Toan 11 c7 b2 3 cac quy tac tinh dao ham tuluan hdg

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM VII ĐẠO HÀM C H Ư Ơ N BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VIẾT I y f  x x Đạo hàm hàm số M x0 ; f  x   điểm hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số  Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M  x ; y  o k  f  x  Phương trình tiếp tuyến hàm số điểm M0 có dạng: y  f  x0   x  x0   f  x0  Câu 1: x 1 x  có đồ thị  C  Tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục tung Cho hàm số có phương trình y Lời giải Giao điểm đồ thị y   C trục tung 2  x  1 Phương trình tiếp tuyến  C y  y   x     x  Câu 2: M  0;  1 M  0;  1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm M (1;0) Lời giải Ta có y  x  , Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm M (1;0) là:, y  y(1)( x  1)   x  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Câu 3:   1;  1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x điểm Lời giải Ta có Câu 4: y 3x  y   1 3 Phương trình tiếp tuyến y 3  x  1  3x    2;  8 Viết phương trình tiếp đường cong y  x điểm Lời giải Ta có y ' 3 x Khi hệ số góc tiếp tuyến điểm Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: Câu 5:   2;  8 y '    12 y 12  x     y 12 x  16 Cho hàm số y  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số giao điểm đồ thị hàm số với trục tung Lời giải y 3 x  A  x0 ; y0   x0 0  y0 1 Đồ thị hàm số cắt Oy điểm Gọi tiếp tuyến d tiếp xúc đồ thị hàm số điểm A  0;1  Hệ số góc k  y x0   y    Phương trình tiếp tuyến  d  : y   x     y  x  Câu 6:  C  Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  M  1;3 Cho hàm số y  x  x có đồ thị Lời giải Ta có: y 4 x  x  y  1 8 Phương trình tiếp tuyến đồ thị y 8  x  1   y 8 x  Câu 7:  C M  1;3  C  với trục Oy có Tiếp tuyến đồ thị hàm số (C ) : y x  x  giao điểm phương trình là: Lời giải Ta có y 3 x  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM  C  với trục Oy x0 0  y0 1 Giao điểm M đồ thị hàm số Hệ số góc tiếp tuyến M  0;1 Phương trình tiếp tuyến điểm Câu 8: k  y   là: M  0;1 là: y k  x  x0   y0  y  3x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 4 x  x  điểm có hồnh độ x 1 Lời giải Ta có y 12 x  12 x  y 1 0 Ta có x0 1  y  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 4 x  x  điểm có hồnh độ x 1 y  Câu 9: Gọi M giao điểm đồ thị hàm số đồ thị hàm số điểm M y x 1 x  với trục hồnh Phương trình tiếp tuyến Lời giải x 1 0  x  Hồnh độ điểm M nghiệm phương trình x  y  y(  1)  ( x  2) nên Do M ( 1;0) Mặt khác, Phương trình tiếp tuyến M y  ( x  1)   y  x  0  C  Hệ số góc k (k  0) tiếp tuyến với đồ thị  C  Câu 10: Cho hàm số y x  3x  có đồ thị điểm có tung độ là: Lời giải Ta có hồnh độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình  x 0 x  x  4    x  Ta có y ' 2 x  k  y '   3 Với x 0 hệ số góc tiếp tuyến k  y '   3  Với x  hệ số góc tiếp tuyến Câu 11: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  , thỏa mãn f (5  x )  xf ( x) 2 x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) điểm có hồnh độ Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Thay x 0 vào f (5  x)  xf ( x) 2 x ta f (5) 0  f (5) 0 Thay x 5 vào f (5  x)  xf ( x) 2 x ta f (0)  f (5) 10  f (0) 5 f (5  x)  xf ( x) 2 x   f (5  x)  f ( x)  xf ( x) 2 Thay x 0 vào (*) ta có  f (5)  f (0) 2  f (5)  (*) Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) điểm có hồnh độ là 3 15 y  f (5)( x  5)  f (5)  ( x  5)   x  2 Câu 12: Cho hàm số y  f  x có f  x  3  f   3x  3 x  x đạo hàm liên tục , Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số thỏa mãn y  f  x điểm có hồnh độ Lời giải f  x  3  f   3x  3 x  x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  3  x  3  f  3 y  f  x điểm có hồnh độ có dạng f    f  3  Thay x 1 vào ta được: f  3  f   2 Thay x 2 vào ta được: Từ suy f  3 2 Lấy đạo hàm hai vế ta f  x  3  f   x  6 x  f    f  3  Thay x 1 vào ta được: f  3  f   7 Thay x 2 vào ta được: Từ suy f  3 1 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 1 x  3  x  Câu 13: Cho hàm số y  f  x điểm có hồnh độ y  f  x f  x   xf  x  1  x dương x  thỏa mãn điều kiện Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TỐN – 11 – ĐẠO HÀM Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x điểm có hồnh độ Lời giải   y  f  x M 1; f  1 Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Suy d : y  f  1  x  1  f  1 Xét điều kiện: f  x   xf  x  1 x +) x Cho ta được:  f  1 1  f  1 1 1 f  1  f  1   f  1  f  1  0      f  1   L  2  f  1   L   +) Đạo hàm hai vế ta được: f  x  f  x    f  x  1  x f  x  1 f  x  1  1 Thay x Lại có   vào điều kiện được: f  1 f  1  f  1  f  1 f  1 1 f  1 1 trở thành: Suy phương trình d 8.1 f  1   4.1 f  1 1  f  1  y  x  1  1 y  x 2 Vậy tiếp tuyến d có phương trình Câu 14: Cho hàm số f  x g  x , f  x  3 g  x   x  2022 x có đạo hàm ¡ thỏa mãn f    f    2023 y g  x  với x  ¡ Biết Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x 1 có phương trình Lời giải Ta có f  x  3 g  x   x  2022 x  f  x  3  g  x   x  2022 Ta chọn x 1 2 f    g  1   2022    f  5  g  1   2022  g  1  2026   g  1  Từ phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y g  x  điểm có hồnh độ x 1 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM y g  1  x  1  g  1  y  2026  x  1   y  2026 x  2024  C  : y x  Câu 15: Cho đồ thị hàm số tiếp tuyến x  2023 đường thẳng  d  : y 2 x  Viết phương trình  C  biết tiếp tuyến song song với  d  : y 2 x  Lời giải Gọi điểm M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị  C y 2 x  suy hệ số góc k  y  x0  2 x0  Mặt khác tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : y 2 x   k 2  x0  2  x0 2  y0 2023 suy M  2; 2023  Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng: Câu 16: Phương trình tiếp tuyến y 2  x    2023 2 x  2019  C  : y 2 x3  3x  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 12 x  2022 Lời giải  x  x  x 12  x  x  0    x 2 Hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: M   1;   Với x  suy tọa độ tiếp điểm phương trình tiếp tuyến N  2;3 Với x 2 suy tọa độ tiếp điểm suy phương trình tiếp tuyến là: Câu 17: Phương trình tiếp tuyến d : y   C  : y x  x  d1 : y 12 x  d : y 12 x  21 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x  2022 Lời giải Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y   1 x ktt      ktt 8  2022 nên   3 Hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: x  x 8  x  x  0  x 1 Với x 1 suy tọa độ tiếp điểm M  1;  Phương trình tiếp tuyến y 8 x  Câu 18: Cho đường cong  C  : y x  3x  x  đường thẳng d : x  y  0 Tiếp tuyến Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM đường cong C song song với d có phương trình Lời giải Ta có đường thẳng d : x  y  0  y  x  Tiếp tuyến song song với d nên phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k  Gọi x0 hoành độ tiếp điểm  x0 0 y x0  k  x02  x0    3x02  x0 0    x0 2 Khi Với x0 0  M  0;  1 , phương trình tiếp tuyến là: y  x  trùng với d Với x0 2  N  2;   , phương trình tiếp tuyến là: y  x   C  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu 19: Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 9 x  Lời giải Xét hàm số y  f  x  x  3x  Ta có: y 3 x  x Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y 9 x  nên  x0    x 3 f  x0  9  3x02  6x 9  3x02  6x  0  y 9  x  1   y 9 x  Với x0   y0  Phương trình tiếp tuyến y 9  x  3   y 9 x  25 Với x0 3  y0 2 Phương trình tiếp tuyến Câu 20: Cho hàm số đến đồ thị y  x3  3x2 có đồ thị  C  điểm M  m;0  cho từ M vẽ tiếp tuyến  C có hai tiếp tuyến vng góc với Khi tìm m Lời giải Ta có y ' 3x  x  C  A  x0 ; x03  3x02  là: Phương trình tiếp tuyến  đồ thị y  3x02  x0   x  x0   x03  3x02 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM M  m;0      3x02  x0   m  x0   x03  3x02 0  x0   3x0    m  x0   x02  3x0  0  x0 0   x0    3m  x0  6m 0   y  0 Do  C  có hai tiếp tuyến nên để từ M vẽ tiếp tuyến đến đồ thị vuông góc với phương trình mãn điều kiện phải có nghiệm phân biệt 9m  30m    9  x1 x2   18 x1 x2  x1  x2   36 x1 x2   I  m 0  x1 , x2 nghiệm phương trình   nên theo định lí Vi-et, ta có  m     m     3m     I   9.9m  54m    36.(  3m)      m 0    Do Câu 21: Cho hàm số x1 , x2 khác thỏa y '  x1  y '( x2 )       6m 0   2  3x1  x1   3x2  x2   Vì   3m    x1  x2     x1 x2  3m  m     m      m  m 0 27  m  27    y x3  3x  x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết tiếp tuyến qua điểm N (0;1) hoành độ tiếp điểm số thực âm Lời giải Gọi M  x0 ; y0  Ta có: tiếp điểm y 3x  x  Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm M  x0 ; y0  có dạng: y (3x02  x0  6)( x  x0 )  x03  3x02  x0 1 Vì tiếp tuyến qua N (0;1) nên ta có: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM  x0 0  loaïi    x  3  thỏa mãn  (3x0  x0  6)( x0 )  x0  x0  x0   x0  3x0 0  Với x0  107 33  y0  , y ( x0 )  y  Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm Câu 22: Cho hàm số tọa độ? 33   107 33  x 1 x  4 2 y  33 x 1 y x  x2 có đồ thị  C  Có tiếp tuyến đồ thị  C  qua gốc Lời giải M  x0 ; y0  Gọi Ta có tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị  C y 4 x  x  y x0  4 x03  x0 y0  x04  x02 ;  C  M  x0 ; y0  là: y  x03  x0   x  x0   x04  x02 Phương trình tiếp tuyến  Tiếp tuyến qua gốc tọa độ nên  x0 0  x  x0    x0   x  x 0  x   3x   0   x0   Với 2 x0 0 , ta có y0 0 , y  0 Phương trình tiếp tuyến là: y 0  6 6  y    x0  y  x   y0   , ta có 9,  Với Phương trình tiếp tuyến là:  6 6  y    x0  y x y0   , ta có 9,  Với Phương trình tiếp tuyến là: Vậy có tiếp tuyến đồ thị Câu 23: Cho hàm số y  C qua gốc tọa độ 3x  C C x 1 , có tiếp tuyến đồ thị   cắt trục Oy, Ox hai điểm A B cho diện tích tam giác AOB ? Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Tập xác định hàm số D  \   1 y  Ta có  x  1  3x   M  x0 ;   C x0    d Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm là: d:y  x0 1 x  x0    3x0  x0  d :y  hay  x0  1 x 3x0  x0   x0  1  3x  x   A  0;    B  3x0  x0  ;0 x    Oy d   Ox Đường thẳng cắt hai điểm cắt   Ta có   1 3x0  x0  2 S AOB  OA.OB  3x0  x0  2   3x0  x0   4  x0  1 2  x0  1   x0 0  x0  x0 0    3x  x0  2 x0   x0    02     x0  x0   x0   3x  x  0 VN   0  Với x0 0  phương trình tiếp tuyến d : y x  Với x0   phương trình tiếp tuyến d : y 9 x  Vậy có tiếp tuyến đồ thị hàm số thỏa mãn Câu 24: Cho hàm số  C y x 1 x  có đồ thị đường cong  C  Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A, B cho OA 2OB Lời giải C M  x0 ; y0  Giả sử d tiếp tuyến đồ thị   điểm Do d cắt trục Ox, Oy điểm A, B cho OA 2OB nên  tan OAB  OB 1   OA Suy hệ số góc k d k  y x0   Ta có  2  x0  1  2  x0  1 0 nên   x0  1 4  k   x0  2  x      x0 3  x   Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM +) Với x0  : phương trình d y  +) Với x0 3 : phương trình d C Vậy có tiếp tuyến đồ thị   y  1  x 1  y   1  x  2 1  x  3  y  3  x    x  2 2 thỏa mãn Câu 25: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số độ tam giác vuông cân? y y  1 x y  x  2 2 x 1  C x 1 mà tiếp tuyến tạo với hai trục tọa Lời giải Tập xác định: D  y  Ta có ( x  1) Phương trình tiếp tuyến (C ) : y  x0  1  x x0   x0  x0  y x 1 ; y0  (C ) x0 x  điểm M  x0  (  ) có dạng Giả sử tiếp tuyến cắt Ox,Oy hai điểm A,B tam giác OAB cân Khi tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x y  x    1  x      1    x     Suy  Dễ thấy khơng xảy vế trái dương vế phải âm     x0  1 Ta có  x0 0 1    x0  x0 0 phương trình tiếp tuyến Với y x 1 x0  phương trình tiếp tuyến y x  Với Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán Page 11 Sưu tầm biên soạn