sbt toan 8 bai 9 hinh chu nhat

Bài 9 Hình chữ nhật Bài 106 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Tính đường chéo d của một hình chữ nhật, biết các cạnh a = 3cm, b = 5cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) Lời giải Giả sử hình chữ[.]

Bài 9: Hình chữ nhật Bài 106 trang 93 SBT Tốn Tập 1: Tính đường chéo d hình chữ nhật, biết cạnh a = 3cm, b = 5cm (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ nhất) Lời giải: Giả sử hình chữ nhật ABCD có AB = b = 5cm; AD = a = 3cm; BD = d Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vng ABD, ta có: d2 = a2 + b2 ⇒ d2 = 32 + 52 = + 25 = 34 Vậy d = 34  5,8 (cm) Bài 107 trang 93 SBT Toán Tập 1: Chứng minh hình chữ nhật: a) Giao điểm hai đường chéo tâm đối xứng hình b) Hai đường thẳng qua trung điểm, hai cạnh đối trục đối xứng hình Lời giải: a) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Vì ABCD hình chữ nhật nên ABCD hình bình hành Do đó, O trung điểm AC BD Suy ra, điểm O tâm đối xứng b) Trong hình thang cân, đường thẳng qua trung điểm hai đáy trục đối xứng Theo định nghĩa ta có hình chữ nhật hình thang cân Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD hình thang cân có hai cạnh đáy AB CD đường thẳng d1 qua trung điểm AB CD trục đối xứng hình chữ nhật ABCD Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD hình thang cân có hai cạnh đáy AD BC đường thẳng d2 qua trung điểm AD BC trục đối xứng hình chữ nhật ABCD Vậy hai đường thẳng qua trung điểm, hai cạnh đối trục đối xứng hình Bài 108 trang 93 SBT Tốn Tập 1: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng có cạnh góc vng 5cm 10cm (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ nhất) Lời giải: Giả sử tam giác ABC có A = 90o, M trung điểm BC; AB = 5cm, AC = 10cm Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 102 = 125 Nên BC = Mà AM = ⇒ AM = 125 ≈ 11,2 (cm) BC (tính chất tam giác vuông) 11,2 = 5,6 (cm) Bài 109 trang 93 SBT Tốn Tập 1: Tính x hình 16 (đơn vị đo: cm) Lời giải: Hình 16 Kẻ BH ⊥ CD,ta có: A = 90o, D = 90o, BHD = 90o Suy tứ giác ABHD hình chữ nhật (vì có ba góc vng) ⇒ AB = DH = 16, BH = AD HC = CD – DH = CD – AB = 24 – 16 = (cm) Trong tam giác vuông BHC, theo định lý Pi-ta-go, ta có: BC2 = BH2 + HC2 ⇒ BH2 = BC2 - HC2 BH2 = l72 - 82 = 289 – 64 = 225 BH = 15 (cm) Vậy x = AD = BH = 15 (cm) Bài 110 trang 93 SBT Toán Tập 1: Chứng minh tia phân giác góc hình bỉnh hành cắt tạo thành hình chữ nhật Lời giải: Gọi G, H, E, F giao điểm đường phân giác A B ; B C ; C D ; D A Ta có: ADF = ADC (do DF tia phân giác D ) Và DAF = DAB (do AF tia phân giác A ) Mà ADC+ DAB = 180o (hai góc phía) Suy ra: ADF + DAF = ( ) 1 ADC + DAB = 1800 = 900 2 Trong ΔAFD, ta có: ( ) AFD = 1800 − ADF + DAF = 180o – 90o = 90o Mà EFG = AFD (đối đỉnh) ⇒ EFG = 90o 1 Ta có: GAB = DAB ; GBA = CBA 2 Và DAB + CBA = 180o (hai góc phía) ⇒ GAB + GBA = ( ) 1 DAB + CBA = 1800 = 900 2 ( ) Trong ΔAGB ta có: AGB = 1800 − GAB + GBA = 1800 − 900 = 900 Hay G = 90o 1 Ta có: EDC = ADC ; ECD = BCD 2 Và ADC + BCD = 180o (hai góc phía) ( ) 1 ⇒ EDC + ECD = ADC+ BCD = 1800 = 900 2 ( ) Trong ΔEDC ta có: DEC = 1800 − EDC + ECD = 1800 − 900 = 900 Hay E = 90o Vậy tứ giác EFGH hình chữ nhật (vì có ba góc vng) Bài 111 trang 94 SBT Tốn Tập 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? Lời giải: * Trong ΔABC, ta có: E trung điểm AB F trung điểm BC Nên EF đường trung bình ΔABC ⇒ EF // AC EF = AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1) * Trong ΔDAC, ta có: H trung điểm AD ; G trung điểm DC Nên HG đường trung bình ΔDAC ⇒ HG // AC HG = AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2) Từ (1) (2) suy ra: EF // HG EF = HG Suy tứ giác EFGH hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) Ta lại có: BD ⊥ AC (giả thiết) Mà EF // AC (chứng minh trên) Suy ra: EF ⊥ BD Trong ΔABD ta có EH đường trung bình (do E trung điểm AB, H trung điểm AD).⇒ EH // BD Suy ra: EF ⊥ EH hay FEH = 90o Vậy hình bình hành EFGH hình chữ nhật Bài 112 trang 94 SBT Tốn Tập 1: Tìm hình chữ nhật hình 17 (trong hình 17b, O tâm đường trịn) Lời giải: - Hình a ta có: * B = HDC ⇒ AB // DH (vì có cặp góc đồng vị nhau) Hay DH //AE * C = BDE ⇒ DE // AC (vì có cặp góc đồng vị nhau) Hay DE //AH Xét tứ giác AHDE có: DH //AE DE //AH Do tứ giác AHDE hình bình hành (có cặp đối song song với ) Mà A = 90o nên AHDE hình chữ nhật - Hình b: Tứ giác MNPQ có: OM = OP = R nên O trung điểm MP ON = OQ = R nên O trung điểm NQ Tứ giác MNPQ có O trung điểm đường chéo Suy ra: Tứ giác MNPQ hình bình hành Lại có: MP = NQ = 2R ( = đường kính đường trịn) Nên tứ giác MNPQ hình chữ nhật Bài 113 trang 94 SBT Toán Tập 1: Các câu sau hay sai? a) Hình chữ nhật tứ giác có tất góc b) Tứ giác có hai đường chéo hình chữ nhật c) Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình chữ nhật Lời giải: a) Đúng hình chữ nhật có góc vng b) Sai hình thang cân có cạnh bên khơng song song có đường chéo hình thang cân khơng hình chữ nhật c) Đúng vì: Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Bài 114 trang 94 SBT Tốn Tập 1: Cho tam giác ABC vng cân A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC Gọi D, E theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC a) Tứ giác ADME hình gì? Tính chu vi tứ giác b) Điểm M vị trí BC đoạn DE có độ dài nhỏ Lời giải: a) Xét tứ giác ADME, ta có: Â = 90o (giả thiết) MD ⊥ AB (giả thiết) ⇒ ADM = 90o Lại có, MD ⊥ AC ⇒ MEA = 90° Do đó, tứ giác ADME hình chữ nhật (vì có góc vng) ∆ABC vng cân A ⇒ B = 45o AB = AC = 4cm Suy ra: ∆DBM vuông cân D ⇒ DM = DB Chu vi hình chữ nhật ADME bằng: 2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB = 2.4 = (cm) b) Gọi H trung điểm BC Suy ra: AH ⊥ BC (tính chất tam giác cân) Do đó, AM ≥ AH (quan hệ đường vng góc đường xiên) Dấu " = " xảy M trùng với H Tứ giác ADME hình chữ nhật ⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật) Suy ra: DE ≥ AH Vậy DE có độ dài nhỏ AH điểm M trung điểm BC Bài 115 trang 94 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến BM, CN cắt G Gọi D điểm đối xứng với G qua M, gọi E điểm đối xứng với G qua N Tứ giác BEDC hình gì? Vì sao? Lời giải: * Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN cắt G Suy ra: G trọng tâm ΔABC ⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến) GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến) Lại có, điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M ⇒ MG = MD hay GD = 2GM Suy ra: GB = GD (= 2GM) (l) Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N ⇒ NG = NE hay GE = 2GN Suy ra: GC = GE ( = 2GN) (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BCDE hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường) Xét ΔBCM ΔCBN, có: BC cạnh chung BCM = CBN (tính chất tam giác cân) CM = BN (vì AB = AC) Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c) ⇒ MBC = NCB ⇒ ΔGBC cân G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE Hình bình hành BCDE có hai đường chéo nên hình chữ nhật Bài 116 trang 94 SBT Tốn Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BD Biết HD = 2cm, HB = 6cm Tính độ dài AD, AB (làm tròn đến hàng đơn vị) Lời giải: Ta có: DB = HD + HB = + = (cm) AC = DB (tính chất hình chữ nhật) OA = OB = OC = OD = BD = (cm) Lại có: OD = OH + HD ⇒ OH = OD – HD = – = (cm) Suy ra: OH = HD = cm nên H trung điểm OD Tam giác ADO có AH đường cao đồng thời đường trung tuyến nên tam giác ADO cân A ⇒AD = AO = (cm) Trong tam giác vng ABD có BAD = 90o BD2 = AB2 + AD2 (định lý Py-ta-go) ⇒ AB2 = BD2 - AD2 = 82 – 42 = 48 Suy ra: AB ≈ (cm) Bài 117 trang 94 SBT Toán Tập 1: Chứng minh ba điểm C, B, D hình 18 thẳng hàng Lời giải: Nối AB, BO, BC, BO', BD * Trong ΔABC, ta có: OA = OC = R (bán kính đường trịn (O)) Nên BO đường trung tuyến ΔABC Mà BO = R (bán kính (O)) ⇒ BO = OA= OC = AC Suy tam giác ABC vuông B ⇒ ABC = 90o * Trong ΔABD , ta có: AO' = O'D = R' (bán kính đường tròn (O')) Nên BO' đường trung tuyến tam giác ABD Mà BO' = R' (bán kính (O')) ⇒ BO' = AO' = O'D = AD Suy tam giác ABD vuông B ⇒ ABD = 90o Ta có: ABC+ ABD = CBD = 90o + 90o = 180o Vậy C, B, D thẳng hàng Bài 118 trang 94 SBT Toán Tập 1: Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm BC, BD, AD, AC Chứng minh EG = FH Lời giải: * Trong ΔBCD, ta có: E trung điểm BC F trung điểm BD (giả thiết) Suy EF đường trung bình ΔBCD ⇒ EF // CD EF = CD (1) * Trong ΔACD, ta có: H trung điểm AC G trung điểm AD Suy HG đường trung bình ΔACD ⇒HG // CD HG = CD (2) Từ (1) (2) suy ra: EF // HG EF = HG Suy tứ giác EFGH hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) * Mặt khác: EF // CD (chứng minh trên) Mà AB ⊥ CD (giả thiết) Suy EF ⊥ AB Trong ΔABC ta có HE đường trung bình ⇒ HE // AB Suy ra: HE ⊥ EF (quan hệ từ vng góc đến song song) hay FEH = 90o Vậy hình bình hành EFGH hình chữ nhật Do đó: EG = FH (tính chất hình chữ nhật) Bài 119 trang 94 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D, E, M theo thứ tự trung điểm AB, AC, BC Chứng minh tứ giác DEMH hình thang cân Lời giải: * Vì D trung điểm AB E trung điểm AC (giả thiết) Nên DE đường trung bình tam giác ABC ⇒ DE // BC hay DE // HM Suy tứ giác DEMH hình thang * Mà M trung điểm BC, D trung điểm AB nên DM đường trung bình ∆BAC ⇒ DM = AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1) * Trong tam giác vng AHC có AHC = 90o HE đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC ⇒ HE = AC (tính chất tam giác vng) (2) Từ (1) (2) suy ra: DM = HE Vậy hình thang DEMH hình thang cân (vì có đường chéo DM EH nhau) Bài 120 trang 95 SBT Tốn Tập 1: Cho tam giác ABC vng A, điểm D thuộc cạnh AC Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm BD, BC, DC Chứng minh tứ giác AEFG hình thang cân Lời giải: * Trong ΔBDC, ta có: E trung điểm BD F trung điểm BC Suy EF đường trung bình tam giác BCD ⇒ EF // DC hay EF // AG Suy tứ giác AEFG hình thang Vì G trung điểm DC F trung điểm BC Nên FG đường trung bình tam giác BCD ⇒ FG // BD ⇒ G1 = D1 (đồng vị) (1) * Trong tam giác ABD vuông A có AE đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BD ⇒ AE = ED = BD (tính chất tam giác vuông) Suy ra: tam giác AED cân E nên A1 = D1 (2) Từ (1) (2) suy ra: G1 = A1 Vậy hình thang AEFG hình thang cân có hai góc kề đáy Bài 121 trang 95 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao BD, CE Gọi H, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE Chứng minh EH = DK Lời giải: * Ta có: BH ⊥ DE CK ⊥ DE ⇒ BH // CK hay tứ giác BHKC hình thang Gọi M trung điểm BC, I trung điểm DE * Trong tam giác BDC vng D có DM trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ⇒ DM = BC (tính chất tam giác vuông) * Trong tam giác BEC vuông E có EM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ⇒ EM = BC (tính chất tam giác vuông) Suy ra: DM = EM (= BC ) nên ΔMDE cân M MI đường trung tuyến nên MI đường cao ⇒ MI ⊥ DE Suy ra: MI // BH // CK Lại có: BM = MC Suy ra: HI = IK (tính chất đường trung bình hình thang) ⇒ HE + EI = ID + DK Mà EI = ID nên EH = DK Bài 122 trang 95 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC a) Chứng minh AH = DE; b) Gọi I trung điểm HB, K trung điểm HC Chứng minh DI // EK Lời giải: a) Xét tứ giác ADHE, ta có: A = 90o (gỉa thiết) ADH = 90o (vì HD ⊥ AB) AEH = 90o (Vì HE ⊥ AC) Suy tứ giác ADHE hình chữ nhật (vì có góc vng) Vậy AH = DE (tính chất hình chữ nhật) b) Tam giác BDH vng D có DI đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH ⇒ DI = IB = BH (tính chất tam giác vng) ⇒ ΔIDB cân I ⇒ DIB = 1800 − 2B (1) Tam giác HEC vng E có EK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC ⇒ EK = KH = HC (tính chất tam giác vng) ⇒ ΔKHE cân K ⇒ EKH =1800 − 2KHE (2) Tứ giác ADHE hình chữ nhật nên: HE // AD hay HE // AB ⇒ B = KHE (đồng vị) (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: DIB = EKH Vậy DI // EK (vì có cặp góc đồng vị nhau) Bài 123 trang 95 SBT Tốn Tập 1: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH, đường trung tuyến AM a) Chứng minh HAB = MAC b) Gọi D, E theo thứ tự chân đường vng góc kể từ H đến AB, AC Chứng minh AM vuông góc với DE Lời giải: a) Ta có: AH ⊥ BC (giả thiết) ⇒ HAB + B = 90o Lại có: B + C = 90o (vì ΔABC có A = 90o) Suy HAB = C (1) Vì ΔABC vng A có AM trung tuyến thuộc cạnh huyền BC ⇒ AM = MC = BC (tính chất tam giác vuông) ⇒ ΔMAC cân M ⇒ MAC = C (2) Từ (1) (2) suy ra: HAB = MAC b) Xét tứ giác ADHE, ta có: A = 90o (giả thiết) ADH = 90o (vì HD ⊥ AB) AEH = 90o (vì HE ⊥ AC) Suy tứ giác ADHE hình chữ nhật (vì có góc vng) + Xét ∆ ADH ∆ EHD có : ... 180 o (hai góc phía) ⇒ GAB + GBA = ( ) 1 DAB + CBA = 180 0 = 90 0 2 ( ) Trong ΔAGB ta có: AGB = 180 0 − GAB + GBA = 180 0 − 90 0 = 90 0 Hay G = 90 o 1 Ta có: EDC = ADC ; ECD = BCD 2 Và ADC + BCD = 180 o... ECD = ADC+ BCD = 180 0 = 90 0 2 ( ) Trong ΔEDC ta có: DEC = 180 0 − EDC + ECD = 180 0 − 90 0 = 90 0 Hay E = 90 o Vậy tứ giác EFGH hình chữ nhật (vì có ba góc vng) Bài 111 trang 94 SBT Tốn Tập 1: Tứ... ADC+ DAB = 180 o (hai góc phía) Suy ra: ADF + DAF = ( ) 1 ADC + DAB = 180 0 = 90 0 2 Trong ΔAFD, ta có: ( ) AFD = 180 0 − ADF + DAF = 180 o – 90 o = 90 o Mà EFG = AFD (đối đỉnh) ⇒ EFG = 90 o 1 Ta có: