thc ny ta nhận èx ø x với x>1 Nói cách khác ù f ( x) £ x , "x Î é ë0;1û (5) Ta viết (3) dạng f ( x - n) £ f ( x) - n, " x Ỵ R, n Ỵ N (3’) - éxùỴ N ,1 > { x} ³ Từ (3’) (5) ta thấy x £ ë û f ( x) = f ( { x} - ( - éëxùû) ) £ f ( { x} ) - ( - éëxùû) £ { x} - ( - éëxùû) = x Vậy (5) nới thành f ( x) £ x , " x £ (5’) Với - £ x £ , dùng ii) (5’) ta thấy f ( x) £ f ( x ) £ x 2 suy f ( x) ³ - x = x Þ f ( x) = x (*) Ta chứng minh (*) x0 { x} - < 0, éëxùû+ Ỵ Z+ nên từ (3) ta có Ta có ù éù éù f ( x) = f ( { x} - + é ëxû+ 1) ³ f ( { x} - 1) + ëx û+ = { x} - + ëx û+ = x > (6) ỉ1 ÷ 1 fỗ >0 ữ ỗ ữ ỗ x x ố ø x Thay x ta có (6’) ỉ 1ư ổ1 ữ ỗ = ff(1) = xỗ ÷ ³ f x f ³x = ữ ữ ( ) ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗx ø x è xø è Nhưng Dấu “=” xảy nên xảy (6) (6’) Tóm lại f ( x) = x , " x Ỵ R Thử lại ta thấy hàm số tìm thỏa yêu cầu đề Bài 3/ Tìm tất số nguyên dương k thỏa điều kiện: tồn số nguyên m ³ 2, n ³ để k + k = nm Giải 1 1/ Với k = thỏa điều kiện đề + = 2/ Ta chứng minh k > không thỏa yêu cầu đề ìï k = l º 1( mod 4) ï í k k k ïï = 25l º 1( mod 4) v2 ( k + k ) = 1, + º mod ( ) k = l Với , ïỵ suy nên v ( nm ) Mm v ( nm ) > k k m Trong nên Suy + ¹ n Với k = 2l + k + k = ( + 5) ( l - 32 l- 1.5 +L - 3.52 l- + l ) 2l = 8.å ( - 1) 32 l- i.5i i i=0 v2 ( + ) = k Hay k Từ đó, k thỏa mãn yêu cầu đề £ m | v2 ( nm ) = v2 ( k + k ) = Þ m = Mà n3 º - 1; 0;1( mod 9) k k Nên ta xét đồng dư + theo mod k º ( mod 9) , k º 1; 3; ( mod 6) Ta có, k lẻ nên Nếu k = p + k = 56 p+1 = 5.( 56 ) º ( mod 9) p mâu thuẫn k = 56 p+5 = 55.( 56 ) º ( mod 9) k = p + Nếu mâu thuẫn Như trường hợp k = p + p k + k = ( 36 ) 3 +( 56 ) 53 º - ( mod7 ) p n3 º - 1; 0;1( mod7 ) Ta lại thấy Mà không tồn m,n thỏa yêu cầu Bài p Như ( O) Lấy điểm D , E thuộc Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn cạnh CA , AB cho DE không song song với BC Các tia BD , CE cắt đường tròn ( O) M , N ( M ¹ B, N ¹ C ) Đường trịn tâm M , bán kính MC cắt đoạn thẳng BD P Đường tròn tâm N , bán kính NB cắt đoạn thẳng CE Q ( O) Chứng minh a Gọi T trung điểm cung BC không chứa điểm A đường tròn TP = TQ b Chứng minh đường thẳng DE , PQ , BC đồng quy A M H N E Q D O P K C B T a) Các tam giác cân ABC , MCP , NBQ có góc đỉnh nên đồng dạng · · Suy BPC = BQC , bốn điểm B , C , P , Q thuộc đường tròn w · BAC ·BPC = BQC · = 90 + nên gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hơn · BAC · BIC = 90 + ) điểm I thuộc w (vì Bằng biến đổi góc, dễ dàng kiểm tra TB = TI = TC nên T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC (tức đường tròn w) Do TP = TQ b) Dễ thấy AB, AC tiếp tuyến đường tròn w Gọi K giao điểm đường thẳng BP , CQ ; H giao điểm đường thẳng BQ , CP Ta có biến đổi tỷ số kép (xét đường tròn w) ( BA , BK , BH , BC ) = ( BB, BP , BQ , BC ) = ( CB, CP ,CQ , CC ) = ( CB , CH , CK , CA) = ( CA , CK , CH , CB) Do đó, A , K , H thẳng hàng Hai tam giác BEQ CDP có BE Ç CD = A , BQ Ç CP = H , BP Ç CQ = K mà A , K , H thẳng hàng nên theo định lý Desargues, ta có DE , PQ , BC đồng quy Bài 5/ Theo dọc đường tròn, người ta ghi sẵn 299 số gồm số số Ở bước sau trị chơi, người chơi phép thực hai động tác sau: 1/ Thay số có hiệu tổng hai số nằm kề với (lúc chưa thay) đường tròn; 2/ Chọn tùy ý hai số mà chúng (trên đường trịn) có hai số, trừ số chọn cho cộng số chọn cho Hỏi sau hữu hạn bước ta thu a/ 298 số hai số nằm kề đường tròn? b/ 297 số ba số nằm kề liên tiếp đường tròn? Giải Trên đường tròn ta đánh dấu (x) vị trí mà người ta ghi sẵn số (và giữ ngun dấu (x) suốt trị chơi) Giả sử a1 , a2 ,K , a300 số có mặt đường trịn, kể theo thứ tự liên tiếp ngược chiều kim đồng hồ Trong đó, a1 số nằm vị trí có dấu (x) 300 300 k- 100 S := å ak ; A := å ( - 1) ak ; T := å a3 k k =1 k =1 k =1 Đặt Ta tìm xem sau bước tổng thay đổi Nếu bước thực động tác 1, , ak với £ k £ 300 thay ak := ak - ak- - ak +1 (quy ước a301 = a1 ; a0 = a300 ) 300 Từ động tác đưa tổng S thành S ' = å ak, =- S k =1 300 S ' = å ak, = S ± k =1 Nếu bước thực động tác 2, dễ thấy a/ Từ phân tích ta thấy S giữ nguyên tính chẵn lẻ qua bước Khi chưa thực bước S=1, nên thực yêu cầu câu a 300 A ' = å ( - 1) k- ak, = A k =1 b/ Nếu bước thực động tác 1, Dễ thấy thực động tác 2, A khơng thay đổi Khi chưa thực bước A = , trạng thái 297 số ba số nằm kề A = ±1 Như theo phân tích cách thay đổi A điều kiện cần đủ để thu trạng thái 297 số ba số nằm liền kề sau hữu hạn bước không thực bước động tác ba số phải nằm vị trí cho tổng A=1 Tuy nhiên, chiều ngược lại với cách thực bước (không thực động tác 1) số a3 , a6 ,K , a300 giữ nguyên có hai 100 số 100 T ' = å a3, k = T ± k =1 thay đổi, theo cách tăng giảm Vì Vậy, tính chẵn le T khơng đổi Khi chưa thực bước nào, tổng T=0, số chẵn, trạng thái 297 số ba số nằm liền kề T=1 Như thực