PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2017 Câu (4 điểm) 2 x 1 P x x x x Cho biểu thức x 1 : x a) Rút gọn P b) Tìm x để P có giá trị ngun c) Tìm x để P 1 Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x x x 30 0 x 2x x x 1 1 3 b) Giải bất phương trình sau: x2 x Q x x2 c) Cho biết x x Hãy tính giá trị biểu thức: Câu (5,0 điểm) 2 a) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: x y xy y x 0 5 b) Cho a, b, c , thỏa mãn a b c 0 Chứng minh a b c 30 1 1 a b c a b c b c a a b c , c) Chứng minh rằng: a, b, c số thực không nhỏ Câu (4,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD, BE , CF cắt H Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH BE CH CF BC BC AD.HD c) d) Gọi I , K , Q, R chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD , CF , BC Chứng minh bốn điểm I , K , Q, R nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm)Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD CE BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB CK ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x 0; x 1 Ta có: x 1 2 2x x x P x 1 2 x 1 3x x 3x x 3x 3x x x 2x P x Vậy P 2 x 1 1; 2 x b) Ta có: Ư Từ suy x 2;0;3; 1 Kết hợp với ĐKXĐ x 2;3 2x 2x x 1 1 0 0 x x x c) Mà x x nên x x 0 x x Kết hợp với ĐKXĐ x x 0 Câu a) Ta có: x x x 30 0 x x x 0 P 1 x 0 x 3 x 0 x x 0 x 5 x 2x x x 1 x x 6 x x 3 7 x x b) 7 S x / x 4 Vậy tập nghiệm bất phương trình x2 x x x 0, x x x c) Từ : 1 25 21 x 1 x x 1 1 x x x 4 x x 1 1 21 x x x x x Lại có: x2 Q x x 21 Suy Câu a) x y xy y x 0 25 x 25 y 40 xy 10 y 10 x 10 0 2 x y 1 y 1 0 2 Do x y 1 0 y 1 0 với 2 x y y 0 Nên x, y Suy x 1; y b) a a a a 1 a 1 a a 1 a Ta có: a a 1 a. a 1 a a 1 a a 1 Do a a 1 a a 1 a tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2;3;5 , chia hết cho 30 Lại có a 1 a a 1 chia hết a 1 a a 1 chia hết cho 30 Từ suy a a chia hết cho 30 5 Tương tự b b chia hết cho 30 c c chia hết cho 30 a Từ suy b5 c5 a b c a a b b c c 5 Mà a b c 0 nên a b c chía hết cho 30 chia hết cho 30 1 1 c) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 abc abc 2 ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 a 2b 2c abc a b c ab bc ca a 2b 2c a b c a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c a 2abc a b c 2 a b c ab bc ca 2 2 ab bc bc ca ca ab a b b c c a 2 a c b 1 b a c 1 c b a 1 0 (đúng với a, b, c 1) Câu A I E K F Q B D R C AE AB AF AC a) Ta có: Từ suy AEF ABC c.g c BD BH BDH BEC ( g g ) BH BE BC.BD (1) BE BC b) CD CH CDH CFB ( g g ) CH CF BC.CD (2) CF BC AEB AFC ( g g ) Từ (1) (2) suy BH BE CH CF BC.BD BC.CD BC DBH DAC ( g g ) DH DB DH DA DC DB DC DA c) Chứng minh DC DB BC DC.DB 4 Lại có: BC AD.HD Do đó: d) Từ giả thiết suy EI / /CF , EK / / BC , EQ / / AB, ER / / AD Áp dụng định lý Talet ta có: AI AE AK * IK / / DF AF AC AD BF BH BD * IR / / DF BI BE BR CR CE CQ * RQ / / DF CD CA CF Từ 3 ; ; suy bốn điểm Câu (3) (4) (5) I , K , Q, R thẳng hàng A K B 1 C O M E D Vẽ hình bình hành ABMC AB CM 1 1 C CMB B 1 2 Ta có: nên BO tia phân giác CBM Tương tự CO tia phân giác BCM Do MO tia phân giác BMC Suy OM song song với tia phân giác A , suy K , O, M thẳng hàng 1 BMC M BAC K 1 2 Ta có: (2) Nên tam giác KMC cân C CK CM Từ (1) (2) suy CK AB