Toan 11 c7 b2 2 cac quy tac tinh dao ham tuluan hdg

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM VII ĐẠO HÀM C H Ư Ơ N BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I LÝ THUYẾT = = = Từ định nghĩa đạo hàm ta có: I  c   0  c const  ;  x   1, x   ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Hàm số y  x n  n   * y  x n  n   * x n   nx n    có đạo hàm ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y  x Hàm số y  x  0;  có đạo hàm  x  2 x ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x Chú ý: Giới hạn x Nếu lim u  x  0 x  x0 sin x 1 x x lim sin u  x  1 x  x0 u  x lim a) Đạo hàm hàm số y sin x  sin x   cos x Hàm số y sin x có đạo hàm   sin u   u .cos u u u  x  y  sin u Đối với hàm số hợp ta có b) Đạo hàm hàm số y cos x  cos x    sin x Hàm số y cos x có đạo hàm  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM  cos u    usin u u u  x  Đối với hàm số hợp y cos u ta có c) Đạo hàm hàm số y tan x   tan x    x   k cos x Hàm số y tan x có đạo hàm  tan u    u u  x  Đối với hàm số hợp y tan u ta có u cos u d) Đạo hàm hàm số y cot x  cot x    sin x  cot u    u sin u Hàm số y cot x có đạo hàm x k u u  x  Đối với hàm số hợp y cot u ta có ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Cho biết: ex  1 +) x  x lim ln   x  1 x +) x  lim ln 1  u  x   e 1 lim 1  lim u  x  0 x  x0 x  x0 u  x  u x   +) Nếu x  x0 ; u x lim  ax  e x ln a   lim  ln a  ln a x x x x ln a   lim +) log a   x  ln   x  lim  x x x ln a ln a +) x  lim ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI HÀM SỐ u u  x  , v v  x   a; b  Khi Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng  u  v   u  v;  u  v   u  v;  uv   uv  uv;  ku   ku  k const  ; Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM v  u  uv  vu    v  ;       v v  x  0    v v v v ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP a) Khái niệm hàm số hợp Giả sử u g  x  y  f  u hàm số hàm số xác định khoảng hàm số xác định y  f  u với u g  x   a; b  , có tập giá trị chứa khoảng  c; d   c; d  Hàm số y  f  g  x  gọi hàm số hợp b) Đạo hàm hàm số hợp Nếu hàm số số hợp u g  x  y  f  g  x    y  f  u có đạo hàm u x x hàm số có đạo hàm yu u hàm  có đạo hàm yx x yx  yu.u x Từ ta có kết sau:  u   n.u n n  u    2uu u   n  , n  1 ;  u  0 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM CẤP HAI y  f  x y   f  x  x   a; b  y   f  x  Cho hàm số có đạo hàm điểm Nếu hàm số y  f  x  lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm đạo hàm cấp hai hàm số y  f  x f  x  x , kí hiệu y f  x   f  x  Khi đó:     Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI s  f  t s  f  t Một chuyển động có phương trình đạo hàm cấp hai (nếu có) hàm số gia tốc tức thời chuyển động II = = = Câu 1: I HỆ THỐNG B À s s  t  I TẬP TỰ LU a  t   f  t  thời điểm t Ta có ẬN Tính đạo hàm hàm số sau: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM a y 4 x  1 y x   1 x x x b x 2   1  y  x    x  x  x   d y  x  x  x  x  x  c Lời giải y 8 x  a y 1  b x x x2   3 x4 2   1 1  y  x     x  x   x   x  x   x  y  1  x  x  x x    c y 1  d Câu 2: a x  3 x  4 x  5 x4 Tính đạo hàm hàm số sau: y   x    x    3x  c y x  x   b  y  x x x  x  1    y     x   y  x3  x  x    x  x  e  d Lời giải a y   x    x    3x    3x  x    3x  1  x  x  x  x  x3 1  x  11x  x  y   22 x  18 x b  y  x x x  x  1 x  x  x  x x  x x  y 3x  x   x 3 x  x 2 x c y  x  x    x  x  12 x  48 x  64   x5  12 x  48 x  64 x y 5 x  48 x  144 x  128x  1   y     x    x     y  1   x  x  x x x x  d e y  x3  x    x  2 x  x  x  3x  y  6 x  x3   x Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TỐN – 11 – ĐẠO HÀM Câu 3: a Tính đạo hàm hàm số sau: y d x2 x2  4x  y y x b x  c 2x  y  x  x2 x y y  x  x f 2x  x  e Lời giải a y  2 x2 y  2x  1  x  2  x  1 b c y  x d  x  1  x 1   x 1 x   x  14 x  12  x  x   x  3  x  x  14  x  3 1 x x  x  1 2   1 2x 1 2x  y   y   2 1 x  x   x  x2    x  x2  y  f Câu 4:   x  3  x     x  x  1 y   x  3 e  x  1 Tính đạo hàm hàm số sau: a  y  x x  x  x  x  x 1  x    x   y  x   b 1 x y y  x3    x  x3  x  x  x3  c d x y y  x   x  3x x  x  e f Lời giải 2x      1 1  y 5       x x  x  x  x 4 x x x x   a   Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM   x 1   y 7  x  x     x    b  x          x  x x2    y 7   2 x  x x 1    3 1   x     x       x         2x   x  y 7  2 x  x   x 1  x    x  x 1  x    x   x  x  x  1      x     x2    x     33 1    x      x  2x   x  x3 y 7  2  x  x 3   x 1     x2         x     y  x     x   x3    1 x2  c   3  x   x 1  x    x  x 1  x    x     2x y 3 x  x  x3    x3   3x2 x3   1     3 x     x  x  x    x   1 x  x  x  x x    y      d   x  x  x3   2 1 3x2      x  x  x   x   1       x  x   x x     y     x  x   x y  e Câu 5:  x  x  x3   2 x 1 2 x2 x2  x 1  x  x   x  x  2 x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1      Tìm đạo hàm hàm số sau: y sin  x  x   y  5sin x  3cos x a b c y   tan x d y tan x  cot x Lời giải a Ta có: y 5cos x  3sin x Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 2 b Ta có: y ( x  3x  2).cos( x  3x  2) (2 x  3).cos( x  3x  2) c Ta có: 2 cos x   y   tan x  tan x cos x  tan x  tan x   d Ta có cách thực sau: Cách 1: Ta có ngay: y’ = y  3   2 cos x sin 3x sin x.cos x  12 sin x  sin 6x Cách 2: Ta biến đổi: y sin x co s3 x sin x  cos x 2cos x    cos3 x sin x cos3 x.sin 3x sin x  2cot 6x y'   Câu 6: 12 sin x Tính đạo hàm hàm số: 1 1 1    cos x 2 2 2 với x  (0;  ) y Lời giải Biến đổi hàm số dạng: y = = 1 1 1    cos x 2 2 2 = 1 1 x   cos 2 2 = cos 1 1 x   cos 2 2 2 1 x  cos 2 = 1 x  cos 2 x x cos = x  x  y  cos   sin 8 8  Do Câu 7: Chứng minh rằng: a Hàm số y tan x thoả mãn hệ thức y  y  0 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM b Hàm số y cot x thoả mãn hệ thức y  y  0 Lời giải a Trước tiên, ta có: y  cos x Khi đó, ta có: y  y   1  tan x  2 cos x = cos x  cos x = b Trước tiên, ta có: y  sin 2 x Khi đó, ta có: 2   cot 2 x    2 2  y  y   sin x sin x sin x = Câu 8: Tìm giới hạn eax  ebx x x A lim Lời giải bx  ax  e ax  ebx lim  a e   b e   a  b A lim x ax bx  x  x Ta có Vậy A a  b Câu 9: Tìm giới hạn A lim e x 1 x e x 1 x  Lời giải A lim x e x 1 e x 1 x   x   e x 1  lim   x  x x 1   x   lim x lim x x Ta có x  3  x  e 1 x    x  3x    2x  1 x   lim x x 1 1  x   e x 1  lim 1 x x 2x 1  Nên Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM  3x  lim x x Ta có lim x  3x x    x    x  1   lim x 3    3x    x  1     x  e 1 x   lim  x x  x  Nên Vậy A 2  ex A lim x x 1  Câu 10: Tìm giới hạn Lời giải  ex x ex  A lim lim x x 1  x x   x x  lim x 1  x lim Ta có x lim Nên x   x    x ex   x 1  x Vậy A  Câu 11: Tìm giới hạn 1 x A lim x  1 x Lời giải  ln 1 x   1  lim  ln   x  e  x x  ln   x  x Vậy A  1 x A lim x  ex  A lim x  sin x Câu 12: Tìm giới hạn Lời giải e  lim x A lim x  sin x x ex  x 2x  e x  sin x   Vậy A x  1 x  A  lim  x    x   Câu 13: Tìm giới hạn Lời giải x  1 x  A  lim  x   x   , đặt t  x  , x   t   Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM  t 2  A  lim  t    t  t 1 t   t t   2  t   t    lim 1  t   t    lim t  t   t  t    e Vậy A e e x  cos x A lim x x2 Câu 14: Tìm giới hạn Lời giải  e x2  1  cos x  e x  cos x lim    A lim x  x2 x2  x   x  A 1   x  x2 2sin  e 1 2 lim   x  x2  x       2   3  A 2 Vậy e x   x A lim x ln   x  Câu 15: Tìm giới hạn Lời giải 2  e x  x2   x2 e 3x   x lim    3  A lim x x ln   x     3x  ln   x2  ln   x2  e x  x2 lim   3  x   3x  ln   x     Ta có   1   x lim  x lim x  ln  x    x2   x2    Ta có  Nên A      x2  ln   x     10 10 A   3 Vậy n sè h¹ng  a  aa   aa a A lim 10n Câu 16: Tìm giới hạn Lời giải Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM n số hạng  n sốhạng      a n số hạng a   11  111   111     99  999   999      9   a  aa  aaa   aa a   n  a  10  10  1 a    n n   10   10   10    10  1    n sè h ¹ ng  a a  aa   aa a lim lim 9.10n n 10 Ta có Mặt khác lim 10  10 n  1 9.10 n n  10  10n  1  a  10  10  1 n     n  lim   9  9.10n 10n      10  n n  2 1 n  n lim n 0  lim n 0  n n   n  10  10  , mà 10 Và n Cn  Cn   Cn  10a A 81 Vậy L lim x Câu 17: Tìm giới hạn ln   x   cos x Lời giải L lim Ta có x ln   x  lim ln   3x   cos x x 2sin x x  3x x  ln   x   ln   x   3ln   x   sin x    lim  :   x  3x2 x      L lim Câu 18: Tìm giới hạn Lời giải  x  3x    ln   x  ln   x   x  3x L lim lim     : x  ln   x   ln   x  x x x   x x   Ta có  ln  ln 3 :   3  ln Câu 19: Tìm giới hạn e x   x L lim x ln   x  Lời giải Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM  e x2  e x   x L lim lim   x x  x ln   x     x2 1  e lim    x  x   Câu 20: Tìm giới hạn L lim x  x   ln   x  :  x2 x2    ln   x  :   x   x2 1   2 1 x  ln  sin x  cos x  x Lời giải ln  sin x  cos x  ln  sin x  cos x  ln  sin x  cos x  lim L lim lim x x x 2x x 2x Ta có ln   sin x  lim  ln   sin x  sin x  1   x sin x 2x  x  2x lim Câu 21: Tìm giới hạn L lim ln   x    ln   x 1 1 x x Lời giải L lim x ln   3x    ln   x 1 1 x lim ln  x  x    ln   ln  x   x    ln      x 1    3x     1   ln    ln  2      lim    x x x      ln       3  3x  1  3x 1     3x    lim 3x ln    x   x  1  3x   1 2  3  x  1  3 x   lim  x x Ta có  3x    x 1  ln   1  x 1    x 1 1   ln   1 lim x x  x 1 1 lim  x x 1 1 x Và   Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 1 L   4 Vậy x Câu 22: Tính đạo hàm hàm số y 2 2 Lời giải y 2 x 2  y  x    x 2.ln 2 x.2 x 2.ln x.2 x 3.ln 2 Câu 23: Tính đạo hàm hàm số y  x  x  e x Lời giải y  x  x  e x  y  x   e x   x  x  e x  x  x   e x x Câu 24: Tính đạo hàm hàm số y  xe Lời giải x y  xe  x  y e  x  x.e  x   x  e x Câu 25: Tính đạo hàm hàm số y e 2 cos x Lời giải y e x 2 cos x  y 2 x.e x Câu 26: Tính đạo hàm hàm số 2 cos x  e x y 2 x sin x  x cos x  sin x  e 2 3x  3 x 3x  3 x Lời giải x y 3 y' x 3  x  3 x 3  x x ln  3 x ln 3  3x  3 x    3x  3 x   3x ln  3 x ln  3  3 x    x   x  3 x 3 x  ln  x  3 x  ln 3 x  3 x  tan x Câu 27: Tính đạo hàm hàm số y cos x.e Lời giải y cos x.e tan x Câu 28: Cho hàm số  y  sin x.e tan x  cos x f  x  e x 1 Tính f  1  tan x   sin x  e tan x e   cos x  cos x Page 14 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Lời giải e   u .e  Sử dụng công thức: u f  x  e x 1  f  x   u x 1 x.e x  Vậy f  1  e 2x x Câu 29: Chứng minh rằng, y e  2e y  y  y 0 Lời giải 2x x y  y  4e2 x  2e  x y  y  8e x  2e  x  Ta có y 2e  2e ; ; Suy ra: y  y  y 0 Câu 30: Cho hàm số y ln  cos x  Với điều kiện hàm số cho, tìm đạo hàm hàm số Lời giải  ln u   uu  cos x    sin x Phân tích: Sử dụng cơng thức: ;  Đạo hàm: cos x    sin x  y    tan x cos x Câu 31: Cho hàm số cos x  y ln x  x   Với điều kiện hàm số cho, tìm đạo hàm hàm số Lời giải  ln u   uu   Phân tích: Sử dụng công thức: x  y  Đạo hàm: x2 1   x 2x  ;  1  u    2uu 2x  x   x x2 1 1 x  x     x2  x 1 x2  x 1 x2  x2 1 x2  x2 1 x2 1 2   DẠNG: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP HAI = = = I PHƯƠNG PHÁP + Áp dụng trực tiếp cơng thức để tính đạo hàm cấp hai y x0  + Tính y  y  Page 15 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = f   f  x   x  3 Câu 32: Cho Tính I Lời giải Ta có: f  x  6  x  3 Suy f  x  6.5  x  3 30  x  3 Từ đó: f   30   3 30 4 Câu 33: Đạo hàm cấp hai hàm số f  x   x3  x  điểm x 2 là: Lời giải Ta có: f  x  3 x  x f  x  6 x  Suy ra: f   10 Nên:   f "   f  x  sin x   bằng: Câu 34: Cho Giá trị Ta có: Lời giải f  x   9sin x f  x  3cos3x  f "   Do đó: suy   3   sin   2    9  Câu 35: a) Cho f  x   x  10  b) Cho f  x  sin x a) Ta có: Tính f "      f    f     f    ,  18  Tính , Lời giải f  x  6  x  10  Suy f  x  6.5  x  10  30  x  10  Từ đó: f   30   10  622080 4 b) Ta có f  x  3cos3 x  f    Khi đó: f  x   sin x   3      9 f    9sin      9sin     f    9sin   0 2    18   6 ; Page 16 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Câu 36: Đạo hàm cấp hai hàm số y x 1 x  là: Lời giải Ta có: y x 1  y  y  1   x    x  2 x x Câu 37: Đạo hàm cấp hai hàm số y sin xcos2 x Lời giải Ta có: y sin xcos2 x  y   sin x  sin 3x  1  7cos7 x  3cos3x   y    49sin x  9sin 3x  2 Do Câu 38: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y y  x c) y tan x d) y cos x  x b) a) Lời giải y  a) Ta có: 1 x y  b) Ta có: c) Ta có: y  y  21 x 1 x 2 1 x y  41 x 1 x 2sin x y  cos x cos3 x 1 y   cos x 2 d)Ta có: Khi đó: y  cos2 x y  2cos2x Câu 39: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: a) y sin xcos x b) d) g) y y x 1 x y x  x  c) x 1 x 2 x  e) y  x sin x f) y x  x y   x  cos x h) y  x i) y sin x sin x sin 3x x2 y y x  x k) y  x cos x l) j) Lời giải Page 17 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM a) Ta có: Khi đó: y sin xcos2 x  y  b) Ta có:  sin x  sin 3x  1  7cos7 x  3cos3x  y   49sin x  9sin 3x  2 y x 1 1   x  x x x2 y   x  1 Khi đó:   x  2 y   x  1   x  2 x 1 1      x   x 1 x   y c) Ta có: 1 1 1  1 y     y   2 3   x  1  x  1   x 1  x  1 Khi đó: d) Ta có: y y  Khi đó: x 1  x2 x2  x  2 y   x  2 y   x  sin x  x cos x e) Ta có: y 2 x.sin x  x cos x y  x2 1 f) Ta có: g) Ta có:  x x3  3x 1 x  y  x cos x    x  sin x y  h) Ta có: y  x y   x2 y  x  3 cos x  x sin x 4x x 1 y sin x sin x sin 3x  sin x  sin x  sin x 4 i) Ta có: y  cos2 x  cos4 x  cos6 x 2 Khi đó: y  sin x  4sin x  9sin x x2 y  x   1 x 1 x j) Ta có: y   Khi đó: 1 x y  2 1 x Page 18 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM k) Ta có: y cos x  x sin x y  4sin x  xcos2 x y  l) Ta có: x x y  x5 DẠNG: GIA TỐC = = = Câu 40: I BÀI TẬP TỰ LUẬ N Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S  t  3t  9t , t tính giây S tính mét Tính vận tốc chuyển động thời điểm gia tốc triệt tiêu Lời giải Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: v S   3t  6t  Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: a S   6t  Gia tốc triệt tiêu S  0  t 1 Khi vận tốc chuyển động S  1 12 m/ s S  t  t  3t  9t  Trong t tính giây, S tính mét Tính gia tốc chuyển động thời điểm t 3s ? Câu 41: Một chuyển động xác định phương trình Lời giải v  t  S  t  3t  6t  Vận tốc chuyển động thời điểm t có phương trình a  t  v t  6t  Gia tốc chuyển động thời điểm t có phương trình a  3 6.3  12 m/s Tại thời điểm t 3s ta có Câu 42: Một chất điểm chuyển động có phương trình S 2t  6t  3t  với t tính giây (s) S tính mét (m) Hỏi gia tốc chuyển động thời điểm t 3( s) bao nhiêu? Lời giải Ta có vận tốc tức thời chuyển động tính theo cơng thức:  v  t   S  t   8t  12t  Khi gia tốc tức thời chuyển động tính theo công thức: a  t  24t  12  a  3 24.32  12 228  m/s  228  m/s  Vậy gia tốc chuyển động thời điểm t 3( s) Page 19 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Page 20 Sưu tầm biên soạn