Cđ 8 bất đẳng thức

Chủ đề - BẤT ĐẲNG THỨC Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CƠ SI) Cho số thực khơng âm a, b, c ta có: a  b 2 ab Dấu đẳng thức xảy a b a  b  c 3 abc Dấu đẳng thức xảy a b c Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực không âm (Cịn gọi bất đẳng thức Cơ si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau: 2 1 2 x  y  x y  1)   ;   a b a b a  b2 a b a b 2) 1 3     a b c a b c a  b2  c2 3 3) a  ab  b  (a  b)2  (a  b )2  (a  b )2 4 4) a  ab  b  (a  b)2  (a  b)2  (a  b )2 4 5)  a  b  c ab  bc  ca  2 x  y  z 6) x  y  z   a b c a b c a  b  c 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 7) a  b 3  a  b  8) 2( a  b )  a  b 2    a  b  ( a  b) ( a  b)   a  b4      9) Với a, b 0 a m n  bm n  (a m  b m ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với ( a n  b n )(a m  b m )( a n  b n ) 0 điều hiển nhiên a n  bn  a  b      Thật áp dụng (*) ta có n (**) Tổng quát ta có n a n  bn  a  b   a n  b n   a b       2      10) Với a, b, c 0 a m n  b m n  c m n  (a m  b m  c m )(a n  b n  c n ) (*) Thật ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ( a m  b m )( a n  b n )  (b m  c m )(b n  c n )  (c m  a m )(c n  a n ) 0 mà điều hiển nhiên n Tổng quát ta có: a n  bn  c n  a  b  c    Thật áp dụng 3   (*) ta có: a n  b n  c n  a  b  c   a n   b n   c n    a  b  c   a n  b n  c n         3 3        Áp dụng bất đẳng thức ta có: n n an  n bn  n bn  n a  n b  n c     3   n a  n b  n c n a b c  3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1  1 1  n n     n Tương tự ta có: a b c  a b c  3     n n 1 1   Do    suy n  n  n 3   a b c a b c a b c  a b c  11) 1   với a, b 1 a  b  1  ab 1   n n a , b  Tổng quát: với ta có (1  a ) (1  b)  ab  12) Với a, b 1  n 1   a  b  1  ab Tổng quát: Với a, b   0;1 ta có: n 1 n  1 a  b n  ab 13) Một số kết suy từ bất đẳng thức Cô si +  a  b3   x3  y   m3  n3   axm  byn  (*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a3 x3 m3 3axm    3 3 3 a b x  y m n a  b3    x  y   m3  n  b3 y3 n3 3byn    3 3 3 a b x  y m n a  b3    x  y   m3  n  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra: 3axm  3byn 3 a  a  b   x  y   m  n3    b3   x3  y   m3  n3   axm  byn  + Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: a 3  b3  c3   x3  y  z   m3  n3  p   axm  byn  czp  Ví dụ 1: Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: 3 a) a  b ab  a  b  1 1  3   Với (a, b, c  0) 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc c)  a  b   b  c   c  a  8abc b) d)  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca  ( Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2015) e) Cho  a  b   b  c   c  a  1 Chứng minh: ab  bc  ca  Lời giải: 3 2 a) Ta có : a  b  a  b   a  ab  b  Suy a  b3  ab  a  b   a  b   a  2ab  b   a  b   a  b  0 suy đpcm b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có: a  b3  abc ab  a  b   abc ab  a  b  c  Suy 1  Tương tự ta có: a  b  abc ab  a  b  c  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 3 b  c  abc  1 ;  Cộng ba bất bc  a  b  c  c  a  abc ca  a  b  c  đẳng thức chiều suy ra: 1 1  3   Dấu xảy 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc a b c c)  a  b   b  c   c  a  8abc Cách 1: Ta có: a  b 2 ab , b  c 2 bc , c  a 2 ca   a  b   b  c   c  a  8abc Cách 2:  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b  c 3 abc , ab  bc  ca 3 a 2b 2c   a  b  c   ab  bc  ca  9abc Suy  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc 8abc Chú ý:  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc biến đổi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức: d)  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca  Chú ý rằng:  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc Áp dụng câu c ta có đpcm e) Ta ý:  a  b   b  c   c  a   a  b  c   ab  bc  ca   abc Suy ab  bc  ca   abc a b c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: a  b  b  c  c  a 3  a  b   b  c   c  a  3  a  b  c  Mặt khác sử dụng:  a  b   b  c   c  a  8abc  abc  Từ suy 1  abc   Dấu ‘’=’’ xảy ra: ab  bc  ca  a b c a b c  Ví dụ 2: a) Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  ab  bc  ca 6 Chứng minh rằng: a  b  c 6 Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013 1 b) Cho số thực dương a, b cho :  2 Chứng a b 1   Trích đề tuyển 2 a  b  2ab b  a  2a b sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013) c) Cho số thực dương a, b cho a  b 2 Chứng minh: Q  a b  1 2 minh:  a  b          10 b a a b  d) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 2 Tìm giá trị nhỏ P  2a  bc  2b  ac  2c  ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014 e) Cho số thực không âm a, b cho a  b 4 Tìm GTLN P  ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP a b  Hà Nội 2015 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a b c 1 Ta có cách giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: a  b 2ab, b  c 2bc, c  a 2ac, a  2a, b2 1 2b, c 1 2c Cộng bất đẳng thúc chiều ta suy  a  b  c   2  ab  bc  ca  a  b  c  12  a  b  c 3 Dấu xảy a b c 1 b) Dự đốn a b 1 bất đẳng thức xảy dấu Từ ta có cách áp dụng BĐT Cơ si sau: Ta có: a  b 2a 2b, b  a 2ab Từ suy Q 1 1     Từ 2 2a b  2ab 2b a  2a b 2ab  a  b  2ab  a  b  ab  a  b  giả thiết 1 a b  2  2  a  b 2ab suy Q  Do  a  b a b ab 1 1 2     Suy Q  Dấu xảy a b a b a b 2 a b 1 c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:  2   a  b   2ab      4ab  2 a  b   2ab  a  b   2ab 10 Hay 9 ab a 2b  2ab  2ab  2  10 0   2a 2b  4a 3b3  24ab  12a 2b  36  18ab  ab ab   2a 2b  4a 3b3  24ab  12a 2b  36  18ab 0  4t  10t  42t  36 0 (*) với  t ab   a  b 1 Ta có (*) tương đương với: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2t  5t  21t  18 0   t  1  2t  3t  18  0 Do 2t  3t  18  t  0 nên  t  1  2t  3t  18  0 Dấu xảy t 1  a b 1 2a  bc  a  a  b  c   bc Áp dụng bất đẳng thức Cô si d)  a  b  a  c  a b  a c , tương tự ta có: 2b  ac  b  a  b  c   ac  2c  ab   b  a b  c  b a b c , c a c b Từ suy P  2a  bc  2b  ac  2c  ab  2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b   2(a  b  c) 2 2 Dấu xảy a b c  Ta viết lại P  ab  Đặt a  b  t  t  a b  2  a  b  2ab  t    2ab t  2t  2  a  b 2  t   Ta có : 2  a  b   a  b    a  b  8  a  b 2   t 2  Ta ab t  2t  Dự đoán dấu xảy  a b2 t a b   t 2  nên ta chứng minh: chứng minh: P  P t  2t     t 1 1 Hay t          t  2  t  2  0   t  0  t  2  t    0 Bất đẳng thức  t 2  Dấu xảy t 2   a b  MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức Cô si Đối với tốn bất đẳng thức đối xứng thơng thường dấu xảy biến sở để ta phân tích số hạng cho áp dụng bất đẳng thức Cơ si dấu phải đảm bảo Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho x, y số dương thỏa mãn x  y 2 Chứng 2 2 minh x y  x  y  2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007) Lời giải: Ta dự đoán dấu xảy x  y 1 Khi xy 1 , x  y 2 Mặt khác để tận dụng giả thiết x  y 2 ta đưa đẳng thức  x  y  Vì ta phân tích tốn sau: x y  x  y   xy.2 xy  x  y  Theo bất đẳng thức Cauchy  x  y xy  2  xy  x  y   x  y  4 Từ 1 , xy  x  y       2 2 2 suy x y  x  y  2 Dấu xảy x  y 1 Ngoài cách làm ta giải tốn cách đưa biến: t  x  y t xy với ý:  x  y  4 xy , 2  x  y   x  y  Thật vậy: Đặt t  xy;  x  y  x  y  xy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 2   x  y  2t  x  y 4  2t Do  x  y xy  1   t 1 Ta 2 cần chứng minh: t   2t  2  t  2t  0   t  1  t  t  1 0 Bất đẳng thức với giá trị  t 1 Ví dụ 2: a) Cho a, b số không âm thỏa mãn a  b 2 Chứng minh rằng: a 3a  a  2b   b 3b  b  2a  6 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009) b) Với ba số dương x, y , z thỏa mãn x  y  z 1 , tìm giá trị lớn biểu thức: Q  x y z   x  x  yz y  y  zx z  z  xy (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a b 1 Khi 3a a  2b,3b b  2a nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức dấu Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a 3a  a  2b  a 3a  a  2b 2a  ab , b 3b  b  2a  b 3b  b  2a 2b  ab xy  x y , dễ thấy Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word