Bài 1 mở đầu về phương trình và phương trình bậc nhất một ẩn

CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI 1: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết khái niệm: Phương trình, nghiệm tập nghiệm phương trình, phương trình tương đương, phương trình bậc + Vận dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phép thu gọn cách thành thạo để giải phương trình bậc + Trình bày bước giải vận dụng thành thạo giải phương trình dạng ax  b 0  Kỹ + Biết cách giải trình bày lời giải phương trình bậc + Biết cách sử dụng số thuật ngữ liên quan đến phương trình, biết dùng chỗ, lúc kí hiệu tương đương “  ” + Thành thạo quy tắc chuyển vế quy tắc nhân vào giải phương trình, chứng minh phương trình tương đương Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Mở đầu phương trình Phương trình ẩn Phương trình ẩn x hệ thức có dạng A  x  B  x  x   x phương trình ẩn x z   z phương trình ẩn z t 3 phương trình ẩn t x  2 x  Trong đó: A  x  vế trái, B  x  vế phải Nghiệm phương trình ẩn Giá trị x x0 nghiệm phương trình thay giá trị x0 vào phương trình hai vế nhận giá trị Vì  2.2  nên (hay x 2 ) nghiệm phương trình Chú ý: Một phương trình vơ nghiệm (khơng có nghiệm) có vơ số nghiệm Giải phương trình Tập nghiệm tập hợp tất nghiệm phương trình Giải phương trình tìm tập nghiệm Phương trình tương đương Chú ý: Hai phương trình vơ số Hai phương trình có tập nghiệm hai phương trình nghiệm chưa tương đương tương đương Ví dụ: x   x  x   x  Kí hiệu:  Phương trình bậc ẩn Phương trình bậc ẩn Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ax  b 0 , a 0 b hai số cho x  0; y  Là phương trình bậc ẩn x  y 0;0 x  b 0 Không phải phương trình bậc ẩn Hai quy tắc biến đổi Quy tắc chuyển vế đổi dấu Trong phương trình ta chuyển hạng tử từ vế x  0  x 0    3 sang vế đổi dấu hạng tử Quy tắc nhân với số Trong phương trình ta nhân (hoặc chia) hai vế x  0   x  3 0 phương trình với số khác Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Nghiệm phương trình Phương trình tương đương nghiệm phương trình Hai phương trình tương đương hai phương trình tập nghiệm Phương trình ẩn Giải phương trình Tập nghiệm phương trình Là tập hợp tất nghiệm Là tìm tập nghiệm của phương trình phương trình II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nghiệm phương trình Bài tốn Kiểm tra nghiệm phương trình cho trước Phương pháp giải Thay x x0 vào hai vế phương trình: - Nếu hai vế nhận giá trị x x0 nghiệm - Nếu hai vế nhận hai giá trị khác x x0 khơng nghiệm phương trình Ví dụ: Với phương trình, xem xét xem x 1 có nghiệm phương trình khơng? a) x  x  b) x  x  2 x3  Hướng dẫn giải a) Xét phương trình x   x  Với x 1 , ta có: 2.1  1   5 Vậy x 1 nghiệm phương trình x  x  b) Xét phương trình x  x  2 x  Với x 1 ta có 13  2.1  2.13   1 (vơ lí) Vậy x 1 khơng phải nghiệm phương trình x  x  2 x3  Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Với phương trình, xét xem x  có nghiệm phương trình hay khơng? a) x  2 x  b)  x    x  2 x  c) x  x   x  Hướng dẫn giải a) Xét phương trình x  2 x  Với x  ta có:   2   3     (vơ lí) Vậy x  nghiệm phương trình x  2 x  b) Xét phương trình  x    x  2 x  Với x  ta có:        3  2   3     Vậy x  nghiệm phương trình  x    x  2 x  c) Xét phương trình: x  x   x  Với x  ta có:   3    3        7 Vậy x  nghiệm phương trình x  x   x  Bài toán 2: Bài tốn chứa tham số m Phương pháp giải Ví dụ: Tìm m để phương trình  m  3 x  2m 10 nhận x 1 làm nghiệm Hướng dẫn giải Bước 1: Thay giá trị x x0 vào phương trình Vì x 1 nghiệm phương trình nên ta có: cho ta phương trình ẩn m  m  3  2m 10 Bước 2: Tìm m  4m  10  m 1 Vậy m 1 phương trình  m  3 x  2m 10 có nghiệm x 1 Trang Ví dụ mẫu Ví dụ: Tìm m để phương trình sau nhận x 2 nghiệm a) mx  2 x  b) 3x  m x  Hướng dẫn giải a) Vì x 2 nghiệm phương trình mx  2 x  nên ta có: m.2  2.2   2m  3  2m 2  m 1 Vậy m 1 với phương trình mx  2 x  nhận x 2 nghiệm b) Vì x 2 nghiệm phương trình 3x  m x  nên ta có: 3.2  m 2   2m   m2 4   m    m   0  m 2   m  Vậy m 2 m  phương trình 3x  m x  nhận x 2 nghiệm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Với phương trình sau, xét xem x  nghiệm phương trình đây? a) 3x  4 x  b)  x  1   x    c)  x  1 2  x Câu 2: Trong giá trị x 1, x 2, x  , giá trị nghiệm phương trình sau? a) x  4 x  b) x  x  0 c) x   x  Bài tập nâng cao Câu 3: Tìm m để phương trình mx   x  nhận x 2 nghiệm Câu 4: Chứng minh phương trình  x  1 m  x 9m  nhận x 4 làm nghiệm với giá trị tham số m ĐÁP ÁN PHẦN NỘI DUNG KIẾN THỨC ĐẠI SỐ Trang CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH, PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ CÁCH GIẢI Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu a) Xét phương trình 3x  4 x  Với x  ta có:   1  4   1     Vậy x  nghiệm phương trình 3x  4 x  b) Xét phương trình  x  1   x    Với x  ta có:    1         0 (vô lí) Vậy x  khơng nghiệm phương trình  x  1   x    c) Xét phương trình:  x  1 2  x Với x  ta có:    1 2    1  4 Vậy x  nghiệm phương trình  x  1 2  x Câu a) Xét phương trình x  4 x  Với x 1 ta có: 2.1  4.1   5 Vậy x 1 nghiệm phương trình x  4 x  Với x 2 ta có: 2.2  4.2   9 (vơ lí) Vậy x 2 khơng phải nghiệm phương trình x  4 x  Với x  ta có:   1  4   1    (vơ lí) Vậy x  khơng phải nghiệm phương trình x  4 x  b) Xét phương trình x  x  0 Với x 1 ta có: 12   0   0 (vơ lí) Vậy x 1 khơng phải nghiệm phương trình x  x  0 Với x 2 ta có: 22   0   0  0 Vậy x 2 nghiệm phương trình x  x  0 Với x  ta có:   1    1  0    0  0 Vậy x  nghiệm phương trình x  x  0 c) Xét phương trình x   x  Với x 1 ta có x   x    1   2 Vậy x 1 nghiệm phương trình Trang Với x 2 ta có: x   x    2   3 Vậy x 2 nghiệm phương trình Với x  ta có: x   x        0 Vậy x  nghiệm phương trình Bài tập nâng cao Câu Phương trình mx   x  nhận x 2 nghiệm nên m.2  2   2m  3  2m 6  m 3 Vậy với m 3 phương trình mx  x  nhận x 2 nghiệm Câu Thay x 4 vào phương trình  x  1 m  x 9m  ta có:  2.4  1 m  9m   9m  9m  (ln đúng) Vậy phương trình ln nhận x 4 làm nghiệm Dạng 2: Nhận dạng phương trình bậc ẩn Bài toán Nhận dạng phương trình bậc ẩn Phương pháp giải Ví dụ: Trong phương trình sau đây, phương Phương trình bậc ẩn phương trình có trình phương trình bậc ẩn? dạng ax  b 0  a 0  Vậy để nhận dạng phương trình bậc ẩn ta làm sau: Bước 1: Biến đổi để đưa phương trình dạng ax  b 0 Bước 2: Xét giá trị a để đưa kết luận a) x 1 b) x  x  Hướng dẫn giải a) Phương trình x 1  x  0 phương trình bậc ẩn với a 1, b  b) Xét phương trình x  x  phương trình có phải phương trình bậc  x  x   0 ẩn hay khơng  x  0 Vậy phương trình x  x  phương trình bậc ẩn Ví dụ mẫu Ví dụ Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc ẩn? a)  x 0 b) x  x  0 c)  x  1  x  0 d)  0 Trang Hướng dẫn giải a) Phương trình  x 0 phương trình bậc ẩn với a  1, b 2 b) Phương trình x  x  0 khơng phải phương trình bậc ẩn bậc đa thức x  x  2 c) Xét phương trình:  x  1  x  0  x  x   x  0  x 0 Vậy phương trình  x  1  x  0 phương trình bậc ẩn với a 2, b 0 d) Phương trình  0 khơng phải phương trình bậc ẩn Bài tốn Bài tốn chứa tham số m Phương pháp giải Ví dụ: Tìm điều kiện tham số m để phương trình m Bước 1: Biến đổi để đưa phương trình dạng f  x  0 Bước 2: Sắp xếp đa thức f  x  0 có bậc giảm dần  1 x  m 2 x  phương trình bậc ẩn Hướng dẫn giải 2 Xét phương trình:  m  1 x  m 2 x  (2)   m  1 x  x  m  0 Phương trình (2) phương trình bậc m  0  0 Bước 3: Tìm m để số hạng có bậc Xét m 1  m 1 , mặt khác  0 với m lớn có hệ số hệ số số Vậy với m 1 phương trình hạng bậc khác m  1 x  m 2 x  phương trình bậc ẩn Ví dụ mẫu Ví dụ: Tìm điều kiện tham số m để phương trình  m  3 x  x   x  phương trình bậc ẩn Hướng dẫn giải Trang Xét phương trình  m  3 x  x  x    m  3 x  x   x  0   m    1 x   0   m   x  0 Để phương trình phương trình bậc ẩn m  0  m 2 Bài tập tự luyện dạng Câu Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc nhất? a) 3x  0 b)  x  1  x 3  x c) 0.x  0 d) x 1 Câu a) Tìm điều kiện tham số m để phương trình  m   x   x  phương trình bậc ẩn 2 b) Tìm điều kiện tham số m để phương trình  m  1 x  mx 2  x  1  x phương trình bậc ẩn Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Câu a) 3x  0 phương trình bậc ẩn với a 3, b  b) Xét phương trình  x  1  x 3  x  x   x 3  x  x  x  x   0   0 Vậy phương trình  x  1  x 3  x phương trình bậc c) 0.x  0 khơng phải phương trình bậc a 0 d) Xét phương trình x 1  x  0 Vậy phương trình phương trình bậc ẩn với a 5, b  Câu a) Xét phương trình:  m   x   x    m   x   x  0   m  3 x  0 Vậy phương trình cho phương trình bậc m  0  m 3 b) Xét phương trình m  1 x  mx 2  x  1  x   m  1 x  mx 2 x   x   m  1 x  mx  x  0   m  1 x   m  1 x  0 Phương trình phương trình bậc ẩn m  0 m  0 Xét m  0  m 1 Trang Xét m  0  m  Vậy để phương trình phương trình bậc ẩn m 1 Dạng Giải phương trình Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình a) x  20 0 b) x  3x  Hướng dẫn giải Bước 1: Biến đổi phương trình dạng a) Xét phương trình x  20 0 ax  b 0  x 20  x 5 Bước 2: Giải phương trình ax  b 0  a 0  Vậy phương trình có tập nghiệm S  5  ax  b b  x a b) Xét phương trình: x  3x   x  x 5  Bước 3: Kết luận tập nghiệm S phương  x 6  x 3 trình Vậy phương trình có tập nghiệm S  3 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau a) 3x  5 b)  x  1  x 3  x    2 c)  x  1  x  x  Hướng dẫn giải a) Xét phương trình 3x  5  3x 5   x 3  x 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S  1 b) Xét phương trình  x 1  x 3  x     x   x 3 x    x  x  x 6     x 2  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   1 c) Xét phương trình  x  1  x  x   x  x   x  x   x  x  x  x 2    x 1  x  Trang 10 Vậy phương trình có tập nghiệm S   1 Ví dụ Chứng minh phương trình  x  1  x  2 x  vô nghiệm Hướng dẫn giải Xét phương trình  x  1  x  2 x   x   x  2 x   x  x  x      (vơ lí) Vậy phương trình  x  1  x  2 x  vơ nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình  x  1  x   x  có vơ số nghiệm Hướng dẫn giải Xét phương trình  x  1  x   x   x   x   x   x  x  x     0 Vậy phương trình  x  1  x   x  có vơ số nghiệm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Giải phương trình sau: a) x  0 b) 3x   x  c)  x  1 3  x  1  Câu Giải phương trình sau: a) x  3x  x  1  b)  x  1  x 3x  Bài tập nâng cao Câu Chứng minh phương trình  x    x  2 x  11 có vơ số nghiệm Câu Chứng minh phương trình   x    x  x  11 vô nghiệm Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Bài tập Câu a) x  0  x   x  5  5 Vậy tập nghiệm phương trình S   2 b) 3x   x   3x  x 6   x 4  x 1 Vậy tập nghiệm phương trình S  1 Trang 11 c)  x 1 3  x  1   x  3x    x  x      x   x 3 Vậy tập nghiệm phương trình S  3 Câu a) b) x  x  x  1   x  1  x 3 x   x3  3x x3  3x  3x    x  x   x 3 x   x  x  x  3x  3x 2   x 2 2  x  x  x  x  x     x   x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2  2 Vậy phương trình có tập nghiệm S   3 Bài tập nâng cao Câu Xét phương trình  x    x  2 x  11  x  12  x 1 2 x  11  x  x  x 12   11  0 (đúng với x ) Vậy phương trình có vơ số nghiệm Câu Xét phương trình   x    x  x  11   x   x  x  11   x  x  x 4   11   17 (vơ lí) Vậy phương trình vơ nghiệm Dạng Xét tương đương hai phương trình Phương pháp giải Hai phương trình tương đương hai phương Ví dụ: Hai phương trình x  3 x  0 trình có tập nghiệm Vậy để xét tính tương đương hai phương trình f  x  0 g  x  0 thì: Bước 1: Giải phương trình f  x  0 có tương đương khơng? Vì sao? Hướng dẫn giải: Xét phương trình x  3  x 4  x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 Xét phương trình x  0  x 2 g  x  0 Bước 2: Dựa vào tập nghiệm hai phương trình để kết luận Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 Hai phương trình có tập nghiệm nên tương đương với Ví dụ mẫu Trang 12 Ví dụ Hai phương trình  x  1  x   0 3x   x  1 1 có tương đương khơng? Vì sao? Hướng dẫn giải Xét phương trình  x  1  x   0 Ta có vì: x 0 với x nên x   với x Vậy phương trình  x  1  x   0  x  0  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 Xét phương trình 3x   x  1 1  x  x  1  x 1   x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 Hai phương trình khơng có tập nghiệm nên khơng tương đương Ví dụ Cho hai phương trình x  0  m  1 x  0 Tìm m để hai phương trình tương đương Hướng dẫn giải Xét phương trình: x  0  x  Vậy tập nghiệm phương trình S   1 Để hai phương trình x  0  m  1 x  0 tương đương phương trình  m  1 x  0 nhận x  nghiệm Xét phương trình  m  1 x  0 , với x  nghiệm phương trình nên  m  1   1  0   m 1  0   m  0  m  Thử lại: với m  ta có  m  1 x  0     1 x  0   x  0  x  Với m  phương trình  m  1 x  0 có tập nghiệm S   1 Vậy với m  phương trình x  0 tương đương với phương trình  m  1 x  0 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong cặp phương trình đây, cặp phương trình tương đương? a) x 1  x  1  4 x b)  x    x   0 x  3  x  1  Câu a) Phương trình x  7 phương trình x  0 có tương đương khơng? Vì sao? Trang 13 b) Phương trình x  0 phương trình  x  3   x  có tương đương khơng? Vì sao? Bài tập nâng cao Câu Tìm m để phương trình  2m  1 x   x  phương trình x   x  hai phương trình tương đương Hướng dẫn giải tập tự luyện dạng Câu 1 a) Xét phương trình x 1  x  1  Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 Xét phương trình  x  1  4 x  x   4 x  x  x    x   x  1  Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 Do hai phương trình có tập nghiệm nên tương đương b) Xét phương trình  x    x   0  1 Vì x 0 với x nên x   với x Từ  1  x  0  x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 Xét phương trình x  3  x  1   x  3x    x  3x 1     x   x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 Do hai phương trình có tập nghiệm nên tương đương Câu  x 2 2 a) Xét phương trình x  7  x 8  x 4    x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   2; 2 Xét phương trình x  0  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 Hai phương trình khơng có tập nghiệm nên hai phương trình khơng tương đương b) Xét phương trình x  0  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   3 Xét phương trình  x  3  x 1  3x   x   x  x 1    x   x  Trang 14 Vậy phương trình có tập nghiệm S   3 Hai phương trình có tập nghiệm nên hai phương trình tương đương Bài tập nâng cao Bài Xét phương trình x  x   x  x 4   x 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S  5 Để phương trình x  x   2m  1 x  x  có tập nghiệm  2m  1 x  x  tương đương phương trình S  5 Hay x 5 nghiệm phương trình  2m  1 x   x  15 Suy  2m  1  5   10m   7  10m 8   m   m  10 Với m  thay vào phương trình  2m  1 x   x  2   ta có   1 x   x   x   x   x 5   Vậy với m  phương trình x   x   2m  1 x   x  phương trình tương đương Trang 15 Trang 16