CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM VII ĐẠO HÀM C H Ư Ơ N BÀI 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I LÝ THUYẾT = = = Từ định nghĩa đạo hàm ta có: I c 0 c const ; x 1, x y x n n * ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Hàm số y x n n * x nx n có đạo hàm n ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y x 0; Hàm số y x có đạo hàm x 2 x ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x Chú ý: Giới hạn x Nếu lim u x 0 x x0 sin x 1 x x lim sin u x 1 x x0 u x lim a) Đạo hàm hàm số y sin x sin x cos x y sin x Hàm số có đạo hàm sin u u.cos u u u x Đối với hàm số hợp y sin u ta có b) Đạo hàm hàm số y cos x cos x sin x y cos x Hàm số có đạo hàm Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM cos u usin u u u x Đối với hàm số hợp y cos u ta có c) Đạo hàm hàm số y tan x tan x x k cos x Hàm số y tan x có đạo hàm u u x Đối với hàm số hợp y tan u ta có tan u u cos u d) Đạo hàm hàm số y cot x cot x sin x cot u u sin u Hàm số y cot x có đạo hàm x k u u x Đối với hàm số hợp y cot u ta có ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Cho biết: ex 1 x x +) lim ln x 1 x x +) lim ln 1 u x eu x lim 1 lim lim u x 0 x x0 x x0 u x u x x x0 +) Nếu ; +) ax e x ln a lim lim ln a ln a x x x x ln a log a x ln x lim x x x x ln a ln a +) lim ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI HÀM SỐ u u x , v v x a; b Khi Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng u v u v; u v u v; uv uv uv; ku ku k const ; Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM v u u v vu v ; v v x 0 v v v v ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP a) Khái niệm hàm số hợp Giả sử u g x y f u hàm số hàm số xác định khoảng hàm số xác định y f u với u g x a; b , có tập giá trị chứa khoảng c; d c; d Hàm số y f g x gọi hàm số hợp b) Đạo hàm hàm số hợp Nếu hàm số số hợp u g x y f g x y f u có đạo hàm u x x hàm số có đạo hàm yu u hàm có đạo hàm y x x yx yu.ux Từ ta có kết sau: u n.u n n u 2uu u n , n 1 ; u 0 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM CẤP HAI y f x y f x x a; b y f x Cho hàm số có đạo hàm điểm Nếu hàm số y f x lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm đạo hàm cấp hai hàm số y f x f x x , kí hiệu y f x f x Khi đó: Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI s f t s f t Một chuyển động có phương trình đạo hàm cấp hai (nếu có) hàm số gia tốc tức thời chuyển động II = = = Câu 1: I HỆ THỐNG B À s s t I TẬP TỰ LU a t f t thời điểm t Ta có ẬN Tính đạo hàm hàm số sau: a y 4 x x x y x b 1 1 x x Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM 1 y x x x x c Câu 2: c y x x x y x x 4 y x x b x x 1 y x y x3 x x x e x d Tính đạo hàm hàm số sau: a d Câu 4: d y x x x x x Tính đạo hàm hàm số sau: a Câu 3: y y x2 4x x2 y y x b x c 2x x x2 x y y x e x x f 2x Tính đạo hàm hàm số sau: a y x x x x 5 x x 1 x x y x b 1 x y y x3 x x3 x x x3 c d x y y x x 3x x x e f 2x Câu 5: Tìm đạo hàm hàm số sau: y sin x x a y 5sin x 3cos x b c y tan x d y tan x cot x Câu 6: Tính đạo hàm hàm số: y Câu 7: 1 1 1 cos x 2 2 2 với x (0; ) Chứng minh rằng: a Hàm số y tan x thoả mãn hệ thức y y 0 b Hàm số y cot x thoả mãn hệ thức y y 0 Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM Câu 8: Câu 9: eax ebx A lim x x Tìm giới hạn Tìm giới hạn A lim Câu 11: Tìm giới hạn Câu 12: Tìm giới hạn e x x 1 x ex x 1 A lim Câu 10: Tìm giới hạn x 1 e x 1 x A lim 1 x x ex sin x A lim x x 1 x A lim x x Câu 13: Tìm giới hạn e x cos x A lim x x2 Câu 14: Tìm giới hạn e x x A lim x ln x Câu 15: Tìm giới hạn n sè h¹ng a aa aa a A lim 10n Câu 16: Tìm giới hạn L lim Câu 17: Tìm giới hạn Câu 18: Tìm giới hạn x ln x cos x x 3x L lim x ln x ln x Câu 19: Tìm giới hạn Câu 20: Tìm giới hạn Câu 21: Tìm giới hạn e x x L lim x ln x ln sin x cos x x x L lim L lim x ln x ln x x 1 1 Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM x Câu 22: Tính đạo hàm hàm số y 2 Câu 23: Tính đạo hàm hàm số 2 y x x e x x Câu 24: Tính đạo hàm hàm số y xe x Câu 25: Tính đạo hàm hàm số y e Câu 26: Tính đạo hàm hàm số y 2 cos x 3x 3 x 3x 3 x tan x Câu 27: Tính đạo hàm hàm số y cos x.e Câu 28: Cho hàm số f x e x 1 Tính f 1 2x x Câu 29: Chứng minh rằng, y e 2e y y y 0 Câu 30: Cho hàm số Câu 31: Cho hàm số y ln cos x Với điều kiện hàm số cho, tìm đạo hàm hàm số y ln x x Với điều kiện hàm số cho, tìm đạo hàm hàm số DẠNG: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP HAI = = = I PHƯƠNG PHÁP + Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp hai y x0 + Tính BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = f f x x 3 Câu 32: Cho Tính I f x x3 Câu 33: Đạo hàm cấp hai hàm số Câu 34: Cho f x sin x x 1 y y điểm x 2 là: f " bằng: Giá trị Câu 35: a) Cho f x x 10 Tính f " 2 Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM f f f x sin x , f , 18 b) Cho Tính Câu 36: Đạo hàm cấp hai hàm số y x 1 x là: Câu 37: Đạo hàm cấp hai hàm số y sin xcos2 x Câu 38: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 y y x c) y tan x d) y cos x x b) a) Câu 39: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: a) y sin xcos x d) g) y b) x x e) y x sin x y x cos x y x 1 x x 2 x x 1 2 f) y x x h) y x x2 y 1 x j) c) y i) y sin x sin x sin x k) y x cos x y l) x DẠNG: GIA TỐC = = Câu= 40: I BÀI TẬP TỰ LUẬ N Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S t 3t 9t , t tính giây S tính mét Tính vận tốc chuyển động thời điểm gia tốc triệt tiêu S t t 3t 9t Trong t tính giây, S tính mét Tính gia tốc chuyển động thời điểm t 3s ? Câu 41: Một chuyển động xác định phương trình Câu 42: Một chất điểm chuyển động có phương trình S 2t 6t 3t 1 với t tính giây (s) S tính mét (m) Hỏi gia tốc chuyển động thời điểm t 3( s ) bao nhiêu? Page 14 Sưu tầm biên soạn