PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn Tốn: Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: x2 x x1 P : x x x x 1 1 x Với x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 0, x c) So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm ,x yZ thỏa mãn: 2y2xxy x2 2y2xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 a b c a b c Chứng minh rằng: 3 chia hết cho a b c Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 42x20x 25 xx2 910x20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c a b b c c a b c c a a b Hết -Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Câu a Nội dung Điều kiện: x P x x x x x x x ( x x x x x x x x 0, x x x 1 x x 1) x x ( x x 1 Điểm 0,5 x x 1 x : x : 1 1) : x x x 1 1 x x 1 0,5 0,5 0,5 b Với x P 0, x Ta có: 0,5 x 2 x 1 x x 7 x x 0 ( x 2)( x 3) 0 x nên Vì Vậy P = x 0 1,0 x 4 (t/m) 0,25 x = 0,25 c Vì 0,25 x 0 x x 11 2 x x 1 P 2 P ( P 2) 0 0 P P 0 P 2 P Dấu “=” xảy P = x=0 0,25 Vậy P2 2P 0,25 0,25 a y2 x x y 1 x2 y2 xy y 2x x y 1 x y xy 0 x 1 (2 y y x) Vì x, y Z nên x - Ư(-1) = 1; 1 +) Nếu x – = x = 0,5 0,25 Khi 2y2 - y – = - y = (t/m) y = +) Nếu x – = -1 Z (loại) 0,5 x=0 Khi 2y2 - y = y = (t/m) y = Vậy b 1 Z (loại) 0,5 x 2 x 0 ; y 1 y 1 a) Từ giả thiết 0,25 0,5 1 1 1 ( )2 a b c a b c 1 2( ) 0 ab bc ca Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0,5 a b c a b c a b3 3ab(a b) c3 a b3 c3 3abc Vậy a b3 c3 3 với a, b, c Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức 0,5 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà khơng chứng minh trừ 0,5 điểm 0,25 0,25 a Đkxđ: x R 0,25 42x20x 25 xx26 910x20 Vì 4x2 20x 25 x2 6x 0 với x 10x – 20 0 x2 0,5 Ta có: 0,5 4x 20 x 25 x2 6x 10x 20 2x x 10 x 20 x x 10 x 20 x 28 x 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 b 2 x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0,25 0,5 x y 7( x y) 10 y2 ( x y 2)( x y 5) y 0 x y 1 * x + y + = - x = - 5; y = * x + y + = - x = - 2; y = 0,5 Vậy Amin = - x= - 5; y = Amax = - x = -2; y = 0,5 0,5 a E M A N B F 1,0 D C Ta có: E CD B CF (cùng phụ với ) ECB Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vng – góc 1,0 nhọn) CE = CF ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM EF b * Vì EDC = FBC 0,5 ED = FB NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: 0,5 BC = NB.BF a = NB.DE (đpcm) * CEF vng C có CM đường trung tuyến nên CM AEF vng A có AM đường trung tuyến nên CM = AM AM EF EF 0,5 M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC 0,5 c (đpcm) Đặt DE = x (x > 0) BF = x 0,5 SACFE = SACF + SAEF = 12AFAE CB (AB BF) AE AD (a x).DE (a x)x 0,25 SACFE = 3.SABCD (ax) 3a2 6a2 ax x20 (2a x)(3a x) 0 Do x > 0; a > 3a + x > 2a x0 x = 2a 0,5 A trung điểm DE AE = a AN AE NB BC Vì AE //BC nên 1 0,5 N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD a a a c ab ab abc * Vì a, b, c > nên 1 Tương tự: b ba c c b ; b c a b c c a a b c abc 2 (1) a b b c c a * Ta có: a a b c ab( c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: a (b c) a(b c) 2 a b c a(b c) 2a a 2a a abc a(bc) abc bc 2b b 2c c Tương tự: abc ac; abc ba a b c 2 b c c a a b Dấu ‘ =” xảy a = b + c; b = c + a; c = a +b tức a = b = c (vô lý) 0,25 0,5 a b c 2 b c c a a b (2) Từ (1) (2) ta có đpcm 0,5