162 đề hsg toán 8 an hội 2016 2017

PHÒNG GD & ĐT AN HỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN LỚP ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2013 x  2012 x  2013  x2  x  2 x2 A        x  8  x  x  x3   x x   Rút gọn biểu thức sau: Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau:  2x 2  x  2013  4. x  x  2012  4  x  x  2013   x  x  2012  3 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x  x  x   y Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x  dư 10, f ( x) chia cho x  2 dư 24, f ( x) chia cho x  thương  5x dư Chứng minh rằng: 2 a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b  c  b  a  c   a  c  b  Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE  AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N 1) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2 EF 1   2 AM AN 3) Chứng minh : AD Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng: 1    a  b  c b  c  a c  a  b ĐÁP ÁN Câu 1.1 Ta có: x  2013x  2012 x  2013  x  x   2013 x  2013x  2013 x  x  1  x  x  1  2013. x  x  1  x  x  1  x  x  2013 1.2  x 0  x 2 Điều kiện:  Ta có:  x2  x   x2 A   1    x  8  x  x  x x x     x2  2x  x2  x  2x2      2 x2  4 4  x   x2   x   x2    x2  2x   x  1  x   2x2     2 x2  4  x2  4   x   x2     x. x    x 2 x  2  x2  4 x  x    x  1 2x  x  4 2 x 1 A x với Vậy Câu  x  1  x    x3   x2 x 1 2x  x 0   x 2 x2  x  x2 x  x 2 x2  4 a 2 x  x  2013  2.1 Đặt b x  x  2012 Phương trình cho trở thành: a  4b 4ab   a  2b  0  a  2b 0  a 2b Khi ta có: x  x  2013 2. x  x  2012   x  x  2013 2 x  10 x  4024  11x  2011  x   2011 11 Vậy phương trình có nghiệm x  2011 11 3  y  x 2 x  3x  2  x      x  y (1) 4  2.2 Ta có: 3 2 15  x    y 4 x  x   x      y  x  (2)  16  Từ  1   ta có: x  y  x  mà x, y nguyên suy y x  Thay y x  vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm 3 x   y 0 Vậy  x; y    1;0  Câu 3.1 Giả sử f ( x) chia cho x  thương  5x dư ax  b f ( x)  x     x   ax  b Khi : Theo đề bài, ta có:   f (2) 24 2a  b 24 a      f (  2) 10  2a  b 10 b 17  f ( x)  x   ( x)  x  17 Do : Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: f ( x)  x3  47 x  17 3.2 Ta có: a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b  c   b  a  c   a  c  b  0 xz  a    a  b  c x  x y   b  c  a  y  b   a  c  b z   yz  c  Đặt Khi ta có: xz  xy yz yz  xz xy 2 VT       y   x   x  y  x  y z  2   2  xz x z yz z y 2  y  x   x  y  z 2 2 1 x  z  y   z  y  x   x  y  z  4 =4 1   x  y  z   x  y  z 0 VP (dfcm) 4 Câu (1) E A B H F D M C N    ABF (cùng phụ với BAH ) 1) Ta có: DAM  AB  AD ( gt ); BAF ADM 900 (ABCD hình vng)  ADM BAF  g c.g   DM  AF , mà AF  AE ( gt ) nên AE DM Lại có: AE / / DM (vì AB / / DC )  Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE 90 ( gt ) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Ta có ABH FAH ( g.g ) AB BH BC BH     AB BC ; AE  AF  AF AH hay AE AH    Lại có: HAB HBC (cùng phụ với ABH )  CBH AEH (c.g c) 2 S SCBH  BC   BC   CBH  4( gt )    ,  4  BC  AE  S EAH  AE  mà S EAH  AE   BC 2 AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD 2 EF hay AC 2 EF (dfcm) 3) Do AD / /CN ( gt ) Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: AD AM AD CN     CN MN AM MN Lại có: MC / / AB  gt  Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: MN MC AB MC AD MC     AN AB AN MN hay AN MN 2 2 2 2 MN  AD   AD   CN   CM  CN  CM       1        2 AM AN MN MN MN MN         ( Pytago) 1  AD   AD        1  2 AM AN AD  AM   AN  (dfcm) Câu Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi a, b, c   x, y, z  ta có: a b2 c  a  b  c     x y z xyz a b c    x y z Dấu " " xảy Thật vậy, với a, b   x, y  ta có: a b2  a  b    x y xy (*) (**)   a y  b x   x  y  xy (a  b)2   bx  ay  0 (luôn đúng) Dấu " " xảy  a b  x y Áp dụng bất đẳng thức  ** ta có: 2 a b2 c  a  b  c2  a  b  c      x y z xy z xyz a b c    x y z Dấu " " xảy 1 2 1 a b c2      a b  c  b3 (c  a) c3 (a  b) ab  ac bc  ab ac  bc Ta có:  Áp dụng BĐT (*) ta có : 2  1 1  1 1 1         2 a b c a b c  a b c     ab  ac bc  ab ac  bc  ab  bc  ac   1 1 2     a b c  (Vì abc 1) Hay 1 2 1 1 1 a  b  c      ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  1 2 1 a   3  b  c  Mà a b c nên ab  ac bc  ab ac  bc 1    a  b  c  b3  c  a  c  a  b  Vậy (đpcm)