005 đề hsg toán 8 hoằng hóa 2016 2017

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2017 Câu (4 điểm)  2  x 1 P     x x x  x   Cho biểu thức  x  1  :  x a) Rút gọn P b) Tìm x để P có giá trị ngun c) Tìm x để P 1 Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x  x  x  30 0 x  2x  x x  1   1 3 b) Giải bất phương trình sau: x2 x Q  x  x2  c) Cho biết x  x  Hãy tính giá trị biểu thức: Câu (5,0 điểm) 2 a) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: x  y  xy  y  x  0 5 b) Cho a, b, c  , thỏa mãn a  b  c 0 Chứng minh a  b  c 30   1    1   a    b    c    a    b    c   b  c  a  a  b  c  , c) Chứng minh rằng:  a, b, c số thực không nhỏ Câu (4,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD, BE , CF cắt H Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH BE  CH CF BC BC AD.HD  c) d) Gọi I , K , Q, R chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD , CF , BC Chứng minh bốn điểm I , K , Q, R nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm)Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD CE BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB CK ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x 0; x 1 Ta có: x 1 2 2x   x   x P     x  1     2  x 1  3x x  3x  x   3x 3x  x x 2x P x Vậy P 2     x  1  1; 2  x b) Ta có: Ư   Từ suy x   2;0;3;  1 Kết hợp với ĐKXĐ x   2;3 2x 2x x 1 1   0  0 x x x c) Mà x   x  nên x   x  0  x  x  Kết hợp với ĐKXĐ   x  x 0 Câu a) Ta có: x  x  x  30 0   x    x    x   0 P 1   x  0  x 3   x  0   x   x  0  x 5 x  2x  x x  1     x   x  6 x   x  3 7  x   x  b)  7  S  x / x   4  Vậy tập nghiệm bất phương trình x2  x  x    x 0, x  x  x c) Từ :  1 25 21  x   1  x     x    1  1 x x  x 4 x  x 1 1  21  x    x     x x x   Lại có: x2 Q  x  x  21 Suy Câu a) x  y  xy  y  x  0  25 x  25 y  40 xy  10 y  10 x  10 0 2   x  y  1   y  1 0 2 Do  x  y  1 0  y  1 0 với 2 x  y   y  0     Nên x, y Suy x 1; y  b) a  a a  a  1  a  1 a  a  1  a    Ta có:  a    a  1 a. a  1  a     a  1 a  a  1 Do  a    a  1 a  a  1  a   tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2;3;5 , chia hết cho 30 Lại có  a  1 a  a  1 chia hết  a  1 a  a  1 chia hết cho 30 Từ suy a  a chia hết cho 30 5 Tương tự b  b chia hết cho 30 c  c chia hết cho 30 a Từ suy  b5  c5    a  b  c   a  a    b  b    c  c  5 Mà a  b  c 0 nên a  b  c chía hết cho 30 chia hết cho 30   1    1  c)  a    b    c    a    b    c   b  c  a  a  b  c    ab  1  bc  1  ca  1  a  1  b  1  c  1 abc abc 2   ab  1  bc  1  ca  1  a  1  b  1  c  1  a 2b 2c  abc  a  b  c    ab  bc  ca  a 2b 2c  a  b  c   a 2b  b 2c  c 2a    a 2b  b 2c  c a   2abc  a  b  c  2  a  b  c    ab  bc  ca  2 2   ab  bc    bc  ca    ca  ab   a  b    b  c    c  a  2   a  c   b  1   b  a   c  1   c  b   a  1 0 (đúng với a, b, c 1) Câu A I E K F Q B D R C AE AB  AF AC a) Ta có: Từ suy AEF ABC  c.g c  BD BH BDH BEC ( g g )    BH BE BC.BD (1) BE BC b) CD CH CDH CFB ( g g )    CH CF BC.CD (2) CF BC AEB AFC ( g g )  Từ (1) (2) suy BH BE  CH CF BC.BD  BC.CD BC DBH DAC ( g g )  DH DB   DH DA DC DB DC DA c) Chứng minh DC  DB   BC DC.DB   4 Lại có: BC AD.HD  Do đó: d) Từ giả thiết suy EI / /CF , EK / / BC , EQ / / AB, ER / / AD Áp dụng định lý Talet ta có: AI AE AK *    IK / / DF AF AC AD BF BH BD *    IR / / DF BI BE BR CR CE CQ *    RQ / / DF CD CA CF Từ  3 ;   ;   suy bốn điểm Câu (3) (4) (5) I , K , Q, R thẳng hàng A K B 1 C O M E D Vẽ hình bình hành ABMC  AB CM  1  1 C   CMB  B 1  2 Ta có: nên BO tia phân giác CBM  Tương tự CO tia phân giác BCM  Do MO tia phân giác BMC Suy OM song song với tia phân giác A , suy K , O, M thẳng hàng 1   BMC   M  BAC K 1 2 Ta có: (2) Nên tam giác KMC cân C  CK CM Từ (1) (2) suy CK  AB