Bài 1 2 các phép toán trên tập hợp số phức

CHƯƠNG SỐ PHỨC BÀI 1&2 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT I KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC Số phức Bài tập: Định nghĩa Cho số phức z có dạng: z a  bi với a, b   , +) z 5  i ; a gọi phần thực z , b gọi phần ảo z , i gọi +) z    i   ; đơn vị ảo thỏa mãn i  Đặc biệt: Tập hợp số phức, kí hiệu   +) z  i, w cos i, u  i ,… 12 số ảo Số phức z số thực b 0 Số phức z số ảo a 0 Số phức z 0  0i 0 vừa số thực, vừa số ảo (còn gọi số ảo) Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z , kí hiệu z , z a  bi Bài tập +) Số phức z 5  i có số phức liên hợp z 5  i ; +) Số phức z  i có số phức liên hợp z  i Nhận xét: Mỗi số thực có số phức Mơđun số phức liên hợp Bài tập: Mơđun số phức z , kí hiệu z  a  b Số phức z 5  i có mơđun 1229  2 z       7 2 Hai số phức Định nghĩa Bài tập: Hai số phức z1 a1  b1i z2 a2  b2i gọi Số phức z a  bi Trang 519  a1 a2  b1 b2  a 0  b 0 Biểu diễn hình học số phức hay z 0 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức z a  bi; a, b   Nhận xét: biểu diễn điểm M (a; b) Ngược lại, điểm +) OM  z ; M (a; b) biểu diễn số phức z a  bi +) Nếu z1 , z2 có điểm biểu diễn M1, M M 1M  z1  z2 Trang 520 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA phần thực số phức phần ảo số phức Số phức liên hợp Đại số ( tập hợp z  a2  b2 số phức) Số phức liên hợp Môđun số SỐ PHỨC phức Độ dài đoạn môđun số điểm biểu diễn số phức phức Hình học điểm biểu diễn số phức Trang 521 II CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC Phép cộng số phức Bài tập: Định nghĩa   4i     2i  8  2i Tổng hai số phức z a  bi, z  a  bi  a, b, a, b   số phức z  z a  a   b  b i Tính chất Với z, z , z   ta có: Tính chất kết hợp:  z  z  z  z   z  z  ; Bài tập: z 5  2 i có số đối  z   i 7 Tính chất giao hốn: z  z  z  z; Cộng với 0: z  0  z  z; z    z    z   z 0 Phép trừ số phức Hiệu hai số phức z a  bi, z a  bi  a, b, a, b   : Bài tập:   4i     2i  2  6i z  z  z    z   a  a   b  b i Phép nhân số phức Bài tập: Định nghĩa   4i    2i   15  8   12  10  i 23  2i Tích hai số phức z a  bi, z  a  bi  a, b, a, b   số phức zz aa  bb   ab  ab  i Tính chất Chú ý: • Ta thực phép cộng phép nhân Với z, z , z   ta có: • Tính chất giao hốn: zz z z; • Tính chất kết hợp:  zz z z  z z  ; số phức theo quy tắc phép toán cộng nhân số thực ° Các đẳng thức số thực • Nhân với 1: 1.z z.1 z; số phức • Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: Bài tập: z   z   2i   z  2i   z  2i  z  z  z  zz   zz  Phép chia cho số phức khác Bài tập: Số nghịch đảo số phức z 0 kí hiệu z  , số phức z 3  2i có số phức nghịch đảo 1 thỏa mãn zz 1, , hay z  1 z z Thương phép chia số phức z  cho số phức z khác 0, 1    2i    i z 13 13 13 Bài tập: Trang 522 kí hiêu  4i   4i    2i   22i 22     i  2i   2i    2i  13 13 13 z zz  zz   z z Phép cộng số phức Tính chất phép cộng số phức Với ta có Tổng hai số phức SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA số phức Phép trừ số phức CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC Hiệu hai số phức vàlà số phức Tính chất phép nhân số phức Với ta có Phép nhân số phức Tích hai số phức vàlà số phức Phép chia số phức khác Số nghịch đảo số phức kí hiệu là số phức thỏa mãn hay Thương phép chia số phức cho số phức , kí hiệu Trang 523 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Thực phép tốn số phức, tìm phần thực phần ảo Phương pháp giải Cho hai số phức z a  bi z a  bi , Bài tập: Hai số phức z1 3  7i, z2 4  3i có a, b, a, b  Khi đó:  z  z ' a  a '  b  b i; z1  z2        3 i 7  4i;  z  z '  a  a '   b  b i; z1  z2        3 i   10i;  zz  aa  bb   ab  ab  i; z1 z2  3.4     3   3.3      i 33  19i;  z  z z  z z z1   7i    3i  37    i z2   3i    3i  25 25 Bài tập Bài tập 1: Tất số phức z thỏa mãn z    i  iz   3i A z   i 5 C z   i 5 B z 4  2i D z 4  2i Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: z    i  iz   3i    i  z 10  z  10  z 4  2i 2 i Bài tập 2: Cho số phức z a  bi  a, b    thỏa mãn z   3i  z i 0 Giá trị S a  3b A S  B S 3 C S  D S  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có z   3i  z i 0   a 1  b   a  0 a  b i 0   2 b   a  b  a   a    b      S 3  b  1  b b    Bài tập Tính C 1    i     i     i      i  20 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức cấp số nhân: Trang 524 Ta có: C 1    i     i     i      i  1    i 21    i    i  i 20 u1  q 21 1 q 21 Ta có:   i  2i 21 20 10    i    i    i   2i    i   210   i   10  i.210 Do đó: C   210  i.210  210   210 i i   Bài tập Tính tổng S i  2i  3i   2012.i 2012 A  1006  1006i B 1006  1006i C  1006  1006i Hướng dẫn giải D 1006  1006i Chọn D Cách Ta có iS i  2i  3i   2012i 2013  S  iS i  i  i   i 2012  2012.i 2013 Dãy số i, i , i , ,i 2012 cấp số nhân có cơng bội q i có 2012 số hạng, suy ra: i  i  i   i 2012 i  i 2012 0 1 i Do đó: S  iS  2012.i 2013  2012i  S   2012i 1006  1006i 1 i Cách Dãy số 1,x,x , ,x 2012 cấp số nhân gồm 2013 số hạng có công bội x  x 2013 Xét x 1, x 0 ta có:  x  x2  x3   x 2012   1 1 x Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được:  2x  3x   2012x 2011  2012.x2013  2013x 2012    x  2 Nhân hai vế (2) cho x ta được: x  2x  3x   2012x 2012  2012.x2014  2013x2013  x   x  3 Thay x i vào (3) ta được: Trang 525 S i  2i  3i   2012i 2012  2012i 2014  2013i 2013  i   i Với i 2014  1, i 2013 i Vậy S   2012  2012i 1006  1006i  2i Bài tập Cho  ,  hai số phức liên hiệp thỏa mãn A B 3  2  R    2 Tính  C D Hướng dẫn giải Chọn C Đặt  x  iy   x  iy với x, y  R Khơng giảm tính tổng qt, ta coi y 0 Vì    2 nên 2iy 2  y  Do  ,  hai số phức liên hợp nên . , mà   2 3          Nhưng ta có     x  3xy  3x y  y i nên    3x y  y 0  y 3x  y 0  x 1 Vậy   x  y   2 Bài tập Tìm c biết a,b c số nguyên dương thỏa mãn: c  a  bi   107i A 400 B 312 C 198 Hướng dẫn giải D 123 Chọn C Ta có   c  a  bi   107i a  3ab  i 3a b  b  107  Nên c số nguyên dương  2 3a b  b3  107 0 Hay b 3a  b 107 Vì a, b  Z  107 số nguyên tố nên xảy ra: 11450  Z (loại)  b 107; 3a  b 1  a   b 1; 3a  b2 107  a 36  a 6 (thỏa mãn) Vậy nên c a  3ab2 6  3.6.12 198 Bài tập Cho số phức z có phần ảo 164 với số nguyên dương n thỏa mãn z 4i Tìm zn n A n 14 B n 149 C 697 D 789 Trang 526 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z x  164i ta có: z x  164i 4i  4i  x  164i  656   x  n  i zn x  164i  n  x  656    n 697  x  n 41 Vậy giá trị cần tìm n 697 Bài tập Cho số phức z thỏa mãn z  A B   3i  1 i Tìm mơ đun số phức z  iz C D Hướng dẫn giải Chọn A Từ z ta phải suy z thay vào biểu thức z  iz tìm mơđun: z   3i    3i    i  1  1 i Suy ra: z   1 i 1 1 1 1  i  i.z   i 2 2 Do đó: z  iz 1  i  z  iz  Dùng MTCT: Bước 1: Lưu   3i   A 1 i Bước 2: Tính A  iA Lời bình: Nhận thấy với số phức z a  bi ta có z  iz   i   a  b  hay z  iz z  iz a  b   , z   Về phương diện hình học ln nằm trục Ox biểu diễn 1i 1i mặt phẳng phức Bài tập Tìm số thực m biết: z   m   m 1 A  i m 2 m zz  ( i đơn vị ảo)  m  m  2i   m 0  m  B   m 0  m 1 C   m 2  m 1 D  Trang 527 Định hướng: Quan sát thấy z cho dạng thương hai số phức Vì Vậy cần phải đơn giản z 2 m cách nhân liên mẫu Từ z  z Thay z z vào zz  ta tìm m Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:        i  m   m  2mi  m  m  2m  i  m  2m i m z   2  m  m  2i   m  4m  m2     1 m  m  m2  i  m2  2   m  m2   i  m2  z m  m2   i  m2 Như vậy: zz  2 m  m2   m  1 2  1 m  2    m    m  2m  m 0   2 1 m  m 0   m 1 n Bài tập 10 Tìm phần thực số phức: z   i  ,n   thỏa mãn phương trình: log  n    log  n   3 A B  C Hướng dẫn giải D Chọn C Điều kiện: n  3,n   Phương trình log  n    log  n   3  log  n    n   3  n    n   43  n  6n  0  n 7  do:n   z   i    i     i     i   2i    i    8i  8  8i   Vậy phần thực số phức z Bài tập 11 Cho số phức z   m   m 1 A  m  3i  m    Tìm m, biết số phức w z2 có mơđun 1 i  m 3  m  B   m 3  m 1 C   m 3  m  D  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: Trang 528 Vậy, có hai số thực thỏa mãn Bài tập 7: Có tất số phức z thỏa mãn z 1 A B z z  1 z z C D Hướng dẫn giải Chọn D Đặt z a  bi,  a, b    Ta có z  a  b 1  a  b 1 2  a  bi    a  bi  z z z2  z     2a  2b 1 z z z z z  a  b 1  Ta có hệ:  2  2a  2b 1 a  b 1  a  b 1    2  2 a  b   a  b      a   a    b  b    4  3  3  1    ;   ;   ;    Suy  a; b    ;   ;   ;   ;  2 2 2 2          Vậy có cặp số  a; b  có số phức thỏa mãn Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa, tính chất hình học biết Bài tập: Cho trước điểm cố định I , F1 , F2 ; F1 F2 2c  c   Trên mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu Tập hợp điểm M thoả mãn MI R  R   z   5i 4 đường tròn tâm I bán kính R Tập hợp điểm diễn số phức z M thoả mãn đường thoả mãn tròn tâm I   2;5  , bán kính R 2 MF1  MF2 2a  a  c  elip có hai tiêu điểm F1 , F2 Tập hợp điểm M thoả mãn MF1 MF2 đường trung trực đoạn thẳng F1 F2 Bài tập Trang 535   Bài tập 1: Xét số phức z thỏa mãn  z    z.i số thực Biết Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp tất điểm biểu diễn z đường trịn, có tâm  x  a I  a; b  bán kính R Giá trị a  b  R A B C 12 D 24 2   y  b  R phương trình đường trịn có tâm I  a; b  bán kính R  Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z x  yi  x, y      Vì  z    z.i   x    yi    y    xi  số thực nên 2 x  x    y  y   0   x  3   y   25 Tập hợp tất điểm biểu diễn z đường tròn có tâm I  3;   , bán kính R 5 Vậy a  b  R 4 Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z   z  10 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z A Một parabol B Một đường tròn C Một elip D Một hypebol Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z x  yi  x, y    z   z  10   x  3  yi   x  3  yi 10(*) Gọi M điểm biểu diễn số phức z điểm F1  3;0  , F2   3;0  Dễ thấy F1 F2 6 2c Khi đó: z   z  10  MF1  MF2 10 2a Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z elip có hai tiêu điểm F1 , F2 , độ dài trục lớn 2a 10 Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z 10 w   8i  z    2i  Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn có tâm A I   3;   B I  3;  C I  1;   D I  6;8  Hướng dẫn giải Chọn A Ta có w   8i  z    2i   w     4i    8i  z Trang 536  w     4i   62  82 z  w     4i  10.10  w     4i  100 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn  C  có tâm I   3;   Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu biễn số phức z thỏa mãn z   2i  z   2i đường thẳng có phương trình A x  y  0 B x  y 0 C x  y 0 D x  y  0 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z x  yi  x, y     z x  yi Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z Ta có: z   2i  z   2i  x  yi   2i  z  yi   2i   x  1   y   i   x  1    y  i   x  1 2   y  2   x  1   y  x  x   y  y  x  x   y  y   x  y 0 Vậy tập hợp điểm biểu biễn số phức z thỏa mãn u cầu tốn đường thẳng có phương trình x  y 0 Bài tập Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều  z  i  z A Đường thẳng 4x  2y  0 A Đường thẳng x  2y  0 B Đường thẳng 4x  2y  0 D Đường thẳng x  9y  0 Hướng dẫn giải Chọn A Cách Đặt z x  yi;  x, y    số phức cho M  x; y  điểm biểu diễn z mặt phẳng phức Ta có z   i  z   x    yi  x   y  1 i   x  2  y  x   y  1  4x  2y  0 Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng 4x  2y  0 Cách z   i  z  z      i  z  *  Trang 537 Đặt z x  yi;  x, y    số phức cho M  x; y  điểm biểu diễn z mặt phẳng phức, Điểm A biểu diễn số -2 tức A   2;  điểm B biểu diễn số phức i tức B  0;1 Khi  *   MA MB Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường trung tực AB: 4x  2y  0 Bài tập Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  2i  z   i A Đường thẳng x  y  0 A Đường thẳng x  2y  0 B Đường thẳng x  2y  0 D Đường thẳng x  y  0 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử z x  yi (x, y  ) , điểm M  x; y  biểu diễn z Theo ta có: x   y   i   x     y  1 i  x2   y     x  1   y  1  4y  2x  2y   x  y  0 Suy M thuộc đường thẳng có phương trình x  y  0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình x  y  0 Bài tập Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện   i  z   2i    7i  z  i A Đường thẳng A Đường elip B Đường tròn D Đường Parabol Hướng dẫn giải Chọn A Nhận thấy  i 5   7i Ta có   i  z   2i    7i  z  i  5  i z   z  2i i   7i z   5i  7i  2i i 1 z   z   i z  i  5i  7i 10 50 50 1   ;  , B ;   10   50 50   Vậy tập hợp M đường trung trực AB, với A   Trang 538