Bài 9 hình chữ nhật

BÀI HÌNH CHỮ NHẬT Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa hình chữ nhật, tính chất hình chữ nhật + Nhớ dấu hiệu nhận biết tứ giác hình chữ nhật + Hiểu tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông  Kĩ + Vẽ hình chữ nhật + Chứng minh tứ giác hình chữ nhật + Nhận biết tam giác vng theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng Hình chữ nhật hình bình hành ABCD hình chữ nhật  ABCD tứ giác có Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân Tính chất a) Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân b) Định lí: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết a) Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật b) Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật c) Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật d) Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Áp dụng vào tam giác a) Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền b) Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Hình vẽ Khái niệm Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc Hình chữ vng nhật ABCD hình chữ nhật tứ giác có Tính chất Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt Dấu hiệu trung điểm đường Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật Hình bình hành có đường chéo hình chữ nhật Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Phương pháp giải Các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật trung điểm AC Lấy D điểm đối xứng với H Hình thang cân có góc vng hình chữ qua I Tứ giác AHCD hình gì? Chứng minh? nhật Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Bước Xác định yếu tố liên quan đến tứ giác cạnh/ góc để định hướng sử dụng dấu hiệu nhận biết tương ứng Nhận xét: Bài tốn có giả thiết liên quan đến hai điểm đối xứng qua tâm, có quan hệ trung điểm đoạn thẳng Đường cao AH cho thông tin AH  BC để tạo quan hệ vng góc tương ứng Do đó, sử dụng dấu hiệu: “Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật” Bước Nếu khơng sử dụng dấu hiệu “Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật” ta chứng minh qua phần: + Phần 1: Chứng minh tứ giác hình bình hành/ hình thang cân + Phần 2: Chỉ tính chất vng góc/ hai đường chéo Hướng dẫn giải: Theo giả thiết, D điểm đối xứng với H qua I nên I trung điểm đoạn DH Do đó, tứ giác AHCD có hai đường chéo AC, DH cắt qua I Đồng thời, I trung điểm AC HD Suy ra, tứ giác AHCD hình bình hành (1) Mà AH  BC (do AH đường cao tam giác ABC) hay AH  HC (2) Từ (1), (2) suy tứ giác AHCD hình chữ nhật Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Cho tứ giác ACBD có AB  CD Gọi E,F,G,H trung điểm cạnh BC, BD, AD, AC Chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật Hướng dẫn giải Xét BCD có EF đường trung bình, suy EF CD, EF  CD (1) GH đường trung bình ACD nên GH CD, GH  CD (2) Từ (1), (2), suy EF GH , EF GH Vậy tứ giác EFGH hình bình hành (3) Có FG dường trung bình DAB nên FG AB, FG  AB GH CD   FG  GH   Do đó, ta có:  FG AB  AB  CD gt    Từ (3), (4), suy tứ giác EFGH hình chữ nhật Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Hình chữ nhật A Tứ giác có hai đường chéo B Hình thang có hai đường chéo C Tứ giác có góc đối diện D Hinh bình thành có góc vng Câu 2: Hình thang cân MNPQ với MN PQ cần thêm điều kiện để trở thành hình chữ nhật? A NP MQ B MP  NQ C MP  NQ D MN PQ Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh CA, CB lấy điểm P, Q cho AP CQ Từ điểm P, dựng PM song song với BC  M  AB  Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác góc A, B, C, D cắt hình vẽ bên Chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật Lời giải chi tiết 1-D Câu 2-D   Theo giả thiết, ABC vuông cân C nên CAB CBA 45o   Ta có PM BC  PMA CBA 45o (đồng vị)   Nên PMA có PAM PMA 45o Vậy PMA vuông cân P Trang  PM  PA Suy   PM PA Xét tứ giác CPMQ có CQ PM (cùng vng góc với CA), CQ PM   AP  , suy CPMQ hình bình hành   Mà PCQ BCA 90o đó, tứ giác PCQM hình chữ nhật Câu 1    BAD Ta có AH tia phân giác BAD nên HAD DH tia phân giác ADC nên ADH  ADC Xét ADH có: 1   HAD  HDA  BAD  ADC 2  Mà tứ giác ABCD hình bình hành nên BAD  ADC 180o     HDA  BAD  ADC  180o 90o Suy ta có HAD 2    Do AHD 90o hay EHG 90o (đối đỉnh với AHD )    Chứng minh tương tự, ta có HGF GFE EHG 90o Vậy tứ giác HGFE hình chữ nhật Dạng 2: Vận dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải Các tính chất hình chữ nhật: Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông A, điểm M  Có cặp cạnh đối song song thuộc BC Gọi D E chân đường  Có tất góc góc vng vng góc kẻ từ M đến AB AC Gọi I trung  Hai đường chéo điểm DE Chứng minh A, I, M thẳng hàng  Giao hai đường chéo đồng thời trung điểm đường   Từ giả thiết, ta có: DAE BAC 90o Bước Chứng minh tứ giác hình chữ nhật ADM 90o  MD  AB  AEM 90o  ME  AC  Trang Nên tứ giác ADME có ba góc vng Vậy ADME hình chữ nhật Tứ giác ADME hình chữ nhật nên AM DE cắt Bước Chỉ tính chất tương ứng với yêu cầu trung điểm đường toán Mà I trung điểm DE nên I trung điểm AM Do ba điểm A, I, M thẳng hàng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD tâm O điểm M đoạn OB Lấy E điểm đối xứng với A qua M Gọi H hình chiếu vng góc E BC Dựng hình chữ nhật EHCF Chứng minh ba điểm M, H, F thẳng hàng Hướng dẫn giải Gọi I giao hai đường chéo hình chữ nhật EHCF Suy I trung điểm CE, HF    Ta có: DCF DCB  BCF 90o  90o 180o nên ba điểm D,C, F thẳng hàng Từ giả thiết, ta có: M trung điểm AE (tính chất đối xứng tâm), O trung điểm AC (do O tâm hình chữ nhật ABCD) Nên OM đường trung bình ACE Suy OM CE , OM  CE   Ta có ODC cân đỉnh O (do OC OD ) nên OCD ODC   ICF cân đỉnh I (do IC IF ) nên IFC ICF   Mà OM CE  ODC (đồng vị) ICF   Suy OCD IFC Mà hai góc vị trí đồng vị nên IF CO hay HF AC  1 Ta có M, I trung điểm AE ,EC nên MI đường trung bình ACE Suy MI AC (2) Từ (1), (2) suy ba điểm M, H, F thẳng hàng Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AB  AE b) Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc AHM Trang Câu 2: Cho tam giác ABC cân A, đường cao CE M điểm cạnh BC Gọi I, H, K theo thứ tự hình chiếu vng góc M CE, AB, AC a) Chứng minh tứ giác MIEH hình chữ nhật b) Chứng minh điểm M di động đoạn BC tổng MH  MK không đổi Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao BD, CE Gọi K, H theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B, C đến DE Chứng minh HE DK Lời giải chi tiết Câu a) Dựng EN  AH  N  AH     Ta có ENH NHD HDE 90o nên tứ giác HNED hình chữ nhật  NE HD HA Ta có NE BC (cùng vng góc với AH)  AEN  ACB (đồng vị) Mà ta có: ACB  ABC 90o  BAH  ABH 90o    ACB  ABC BAH  ABH 90o hay ACB BAH Xét ABH EAN có: AHB  ANE 90o AH NE (chứng minh trên)    BAH  AEN  ACB  ABH EAN  g c.g  Suy AB  AE b) ta có AM trung tuyến ứng với cạnh huyền ABE vuông  AM  BE Tương tự, ta có DM  BE Ta chứng minh AHM DHM  c.c.c   hay HM phân giác AHD  AHM DHM 1 o o Do AHM  AHD  90 45 2 Câu  a) từ giả thiết, ta có CE  AB (tính chất đường cao)  IEH 90o  Có MI  CE  MIE 90o  MH  AB  MHE 90o    Nên tứ giác MIEH có MIE MHE HEI 90o Trang Vậy tứ giác MIEH hình chữ nhật Do MIEH hình chữ nhật nên ta có MH EI b) Ta có: ABC  ACB (tính chất tam giác cân)  (đồng vị) AB IM (do MIEH hình chữ nhật)  ABC IMC    Suy ra, ta có IMC  ACB hay IMC KCM Ta chứng minh MIC CKM (cạnh huyền-góc nhọn) nên MK CI (hai cạnh tương ứng) Do đó, ta có: MH  MK IE  IC CE Do ABC cố định nên đường cao CE cố định độ dài CE không đổi Vậy điểm M di động đoạn BC tổng MH  MK khơng đổi Câu Từ giả thiết, ta có : BD  AC , CE  AB Gọi M trung điểm BC, I trung điểm DE Xét DBC có DM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ta có DM  BC Tương tự, EBC vng E có EM trung tuyến nên EM  Suy DM EM  BC BC Do MED cân đỉnh M  MI vừa trung tuyến vừa đường cao MED MI  DE Ta có: BH CK MI (cùng vng góc với HK) Xét hình thang BCKH có MI BH CK M trung điểm BC Suy MI đường trung bình hình thang Do đó, I trung điểm HK  IH IK  IE  EH ID  DK Mà ta có IE ID (I trung điểm DE) nên suy EH DK Dạng Sử dụng định lý thuận đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Phương pháp giải Áp dụng định lý thuận đảo tam giác Ví dụ: Cho tam giác ABC vng vng Tam giác ABC có M trung điểm BC A, ABC 60o , BC 2a Gọi M trung điểm o Khi Aˆ 90  AM  BC BC, d đường thẳng qua M vng góc với BC Trên đường thẳng Sử dụng định lý để chứng minh đối tượng hình d, lấy (tam giác, đoạn thẳng, góc) chứng phía điểm E nằm minh tam giác vng ABC tam giác cho EM  AB Trang Chứng minh tam giác BCE tam giác vuông Bước Xác định yêu cầu toán với hệ giả thiết để lựa chọn định lý thuận/ đảo trung tuyến tam giác vuông Xây dựng hệ điều kiện đầy đủ cho định lý tương Phân tích: Bài tốn u cầu chứng minh tam giác ứng vng, có giả thiết liên quan đến độ dài, góc sử dụng đến định lý đảo trung tuyến Hướng dẫn giải Vì AM trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ABC nên MA MB MC  BC a Xét ABM có: MA MB, ABC 60o nên ABM Bước Tập hợp hệ điều kiện đầy đủ kết luận: tam giác Suy AB MA MB a Từ giả thiết, ta có EM  AB a nên EM MB MC a Xét tam giác BCE có EM trung tuyến EM a  BC Nên BCE vng E Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có đường cao BM, CN cắt H Gọi I, K trung điểm cạnh AH, BC Chứng minh tam giác NIK tam giác vuông Biết AH 10cm, BC 24cm Tính độ dài IK Hướng dẫn giải Từ giả thiết, ta có H trực tâm ABC nên AH đường cao thứ ba ABC Gọi D giao điểm AH BC, suy HD  BC Từ giả thiết, ta có CN  AB Trang Suy AHN vuông N, NI trung tuyến ứng với cạnh huyền Từ IN IH IA  AH  INH cân đỉnh I   (hai góc đáy tam giác cân)  INH IHN (1) Tương tự NK trung tuyến ứng với cạnh huyền BCN vuông nên KN KC KB  BC  KNC cân đỉnh K   (hai góc đáy tam giác cân)  KNC KCN (2)     Cộng vế (1), (2), ta được: INH  KNC IHN  KCN       Mà IHN (đối đỉnh) nên INH CHD  KNC CHD  KCN 90o (do CHD vuông D)  Suy INK 90o Vậy INK vuông N Theo chứng minh trên, ta có NI  AH 10 BC 24  5cm, NK   12cm 2 2 Áp dụng định lý Pi-ta-go IKN , ta có IK  NI  NK 52  122 169 Suy IK 13cm Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng 12cm, 9cm Đường chéo hình chữ nhật có độ dài A 13cm B 16cm C 15cm D 14cm Câu Một tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng 48cm, 14cm Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác là: A 50cm B 30cm C 40cm D 25cm Câu Cho tam giác ABC vng A Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân ADB  DA DB  ACE  EA EC  Gọi M trung điểm BC, I giao điểm DM với AB K giao điểm EM với AC Chứng minh: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật c) Tam giác MED tam giác vuông cân Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC a) Chứng minh AH DE b) Gọi I, K trung điểm cạnh HB, HC Chứng minh DI EK Lới giải chi tiết 1-C 2-D Trang 10 Câu Từ giả thiết ta có  BAC 90o (tam giác ABC vng A)  DAB 45o ( ABD vuông cân D)  CAE 45o ( ACE vuông cân E) Nên ta có     DAE DAB  BAC  CAE 90o  45o  45o 180o Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Có EA EC (do AEC vuông cân E) Suy đường thẳng ME trung trực đoạn AC Nên ta có ME  AC hay MK  AC  AKM 90o Tương tự, ta chứng minh MI  AB  AIM 90o  Khi đó, tứ giác AIMK có AIM  AKM IAK 90o Vậy, AIMK hình chữ nhật Theo câu b, EK trung trực đoạn AC nên EK phân giác AEC suy AEK  AEC 45o   Khi MED có DME 90o , DEM  AEK 45o nên MED tam giác vuông cân Câu a) Từ giả thuyết, ta suy tứ giác ADHE có AEH ADH DAE  90o Vậy ADHE hình chữ nhật Suy AH DE (tính chất hai đường chéo hình chữ nhật) b) Ta có ID IB IH (DI trung tuyến ứng với cạnh huyền BDH vuông) Tương tự, ta có: KE KH KC     Xét DIH cân đỉnh I có BID IDH  IHD 2 IHD   Xét KEH cân đỉnh K có EKH 180o  KHE     Mà ta có IHD  90o  KHE 180o  IHD 90o  KHE       2 IHD 2 90o  KHE 180o  KHE Suy BID   Vậy BID mà hai góc vị trí đồng vị nên DI EK EKH Trang 11 Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Phương pháp giải Dựa vào định nghĩa, dấu hiệu nhận biết hình chữ Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P ,Q nhật để điều kiện phù hợp toán trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Với điều Bước Xác định tứ giác (hình bình hành, hình kiện tứ giác ABCD từ giác MNPQ thang, hình thang cân) với giả thiết ban đầu hình chữ nhật? Bước Bổ sung thêm yếu tố để hình trở thành hình chữ nhật 1) Hình bình hành có góc vng/ hai đường chéo 2) Hình thang cân có góc vng/ hai đáy Từ giả thiết, ta có: MN đường trung bình MN AC , MN  AC nên ADC nên (1) PQ đường trung bình PQ AC , PQ  ABC AC Suy PQ MN , PQ MN  AC Do đó, tứ giác MNPQ hình bình hành  Để MNPQ hình chữ nhật QMN 90o hay MQ  MN (2) Ta có MQ đường trung bình ABD nên MQ BD (3) Từ (1), (2), (3), suy AC  BD Vậy để tứ giác MNPQ hình chữ nhật tứ giác ABCD cần có hai đường chéo AC, BD vng góc với Ví dụ mẫu Trang 12 Ví dụ Cho hình thang ABCD có AB CD, AB  CD Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC a) Tứ giác ABPN hình gì? b) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác ABPN hình chữ nhật Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết, ta có: MN đường trung bình ABD nên MN AB, MN  MP đường trung bình ADC nên MP CD, MP  PQ đường trung bình ABC nên PQ AB, PQ  AB CD AB Mà ta có AB CD suy đường thẳng MN, MP, PQ trùng hay bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Do đó, ta có: AB NP Vậy tứ giác ABPN hình thang  AB NP b) Do tứ giác ABPN hình thang nên để ABPN hình chữ nhật   AP BN Từ giả thiết, ta có MQ đường trung bình hình thang ABCD nên MQ AB CD, MQ  Ta có: NP MQ  MN  PQ  Khi AB NP  AB  AB  CD AB  CD AB AB CD  AB    2 2 CD  AB  AB CD  AB  CD 3 AB Do AP, BN hai đường chéo hình chữ nhật nên AP BN  AC BD   AC BD 2 Khi đó, hình thang ABCD hình thang cân Vậy, để tứ giác ABPN hình chữ nhật ABCD phải hình thang cân có hai đáy thỏa mãn hệ thức CD 3 AB Bài tập tự luyện dạng Câu Một hình thang cân trở thành hình chữ nhật hình thang có A Hai cạnh bên B Một góc 90o C Hai đường chéo vng góc với D Cạnh bên đáy nhỏ Câu Cho tam giác ABC điểm O nằm phía tam giác Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh BA, BO, CO, CA Với điều kiện tứ giác MNPQ hình chữ nhật? A AB  CO B CO BO C AO  BC D OA OB OC Trang 13 Câu Cho hình thang cân ABCD có AB CD AB 12cm, BC 5cm Với điều kiện tứ giác ABCD hình chữ nhật? A AC 12cm B AC 13cm C AC 15cm D AC 11cm Câu Với điều kiện hình thang trở thành hình chữ nhật? Chứng minh? Câu Cho tam giác ABC nhọn có BE, CF đường cao Gọi H giao điểm BE CF Đường thẳng qua B vng góc với AB cắt đường thẳng qua C vng góc với AC điểm M a) Chứng minh tứ giác MBHC hình bình hành b) Với điều kiện tam giác ABC tứ giác MBHC hình chữ nhật? Lời giải chi tiết 1-B Câu 2-C 3-B Giả sử hình thang ABCD với AB CD hình chữ nhật  Ta có ADC BCD 90o , AB CD  Khi đó, ta thấy hình thang ABCD có ADC BCD 90o  ABCD hình thang cân Vậy ABCD hình thang cân có hai đáy ABCD hình chữ nhật Câu a) Ta có BM CF (cùng  AB ); CM BE (cùng  AC ) Nên tứ giác BHCM hình bình hành b) Do BHCM hình bình hành nên tứ giác BHCM hình chữ nhật  BMC 90o  Khi đó, xét tứ giác ABMC có ABM  ACM BMC 90o Suy tứ giác ABMC hình chữ nhật  Do đó, ta có BAC 90o hay BA  AC Vậy, ABC vng A tứ giác BHCM hình chữ nhật Trang 14