119 đề hsg toán 8 tiền hải 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2016-2017 MƠN: TỐN Bài (4,5 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: M  x    x  3  x    x    24 2) Cho a, b, c đôi khác khác Chứng minh rằng: a b   a b b c c a  c         9 c a b a  b b  c c  a     a  b  c  Nếu 3) Cho A  p p số ngun tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Bài (4,0 điểm)   x   x P    : 1    x 1 x  x  x  x      1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình x  x  0 2) Chứng minh rằng: f ( x)  x  x  1 2018   x  x  1 2018  chia hết cho g ( x ) x  x Bài (3,5 điểm) x m x  2 x  x  m 1) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 2) Giải phương trình: x  x  1  x  1 9 Bài (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB 2 AD Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm P cho AM CP Kẻ BH vng góc với AC H Gọi Q trung điểm CH , đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC N a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Khi M trung điểm AD Chứng minh BQ vng góc với NP 1   AP AF c) Đường thẳng AP cắt DC điểm F Chứng minh AB Bài (1,0 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ĐÁP ÁN Bài 1 M  x    x  3  x    x    24 M  x  x  10   x  x  12   24 M  x  x  11  1  x  x  11  1  24 M  x  x  11  25 M  x  x    x  x  16  M  x  1  x    x  x  16  Các ước dương A 1; p; p ; p ; p Tổng ước  p  p  p  p n  n     p  p  p  p 4n Ta có: p  p  p  4n  p  p   p  p  p 2 2   p  p    2n    p  p     2n   p  p  1 Do : p  p  p  p  4 p  p  p  p   p1  1(ktm)  p  p  0    p2 3(tm) Vậy p 3 a b b c c a c a b x;  y; z   ;  ;  (1) a b a b x b c y c a z Đặt c  1 1   x  y  z      9  x y z Ta có:  1 1  yz xz xy    3      y z   x y z  x  x  y  z  (2) yz b c c a c b  bc  ac  a c     x a b a  b ab a b   Ta lại có: c  a  b   c  a  b  c  c  a  b  c  2c   a  b  c   2c     ab  a  b  ab ab ab x  z 2a x  y 2b  ;  y bc z ac Tương tự ta có:  1 1 2c 2a 2b 2 x  y  z       3  a  b3  c3      ab bc ac abc  x y z 3 Vì a  b  c 0  a  b  c 3abc 1 1    3  3abc 3  9 x y z abc    x  y  z  Do đó: Bài a) Với x 1 ta có:   x2  x   x  x x2  x  : P     x  1  x  x  1  x  1  x  x  1  x2  x     x   x2  x 1  x2  x2  2x  x2  x 1 :     x  1  x  x  1  x  x   x  1  x  x  1 x     x  3  x  1  x    x  1  x   x  Vậy x 1 P x 3 x2   x 2(tm) x  x  0    x 1(ktm) b) thay x 2 vào P ta có: P 3  22  13 P 13 Kết luận với x 2 g x  x  x  x  x  1 có hai nghiệm x 0 v   2) Đa thức x 1 2018  12018  0  x 0 nghiệm f ( x) Ta có f     1  f  x  chứa thừa số x f  1  12   1 2018   12   1 2018  0  x 1 Ta có nghiệm f ( x)  f  x  chứa thừa số x  mà thừa số x x  khơng có nhân tử chung f ( x) chia hết cho x  x  1 f  x   x  x  1 Vậy Bài 2018   x  x  1 2018  2 g x  x  x   chia hết cho 1) ĐKXĐ: x  3; x  m ta có: x m x  2  x  m  x  2  x  3  x  m  x 3 x m  x  m  2  x  3x  3m  mx     m  3 x  m  3 (1) Với m 3  1 có dạng x 0 Nghiệm x thỏa mãn điều kiện x  x  m, tập nghiệm phương trình x 3 x   m  3   m  3 m3 Với m  phương trình  1 có nghiệm Để giá trị nghiệm phương trình ta phải có: m 3 m 3 m 3     m x  2 tức m 3 Vậy m 3 nghiệm  m  3 S     Kết luận : với m  S  x / x 3 Với m 3 2 Ta có: x  x  1  x  1 9   64 x  16 x  1  x  x  9   64 x  16 x  1  64 x  16 x  72  * Đặt 64 x  16 x t ta có:  *  t  t  1   t  72 0    t 8 2 Với t  ta có: 64 x  16 x   64 x  16 x  0   x  1  0 (Vơ nghiệm  x  1   0)  x   64 x  16 x 8  64 x  16 x  0    x   Với t 8 ta có Bài A M N B K D a) Chứng minh DH / / BK (1) E H Q P C Chứng minh AHD CKB  DH BK (2) Từ (1) (2) suy tứ giác MNPQ hình bình hành b) Gọi E trung điểm BK , chứng minh QE đường trung bình KBC 1 QE  BC  AD 2 nên QE / / BC  QE  AB (vì BC  AB ) Chứng minh AM QE AM / / QE  AMQE hình hành Chứng minh AE / / NP / / MQ  3 Xét AQB có BK QE hai đường cao tam giác nên E trực tâm tam giác nên AE đường cao thứ ba tam giác AE  BQ  BQ  NP c) A B P G D C F Vẽ tia Ax vng góc với AF Gọi giao Ax với CD G    Chứng minh GAD BAP (cùng phụ với PAD)  ABP  g g  AP AB   2  AG  AP AG AD Ta có: AGF vng A có AD  GF nên AG AF  AD.GF  2S AGF   AG AF  AD GF  1 2 2 2 Ta chia hai vế (1) cho AD AG AF mà AG  AF GF (đl Pytago) 1 1 1      2 2 AD AG AF AF 1  1   AB   AP  2  2  4 1 1   2   2 2 AB AP AF AB AP AF Bài Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) Ta có  xy 2  x  y  z  (1) x  y z (2) 2 Từ (2) suy z  x  y   xy, thay (1) vào ta có: z  x  y    x  y  z  2  z  z  x  y    x  y   z  z   x  y    x  y     z    x  y    z  x  y    z   x  y  2(ktm vi z  0)  z x  y  4; thay vào (1) ta được: xy 2  x  y  x  y    xy  x  y    x    y   8 1.8 2.4 Từ tìm giá trị x, y, z là:  x; y; z    5;12;13 ;  12;5;13 ;  6;8;10  ;  8;6;10  