Bài 3 hình thang cân

BÀI HÌNH THANG CÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa, tính chất hình thang cân + Nắm dấu hiệu nhận biết hình thang cân  Kĩ + Vẽ hình thang cân + Tính số đo góc liên quan đến hình thang cân + Tính số đo góc liên quan đến hình thang cân Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Tính chất - Trong hình thang cân, hai cạnh bên - Trong hình thang cân, hai đường chéo - Dấu hiệu nhận biết - Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên khơng phải ln hình thang cân SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính số đo góc, độ dài cạnh hình thang cân Trang Ví dụ mẫu - Sử dụng tính chất hình thang cân cạnh, Ví dụ: Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  , góc, đường chéo A 2C Tính góc hình thang cân - Áp dụng tính chất hình thang cân Xét hình thang cân ABCD có: D C (tính chất hình thang cân) Mà A 2C (giả thiết) nên A 2D - Thay giác thuyết góc Mặt khác, A  D 180 (hai góc kề cạnh bên hình thang) - Áp dụng tính chất hai góc kề cạnh bên Khi đó,   D  D 180 hình thang 180  3D 180  D  60 Suy A 2.60 120 Vậy A B 120 , C D 60 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  A 3D Tính số đo góc hình thang cân Hướng dẫn giải Xét hình thang cân ABCD  AB  CD  ta có: A  D 180 (hai góc kề cạnh bên hình thang) Mà A 3D (giả thiết) nên 3D  D 180  4D 180  D 45 Khi đó, A 3D 3.45 135 Từ ta được: A B 135 C D 45 (các cặp góc kề đáy hình thang cân) Vậy A B 135 C D 45 Ví dụ Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  có AH, BK hai đường cao hình thang a) Chứng minh DH  CD  AB b) Biết AB = cm, CD = 14 cm, AD = cm Tính DH, AH Trang Hướng dẫn giải a) Vì ABCD hình thang cân nên ta có: D C (hai góc kề đáy nhau); AD BC Xét hai tam giác vng ADH BCK có: D C ; AD BC  ADH BKC (cạnh huyền – góc nhọn) Suy DH CK (hai cạnh tương ứng) (1) Ta có: AH  DC ; BK  DC (AH; BK đường cao hình thang ABCD)  AH  BK (quan hệ từ vng góc đến song song) Hình thang ABKH có đáy AB, HK hai cạnh bên AH  BK nên ABKH hình chữ nhật Suy AB HK (2) Kết hợp (1) (2), ta có: CD DH  CK  HK 2 DH  AB  DH  b) Theo câu a), ta có: DH  CD  AB (điều phải chứng minh) CD  AB 14   4  cm  2 2 2 2 2 Xét ADH vng H có: AD  AH  DH  AH  AD  DH 5  9  AH 3  cm  Chú ý: Trong tốn tính diện tích hình thang ta sử dụng cách kẻ đường cao Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  có A 60 Tính số đo gócABC A 40 B 120 C 30 D 60 Câu Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  có A 70 Khẳng định sau sai? A D 110 B B 110 C C 110 D B 70 Câu Góc kề cạnh bên hình thang có số đo 70 Góc kề cịn lại cạnh bên A 70 B 120 C 110 D 180 Câu Tính góc hình thang cân ABCD  AB  CD  , biết A 3C Câu Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  có AB = 3cm, BC = CD = 13 cm Kẻ đường cao AK BH a) Chứng minh CH = DK b) Tính độ dài BH Câu Cho hình thang cân ABCD  AB  CD, AB  CD  có A  B  C  D , AC  BC   a) Chứng minh AC tia phân giác góc DAB b) Cho biết CD = a tính chu vi diện tích hình thang ABCD theo a Dạng Chứng minh tứ giác hình thang cân Phương pháp giải Chứng minh tứ giác hình thang sử dụng Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A có BD CE Trang dấu hiệu nhận biết hình thang cân hai đường trung tuyến tam giác Chứng minh Hình thang có hai góc kề đáy BCDE hình thang cân hình thang cân Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Hướng dẫn giải Xét ABC có A  B  C 180 (tổng ba góc tam giác) B C ( ABC cân A) nên A  2B 180 180  A Suy B  (1) Xét AED có A  E  D 180 (tổng ba góc tam giác) E D ( AED cân A) nên A  2E 180 180  A Suy E  (2) 180  A Từ (1) (2) ta đượcAED ABC  Mà hai góc vị trí đồng vị nên ED  BC Do tứ giác BEDC hình thang (định nghĩa hình thang) Lại có EBC DCB ( ABC cân A; E  AB; D  AC ) Vậy BEDC hình thang cân (điều phải chứng minh) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC cân A có BH CK hai đường cao tam giác Chứng minh BCHK hình thang cân Hướng dẫn giải Xét BKC CHB có: + BKC CHB 90 (CK; BH đường cao ABC ) Trang + BC cạnh chung + KBC HCB ( ABC cân A) + Vậy BKC CHB (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Suy BK CH (hai cạnh tương ứng)  AK  AB  BK Mà  AB  AC nên AK  AH  AH  AC  CH Suy AKH cân A (định nghĩa tam giác cân) Xét ABC có: A  B  C 180 (tổng ba góc tam giác) 180  A Mà B C ( ABC cân A) nên A  2B 180 Suy B  (1) Xét AKH có: A H  K 180 (tổng ba góc tam giác) 180  A Mà H K ( AKH cân A) nên A  2K 180 Suy K  (2) 180  A Từ (1) (2) ta đượcAKH ABC  Mà hai góc AKH ,ABC vị trí đồng vị nên nên HK  BC Suy tứ giác BKHC hình thang (định nghĩa hình thang) Lại có: KBC HCB ( ABC cân A; K  AB; H  AC ) Vậy tứ giác BKHC hình thang cân (điều phải chứng minh) Bài tập tự luyện dạng Câu Cho tứ giác ABCD có BC = CD DB phân giác góc D Khẳng định sau đúng? A ABCD hình thang B ABCD hình thang vng C ABCD hình thang cân D Cả A, B, C sai Câu Trong số phát biểu sau, có phát biểu sai? I Hình thang có hai cạnh bên hình thang cân II Hình thang có hai đường chéo hình thang cân III Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân IV Hình thang có hai đường chéo vng góc hình thang cân A B C D Câu Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  , AC cắt BD O Khẳng định sau đúng? A AO DO B AO CO C AO BO D AB DC Câu Cho hình thang MNPQ có P  90  Q N 2M a) Xác định đáy hình thang MNPQ b) Nếu cho thêm MN  NP  MQ a Chứng minh MNPQ hình thang cân c) Gọi O giao điểm MP NQ Tính số đo MOQ (với kiện câu b) Trang Dạng Chứng minh cạnh nhau, góc hình thang cân Phương pháp giải Sử dụng tính chất sau đây: Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên Ví dụ: Cho hình thang cân ABCD có AD  BC ; AD  BC Gọi O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: Nếu hình thang có hai cạnh đáy a) ACD DBA cạnh bên song song b) OA OD c) OB OC Hướng dẫn giải a) Ta có ABCD hình thang cân nên AC BD (hai đường chéo); AB CD (hai cạnh bên) Xét ACD DBA có AB CD   AC BD   ACD DBA  c.c.c  điều AD chung  phải chứng minh) Suy raABD ACD hayABO DCO b)Xét ABC DCB có: AB CD   AC BD   ABC DCB  c.c.c  BC chung  Suy BAC BDC hayBAO CDO Xét OAB ODC có: ABO DCO   AC CD   ABO DCO  g c.g  BAO CDO   Suy OA OD (điều phải chứng minh) c) Ta có ABO DCO (chứng minh trên) nên OB OC (điều phải chứng minh) Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB đáy lớn CD Gọi I, J trung điểm AB, CD Chứng minh: a) Tam giác ABJ cân b) IJ trung trực đoạn thẳng AB Hướng dẫn giải a) Vì J trung điểm CD nên JD  JC Vì ABCD hình thang cân nên AD BC (hai cạnh bên) ADJ BCJ (hai góc kề cạnh đáy) Xét ADJ BCJ có AD BC ADJ BCJ JD  JC  ADJ BCJ  c.g.c  Suy JA JB (hai cạnh tương ứng) hay ABJ cân J (điều phải chứng minh) b) Ta có ABJ cân J Mà I trung điểm AB (giả thiết) nên IJ vừa đường trung tuyến vừa đường trung trực ABJ (tính chất đường trung tuyến tam giác cân) Vậy IJ đường trung trực đoạn thẳng AB (điều phải chứng minh) Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hình thang ABCD  AB  CD  cóACD BDC Chứng minh rằng: BD  BC  AB.CD Câu Cho hình thang ABCD  AB  CD, AB  CD  Gọi O giao điểm AD BC, E giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) Tam giác AOB cân O b) Các tam giác ABD BAC c) EC = ED d) OE trung trực AB CD PHẦN ĐÁP ÁN Dạng Tính số đo góc, độ dài cạnh hành thang cân 1–D Câu 2–B 3–C A 3C   Ta có B  C 180 (hai góc phía), mà  nên 4C 180    A B 180 45 (hình thang ABCD cân) Suy C D  Ta có: B  C 180  B  45 180  B A 180  45 135 (hình thang cân ABCD) Trang Câu a) Vì ABCD hình thang cân nên AD BC D C Xét hai tam giác vng ADK BCH có  AD BC  ADK BCH (cạnh huyền – góc nhọn)   D C Suy CH DK (hai cạnh tương ứng) b) Dễ dàng chứng minh KH = AB Ta có DC DK  KH  HC 2 HC  AB  CH  CD  AB 13   5  cm  2 Áp dụng định lý Py-ta-go tam giác vng BHC, ta có: BC BH  CH  BH BC  CH 132  52 144  BH 12  cm  Câu a) Ta có tứ giác ABCD hình thang cân nên D DCB       DAB B  D  DAB 180  DC  AB  Mà A  B  C  D nên 2DAB D   Do đó, 2DAB DAB 180  3DAB 180  DAB 60  B 60 Xét ACB vuông C  AC  BC  nên CAB  B 90  CAB 30 Mà DAC  CAB DAB 60 nên DAC 30  DAC CAB Vậy AC tia phân giác góc DAB b) Kẻ BK tia phân giác CBA BK  AC  K  Hạ KH  AB  H  Suy CBK HBK (cạnh huyền – góc nhọn) Suy BC BH (hai cạnh tương ứng) Ta có: AKB cân K (vìKAB KBA 30 ) Suy KH vừa đường cao vừa đường trung tuyến ứng với cạnh AB hay HB  AH Mà BC BH nên AB 2 BC 2 Ta có DCA CAB 30 (hai góc so le trong) DAC 30 nênDCA DAC Suy DAC cân D Do đó, AD CD a Mà AD BC (tứ giác ABCD hình thang cân) nên AD BC a Trang Do đó, AB 2 BC  AB 2a Chu vi hình thang ABCD là: AB  BC  CD  DA 2 AD  AB  CD 2a  2a  a 5a Kẻ CN vuông với AB N, DM vuông với AB M Dễ dàng chứng minh được: AM  NB, CD MN  AM  MN  AB Mà AM  MN  NB  AB hay   AM  DC  AB a  AM  a 2a  AM  Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác ADM vuông M ta được: a AD DM  AM  DM  AD  AM  DM a     2 2 2 2  DM   DM  2 3a a 2a  a  a Diện tích hình thang ABCD  AB  CD  DM   3 a (đơn vị điện tích)  2 Dạng Chứng minh tứ giác hình thang cân 1–C Câu 2–B 3–C a) Hình thang MNPQ có N 2M  N  M Mà P  90  Q nên NP đáy bé, MQ đáy lớn b) Ta có MNP NMQ 180 (hai góc phía) Mà MNP 2NMQ (giả thiết) nên ta tính được: MNP 120 ,NMQ 60 Kẻ PI  MN , suy I trung điểm MQ PIQ NMQ 60 (hai góc vị trí đồng vị) Suy NP MN MI IP IQ a Xét IPQ có IP IQ a PQI 60 Suy IPQ tam giác Suy PQI 60 Mà NMQ 60 nênNMQ PQI Hình thang MNPQ có NMQ PQI (chứng minh trên) nên hình thang cân (định nghĩa hình thang cân) Trang 10 c) Ta có MN MI ; NP PI suy MP đường trung trực NI Vì MNI cân M có MP đường trung trực nên MP đồng thời phân giácNMI NMI Suy raOMQ  30 Chứng minh tương tự, ta cóOQM 30 Xét OMQ có OMQ OQM MOQ 180 (định lí tổng ba góc tam giác)  30  30 MOQ 180 Suy raMOQ 120 Dạng Chứng minh cạnh nhau, góc hình thang cân Câu Hình thang ABCD  AB  CD  nên A1 C1 vàB1 D1 Lại có ACD BDC nênA1 B1 Gọi O giao điểm AC BD Ta có AOB cân O nên OA OB Tương tự COD cân O nên OC OD Do OA  OC OB  OD hay AC BD Vậy ABCD hình thang cân (điều phải chứng minh) b) Kẻ BH  CD  H  CD  Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác BDH BCH vng H, ta có: BD BH  DH BC BH  CH 2 2 Suy BD  BC DH  CH  DH  CH   DH  CH   AB.CD (điều phải chứng minh) Câu OAB ODC a) Vì AB  CD nên  (hai cặp góc đồng vị) OBA OCD Mà ODC OCD (do ABCD hình thang cân) nên OAB OBA hay ABO cân O  AC BD b) Vì ABCD hình thang cân nên  (hai đường  AD BC chéo, hai cạnh bên)  AD BC  Xét BAD ABC có:  AC BD  BAD ABC  c.c.c   AB chung  Trang 11 (điều phải chứng minh) Suy raBDA ACB  AD BC  c) Xét ACD BDC có:  AC BD  ADC BCD  c.c.c   DC chung  Suy DAC CBD  AD BC  Xét AED BEC có: EAD EBC  ADE BCE  g c.g     EDA ECB Suy EC ED (hai cạnh tương ứng) d) Ta có ADE BCE (chứng minh trên), suy EC ED EA EB (hai cạnh tương ứng) (1) OAB cân O (chứng minh trên) nên OA OB (2) OA OB Ta có OD OA  AD, OC OB  BC mà  nên OD OC  AD BC (3) Từ (1), (2), (3) suy O, E thuộc đường trung trực AB, CD (định lý đảo đường trung trực) Hay OE đường trung trực AB CD (điều phải chứng minh) Trang 12