007 đề hsg toán 8 huyện 2015 2016

ĐỀ THI OLYMPIC HUYỆN MƠN TỐN LỚP Năm học 2015-2016 (Thời gian làm : 120 phút) Bài Phân tích thành nhân tử: x  x  x  Bài Cho x, y, z số thực khơng âm Tìm giá trị nhỏ : x  y  z biết x  y  z 2 Bài Cho x, y, a, b số thực thỏa mãn: x4 y x2  y   2 a b a  b x  y 1 Chứng minh: x 2006 y 2006  1003  1003 1003 a b  a  b Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: a b bc ca 1      2 bc  a ac  b ab  c a b c Bài Cho tam giác vuông cân ABC  AB  AC  Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM 2MA , nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng BN  AB Bx vng góc với AB, Bx lấy điểm N cho Đường thẳng MC cắt NA E , đường thẳng BE cắt đường thẳng AC F a) Chứng minh AF  AM b) Gọi H trung điểm FC Chứng minh EH BM ĐÁP ÁN Bài x4  6x2  x  x  x  x  x  x  x  x  x3  x    x ( x  2)  x  x     x    x    x3  x  x  3  x    x3  3x  x  x  x  3  x    x  x  3  x  x  3   x  3   x    x  3  x  x  1 Bài Áp dụng cơng thức Bunhiacopski ta có:  x  y  z 2   x  y  z     x  y  z       2 9  x  y  z  27  x  y  z   16 27  x  y  z   x  y  z  16 27 16  x  y z  Vậy GTNN x  y  z 27 4 Bài Từ giả thiết suy ra: 2 2 x4 y  x  y      bx  ay   a  b  ab  x  y  a b a b  b x  a y  2abx y 0   bx  ay  0 x2 y x2  y    a b a b a b 2006 x y 2006   1003  1003  ( dpcm) 1003 1003 a b a  b a  b      bx  ay 0  x 2006 y 2006  1003  1003 a b Bài Ký hiệu vế trái A, vế phải B, xét hiệu A  B a b bc ca      bc  a a ac  b b ab  c c a  ab  bc  a b  bc  ac  b c  ac  ab  c    a  bc  a  b  ac  b  c  ab  c   b a  c a  bc  a   c b  a b  ac  b   a  c  b c  ab  c  Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a b c, b  a  c  0, c  b  a  0 , a  c  b  0 b a  c a b3 c3  abc  a abc  b3 abc  c   A B   b a  c b  ac  b a b  c b  ac  b  Mà    c b  a b  ac  b   a  bc  a a  c  b c  ab  c   a b  c c  ab  c  1  b  ac  b  c  ab  c  nên A  B 0 đpcm   b a  c b  ac  b  ab  ac ac  ab  b  ac  b  c  ab  c  Bài K F A E M N C B a) Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN K Ta có: AC  AB  gt  , KB  AB  gt   FC / / KB AF AE   AF AC AF AC AB NB EN      AF   AC AE  NB NK AB NK NK  NK EN  AC AM AC AB       AB BK MB KN  NB KN  2 AB    AB 2 KN  AB  KN  AB KN  AB 2  1 (2) AB AB  AF    AF  AM AB Từ (1) (2) (Đpcm)   b) Từ chứng minh suy AFB AMC  ABF  ACM 0     Mà ABF  AFB 90  ACM  AFB 90 FC   FEC 900  EH  FH Mà FH FA  AH  AC AC AC   BM  EH BM  dfcm  3