015 đề hsg toán 9 thanh hóa 2016 2017

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn Tốn: Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức:  x2 x  x1 P    :  x x  x  x 1 1 x  Với x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 0, x  c) So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm ,x yZ thỏa mãn: 2y2xxy x2 2y2xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện:  1 1 1         a b c a b c Chứng minh rằng: 3 chia hết cho a b c Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 42x20x 25 xx2 910x20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c      a b b c c  a b  c c  a a b Hết -Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Câu a Nội dung Điều kiện: x  P        x   x    x     x   x x  x (  x x    x    x  x x   x x  0, x  x  x  1 x  x 1)  x  x  ( x x   1 Điểm 0,5  x x   1 x     : x    :  1   1) : x  x  x  1 1 x  x 1 0,5 0,5 0,5 b Với x P    0, x Ta có: 0,5 x 2  x 1  x x  7  x x  0  ( x  2)( x  3) 0 x   nên Vì Vậy P = x  0 1,0  x 4 (t/m) 0,25 x = 0,25 c Vì 0,25 x 0  x  x 11 2 x  x 1   P 2  P ( P  2) 0  0  P  P 0  P 2 P Dấu “=” xảy P =  x=0 0,25 Vậy P2  2P 0,25 0,25 a y2 x  x  y 1 x2  y2  xy  y 2x  x  y 1  x  y  xy 0   x  1 (2 y  y  x)  Vì x, y  Z nên x -  Ư(-1) = 1;  1 +) Nếu x – =  x = 0,5 0,25 Khi 2y2 - y – = -  y = (t/m) y = +) Nếu x – = -1   Z (loại) 0,5  x=0 Khi 2y2 - y =  y = (t/m) y = Vậy b 1  Z (loại) 0,5  x 2  x 0  ;   y 1  y 1 a) Từ giả thiết 0,25 0,5 1 1 1 (   )2    a b c a b c 1  2(   ) 0 ab bc ca Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0,5  a  b  c   a  b   c   a  b3  3ab(a  b)  c3  a  b3  c3 3abc Vậy a  b3  c3 3 với a, b, c  Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức 0,5 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà khơng chứng minh trừ 0,5 điểm 0,25 0,25 a Đkxđ: x  R 0,25 42x20x 25 xx26 910x20 Vì 4x2  20x 25  x2 6x 0 với x  10x – 20 0 x2 0,5 Ta có: 0,5 4x  20 x  25  x2  6x  10x  20  2x   x  10 x  20  x   x  10 x  20  x 28  x 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 b 2 x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0,25 0,5   x  y   7( x  y)  10  y2  ( x  y  2)( x  y  5)  y 0   x  y  1 * x + y + = - x = - 5; y = * x + y + = - x = - 2; y = 0,5 Vậy Amin = - x= - 5; y = Amax = - x = -2; y = 0,5 0,5 a E M A N B F 1,0 D C Ta có: E CD B CF (cùng phụ với  ) ECB Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vng – góc 1,0 nhọn)  CE = CF   ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM  EF b * Vì  EDC =  FBC  0,5 ED = FB  NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: 0,5 BC = NB.BF  a = NB.DE (đpcm) *  CEF vng C có CM đường trung tuyến nên CM   AEF vng A có AM đường trung tuyến nên  CM = AM  AM  EF EF 0,5 M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC  B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC 0,5 c (đpcm) Đặt DE = x (x > 0)  BF = x 0,5 SACFE = SACF + SAEF = 12AFAE CB  (AB  BF)  AE  AD   (a  x).DE  (a  x)x 0,25 SACFE = 3.SABCD  (ax) 3a2 6a2 ax x20  (2a  x)(3a x) 0 Do x > 0; a >  3a + x >  2a x0  x = 2a 0,5  A trung điểm DE  AE = a AN AE NB BC Vì AE //BC nên  1 0,5  N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD a a a c ab ab abc * Vì a, b, c > nên 1  Tương tự: b ba c c b  ;  b  c a b c c a a b c abc    2 (1) a b b c c  a * Ta có: a a  b  c ab( c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: a  (b  c)  a(b  c)  2   a  b  c a(b  c) 2a a 2a a   abc a(bc) abc bc 2b b 2c c Tương tự: abc  ac; abc  ba a b c    2 b c c  a a b Dấu ‘ =” xảy a = b + c; b = c + a; c = a +b tức a = b = c (vô lý) 0,25 0,5 a b c    2 b c c a a b (2) Từ (1) (2) ta có đpcm 0,5