SÐ GIO DƯC V O TO TR×ÍNG THPT CHUYN VNH PHĨC XUT THI HSG CC TR×ÍNG THPT CHUYN KHU VÜC DH& BBB NM 2023 THI MỈN: TON LỴP 11 Thíi gian l m b i: 180 phót, khỉng kº thới gian phĂt à à thi gỗm 01 trang CƠu (4,0 im) Cho dÂy số (an ) ữủc xĂc ành nh÷ sau: a1 = 0, a3n+1 + = a2n , n = 1, 2, X²t hai d¢y sè (bn ) , (cn ) ÷đc x¡c ành nh÷ sau: bn = a1 a2 an + + + , cn = |a1 − a2 | + |a2 − a3 | + + |an − an+1 | , ∀n ∈ N∗ 2 2 n a) Chựng minh rơng dÂy số (bn ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn b) Chựng minh rơng dÂy số (cn ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn CƠu (4,0 im) X²t c¡c h m f : R → R v g : R → R thäa m¢n i·u ki»n f (x2 − g(y)) = g(x)2 − y vỵi måi x, y R a) Chựng minh rơng náu {g (x)| x ∈ R} khỉng bà ch°n th¼ f v g l mởt song Ănh b) Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f v g thọa mÂn iÃu kiằn bi toĂn CƠu (4,0 iºm) Cho tam gi¡c ABC nhån, khỉng c¥n, AB < AC v nởi tiáp ữớng trỏn (O) Gồi H l trüc t¥m cõa tam gi¡c ABC v K l trung im cừa oÔn thng AH ữớng thng qua K vuổng gõc vợi OK cưt cĂc ữớng thng AB v AC lƯn lữủt tÔi E v F CĂc ữớng thng BK v CK cưt lÔi ữớng trỏn (O) lƯn lữủt tÔi X v Y a) Chựng minh rơng KE = KF b) Chựng minh rơng ữớng trỏn ngoÔi tiáp cĂc tam giĂc KEY v KF X cưt tÔi im Z (Z = K) thuởc ữớng trỏn (O) CƠu (4,0 im) Xt số nguyản dữỡng n > 1, k½ hi»u σ (n) , d (n) lƯn lữủt l tờng tĐt cÊ cĂc ữợc nguyản dữỡng cừa n, số ữợc nguyản dữỡng cừa n a) Chùng minh r¬ng σ (n) ≥ n + − (d (n) − 2) n √ √ n⌉ , õ kẵ hiằu n l số nguyản b) Tẳm tĐt cÊ cĂc số nguyản dữỡng n cho (n) = d (n) ⌈ √ nhä nh§t khỉng nhä hìn n C¥u (4,0 iºm) Cho m, n l hai số nguyản dữỡng Mội số nguyản 1, 2, 3, , m ÷đc tỉ bði mët n m u cho hai số phƠn biằt cõ tờng chia hát cho ữủc tổ bơng mu khĂc a) Chựng minh rơng náu m = 2006 thẳ n 502 b) GiÊ sỷ m = 2023 Tẳm giĂ tr nhọ nhĐt câ thº câ cõa n HT Th½ sinh khỉng ÷đc sû dưng t i li»u C¡n bë coi thi khổng giÊi thẵch gẳ thảm Hồ v tản thẵ sinh : ; Sè b¡o danh : Sé GIO DệC V O TO HìẻNG DN CHM THI HSG CC TR×ÍNG THPT CHUYN TR×ÍNG THPT CHUYN VNH PHÓC KHU VÜC DH& BBB NM 2023 P N XUT MặN: TON LẻP 11 HDC gỗm 05 trang - Hữợng dăn chĐm ch trẳnh by mởt cĂch giÊi Náu thẵ sinh cõ cĂch giÊi khĂc v úng thẳ giĂm khÊo cho im theo thang im cừa hữợng dăn chĐm - Trong mởt bi, thẵ sinh giÊi úng án Ơu cho im án õ - CƠu náu khổng v hẳnh thẳ khổng cho im, náu v hẳnh sai phƯn no thẳ khổng cho im ựng vợi phƯn v hẳnh sai õ - im ton bi tẵnh án 0,5 v khổng lm trỏn CƠu (4,0 im) Cho dÂy sè (an ) ÷đc x¡c ành nh÷ sau: a1 = 0, a3n+1 + = a2n , n = 1, 2, X²t hai d¢y sè (bn ) , (cn ) ÷đc x¡c ành nh÷ sau: bn = a1 a2 an + + + , cn = |a1 − a2 | + |a2 − a3 | + + |an − an+1 | , ∀n ∈ N∗ 2 n a) Chựng minh rơng dÂy số (bn ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn b) Chựng minh rơng dÂy số (cn ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn Nởi dung CƠu 1a (2,0 im) Chựng minh rơng dÂy số (b ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn n Ta s chựng minh bơng quy nÔp theo n : an ∈ [−2; 0] , ∀n ∈ N∗ (1) Thªt vêy, vợi n = ta ữủc a31 + = a20 ⇔ a1 = −2 ∈ [−2; 0] ⇒ n = óng Gi£ sû (1) óng vỵi n = 1, 2, , k , ta chùng minh (1) cơng óng vỵi n = k + hay chùng minh ak+1 ∈ [−2; 0] p √ 3 2 Thªt vªy, ta câ a = a − , kát hủp vợi a [2; 0] ≤ a ≤ ⇒ −2 = −8 ≤ k+1 k k k p √ √ √ 3 3 ak − ≤ − = − ⇒ −2 ≤ ak+1 ≤ − ⇒ ak+1 ∈ [−2; 0] suy (1) óng vỵi n = k + ⇒ (1) ÷đc chùng minh an+1 a1 a2 an Ta câ bn+1 = bn + (n+1) ≤ bn ≤ bn ⇒ (bn ) l dÂy số giÊm, kát hủp vợi 12 + 22 + + n2 ≥ 1 −2 112 + 212 + + n12 > −2 + 1·2 + + n(n−1) > −4 ⇒ bn > −4, ∀n ∈ N∗ suy iºm 2,0 0,5 0,5 1,0 dÂy số (bn ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn CƠu 1b (2,0 im) Chựng minh rơng dÂy số (c ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn n t f (x) = √ 2x x2 − 8, x ∈ [−2; 0] ⇒ f ′ (x) = √ 3 2 (x −8) −x −24 ⇒ f ′′ (x) = 29 · √ > 0, ∀x ∈ (x −8) 2,0 0,5 (−2; 0) ⇒ f ′ (−2) ≤ f ′ (x) ≤ f ′ (0) ⇒ − √ ≤ f ′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ [−2; 0] 2 0,5 |an − an−1 | , ∀n = Ta câ |an+1 − an | = |f (an ) − f (an−1 )| = |f ′ (c) (an − an−1 )| ≤ √ 2 |an − an−1 | = q |an − an−1 | ≤ q |an−1 − an−2 | ≤ ≤ 2, 3, ⇒ |an+1 − an | ≤ √ q n−1 |a2 − a1 | ⇒ 0,5 n |a2 − a1 | < 1−q |a2 − a1 | , ∀n = 1, 2, , k¸t cn ≤ (1 + q + q + + q n−1 ) |a2 − a1 | = 1−q 1−q hđp vỵi d¢y sè cn+1 ≥ cn , ∀n = 1, 2, (cn ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn 0,5 C¥u (4,0 iºm) X²t c¡c h m f : R → R v g : R → R thäa m¢n i·u ki»n f (x2 − g(y)) = g(x)2 − y vỵi måi x, y ∈ R a) Chùng minh rơng náu {g (x)| x R} khổng b chn th¼ f v g l mët song ¡nh b) T¼m tĐt cÊ cĂc hm f v g thọa mÂn iÃu ki»n b i to¡n Nëi dung iºm C¥u 2a a) Chùng minh rơng náu {g (x)| x R} khổng b ch°n th¼ f v g l mët song 1,0 ¡nh Kẵ hiằu P (x, y) l php thá bián vo phữỡng trẳnh hm  cho, ta lƯn lữủt xt cĂc ph²p th¸ sau P (0, y) ⇒ f (−g (y)) = g(0)2 − y, ∀y ∈ R, tø ¯ng thùc ny suy f , g lƯn lữủt l ton anh, ìn ¡nh X²t ph²p th¸ P (−x, y) ⇒ f (x2 − g (y)) = (g (−x))2 − y = (g (x))2 − y ⇒ g (−x) = −g (x) , ∀x ̸= 0,5 Gi£ sû a, b ∈ R cho f (a) = f (b), chån y cho g (y) + a > 0, g (y) + b ⇒ ∃x1 > 0, x2 > : x21 − g (y) = a, x22 − g (y) = b v x²t c¡c ph²p th¸ P (x1 , y) , P (x2 , y) ta ÷đc g(x1 )2 − y = g(x2 )2 − y ⇒ g (x1 ) = g (x2 ), kát hủp vợi g l h m sè l´ v x1 , x2 > ⇒ x1 = x2 ⇒ a = b ⇒ f l ỡn Ănh, kát hủp vợi f l ton Ănh suy f l song ¡nh X²t ph²p th¸ P (0, y) ⇒ f (−g (y)) = g(0)2 − y, y R Vợi mồi z R tỗn tÔi y R cho f (z) = g(0)2 − y ⇒ f (−g (y)) = f (−z) ⇒ g (y) = z ⇒ g l to n ¡nh, k¸t hđp vỵi g l ìn ¡nh suy g l song Ănh 0,5 CƠu 2b Tẳm tĐt cÊ cĂc h m f v g thäa m¢n i·u ki»n b i to¡n Trữợc hát ta chựng minh {g (x)| x R} khỉng bà ch°n Thªt vªy, gi£ {g (x)| x ∈ R} b chn, tực l tỗn tÔi số thỹc dữỡng M cho |g (x)| ≤ M, ∀x ∈ R Vỵi måi y1 , y2 ∈ R, y1 −y2 > 2M , tỗn tÔi cĂc số thỹc x1 , x2 cho x21 −g (y1 ) = x22 −g (y2 ) ⇒ g(x1 )2 −y1 = g(x2 )2 − y2 ⇒ y1 − y2 = g(x1 )2 − g(x2 )2 > 2M vổ lẵ vẳ g(x1 )2 g(x2 )2 ≤ M Do â {g (x)| x ∈ R} khæng bà ch°n Do g l to n Ănh nản tỗn tÔi số thỹc a cho g (a) = 0, kát hủp vợi php thá P (a, y) công suy g (−a) = ⇒ g (−a) = g (a) ⇒ a = T÷ìng tü ta câ f (0) = 3,0 1,0 0,5 f (−g (y)) = g(0)2 − y ⇒ f (g (−y)) = −y ⇒ f (g (y)) = y, ∀y R Cho y = vo phữỡng trẳnh ban Ưu ta ữủc f (x2 ) = g(x)2 , x R Tứ hai ng thực trản vợi php thá P (x, f (y)) ta ữủc f (x2 g (f (y))) = f (x2 ) − f (y) ⇒ f (x2 − y) = f (x2 ) − f (y) , ∀x, y ∈ R Tø ¯ng thùc n y suy f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R Do f (x2 ) = g(x)2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ theo kát quÊ cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy ta ữủc f (x) = kx, â k l h¬ng sè thỹc Cụng tứ ng thực trản, kát hủp vợi g l h m sè l´ v ìn ¡nh ta ÷đc g (x) = cx Thỷ lÔi ta ữủc f (x) = x, g (x) = x, ∀x ∈ R □ 1,0 0,5 C¥u (4,0 iºm) Cho tam gi¡c ABC nhån, khổng cƠn, AB < AC v nởi tiáp ữớng trỏn (O) Gåi H l trüc t¥m cõa tam gi¡c ABC v K l trung im cừa oÔn thng AH ữớng thng qua K vuổng gõc vợi OK cưt cĂc ữớng thng AB v AC lƯn lữủt tÔi E v F CĂc ữớng thng BK v CK cưt lÔi ữớng trỏn (O) lƯn lữủt tÔi X v Y a) Chùng minh r¬ng KE = KF b) Chùng minh rơng ữớng trỏn ngoÔi tiáp cĂc tam giĂc KEY v KF X cưt tÔi im Z (Z = K) thuởc ữớng trỏn (O) Nởi dung CƠu 3a Chựng minh r¬ng KE = KF iºm 1,5 A F I K E O H C B A′ J K ữớng kẵnh AA cừa ữớng trỏn (O) Khi õ tù gi¡c BHCA′ l h¼nh b¼nh h nh \′ = HBA \′ ⇒ HCA 0,5 ÷íng th¯ng qua H vng gõc vợi HA cưt cĂc ữớng thng AB, AC lƯn lữủt tÔi J, I \ , HJA \ = HBA \′ \′ = HCA Tø c¡c tù gi¡c HICA′ , HBJA′ nëi ti¸p suy HIA \′ = HJA \ A IJ l tam giĂc cƠn tÔi A H l Tứ cĂc ng thực trản ta ữủc HIA trung iºm cõa IJ Theo ành l½ Talet ta câ KE = AK = KF ⇒ KE = KF □ HJ AH HI 0,5 C¥u 3b Chùng minh rơng ữớng trỏn ngoÔi tiáp cĂc tam giĂc KEY v KF X cưt tÔi im Z (Z = K) thc ÷íng trán (O) 0,5 2,5 X A Y F Z K O E H B C T Gåi T l giao im thự hai cừa XF vợi ữớng trỏn (O) p dưng ành l½ Pascal £o cho lưc gi¡c AXCT BY ta ÷đc Y, E, T th¯ng h ng 1,0 [ [ \= Ta câ c¡c tù gi¡c ZY KE, ZXF K nởi tiáp ữớng trỏn suy ZY T = ZY E = ZKE \ = ZXT \ ⇒ tự giĂc XY ZT nởi tiáp ữớng trỏn hay Z thuởc ữớng trỏn ngoÔi tiáp ZXF tam giĂc XY T hay Z ∈ (O) □ 1,5 C¥u (4,0 iºm) Xt số nguyản dữỡng n > 1, kẵ hiằu (n) , d (n) lƯn lữủt l tờng tĐt cÊ cĂc ữợc nguyản dữỡng cừa n, số ữợc nguyản dữỡng cừa n a) Chựng minh rơng (n) ≥ n + − (d (n) − 2) n b) Tẳm tĐt cÊ cĂc số nguyản dữỡng n cho σ (n) = d (n) ⌈ n⌉ , õ kẵ hiằu n l số nguyản nhọ nhĐt khổng nhọ hỡn n Nởi dung CƠu 4a Chùng minh r¬ng σ (n) ≥ n + − (d (n) − 2) √n Ta câ σ (n) = = P k+ k|n n k P k+ k|n +2 n k iºm 1,5 0,5 p n P √ k· k − n= k|n P √ k+ k|n p n 2 k √ − d (n) n 0,5 √ p 2 p 2 √ √ √ √ + n1 + n + nn − d (n) n = ( n + 1) − d (n) n = n + − √ (d (n) − 2) n □ CƠu 4b Tẳm tĐt cÊ cĂc số nguyản dữỡng n cho (n) = d (n) ⌈ n⌉, â k½ hi»u √ √ ⌈ n l số nguyản nhọ nhĐt khổng nhọ hỡn 0,5 2,5 n P√ p − k · nk + n = P √ p n 2 + 1,0 √ p 2 p 2 √ √ √ √ √ + d (n) n = ( n − 1) + d (n) n ⇒ d (n) ⌈ n⌉ ≥ ≥ 12 − n1 + n − nn √ √ √ √ √ 2 ( n − 1) + d (n) n ⇒ d (n) > d (n) (⌈ n⌉ − n) ≥ ( n − 1) 0,5 √ Ta câ k¸t qu£ quen thuëc d (n) < n 0,5 √ √ √ Tứ cĂc kát quÊ trản ta ữủc n > ( n − 1) ⇔ n − n + < ⇒ < n < √ 2 + ⇒ n ∈ {2; 3; ; 13} Thỷ trỹc tiáp ta ữủc n {3; 5; 6}.□ 0,5 Ta câ σ (n) = √ d (n) n P k+ k|n n k = P k+ k|n n k k|n k|n k− k C¥u (4,0 iºm) Cho m, n l hai số nguyản dữỡng Mội số nguyản 1, 2, 3, , m ÷đc tỉ bði mët n m u cho hai số phƠn biằt cõ tờng chia hát cho ữủc tổ bơng mu khĂc a) Chựng minh rơng náu m = 2006 thẳ n 502 b) Gi£ sû m = 2023 T¼m gi¡ trà nhä nh§t câ thº câ cõa n Nëi dung iºm CƠu 5a Chựng minh rơng náu m = 2006 thẳ n ≥ 502 2,0 X²t c¡c 502 sè chia d÷ khỉng v÷đt qu¡ 2006 l 2, 6, 10, , 2006 1,0 Ta nhên thĐy tờng hai số bĐt kẳ cĂc số trản Ãu chia hát cho suy cƯn dũng ẵt nhĐt 502 mu tổ 502 sè n y suy n ≥ 502 □ C¥u 5b Gi£ sû m = 2023 T¼m gi¡ trà nhä nh§t câ thº câ cõa n X²t 506 sè chia d÷ khỉng v÷đt qu¡ 2023 l 2, 6, 10, , 2022 Ta nhên thĐy hai số bĐt kẳ cĂc số trản Ãu cõ tờng chia hát cho suy cƯn ẵt nhĐt 506 mu tổ 506 sè n y suy n ≥ 506 Gi£ sû ta câ 506 m u kh¡c k½ hi»u l m u 1, m u 2, , m u 506 Ta s³ thüc hi»n tỉ m u c¡c sè nh÷ sau: C¡c sè 2, tæ m u C¡c sè 6, tæ m u C¡c sè 10, 12 tæ m u C¡c sè 2018, 2020 tæ m u 505 Sè 2022 tæ m u 506 C¡c sè 1, 5, 9, , 2021 tæ m u C¡c sè 3, 7, 11, , 2019 tæ m u □ 1,0 2,0 1,0 1,0 H¸t TRN NGÅC THNG, GV THPT CHUYN VNH PHÓC, TNH VNH PHÓC S T: 0986261141 Mail: thangtoancvp@vinhphuc.edu.vn