107 đề hsg toán 8 tam dương 2016 2017

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) P x y 2 x  y Biết x  y xy  x  y 0; y 0  a) Tính giá trị biểu thức 2 b) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: x  y  x  y  10 0 Câu (2,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức  x    x    x    x    2017 cho đa thức x  10 x  21 b) Cho A n  10n  n  98n  6n  26 B 1  n  n Chứng minh với n thì thương phép chia A cho B bội số Câu (2,0 điểm) 3 a) Cho a b thỏa mãn : a  b 1 Tính giá trị biểu thức B a  b  3ab b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 1 P   x x y y z z Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC , vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB AC E F a) Chứng minh DE  DF 2 AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N trung điểm EF c) Ký hiệu S X diện tích hình X Chứng minh S FDC 16S AMC S FNA Câu (1,0 điểm) Trong đề thi có tốn A, B, C Có 25 học sinh người giải Biết rằng: - Trong số thí sinh khơng giải A số sinh giải B nhiều gấp hai lần số thí sinh giải C - Số thí sinh giải A nhiều số thí sinh giải A thêm khác người - Số thí sinh giải A số thí sinh giải B cộng với số thí sinh giải C Hỏi có thí sinh giải B? ĐÁP ÁN Câu 2 2 a) x  y xy  x  xy  y 0   x  y   x  y  0 Vì x  y 0 nên x  y 0  x 2 y 2y  y y P   y  y 3y Khi b) Ta có: x  y  x  y  10 0   x  x  1   y  y    0 2   x  1   y   7   x  y  1  x  y  3 7 Vì x, y nguyên dương nên x  y   x  y    x  y  7 x  y  1  x 3; y 1 Phương trình có nghiệm dương  x, y   3,1 Câu a) Ta có: P ( x )  x    x    x    x    2017  x  10 x  16   x  10 x  24   2017 t x  10 x  21 t  3; t   Đặt , biểu thức P( x) viết lại: P ( x )  t    t  3 2017 t  2t  2002 Do chia t  2t  2000 cho t ta có số dư 2002 b) Thực phép chia , ta được: Thương A chia cho B n  6n  11n  Ta có: n3  6n  11n  n3  n  12n  6n   n  1 n  n  1   2n  n  1 Vì  n  1 n  n  1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6  2n  n  1 Và chia hết cho  Thương phép chia A cho B bội số Câu a) Ta có: B a  b3  3ab a  b3  3ab. a  b   a  b  1 Vi P b) a  b 1 1 1 1      x  x y  y z  z x  x  1 y  y  1 z  z  1 1 1  1 1 1 1                 x x 1 y y 1 z z 1  x y z   x 1 y 1 z 1  1  1 1        Áp dụng BĐT a b c a  b  c a  b  a b  với a, b, c dương, dấu xảy  a b c 1 1  1 1  1 1     1 ;    1 ;    1 Ta có: x   x  y   y  z   z  Bởi :  1 1  1  1 1  1  P                    1  y z   x y z   x 1 y 1 z 1   x y z   x  1 1 3 9 3             x y z 4 xyz 4 MinP   x  y z 1 Vậy Câu F A N E B D C M DF DC   AM / / DF  AM MC a) Lập luận được: (1) DE BD  (do AM / / DE ) AM BM (2) DE  DF BD  DC BC    2( MB MC ) AM BM BM Từ (1) (2)  DE  DF 2 AM b) AMDN hình bình hành NE AE  Ta có: ND AB NF FA DM AE NE NF       NE  NF ND AC BM AB ND ND 2 S  AM   ND  AMC FDC  AMC      Do S FD FD     FDC c) S  FN  FNA FDC  FNA   S FDC  FD  S AMC S FNA  ND    S S Do FDC FDC  FD   S FDC 16S AMC S FNA AM ND  2  ND FN   FN          FD  16  FD FD  16 Do  x  y  2 0   x  y  4 xy   x  y  16 x y với x 0; y 0) Câu Gọi a số học sinh giải A, b số thí sinh giải B, c số thí sinh giải C, d số thí sinh giải B C không giải A Khi số thí sinh giải A thêm hai B C : 25  a  b  c  d Theo ta có: b  d 2  c  d  a 1  25  a  b  c  d a b  c 4b  c 26   d b  2c  b 6  c 2 Từ đẳng thức ta có: Vậy số thí sinh giải B thí sinh