de-on-tap-toan-11-thang-03-nam-2020-truong-thpt-chuyen-ha-noi-amsterdam

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM Tổ Toán – Tin học ĐỀ ÔN TẬP TỔNG HỢP TUẦN THÁNG NĂM 2020 Năm học: 2019 – 2020 MƠN TỐN LỚP 11 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày 02/03/2020 A – Trắc nghiệm (7 điểm): Chọn đáp án (Học sinh ghi đáp án vào giấy làm bài) Câu Cho dãy số (un), biết un = n  , n  Khẳng định sau đúng? A Dãy số cấp số cộng B un+1 = n C Tổng số hạng S5 = 12 D un+1 – un = Câu Trong dãy số (un) cho công thức tổng quát sau, dãy số dãy số tăng?  2n  A un  (1) n1 B un  (1)2 n  3n  1 C un  D un  3n  n n  n 1 u2  u4  10 Câu Cho cấp số cộng (un), n  thỏa mãn:  Tìm cơng sai cấp số cộng u3  u5  14 A B C D –2 Câu Một tam giác vuông có chu vi 3, độ dài cạnh lập thành cấp số cộng Độ dài ba cạnh là: A ;1; B ;1; C ;1; D ;1; 2 3 4 4 Câu Cho cấp số nhân có 15 số hạng: u1; u2; …; u15 Đẳng thức sau sai? A u1.un = u2.un–1 B u1.un = u5.un–4 C u1.un = u5.un–5 D u1.un = uk.un–k+1 Câu Cho số x; y; z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với cơng bội khác Biết theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng với công sai d  x Tính d 4 A B C D Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x – 3x + mx + – m = có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A m > B m = C m < D m tùy ý Câu Trong sân vận động có tất 30 dãy ghế Biết dãy có 12 ghế, dãy liền sau có số ghế nhiều dãy trước ghế Hỏi sân vận động có tất ghế? A 2535 B 1920 C 2610 D 4200 Câu Cho tam giác ABC cân A Biết độ dài cạnh BC, trung tuyến AM độ dài cạnh AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q Tìm cơng bội q cấp số nhân 1 1  22 2  2 B C D 2 2 Câu 10 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi G, G' trọng tâm tam giác ABC A'B'C' Thiết diện tạo mặt phẳng (AGG') với hình lăng trụ cho là: A Hình thang B Tam giác vng C Hình bình hành D Tam giác cân Câu 11 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A Một hình bình hành hình chiếu song song hình thang B Một hình bình hành xem hình chiếu song song hình vng C Một tam giác hình chiếu song song tam giác D Một đoạn thẳng hình chiếu song song tam giác A Câu 12 Cho hình hộp ABCD.EFGH Các vectơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh hình hộp vectơ AB là: A DC; GH ; EF B DC; HG; EF C DC; HG; FE D CD; HG; EF Câu 13 Cho ba vectơ a , b , c khác Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A Nếu giá ba vectơ a , b , c song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng B Nếu ba vectơ a , b , c có vectơ ba vectơ đồng phẳng C Nếu ba vectơ a , b , c có hai vec tơ phương ba vectơ đồng phẳng D Nếu giá ba vectơ a , b , c cắt đôi vectơ đồng phẳng Câu 14 Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD, I trung điểm đoạn MN Mệnh đề mệnh đề sau sai? A MN   AD  CB  B AN   AC  AD  C IA  IB  IC  ID  D MA  MB  Câu 15 Cho tứ diện SABC Gọi M trung điểm AB, N điểm di động đoạn AM Gọi (P) mặt phẳng qua N song song với (SMC) Tính chu vi thiết diện tạo mặt phẳng (P) tứ diện SABC biết AN = x A 3x  B x  C x  D Kết khác       Câu 16 Cho tứ diện ABCD điểm M, N xác định AM  AB  AC , DN  DB  xDC Tìm x để đường thẳng AD, BC, MN song song với mặt phẳng A x = –1 B x = –2 C x = D x = B – Tự luận (3 điểm): u1  u  Bài Cho dãy số (un), n  1:  (vn), n  với  n , n  (n  2)un n 1 un1  2(n  1) , n   a) Chứng minh dãy số (vn) cấp số nhân b) Tìm số hạng tổng quát un Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un) Tùy thuộc vào chương trình học lớp, học sinh chọn hai đề sau: Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AB  a , AA '  b , AD  c Gọi M, N điểm thỏa mãn MA   MD , NA '   NC a) Biểu diễn véc tơ BM , BN theo véctơ a , b , c b) Chứng minh vectơ MN , AB ' , AD ' đồng phẳng Nhận xét vị trí tương đối đường thẳng MN mặt phẳng (AB'D') c) Giả sử hình hộp ABCD.A'B'C'D' cho có tất mặt hình thoi cạnh a Biết BAA' = BAD = DAA' = 60o Tính góc đường thẳng MN AC' Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O SA  (ABCD) Chứng minh: BC  (SAB); CD  (SDA) Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD điểm H, I, K a) Chứng minh AK vng góc với mặt phẳng (SCD) b) Chứng minh: SH.SB = SK.SD c) Chứng minh: Mặt phẳng (SAC) mặt phẳng trung trực HK –––––––– HẾT –––––––– TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM TỔ TỐN – TIN ĐỀ ƠN TẬP TỔNG HỢP TUẦN THÁNG NĂM 2020 Năm học: 2019 – 2020 Môn: TOÁN 11T1 Thời gian làm bài: 180 phút Ngày 02/03/2020 Bài1.Cho hàm số: y   x  x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho 2) Tìm điều kiện tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x  x  logm  3) Tìm toạ độ điểm A thuộc (C ) biết tiếp tuyến A song song với d : y  16 x  2020 Bài2 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm m x  x  x  1  x 1 x  x 1 2) Trong số phức z thỏa mãn : z   i  z   2i Tìm số phức có modul nhỏ Bài3 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, với AB  a, BC  2a Các mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SC hợp với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Cho hình trụ có độ dài trục OO   Tứ giác ABCD hình vng cạnh 8, có đỉnh nằm hai đường trịn đáy cho tâm hình vng trung điểm đoạn OO Tính thể tích hình trụ Bài4 Giải phương trình sau: 1) 2cos x  cos x  2sin x   3)  s inx+cosx   t anx+cotx 2)  tan x  tan x tan x 4) sin x  3cos3 x  s inxcos x  sin x cos x Bài5* Cho n số nguyên dương Chứng minh tất số có dạng xn  y n ,( x, y số nguyên dương tùy ý) có số số dư không vượt n(n  1) chia số cho n 2 Bài6* Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn () Gọi P Q hai điểm nằm tam giác ABC cho ABP  CBQ ACP  BCQ Từ P Q kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc BAC, hai đường thẳng cắt cạnh AB, AC điểm B p ; Bq ; C p ; Cq ( Xem hình vẽ) Gọi W điểm cung BAC đường tròn () Hai đường thẳng WP WQ cắt () điểm thứ hai P1; Q1 Chứng minh điểm Bp ;Bq ;C p ;Cq ; P1; Q1 nằm đường tròn a1  Bài7* Cho dãy số tự nhiên (an ) thỏa mãn :  a  an  a  n1  , n  n  Chứng minh với số nguyên dương k, tồn số hạng dãy (an ) chia hết cho k HẾT TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTEDAM TỔ TỐN – TIN ĐỀ ƠN TẬP TỔNG HỢP TUẦN – THÁNG Năm học: 2019 – 2020 MƠN TỐN LỚP 11 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Cho dãy số (un) xác định sau: u1 = 1, u2 = + 4, u3 = + + 7, u4 = + + 10 + 12 u5 = + 11 + 13 + 15 + 17, … Xác định số hạng tổng quát un? Bài 2: (2 điểm) Cho cấp số cộng (un) Chứng minh với m, n, p đơi khác ta có: m  un  u p   n  u p  um   p um  un   Bài 3: (2 điểm) Tìm cấp số nhân gồm ba số a, b, c biết: 1 1  a  b  c  14  ab  bc  ca    108 Bài 4: (2 điểm) Cho dãy số (un) :  u1    un1  4un  9, n  Chứng minh rằng: un  5.4n1  3, n  * * Học sinh chọn sau: Bài 5: (2 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Xác định giao điểm I A’G với mặt phẳng (AB’C’)? Tính IA’:IG? b) Gọi (P) mặt phẳng qua G song song với mặt phẳng (AB’C’) Xác định thiết diện hình lăng trụ bị cắt mặt phẳng (P)? c) Biết tam giác AB’C’ tam giác cạnh a, tính diện tích thiết diện trên? d) Gọi (d) (d’) giao tuyến mp (P) với mp (ABB’A’) mp (ACC’A’) Chứng minh d, d’, AA’ đồng qui Bài 6: (2 điểm) a) Trong không gian cho tam giác ABC Chứng minh điểm M thuộc mp(ABC) tồn số x, y, z mà x + y + z = cho OM  xOA  yOB  zOC với điểm O b) Cho hình chóp S.ABCD Lấy điểm A’, B’, C’ thuộc tia SA, SB, SC cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, a, b, c số thay đổi Chứng minh mặt phẳng (A’B’C’) qua trọng tâm tam giác ABC a + b + c = -Hết TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TỔNG HỢP TUẦN THÁNG NĂM 2020 HÀ NỘI - AMSTERDAM Năm học: 2019 – 2020 Tổ Tốn - Tin học MƠN TỐN LỚP 11T1 Thời gian làm bài: 180 phút Ngày 09/03/2020 Bài Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (x3 ) − f (y ) = (x2 + xy + y ) · (f (x) − f (y)) ∀x, y ∈ R Bài Cho số thực a dãy số thực (xn ) xác định bởi: x1 = a, xn+1 = ln(3 + cos xn + sin xn ) − 2020 , ∀n ≥ Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vô Bài Chứng minh với số nguyên dương n chẵn n2 − chia hết 2n! − Bài Cho tam giác ABC không vuông với hai đường cao BE, CF Xét điểm M đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi P giao điểm M B CF , Q giao điểm M C BE Chứng minh EF qua trung điểm P Q Bài Tìm tất số thực x thỏa mãn phương trình + 6x + 27x−1 = 8x Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy hình chóp có độ dài 2, chiều cao h Gọi C1 (O; r) hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2 (K; R) hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với cạnh hình chóp Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD) Chứng minh √ + h2 − r= h Tính giá trị h, từ suy thể tích hình chóp Bài Cho số ngun n ≥ Chứng minh họ gồm 2n−1 + tập không rỗng phân biệt tập {1, 2, , n} tìm ba tập mà chúng hợp hai tập lại ——————– HẾT ——————– CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN §1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A – KIẾN THỨC CƠ BẢN I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ: Định nghĩa Định nghĩa Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vơ cực, |un| nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạn trở Kí hiệu: lim u n  hay u n  n   n  n Ví dụ lim  , lim (1)4  n  n  n n Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn số a (hay dần tới a) n   , lim   a   n  Kí hiệu: lim  a hay  a n   n  2n  Chứng minh lim  n  n  lim  n  n Ví dụ Cho dãy số (vn) với   2n   Giải: lim     lim   2 n  n   n  Vậy lim  lim n  n  2n  2 n Một vài giới hạn đặc biệt: a) lim  0; lim 1k  với k nguyên dương n  n  n n n b) lim q  0; |q| < n  c) Nếu un = c (c số) lim u n  lim c  c n  n  Chú ý: Từ sau, thay cho lim u n  a , ta viết tắt là: lim u n  a n  II ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ: Định lí a) Nếu lim u n  a lim  b thì:  lim  u n    a  b  lim  u n    a  b  lim  u n   a.b  lim un a  b  b b) Nếu u n  với n lim u n  a a  lim u n  a Ví dụ Tìm a) lim 3n  n 1 n2 b) lim  4n  2n Giải: 3 n 3n  n  1  n2  1 n n 1 1  1  Vì lim     lim3  lim    ; lim   1  lim lim  lim1  0.0   n n n n  n n  a) Chia tử số mẫu số cho n2, ta được: 1  lim    3n  n n  n   3 nên lim  lim 1 1 1 n   lim    1 n n n n  3   1 n2    n  4 2  4n n  n n b) lim  lim  lim   1  lim 1  2n  2n  1  2 n   2 n n  Định lý (Định lý kẹp) Xét ba dãy số (un), (vn), (wn) Giả sử với n ta có un   wn Khi limun = limwn = L limvn = L Hệ Xét hai dãy số (un), (vn) Nếu |un|  với n limvn = limun = Ví dụ CMR: lim Giải: Ta có sin n n sin n  n 0 , n lim = Từ suy điều cần chứng minh n n III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN: Cấp số nhân vơ hạn u1 , u1 q, q1 q n có cơng bội q, với |q| < gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) là: u S  , ( q  1) 1 q Ví dụ Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) biết un  Giải: u1  , n  3n 1 ,q   S   3 1 IV GIỚI HẠN VÔ CỰC: Định nghĩa  Ta nói dãy số (un) có giới hạn  n   , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un =  hay u n   n    Dãy số (un) gọi có giới hạn  n   lim (–un) =  Kí hiệu: lim un =  hay u n   n   Nhận xét: lim un = +  lim(–un) =  Một vài giới hạn đặc biệt: a) lim nk =  với k nguyên dương; b) lim qk =  q > Định lí a) Nếu lim un = a lim =  lim un 0 b) Nếu lim un =  lim = a  lim  u n  cho bảng sau: lim un + + Dấu a + – lim  un  + – – – – + + – c) Nếu lim un = a  0, lim = > < với n kể từ số hạng trở lim cho bảng sau: Dấu a Dấu + + – – + – + – lim un + – – + Ví dụ Tìm giới hạn sau: a) lim(3n2 – 101n – 51) b) lim 2n  n  1  n2 Giải:  101 51   2 n n    101 51  Vì limn2= + lim       nên lim(3n – 101n – 51) = + n n   1 2  2n  n  n n  lim b) lim 1 1 n  n3 n 2n  n  1  1   1   Vì lim     = > 0, lim    =  < với n nên lim n n  n2 n n  n  n a) lim(3n2 – 101n – 51) = n2   B – BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1: Tìm limun với un = P ( n) (Tham khảo Ví dụ 3, 6b) Q ( n) Ví dụ Tính giới hạn a) lim 2n  n2  n  3n  2n b) lim n3  4n2  c) lim 3n3  5n  n2   lim n n   HD: a) lim = n  n2  1  n n 2n  n  n  3n b) lim = lim  2n 3n3  5n   lim c) lim n2  n 1 n  3n  2n  lim 1 n n 3  2  n n    n n3 3 1 1 2 d) lim 2n  5n1  5n un 2n 5n  2n  5n1 2n  5.5n 5n 5n    d) lim = = lim lim 1  5n 5n  5n  n n 5 Dạng 2: Nếu biểu thức chứa n dấu nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp Dùng đẳng thức :  Ví dụ Tính giới hạn: lim HD: lim  n  a  b   a2  ab  b2   a  b a  b  a  b   a  b;  (  3n  n  = lim n2  3n  n  n2  3n  n).( n2  3n  n) n  3n  n  lim 3n n  3n  n  3 3  11 Dạng 3: Sử dụng Định lý kẹp (Tham khảo Ví dụ 4) Ví dụ Tính giới hạn: lim HD: Vì  cos n2 n2  cos n2 2cos n2 2 lim  mà nên =0 lim  n2  n2  n2  n2  Dạng 4: Sử dụng định lý quan trọng giới hạn vô cực (Tham khảo Ví dụ 6) Ví dụ 10 Tính giới hạn  2 a) lim(n  4n  1)  lim n 1       n n     b) lim n  n n   lim n  1       n2  n Dạng 5: Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn (Tham khảo Ví dụ 5) Ví dụ 11  a) Tính S     HD: Dãy 2;  2;1;   2 1 ; CSN với công sai q   nên S  1 2 b) Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,777… dạng phân số 7 7    = 10 = HD: Ta có 0,777… = 10 10 10 1 10 Bài Tính giới hạn sau n2  n  8n  a) lim b) lim 2n  3n  2n  d) lim n3  n  n 1 e) lim c) lim n4 2n  n  n2  (n  1)(2  n)(n2  1) Bài Tính giới hạn sau a) lim  3n  3n b) lim 4.3n  7n1 c) lim 2.5n  7n  2.3n  6n 2n (3n1  5) Bài Tính giới hạn sau n2   n  a) lim n2   n6 b) lim n2  n   n Bài Tính giới hạn c) lim n   n2 b) lim  n3  9n2  1 a) lim  n2  2n  3 (2n n  1)( n  3) (n  1)(n  2)  c) lim 4n  8.2n3 Bài Tính giới hạn  d) lim  n2   n a) lim  b) lim 3n2  n3  n   n 1  n e) lim n    c) lim n n2  n   n2   n   Bài Tính giới hạn a) lim cos n n3  b) lim (1)n sin(3n  n2 ) 3n  c) lim  2cos n 3n  Bài Tính giới hạn   1      1 2  n  1 n  n n     1  a) lim      (2n  1)(2n  1)   1.3 3.5 b) lim   1    d) lim   n(n  1)   1.2 2.3 1 1 1    c) lim 1   1   1   1        n  Bài a) Tính tổng sau: S      (1)n  2n b) Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 34,121212… dạng phân số C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài Dãy số sau có giới hạn 3? A 6n  1  B 3n  2n 2n  n  1  n2 B a = Bài Biết lim n 5.2n 2n n Tính giá trị biểu thức S a b A S = 26 B S = 30 Bài Cho dãy số un với un  6n  2n  4n n Để dãy số cho có giới hạn 2, giá trị a là: an Bài Cho dãy số (un) với un A a = –4  D C  3n 1 n n2 C a = 2n n2 a b c với a, b, c D a = ; a phân số tối giản b c2 C S = 21 an n2 D S = 31 , a tham số thực Tìm a để lim un A B C –2 D – Bài Một bóng rổ thả từ độ cao 100m Mỗi lần bóng chạm mặt đất, nảy lên đến vị trí 80% độ cao trước Tính tổng độ cao mà bóng di chuyển ngừng chuyển động A 900m B 800m C 600m D 500m CHƯƠNG III VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A – KIẾN THỨC CƠ BẢN I Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian Góc hai vectơ khơng gian Định nghĩa: Cho u,v  Lấy điểm A bất kì, gọi B, C cho: AB  u , AC  v ̂ góc hai vectơ u,v Khi ta gọi góc 𝐵𝐴𝐶 ̂ Ký hiệu:  u,v   𝐵𝐴𝐶 Chú ý: 00   u,v   1800 Ví dụ Cho tứ diện ABCD có H trung điểm AB Hãy tính góc cặp vectơ: a) AB vaø BC b) CH vaø AC ̂ = 1800 – 𝐴𝐵𝐶 ̂ = 1200; Giải  AB,BC  = 𝐵′𝐵𝐶 D C’ C A 150 H 120 0 ̂ = 1800 – 𝐴𝐶𝐻 ̂ = 1500  CH,AC = 𝐻𝐶𝐶′ B’ Tích vơ hướng hai vectơ không gian Định nghĩa: Cho u,v  Tích vơ hướng u,v  số, kí hiệu u.v , xác định công B u.v  u v cos(u,v) thức: Qui ước: u  hoaë c v  thì: u.v  Nhận xét: u.v u.v Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.ABCD  cos  u,v    u  u2  Cho u, v  : u  v  u.v  a) Hãy phân tích AC' BD theo AB , AD , AA ' b) Tính cos  AC',BD  ? Giải a) AC' = AB  AD  AA' ; BD = AD  AB A’ B’ D’ C’ A D a2 a2 b) AC'.BD = AB  AD  AA' AD  AB =    =  cos  AC',BD   2 B C II Vectơ phương đường thẳng Định nghĩa: Vectơ a  gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng d giá a song song trùng với d Nhận xét a) Nếu a VTCP d ka (k  0) VTCP d b) Một đường thẳng d không gian hoàn toàn xác định biết điểm A  d VTCP a c) Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có VTCP phương III Góc hai đường thẳng Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a, b khơng gian góc hai đường thẳng a, b qua điểm song song với a, b Nhận xét a) Để xác định góc a b ta lấy I thuộc hai đường thẳng a, b vẽ đường thẳng qua I song song với đường thẳng b) Nếu a có VTCP u , b có VTCP v  u,v    góc hai đường     neáu 00    900 thẳng a b   0 180   neáu 90    180 c) Nếu a  b góc hai đường thẳng 00 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Tính góc cặp đường thẳng: a) AC BC b) AC' BD c) AC BC Giải a) Ta có B'C' // BC  góc AC B'C' góc AC BC 450 A’ B’ b) Theo Ví dụ 2, ta có góc AC ' BD 900 nên góc AC' BD 900   A 'C'.B'C c) cos A 'C',B'C = A 'C' B'C     A B a 2.a   C’ D A 'C'.B'C Mặt khác A 'C'.B'C  A 'C' B'C'  C'C  A 'C'.B'C'  A 'C'.C'C  a 2.a    a2 nên A 'C',B'C  600 Vậy góc AC BC 600 V Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 Nhận xét a) Nếu u ,v vtcp a b thì: a  b  u.v  b) a // b, c  a  c  b c) a  b  a, b cắt chéo Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  AC, AB  BD Gọi P, Q trung điểm AB, CD CMR: AB  PQ Giải Ta có PQ  PA AC  CQ Do đó: cos A 'C',B'C  D’ PQ  PB  BD  DQ  2PQ  AC  BD Vậy 2PQ.AB  ( AC  BD).AB  AC.AB  BD.AB   PQ.AB  Vậy AB  PQ B – BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1: Ứng dụng tích vơ hướng Phương pháp giải: Muốn tính độ dài đoạn thẳng AB tính khoảng cách hai điểm A B ta dựa vào công thức: AB  AB  AB Tính góc vectơ ta dựa vào cơng thức cos  u,v   u.v u.v (Tham khảo Ví dụ 2) Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc với Phương pháp giải: Khai thác tính chất quan hệ vng góc biết hình học phẳng Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc hai đường thẳng khơng gian Chứng minh hai đường thẳng AB CD vng góc với nhau, ta cần chứng minh AB.CD  (Tham khảo Ví dụ 3a, 4) C Dạng 3: Dùng tích vơ hướng để tính góc hai đường thẳng không gian Phương pháp giải:     Muốn tính góc AB , AC , ta dựa vào cơng thức: cos AB , AC = AB AC AB AC từ suy góc  AB , AC  Nếu đường thẳng a có VTCP u , đường thẳng b có VTCP v u ,v  =  góc hai đường thẳng a  neáu 00    900 b  neáu 900    1800 180   (Tham khảo Ví dụ 3b,c) Bài Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác Chứng minh rằng: AB  CD Gọi M, N, P, Q trung điểm cách cạnh AC, BC, BD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ hình chữ nhật ̂ = 𝐷𝐴𝐴′ ̂ = 1200 Gọi O tâm ̂ = 600, 𝐵𝐴𝐴′ Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh a, 𝐵𝐴𝐷 hình vng ABCD Gọi S điểm cho OS  OA  OB  OC  OD  OA'  OB'  OC'  OD' Tính khoảng cách hai điểm S O theo a Chứng minh rằng: AC  B'D' Tính độ dài đoạn thẳng AC' Tính góc cặp đường thẳng AC' AB, AB A'D, AC' B'D Tính diện tích hình A'B'C'D ACC'A' C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài Mệnh đề sau đúng? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với C Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng cịn lại Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A A'C'  BD B BB'  BD C A'B  DC' D BC'  A'D Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Giả sử tam giác AB'C A'DC' có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A'D góc sau đây? ̂ ̂ ̂ ̂ A 𝐴𝐵′𝐶 B 𝐵𝐵′𝐷 C 𝐵𝐷𝐵′ D 𝐷𝐴′𝐶′ ̂ = 𝐵𝐴𝐷 ̂ = 60 Gọi I, J trung điểm AB Bài Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD 𝐵𝐴𝐶 CD Hãy xác định góc cặp vectơ AB IJ A 1200 B 900 ` C 600 D 4500 Bài Cho hai vectơ a b tạo với góc 1200 Biết a  cm b  cm Tính a  b A 19 B C 19 D Đáp án khác