Thông tin tài liệu
BÀI 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I CÔNG THỨC CỘNG -Trong trường hợp tổng quát, với góc lượng giác a, b , ta có cơng thức sau (thường gọi chung công thức cộng sin): sin(a b) sin a cos b cos a sin b sin( a b) sin a cos b cos a sin b - Trong trường hợp tổng quát, với góc lượng giác a, b ,ta có cơng thức sau (thường goi chung công thức cộng côsin): cos(a b) cos a cos b sin a sin b cos(a b) cos a cos b sin a sin b - Trong trường hợp tổng quát, với góc lượng giác a, b , ta có cơng thức sau (thường gọi chung công thức cộng tang): tan a tan b tan a tan b tan(a b) tan( a b) tan a tan b tan a tan b (khi biểu thực có nghĩa) II CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI -Tổng qt, ta có cơng thức sau (thường gọi công thức nhân đôi): sin2a 2sinacosa 2tana tan2a tan a (khi cos2a cos a sin a biếu thức có nghĩa) Nhận xét cos2a cos a sin a 2cos a 1 2sin a cos2a cos2a cos a ;sin a 2 (thường gọi công thúc hạ bậc) III CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG Trong trường hợp tổng qt, ta có cơng thức sau (thường gọi cơng thức biến đổi tích thành tổng): cosacosb cos a b cos a b sinasinb cos a b cos a b sinacosb sin a b sin a b IV CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH Trong trường hợp tổng quát, ta có cơng thức sau (thường gọi cơng thức biến đổi tổng thành tích): u v u v cos 2 u v u v cosu cosv 2sin sin 2 u v u v cos 2 u v u v sinu sinv 2cos sin 2 cosu cosv 2cos sinu sinv 2sin B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Sử dụng công thức cộng Phương pháp giải cos a b cos a cos b sin a sin b cos a b cos a cos b sin a sin b sin a b sin a cos b cos a sin b sin a b sin a cos b cos a sin b tan a tan b tan a b tan a tan b tan a tan b tan a b tan a tan b Các ví dụ minh họa cos x sin x , x 4 2 Hãy tính giá trị lượng giác Ví dụ 1: Biết Lời giải Vì 0x cos x cos x nên điểm cung thuộc góc phần tư thứ I cos x cos x.cos sin x.sin cos x sin x 4 4 2 2 2 Ta có Ví dụ 2: Biết cos x 12 3 sin x , x 3 13 Tính giá trị lượng giác Lời giải Vì x 3 nên điểm cung thuộc góc phần tư thứ III sin x 12 sin x cos x 13 13 12 5 12 sin x sin cos x cos sin x 3 13 13 26 3 Ta có Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A sin x 14 sin x 74 sin x 76 sin x 16 Hướng dẫn giải Ta có A sin 14 x cos 16 x sin 76 x sin 16 x sin 14 x cos 16 x cos 14 x sin 16 x sin 14 16 x x sin 30 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức A sin a b sin b c sin c a cos a.cos b cos b.cos c cos c.cos a Hướng dẫn giải Ta có A sin a.cos b sin b.cos a sin b.cos c sin c.cos b sin c.cos a sin a.cos c cos a.cos b cos b.cos c cos c.cos a sin a cos b sin b cos a sin b cos c sin c cos b sin c cos a sin a cos c cos a cos b cos a cos b cos b cos c cos b cos c cos c cos a cos c cos a tan a tan b tan b tan c tan c tan a 0 Ví dụ 5: Khơng dùng MTCT, tính giá trị lượng giác sau: cos 795 , tan 7 12 Lời giải * Tính cos 795 0 0 0 Vì 795 75 2.360 30 45 2.360 nên cos 7950 cos 750 cos 300 cos 450 sin 300 sin 450 * Tính tan 2 6 2 2 7 12 tan tan 7 tan tan 12 tan tan 3 Ví dụ 6: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: 0 a) A sin 22 30cos 202 30 b) B 4sin cos 16 Lời giải 0 a) A sin 22 30cos 202 30 Cách 1: Ta có Do cos 202030 cos 1800 22 030 cos 22 030 A sin 22030cos 22030 sin 450 1 A sin 22030 202030 sin 22030 202 030 sin 2250 sin 180 2 Cách 2: 1 sin 1800 450 sin1800 sin 450 2 2 B 2sin cos 1 cos cos 16 16 b) cos 1 1 6 1 cos cos cos 1 8 2 Ví dụ 7: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: A a) 1 cos 290 sin 2500 0 b) 0 c) C tan tan 27 tan 63 tan 81 d) B tan 200 tan 250 D sin 2 2 sin sin sin 9 9 Lời giải a) Ta có cos 2900 cos 1800 900 200 cos 900 200 sin 200 sin 2500 sin 1800 900 200 sin 900 200 cos 200 C sin 200 4 cos 200 sin 200 sin 20 sin 20 4 cos 20 sin 200.cos 200 3.2.sin 20 0.cos 200 0 sin 600 cos 200 cos 600 sin 200 4sin 400 0 3 sin 40 sin 40 sin 200 sin 250 sin 200 cos 200 sin 250 cos 250 B 1 cos 200 cos 250 cos 200 cos 250 b) Cách 1: Ta có sin 200 cos 450 cos 200 sin 450 sin 250 cos 450 cos 250 sin 450 cos 200 cos 250 sin 650 sin 700 2 2 cos 200 cos 250 tan 200 tan 250 tan 450 tan 200 500 tan 200 tan 250 Cách 2: Ta có tan 200 tan 250 1 tan 200 tan 250 tan 200 tan 250 1 0 tan 20 tan 25 Suy tan 200 tan 250 2 Vậy B 2 c) C tan 90 tan 810 tan 27 tan 630 sin 90 cos810 sin 810 cos 90 sin 27 cos 630 sin 630 cos 27 cos 90 cos810 cos 270 cos 630 sin 540 sin180 1 2 cos 90 sin 90 cos 27 sin 27 sin180 sin 540 sin180 sin 54 cos 360.sin180 4 sin180.sin 540 2 2 2 2 D sin sin sin sin sin sin sin sin 9 9 9 9 d) 2 1 11 2sin cos cos cos cos cos 18 9 18 9 cos cos 2 9 Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên sử dụng 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin( x ) 2 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin( x ) sin x cos x sin x cos x sin( x ) Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A sin cos cos cos 32 32 16 o o o o b) B sin10 sin 30 sin 50 sin 70 c) d) C cos 3 cos 5 D cos 2 3 cos cos 7 Lời giải 1 A 2sin cos cos cos sin cos cos sin cos sin 2 32 32 16 16 16 8 8 16 a) B cos 200 cos 400 cos80o b) Ta có 16sin 200.B 8sin 20 cos 20 cos 400 cos80 o 4sin 400 cos 400 cos80o 2sin 800 cos800 sin1600 sin1600 B 16sin 20 16 Suy c) Ta có 2sin C 2 cos 2 cos sin 0 5 Vì nên 2 2 2 4 C 4sin cos cos 2sin cos sin 5 5 5 Suy C 2 4 6 cos cos cos cos 2 cos 4 cos 6 D 2 2 2 7 c) T cos Xét 2 4 6 cos cos sin 0 7 , nên 2 4 6 T 2sin cos 2sin cos 2sin cos 7 7 7 3 5 3 5 sin sin sin sin sin sin 7 7 sin 2sin Suy T 1 D 2 2 Vậy Ví dụ 9: Cho , thoả mãn sin sin cos cos Tính cos sin Lời giải Ta có sin sin cos cos sin sin 2sin sin 2 (1) cos cos cos cos 2 (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta sin sin cos cos 2sin sin cos cos 2 sin sin cos cos 2 cos 0 Vậy cos 0 Từ giả thiết ta có sin sin cos cos 6 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 3 sin 2 sin 2 sin 2 Mặt khác Suy sin 2 sin 2 2sin cos 0 sin (Do cos 0 ) Dạng 2: Sử dụng công thức nhân đôi công thức hạ bậc Phương pháp sin 2a 2sin a cos a 2 2 cos 2a cos a sin a 2 cos a 1 2sin a tan a tan 2a tan a Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khơng dùng máy tính Hãy tính tan Lời giải tan tan tan tan tan 2 tan tan tan 0 suy 8 8 Ta có tan Do tan tan tan 0 8 nên Nhận xét: Bài yêu cầu tính cot 5 5 cot cot tan 8 2 8 Lúc đó: Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau : cos 4 sin cos 4 a) sin cos cos 4 8 b) Lời giải a) Ta có 1 sin cos sin cos 2sin cos 1 cos 4 cos 4 4 sin 2 b) Ta có sin cos sin cos 3sin cos sin cos 3sin cos sin cos sin cos 3sin cos 1 3 2sin cos 1 sin 2 1 cos 4 4 cos 4 8 Ví dụ 3: Cho cos 4 6sin với Tính tan 2 Lời giải Ta có cos 4 6 sin cos 2 3 cos 2 cos 2 3cos 2 0 cos 2 Ta có tan 2 1 tan 2 3 cos 2 cos 2 2 Vì nên sin 2 Mặt khác cos 2 tan 2 Vậy tan 2 Ví dụ 4: Cho sin cos cot 2013 tan với Tính Lời giải sin tan sin 2sin cos 2 cos 2 cos tan 2 Ta có sin tan cos cos sin cos 2 cos tan 2 tan tan sin cos cot tan tan tan 2 Do tan tan tan tan 0 tan tan 1 tan 2 2 2 2 tan 1 tan 1 0 tan 1 Vì tan tan 1 cot 1 2 2 nên 2013 tan Ta có tan 2006 cot 2 2 2013 tan Vậy Lưu ý: Ta biểu diễn sin ,cos ,tan ,cot qua t tan sau: 2t 1 t2 2t 1 t2 sin ,cos ,tan ,cot 1 t2 1 t2 1 t2 2t với làm biểu thức có nghĩa Ví dụ 5: Tính A cos sin 12 12 Hướng dẫn giải Ta có A cos sin cos sin cos sin cos 12 12 12 12 12 12 Ví dụ *: Khơng dùng máy tính Hãy tính sin18 Lời giải 0 0 Vì 54 36 90 nên sin 54 cos 36 Mà cos 360 cos 2.180 1 2sin 180 sin 540 sin 180 360 sin180 cos 360 sin 360 cos180 sin180 2sin 180 2sin180 cos 180 sin180 2sin 180 2sin180 sin 180 3sin180 4sin 180 Do đó, đồng thức ta 3sin180 sin 180 1 2sin 180 sin180 1 4sin 180 2sin180 1 0 sin18 1 sin180 Vì sin18 nên Ví dụ 7: Cho 5 1 sin180 sin180 cos x 5 sin x, cos x,sin x , cos x x 3 4 , với Tính Lời giải x nên sin x 0, cos x Vì Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có : cos x sin x sin x 10 10 cos x 1 cos x cos x 10 10 Theo cơng thức cộng, ta có 1 3 30 10 sin x sin x cos cos x sin 3 3 20 10 10 2 10 2 cos x cos x sin cos sin x 4 4 2 10 10 10 1 1 7 2 Ví dụ 8: Cho tan cot sin cos Tính cos 4 Lời giải 1 1 7 2 Ta có tan cot sin cos sin cos 7 cos sin sin sin 1 cos cos 1 7 sin cos sin cos 7 sin cos sin cos 2sin cos 7 sin cos 9sin cos 9 2sin cos 9sin 2 16 9 cos 4 cos 4 Vậy cos 4 sin , tan tan Ví dụ 9: Cho 3 A sin Tính 5 cos sin sin 8 12 12 Lời giải 1 sin sin cos cos sin 3 (1) Ta có tan tan sin cos 2sin cos (2) Từ (1) (2) ta 10
Ngày đăng: 29/10/2023, 17:32
Xem thêm:
