Bài 1 1 giá trị lượng giác của 1 góc lượng giác cd lời giải

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1:GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I GĨC LƯỢNG GIÁC 1) Góc hình học số đo chúng Góc (cịn gọi góc hình học) hình gồm hai tia chung gốc Mỗi góc có số đo, đơn vị đo góc (hình học) độ Cụ thể sau: Nếu ta chia đường tròn thành 360 cung tròn góc o tâm chắn cung Số đo góc (hình học) khơng vượt 180 Một đơn vị khác sử dụng nhiều đo góc radian (đọc ra-đi-an) Nếu đường trịn, ta lấy cung trịn có độ dài bán kính góc tâm chắn cung gọi góc có số đo radian, gọi tắt góc radian (Hình 2) radian viết tắt rad Nhận xét: o Ta biết góc tâm có số đo 180 chắn cung nửa đường trịn ( có độ dài  R ) nên số đo R rad  rad góc 180 R o o  180     o ' '' o 1rad   57 17 45   rad 0,0175rad  180     Do đó,  rad Chú ý: người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đa góc Chẳng hạn,  viết 2) Góc lượng giác số đo chúng a)Khái niệm Việc quay tia Om quanh điểm O mặt phẳng, ta cần chọn chiều quay gọi chiều dương Thông thường, ta chọn chiều dương chiều ngược chiều quay kim đồng hồ chiều chiều quay kim đồng hồ gọi chiều âm Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay theo chiều dương (hay theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov ta nói: Tia Om qt góc lượng giác với tia đầu Ou tia cuối Ov, kí hiệu (Ou, Ov) a rad   180 Khi tia Om quay góc ta nói góc lượng giác mà tia quét nên có số đo ( hay )   Vì thế, góc lượng giác có số đo, đơn vị đo góc lượng giác độ radian Nếu  Ou, Ov   góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo  kí hiệu sđ (Ou , Ov)  Mỗi góc lượng giác gốc xác định tia đầu Ou, tia cuối Ov số đo góc b) Tính chất Nhận xét: Quan sát Hình ta thấy: Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov quay tiếp số vòng đến trùng với tia cuối Ov; ' ' ' ' Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia O u Ou đến trùng với tia O v Ov ' ' quay tiếp số vòng đến trùng với tia cuối O v Ov ' ' ' ' Sự khác biệt hai góc lượng giác ( Ou,Ov), (O u , O v ) số vịng quay quanh điểm O Vì vậy, khác biệt số đo hai góc lượng giác bội ngun 360° hai góc tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên 2 rad hai góc tính theo đơn vị radian) Cho hai góc lượng giác (Ou , Ov),  Ou , Ov    Ou O u  có tia đầu trùng '), tia cuối trùng  Ov O v  Khi đó, sử dụng đơn vị đo độ ta có:   (Ou , Ov)  Ou , O v    k 360  với k số nguyên Nếu sử dụng đơn vị đo radian cơng thức viết sau: (Ou , Ov)  Ou  , O v  k 2 với k số nguyên Người ta chứng minh định lí sau, gọi hệ thức Chasles (Sa-lơ) số đo góc lượng giác: Với ba tia tuỳ ý Ou , Ov, Ow ta có (Ou, Ov )  (Ov, Ow) (Ou, Ow)  (k 2 )( k  ) II GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC LƯỢNG GIÁC Đường trịn lượng Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta quy ước: Chiều ngược chiều quay kim đồng hồ chiều dương chiều quay kim đồng hồ chiều âm Như vậy, mặt phẳng toạ độ Oxy định hướng Trong mặt phẳng toạ độ định hưỡng Oxy, lấy điểm A(1;0) Đường tròn tâm O , bán kính OA 1 gọi đuờng trịn lượng giác (hay đuờng tròn đơn vị) gốc A ' ' Chú ý: Các điểm B (0;1), A (  1;0), B (0;  1) nằm đường tròn lượng giác Giá trị lượng giác góc lượng giác - Hoành độ x điểm M gọi cơsin  , kí hiệu cos  , cos  x - Tung độ y điểm M gọi sin  , kí hiệu sin  , sin  y sin  sin  tan   cos  - Nếu cos  0 , tỉ số cos  gọi tang  , kí hiệu cot  , cos  cos  cot   sin  - Nếu sin  0 , tỉ số sin  gọi cơtang  , kí hiệu cot  ,   OA, OM  Dấu giá trị lượng giác góc phụ thuộc vào vị trí điềm M đường trịn lượng giác (Hình 12) Bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau: tan   sin   cos  1 với   tan    cos  0  cos   cos  0, sin  0  cot   cot   (sin  0) sin  Bảng nêu lên giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’sao cho góc lượng giác (OA, OM )  , góc lượng giác  OA, OM ' – (Hình 13) Ta có cơng thức sau cho hai góc đối   -  : sin(   )  sin  tan(  )  tan  cos(  ) cos  cot(  )  cot  Ta có cơng thức sau cho: Hai góc     +  (Hình 14): sin(   )  sin  tan(   ) tan  cos(   )  cos  cot(   ) cot  Hai góc bù (     ) (Hình 15): sin(   ) sin  tan(   )  tan  cos(   )  cos  cot(   )  cot           (Hình 16): Hai góc phụ    sin     cos  2    tan     cot  2    cos     sin  2    cot     tan  2  4.Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác góc lượng giác Ta sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác (đúng gần đúng) góc lượng giác biết số đo góc Cụ thể sau:   , trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ "độ” o Nếu đơn vị góc lượng giác độ   Nếu đơn vị góc lượng giác radian (rad), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ "radian" B PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP LOẠI Dạng : Đơn vị đo độ rađian Phương pháp Dùng mối quan hệ giữ độ rađian: 180  rad  Đổi cung a có số đo từ rađian sang độ  Đổi cung x có số đo từ độ rađian Các ví dụ minh họa a x Ví dụ 1: a) Đổi số đo góc sau rađian: 180   180 720,6000, - 37045'30'' 5p 3p , ,- b) Đổi số đo góc sau độ: 18 Lời giải   2  10 10  rad 720 72  ,6000 600  , 180 180 180 a) Vì nên 0 4531   45   30   4531   37 4530  37      0, 6587     120 180  60   60.60   120  0 0 5  5 180   180   3 180  o 3 o 1rad      50 ,  108 ,       nên 18  18   b) Vì 0  180   720          2260 48       Ví dụ 2: Đổi số đo cung tròn sang số đo độ: 3 5 a) b) 32 c) 3 d) e) 2,3 Lời giải 3 135 a) 5 150 b) 32 1920 c)  3  540      d) 2,3  e) f) 5,  2,3.180 131, 78  5, 6.180 320,856  Ví dụ 3: Đổi số đo cung tròn sang số đo radian: a) 45 b) 150 c) 72 d) 75 Lời giải a) 45   5 2 5 150  72  75  b) c) d) 12 Dạng 2: Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Phương pháp Để biểu diễn cung lượng giác có số đo đường trịn lượng giác ta thực sau: Lưu ý: Chọn điểm A  1;0  làm điểm đầu cung Ð AM  Xác định điểm cuối M cung cho f) 5, + Số đo cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối sai khác bội 2 là: Ð sñ AM   k 2 ; k   Ngồi ra, ta viết số đo độ: Ð sñ AM x   k 360 , k   Ð 2 AM   k ; k, n   n + Nếu ta có có n điểm Các ví dụ minh họa 25 Ví dụ 1: Biểu diễn đường tròn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo Hướng dẫn giải Ta có Ð 25  24   sđ AM      6   2.3. 4 4 Ð Vậy điểm cuối M cung AM trùng với điểm   cung Suy M điểm cung nhỏ AB Ví dụ 2: Biểu diễn đường tròn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo  1485 Hướng dẫn giải Ð sñ AM  1485  45   360 Ta có Ð M AM Vậy điểm cuối cung trùng với điểm cung  45    Suy M điểm cung nhỏ AB Ví dụ 3: Biểu diễn đường tròn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo    k ;k  Hướng dẫn giải Ð  2 sñ AM   k nên có điểm đường trịn lượng giác Ta có Ð  k 0  sđ AM  có điểm M Ð   k 1  sđ AN   có điểm N Ð  k 2  sñ AP    có điểm P Ð  3 k 3  sñ AQ   có điểm Q Ð  k 4  sđ AR   2 có điểm R Lúc điểm R trùng với M Vậy bốn điểm M , N , P, Q tạo thành hình vng nội tiếp đường trịn lượng giác Ví dụ 4: Biểu diễn đường trịn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo Hướng dẫn giải Ð 2 sñ AM k nên có điểm Ta có đường trịn lượng giác Ð k 0  sđ AM 0 có điểm M Ð  k 1  sđ AN  có điểm N Ð 2 k 2  sđ AP  có điểm P Ð k 3  sñ AQ  có điểm Q Ð 4 k 4  sđ AR  có điểm R Ð 5 k 5  sđ AS  có điểm S Ð k 6  sñ AT 2 có điểm T Lúc điểm T trùng với M Vậy sáu điểm M ; N ; P; Q; R; S tạo thành lục giác nội tiếp đường tròn lượng giác Dạng Độ dài cung trịn Phương pháp giải Cung có số đo  rad đường trịn bán kính R có độ dài I R. k  ;k  Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một đường trịn có bán kính 30 cm Tìm độ dài cung đường trịn có số đo sau đây:  rad; 70 15 Lời giải Gọi  , l, R số đo cung, độ dài cung bán kính đường trịn Khi R 30 cm  rad Độ dài cung có số đo 15 là: l R. 30  2  cm  15 Độ dài cung có số đo 70 Chuyển từ độ sang rađian: Độ dài cung: l R. 30 70 70  7  180 18 7 35  18  cm  Ví dụ 2: Một cung lượng giác đường trịn định hướng có độ dài nửa bán kính Số đo theo rađian cung rad A B rad rad C D rad Lời giải Gọi  , I , R số đo cung, độ dài cung bán kính đường trịn I R Vì độ dài nửa bán kính nên R I I R.       rad  R R Ta có Ví dụ 3: Bánh xe máy có đường kính kể lốp xe 55 cm Nếu xe chạy với vận tốc 40 km/h giây bánh xe quay vòng? Lời giải 10000  Ta có 40 km/h cm/s vịng bánh xe có chiều dài 110 cm 10000 :  110  3, Số vòng bánh xe quay giây Dạng : Tính giá trị góc cịn lại biểu thức lượng giác biết giá trị lượng giác Phương pháp giải  Từ hệ thức lượng giác mối liên hệ hai giá trị lượng giác, biết giá trị lượng giác ta suy giá trị lại Cần lưu ý tới dấu giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp  Sử dụng đẳng thức đáng nhớ đại sơ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc a biết: a) sin   900    1800 b) cos   3     3   d) cot   c) tan   2     Lời giải 0 2 a) Vì 90    180 nên cos   mặt khác sin   cos  1 suy cos    sin    2  sin  tan     cos  2 2  Do 2 b) Vì sin   cos  1 nên Mà     sin    cos    3 sin    sin   suy  cos  sin  cot     tan     sin  5 cos    3 Ta có  c) Vì tan   2 tan    Ta có  cot   1  tan  2 1  cos    cos  tan    2   1   cos   1 Vì      sin   tan   2  nên cos   Vì cos   tan   Ta có sin   1 2  sin  tan  cos   2     cos   3 d) Vì cot   nên cot    Ta có tan   1  cot  1 1  sin      sin   2 sin  cot  1   3    3    cos   Do cot    nên sin   sin   Do Ta có cot   3 cos   cos  cot  sin    sin  3 Ví dụ 2: a) Tính giá trị lượng giác cịn lại góc  biết b) Cho 3sin   cos   sin   tan   cot   Tính A 2sin   cos  Lời giải cot    a) Ta có 1  25  cot  24 2 sin     5   hay cot  2 Vì tan  , cot  dấu tan   cot   nên tan   0, cot   Do cot   Ta lại có cot   tan   1  cot  cos  2  cos  cot  sin    sin  5 1 3sin   cos    3sin     sin    2 b) Ta có  6sin     2sin   sin   1  4sin   4sin   0   2sin   1  2sin   3 0  2sin   0 Suy sin   Ta lại có (Do 2sin    ) cos  1  sin  1  1  2 1 1 A 2        2  2 Suy Ví dụ 3: a) Cho cos   tan   3cot  A Tính tan   cot 