VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn Tốn: Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm) x2 x x1 Với x 0, x : x x x x 1 x Cho biểu thức: P a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P c) So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y Z thỏa mãn: y x x y x y xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 b c a b c a Chứng minh rằng: a b c3 chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x 20 x 25 x x 10 x 20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c a b b c c a b c c a a b Hết -Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Câu a Nội dung Điều kiện: x 0, x x2 P x x x x2 x x b Điểm 0,5 x x1 : x 1 x x x1 : x 1 x x x ( x 1) ( x x 1) x x x 1 x x 1 x x x 1 : x1 2 x1 0,5 0,5 0,5 x x 1 Với x 0, x Ta có: P 0,5 2 x x 1 1,0 x x 7 0,25 x x 0 ( x 2)( x 3) 0 Vì x nên 0,25 x 0 x 4 (t/m) x = Vì x 0 x x 1 Vậy P = c 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 0,25 2 x x 1 P 2 0 P ( P 2) 0 0,25 P P 0 0,25 P 2 P Dấu “=” xảy P = x = Vậy P2 2P a y x x y x y xy y x x y x y xy 0 0,5 x 1 (2 y y x) 0,25 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1 +) Nếu x – = x = 0,5 Khi 2y2 - y – = - y = (t/m) y = 1 Z (loại) +) Nếu x – = -1 x = 0,5 Khi 2y - y = y = (t/m) y = 1 Z (loại) 0,25 x 2 x 0 ; y 1 y 1 Vậy b a) Từ giả thiết 1 1 1 ( )2 a b c a b c 1 2( ) 0 ab bc ca Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0,5 0,5 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a b c a b c 0,25 0,25 a b3 3ab(a b) c3 a b3 c3 3abc 3 Vậy a b c 3 với a, b, c Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) a mà khơng chứng minh trừ 0,5 điểm Đkxđ: x R 0,25 x 20 x 25 x x 10 x 20 Vì x 20 x 25 x x 0 với x 10x – 20 0 x 2 0,5 Ta có: x 20 x 25 x x 10 x 20 0,5 x x 10 x 20 x x 10 x 20 x 28 x 4(t / m) b Vậy phương trình có nghiệm x = x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0,5 0,25 0,5 x y 7( x y ) 10 y ( x y 2)( x y 5) y 0 x y 0,5 * x + y + = - x = - 5; y = * x + y + = - x = - 2; y = 0,5 Vậy Amin = - x= - 5; y = Amax = - x = -2; y = 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a E M A N B F 1,0 D C Ta có: ECD (cùng phụ với ECB ) BCF Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vng – góc nhọn) 1,0 CE = CF ECF cân C b Mà CM đường trung tuyến nên CM EF * Vì EDC = FBC ED = FB 0,5 NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BC2 = NB.BF a2 = NB.DE (đpcm) 0,5 * CEF vng C có CM đường trung tuyến nên CM AEF vng A có AM đường trung tuyến nên AM EF EF 0,5 CM = AM M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC 0,5 B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC c (đpcm) Đặt DE = x (x > 0) BF = x 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí SACFE = SACF + SAEF = AF AE CB (AB BF) AE AD (a x).DE (a x)x SACFE = 3.SABCD 0,25 0,5 (a x)x 3a 6a ax x 0 (2a x)(3a x) 0 0,5 Do x > 0; a > 3a + x > 2a x 0 x = 2a A trung điểm DE AE = a Vì AE //BC nên AN AE 1 NB BC 0,25 N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD * Vì a, b, c > nên Tương tự: a a a c 1 a b a b a b c b ba ; b c a b c c c b c a a b c a b c (1) a b b c c a * Ta có: a a bc a(b c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cơ- si ta có: a (b c ) a (b c ) 2 a bc a (b c ) 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 2a a 2a a a bc a bc bc a (b c) Tương tự: 2b b ; a b c a c 2c c a b c ba a b c 2 bc ca a b 0,5 Dấu ‘ =” xảy a = b + c; b = c + a; c = a +b tức a = b = c (vô lý) a b c (2) bc ca a b Từ (1) (2) ta có đpcm * Lưu ý chấm bài: - Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 5, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm