CĐ 6 bất ĐẲNG THỨC cauchy svac xơ

BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM) A: LÝ THUYẾT Tên gọi: Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay cịn gọi BĐT Trung bình cộng Trung bình Nhân Ngồi cịn số sách số giáo viên thường gọi Cô si Định nghĩa: Trung bình cộng n số thực khơng âm ln lớn trung bình nhân chúng trung bình cộng trung bình nhân n số Tổng quát: Ở cấp THCS, Tài liệu Toán xin phép đưa hai công thức tổng quát sau: - Với - Với a, b≥ a,b,c ≥ a+ b ≥ ab , Dấu “ = “ a+ b+ c ≥ 33 abc a= b , Dấu “ = “ B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾPCÔNG THỨC Bài 1: Cho HD: x, y , z ≥ , CMR : ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ xyz x + y ≥ xy x, y≥ Áp dụng Cô si cho hai số Làm tương tự ta có : ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ xyz , ta có:   y + z ≥ yz    z + x ≥ zx , , Nhân theo vế ta được: a= b= c Dấu “ = “ khi: Bài 2: Cho HD : a,b,c > abc = x = y   y = z x = y = z z = x  , CMR: ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ Áp dụng Cô si cho hai số không âm Tương tự ta có : Bài 3: Cho HD : a +1 ≥ a a= b= c=1 không âm CMR: ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab Áp dụng Cô si cho hai số khơng âm Tương tự : , ta có : b + ≥ b => ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ abc =   c + ≥ c Dấu “ = “ khi: a,b a,1 ab + ≥ ab Dấu “ = “ a,b , ta có : a + b ≥ ab , nhân theo vế ta : a = b a = b =   ab = ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab Bài 4: Cho số x,y,z >0, CMR: HD: x y z + + ≥3 y z x x y z x y z + + ≥ 33 = y z x y z x Ta có: , Dấu a + b + c + d ≥ 4abcd Bài 5: CMR: HD : 4 , Với số dương => Dấu “ = “ Bài 6: Cho HD : a, b,c, d a + b + c + d ≥ 4 ( abcd ) = 4abcd a , b4 , c4 , d Vì  x = yz  x y z = = =>  y = xz => x = y = z y z x  z = xy  a= b= c = d a,b,c, d > 0; abcd = CMR: a + b + c + d + ab + cd ≥ 2 a + b ≥ 2ab => a + b + c + d + ab + cd ≥ ( ab + cd ) ≥ 3.2 abcd =  2 c + d ≥ 2cd Ta có : Dấu “ = “ a b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c2 a b a c Bài 7: CMR: HD: a2 b2 ; b2 c2 Áp dụng Cô si cho hai số không âm , ta có : 2 2 b c b c a c + ≥ + ≥ 2 c a a a b b Tương tự : , Cộng theo vế ta : Dấu “ = “ xảy khi: Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR: a b2 a + ≥ 2 b c c ,  a2 b2 c2   a b c 2 + + ÷ ≥ 2 + + ÷ => VT ≥ VP  c a b b c a  a= b= c bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c HD : Ta có : bc ca b a + = c  + ÷ ≥ 2c a b a b Tương tự ta có : ca ab c b + = a  + ÷ ≥ 2a b c b c Cộng theo vế ta : Bài 9: Cho HD: a, b, c > , 2VT ≥ 2VP ab bc a c + = b  + ÷ ≥ 2b c a c a a b c 1 1 1 + 2+ ≤  + + ÷ 2 a +b b +c c +a 2a b c CMR : a2,b2 > Áp dụng Cô si cho hai số Làm tương tự ta có , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab 2  a b c 1 11 1 b + c ≥ 2bc => VT ≤ + + = + + =  + + ÷  2 ab bc ca b c a 2a b c c + a ≥ ca   Dấu “ = “ khi: a = b   b = c a = b = c c = a  Bài 10: CMR: Với HD: a,b,c > Áp dụng Cô si cho ba số ( a + b + c )  , a,b,c > 1 1 + + ÷≥ a b c a + b + c ≥ abc , ta có : ( a + b + c )  1 1 + + ÷≥ a b c Nhân theo vế ta có: Dấu “ = “ : Bài 11: Cho a, b, c ≥ a = b = c   1 a = b = c  a = b = c a+b+c ≤ , 1 1 + + ≥ 33 a b c abc a b c 1 + + ≤ ≤ + + 2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c CMR : HD: Ta có: Đặt 1 + a ≥ 2a  a b c a b c + + ≤ + + = 1 + b ≥ 2b => 2 1+ a 1+ b 1+ c 2a 2b 2a 1 + c ≥ 2c  1 + a = x  1 + b = y => x + y + z = a + b + c + ≤ 1 + c = z  B= 1 + + ≥ x y z => , 1 1 1 9 + + ÷ ≥ => + + ≥ ≥ = x y z x+ y+ z x y z ( x + y + z)  Khi đó: Bài 12: Cho a,b,c ba số dương, CMR: HD: a b c + + ≥ b+c c+a a+b 1 1 + + ÷≥ x y z ( x + y + z)  Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : Đặt x = a + b 1    + +  y = b + c => ( a + b + c )  ÷≥  a+b b+c c+a  z = c + a  a+b+c a+b+c a+b+c a b c + + ≥ + + ≥ −3= a+b b+c c+a b + c c + a a + b 2 Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: HD : a b + + ≥ b +1 a +1 a + b 1   a   b     VT =  + 1÷ +  + 1÷+  + 1÷− = ( a + b + 1)  + + ÷−  b +1   a +1   a + b   b +1 a +1 a + b  = 1   + + ( a + 1) + ( b + 1) + ( a + b )   ÷− ≥ − =  a +1 b +1 a + b  2 Bài 14: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CMR: a b c + + ≥3 b+ c −a c + a −b a +b −c HD : VT ≥ 3 Ta có : abc ( b + c − a) ( c + a − b) ( a + b − c) ( b + c − a) + ( c + a − b) ≥ ( b + c − a) ( c + a − b) Lại có : => 2c ≥ a≥ ( b + c − a) ( c + a − b) , Tương tự ta có : ( c + a − b) ( a + b − c) b≥ ( b + c − a) ( a + b − c) => abc ≥ ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) => abc ≥ => VT ≥ 3 = ( b + c − a) ( c + a − b) ( a + b − c) 1 a+b+c + + ≤ a + bc b + ac c + ab 2abc Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: HD : a , bc Co si cho hai số : a + bc ≥ 2a bc => , Ta được: 1 1 1  ≤ => ≤  + ÷ a + bc 2a bc a + bc  ab bc  Tương tự ta có : 1 1  ≤  + ÷ b + ac  ab bc  2 1 1  ≤  + ÷ c + ab  ca cb  2VT ≤ Cộng theo vế ta : 1 a+b+c a +b +c + + = => VT ≤ ab bc ca abc 2abc Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM- GM Nhận dạng xử lý: - Với tốn có điều kiện ẩn, điểm rơi thường điểm biên ẩn - Với ẩn có vai trị biểu thức điểm rơi ẩn có giá trị Phương pháp : - Thay giá trị điểm rơi vào biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức cho Cơ si xảy dấu - Ta hạ bậc nâng bậc biểu thức để Cô si để biểu thức sau Cô si ý Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số a ≥ 2, CMR : a + Bài 1: Cho HD : ≥ a Dự đoán dấu : a = => a+ Khi ta có : a≥3 1 a 3a a 3a 3a = + + ≥2 + = 1+ ≥ 1+ = a a 4 4a 4 2 1 a  =  a a = a = Dấu Bài 2: Cho HD : S =a+ , Tìm GTNN của: a = => Dự đốn dấu : Khi ta có : S= Vậy Min 1 = = k a = k => k = a a 1 = = k => k = a 8.3 10  a  8a S =  + ÷+ ≥ + = + = 9 3 a 9 10 Bài 3: Cho HD : x ≥1 A = 3x + , Tìm GTNN của: x = => Dự đốn dấu Khi : 2x 1 = = k => k = 2x 5.1  3x  x A =  + ÷+ ≥ + = 1+ = 2  2x  a + b ≤ 1, CMR : a + b + Bài 4: Cho a,b > 0, HD : 1 + ≥5 a b a + b = 1 1 => a = b = => = = k => k =  a a = b Dự đoán dấu 1  1  1  1  VT =  + a ÷+  + b ÷ =  + 4a ÷+  + 4b ÷− ( a + b ) a  b  a  b  Khi : ≥ + − 3( a + b) => VT ≥ + − = , Mà a + b ≤ => −3 ( a + b ) ≥ −3 Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : Tìm GTNN biểu thức : x ≥ 3; y ≥  1  1 A = 21 x + ÷+ 3 y + ÷ y  x  HD : Bài 6: Cho HD : x > y > 0, P= Ta có : x2 + y P= xy Tìm GTNN của: x y + y x x = a => a ≥ => P = a + y a , đặt a = => Dự đoán dấu : 1  a  3a = = k => k = => P =  + ÷+ a a 4 3.2 + = 1+ = 2 4 P≥ ≥ ≥ 1 +b+ +c + a b c A=a+ ≥ Bài 7: Cho a 10, b 100, c 1000, Tìm GTNN của: HD : a = 10 => Dự đoán dấu : Khi ta có : 1 = = k 10 => k = a 10 100 99.10 101  a  99a B= + ≥ + = ÷+ 10 100 100  a 100  100 Bài 8: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: Tìm GTNN của: , Tương tự với b c, , Tương tự với b c a +b + c ≤1 , 1 P = a+b+c+ + + a b c HD : a =b=c= 1  1  1  P =  + 9a ÷+  + 9b ÷+  + 9c ÷− ( a + b + c ) a  b  c  Dấu , Khi P ≥ + + − 8( a + b + c) a + b + c ≤ => −8 ( a + b + c ) ≥ −8 Mà Vậy P ≥ + + − = 10 a+b+c ≤ Bài 9: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: Tìm GTNN của: , 1 P = a+b+c+ + + a b c HD : Dự đoán dấu : a=b=c= 1  1  1  => P =  + 4a ÷+  + 4b ÷+  + 4c ÷− ( a + b + c ) a  b  c  15 P ≥ + + − = 2 Bài 10: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c ≤1 , Tìm GTNN của:  1 1 P = a + b + c + 2 + + ÷ a b c HD : a=b=c= Dự đoán dấu Khi đó: 2  2  2  P =  18a + ÷+  18b + ÷+  18c + ÷− 17 ( a + b + c ) a  b  c  => P ≥ 19 Bài 11: Cho a,b số thực dương thỏa mãn: HD : a =b= Dự đoán dấu : Khi ta có :   S = 16ab + ÷− 15ab ≥ 16 − 15ab ab   mà Vậy , Tìm GTNN của: −15 => −15ab ≥ 4 15 15 17 =8− = 4 Bài 12: Cho x,y dương thỏa mãn: HD : Dự đoán dấu = khi: x+ y =4 x= y=2 P = x2 + y + P ≥ xy + đó: 32 1 + ≥ 64 + xy xy xy , Mà: Bài 13: Cho HD: a, b> 0,a+ b = 33 xy , Tìm GTNN của: 33 xy xy = = , nên k => k = 32 đó: P = xy + ab 1 => = = 16ab ab a + b ≥ ab => ≥ ab => ab ≤ S ≥ 2.4 − a +b ≤1 S = ab + 1 ≥ = => P ≥ 2.8 + xy ( x + y ) 4 P = a2 + b2 + , Tìm GTNN 1 + a2 b2 P≥ = 3+ Cách 2: Hoặc ta biến đổi : x2 + 1− x2 x2 = = − x2 + x2 + x2 + , Rồi Cô si mẫu : x2 + ≥ 2x => Khi ta có : cộng theo vế : x2 x2 x2 x ≤ => − ≥ 1− 2 x + 2x x +1 , làm tương tự  x + y+ z  3 P ≥ 3−  = 3− = ÷  2  Bài : Cho HD : x, y, z > x + y+ z = Dự đốn dấu = P= , Tìm GTNN x= y= z= ( ) x x + 2y3 − 2xy3 x2 x.x 2xy3 = = = x− x + 2y3 x + 2y3 x + 2y3 x + 2y3 Xét Nên mẫu ta phải Cô si cho số : x + y + y ≥ xy = 3.y 3 23 x2 y2 z2 + + x + 2y3 y + 2z3 z + 2x3 , Vì dấu = 2xy3 2y.3 x2 x => x − ≥ x− x + 2y3 P ≥ ( x + y + z) − Làm tương tự cộng theo vế ta : 3y3 x2 = 3.3 x2y3 ≤ xy + xy + y => y3 x2 ≤ Mà vế ta có : P ≥ 3−  2( xy + yz + zx) x + y + z  +    3  , 2xy + y ( y x + z3 y2 + x3 z2 ) , Làm tương tự công theo x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx => ( x + y + z) ≥ 3( xy + yz + zx) => xy + yz + zx ≤ Và x = y= z P ≥ 3− Thay vào P ta : ( + 1) = Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN Bài 1: Cho HD: x, y, z > Ta dồn x + y+ z ≤ x2 + y2 + z2 người P = x2 + y2 + z2 + , Tìm GTNN của: x + y+ z 20 x+ y+ z ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật x= y= z = Dự đoán dấu = Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ mối quan hệ biến bài: ( ) x2 + y2 + z2 ≥ ( x + y + z) đặt ẩn, dùng điểm rơi x2 + 1≥ 2x Cách 2: Ta có y + 1≥ 2y , z2 + 1≥ 2z x2 + y2 + z2 + ≥ 2( x + y + z) => P ≥ 2( x + y + z) − 3+ x + y + z = t,( < t ≤ 3) t = => P = 2t + Dấu = Bài 2: Cho HD: a,b,c ≥ Ta có: P≤ Và 1 + + a b c , Dự đoán dấu =  1 1 1 + + ÷+ + +  2 a b c a b c t + t≤ + 2 , đặt  a b c  1 P= + 2+ + + + 2÷ a b c a +b b +c c +a  a a a2 + b2 ≥ 2ab => 2 ≤ = a + b 2ab 2b P≤ 20 x + y+ z 20 18 2 29 − = 2t + + − ≥ 36 + − = t t t 3 , Tìm GTLN của: Ta dồn biến , Cộng theo vế ta được: t= , Đặt a= b= c = , Làm tương tự cộng theo vế ta được: 1 + + a b c , Dự đoán điểm rơi 0< t ≤ Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: HD : a2 b2 c2 + c ≥ 2a + a ≥ 2b, + b ≥ 2c c a b Ta có : , VT ≥ a + b + c + Ki VT ≥ b2 c a2 9 + + + ≥ a b c 2( a + b + c)  9 a +b +c  a +b +c = +  + ÷ ÷≥ 2( a + b + c) 2 a + b + c ( )   3 abc 2.3 + = +3= 2 2 Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CƠ SI ĐÚNG A= Bài 1: Tìm biểu thức: HD: A= Tách + ( < x < 1) 1− x x − 2x + 2x − x + x 2x 1− x 2x − x + = 3+ + ≥ 3+ = 3+ 2 1− x x 1− x x 1− x x Dấu ‘’ = ’’ 2x − x = => x = − 1− x x B= x + 1− x x Bài 2: Tìm của: với < x < HD: 5(1− x) x − 5x + 5x x B= + = + +5 ≥ +5 1− x x 1− x x Ta có: , dấu 5( 1− x) x = 1− x x C= Bài 3: Tìm của: HD: C= x + x −1 (x > 1) x −1 +1 x −1 1 + = + + ≥ 2+ x −1 x −1 2 B= , Dấu x + 1− x x x −1 = x −1 Bài 4: Cho 01 HD: x2 −1 + 1 C= = x +1+ = x −1+ + 2≥ 2+2 x −1 x −1 x −1 Ta có: , Dấu x −1 = => x = x −1 A= Bài 7: Tìm của: HD: A= Tách x2 − x + x2 + x + với x > x2 + x + − 2x 2x =1− =1− x + x +1 x + x +1 x +1+ x x+ , mà 2 ≥ => ≤ x x + +1 x B= Bài 8: Tìm của: HD: B = x+4+ Ta có: Bài 9: Tìm của: HD: x2 + 4x + x với ≥ 4+4 =8 x x= , dấu xảy  1 B = ( x + 1) 1 + ÷  x B = x +1+1+ Tách ≥ 2+2 x x>0 => x = x với x > x= , dấu xảy => x = x  x2  A = ( x + 1) +  + 2÷  x +1  Bài 10: Tìm của: HD: với x ≠ −1   A = ( x + 1) + ( x + 1) + ≥2 2+2  = ( x + 1) + + ( x + 1)  ( x + 1)  Tách ( x + 1) = Dấu ( x + 1) Bài 11: Cho x,y >0, Tìm của: HD: Đặt => ( x + 1) = x P= + y y  x ÷ − + x y y ÷− x 1  t ≥ => P ≥  − ÷ − = 2  x y  1 + = t => P = t − t − =  t − ÷ − y x  2 Bài 12: Cho a, b > Tìm của: HD: B= Ta có: 1 => x + = ± 2 , mà ( x + a) ( x + b) A= x với x > x + ax + bx + ab ab   = a + b +  x + ÷ ≥ a + b + ab = x x   ( a+ b ) a b + =1 x y Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, số dương x,y thay đổi cho Tìm x,y để S = x+ y , đạt min, Tìm S theo a,b HD: a b bx ay S = ( x + y )  + ÷= a + b + + ≥ a + b + ab y x x y Ta có , a b + = => x = a + ab , y = b + ab x y ay bx = x y Dấu S= mà A= Bài 14: Cho x,y>0, 4xy=1 x+y=1, Tìm của: HD: ( ( a+ b ) ) x + y + 12 xy x+ y ( x + y ) − xy  + 12 xy ( x + y ) + xy    A=  = = x + y + x+ y x+ y x + y   Ta có : x+ y+ Co si ≥2 x+ y x + y = 1 => x = y =  4 xy = A≥4 , => dấu BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ A LÝ THUYẾT Tên gọi: Bất đẳng thức Schawzr hay gọi bất đẳng thức cộng mẫu số hiểu hệ bất đẳng thức Bunyakovsky Còn hay gọi tắt Svac – Xơ Tổng quát: Ở chương trình THCS Tài Liệu Tốn xin phép đưa cơng thức tổng quát áp dụng cho số - Với số b1, b2, bn > , ta có: Dấu “ = “ khi: a2 ( a + a + + an ) a12 a22 + + + n ≥ b1 b2 bn ( b1 + b2 + + bn ) a1 a2 a = = = n b1 b2 bn - Với hai số a, b> ta có : 1 + ≥ a b ( a + b) , Dấu “ = “ khi: 1 = => a = b a b - Với ba số khi: a, b, c > a= b= c ta có : 1 + + ≥ a b c a+ b+ c , Dấu “ = “ B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG Dạng : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG 1 + ≥ x y x+ y Bài 1: Cho x, y > Chứng minh BĐT : HD : x+ y 2 ≥ ( x + y ) ≥ xy ( x − y ) ≥ xy x+ y Ta có: gt Dấu ‘ = ‘ x=y Bài 2: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: 1 1 1 + + ≥ + + a+b−c b+c−a c+a−b a b c HD : Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên mẫu dương Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1 + ≥ = a + b − c b + c − a 2b b 1 + ≥ b+c−a c+a−b c 1 + ≥ c+a−b a +b−c a Tương tự ta có : Cộng theo vế ta điều phải chứng minh 1 + ≥4 x > 0, y > 0, x + y ≤ x + xy y + xy Bài 3: Cho , CMR: HD : Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1 + ≥ ≥4 x + xy y + xy ( x + y ) x + y ≤ => ( x + y ) ≤ => 2 , Vì ( x + y) ≥1 Dạng : ĐIỂM RƠI CỦA SCHAWRZ Bài 1: Cho HD : a +b ≤1 a, b> Dấu P≥ Bài 2: Cho HD: , Tìm của:   P= + ≥ + ÷+ 2 2ab  a + b 2ab  2ab ( a + b ) ( a + b) + ≥ + = ≥6 2 4ab ( a + b ) ( a + b) ( a + b) a,b > 0; a + b ≤ A= , Tìm GTNN biểu thức : a= b= Dự đoán dấu = lại với Nên ta sử dụng BĐT phụ: A= Khi đó: Bài 3: Cho HD: 1 + a + b 2ab , Để ý hai biểu thức mẫu, nhóm chúng 1 + ≥ a b a+ b 1 4 + ≥ 2 ≥ ≥4 a + b 2ab a + b + 2ab ( a + b) 2 a,b > 0, a + b = A= , Tìm GTNN của: a= b= Dấu A= 1 + a + b ab 2 a=b= Khi : P= + a + b ab , Biến đổi A thành:  3 1  + = 2+ + = 3 2 + + ≥ + = 14 ÷ 2 a + b 2ab a + b 2ab 2ab  a + b 2ab  2ab ( a + b) ( a + b) Bài 4: Cho a,b>0 a +b ≤1 P= , Tìm GTNN của: 1+ a + b 2 + 2ab HD : a=b= Dấu : 1+ a + b Khi : = 3.2ab   => P =  + ≥ + ÷+ 2  + a + b 6ab  3ab ( a + b + 6ab + 1) 3ab P≥ ( a + b ) + 4ab + 3ab + a + b ≥ ab => ab ≤ Mặt khác : Dấu => P ≥ + = + 3 1 + a + b = 6ab  => a = b = a = b a + b =  => Bài 5: Cho HD : x, y > 0, x + y ≤ Biến đổi A≥ 2.4 ( x + y)  2 34   32  + + + 2xy = 2 + +  2xy + ÷+ ÷ 2 xy  xy x + y 2xy xy  x + y 2xy   + 16 + ( x + y) Bài 7: Cho HD: ≥ 17 , Tìm Min của: Dấu P≥ P= a=b= Khi : , Tìm GTNN a +b ≤1 Bài 6: Cho a,b>0, HD : 35 + + 2xy x + y xy x = y= Dấu xảy A= A= 1 + + 4ab a + b ab 2       P= + + 4ab ÷≥ +  ab + ÷+  ÷+ 2 2ab   2ab 4ab  4ab  a +b  ( a + b)  ( a + b) + 4ab + ≥7 4ab 4 a,b > 0, a + b ≤ Dấu = a= b= Dấu a + b = 2ab   2 => a = b = a b = 16  a + b = P= , Tìm GTNN biểu thức: 25 + + ab a + b ab , mẫu ghép lại với Nên ta biến đổi P thành:    49 16  17 34 P= 2 + + + ab ≥ +  ab + ÷+ ≥ + 8+ ÷ 2  a + b 2ab  2ab ( a + b)  ab  2ab ( a + b) ( a + b) P≥ 38 ( a + b) + 8≥ 38 83 + 8= 16 a + b ≤ => ( a + b) ≤ 16 , Vì Bài 8: Cho HD : x ≥ 2, x + y ≥ Ta có : P = x2 + y + , y > , Tìm Min 1 1 1 1 + ≤ => ≥ + => P ≥ x + y + + + x y x+ y x + y 4x y x 4x y     P ≥  x2 + ÷+ y + x   4y ÷   Bài 9: Cho HD: x, y > 0; x + y = x =  x + y = + x + y xy , Tìm GTNN Dấu biến đổi: , để ý mẫu kết hợp lại với nhau, ta  5 1  + = + + = 5 + ≥ + ÷+ 2 2 x + y 2xy x + y 2xy 2xy  x + y 2xy  2xy ( x + y) 2xy ( x + y) ≥ 4xy => Mà A≥ , Điểm rơi cosi : A= x= y= A= 1 + x x+ y 20 ( x + y) Bài 10: Cho HD : + ( x + y) ( x + y) 1 + + = 4, a b c Áp dụng BĐT : = ≤ 1 => ≥ 4xy 2xy ( x + y) 22 ( x + y) CMR: = , Thay vào A ta được: 22 1 + + ≤1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 1 + ≥ x y x+ y a =b =c = Dấu ’’=’’ xảy Khi ta có : => 2a = b + c 1   1  1   1   1 + +  + ÷ =  + + ÷  ÷≤  ÷≤  2a + b + c   2a b + c   2a  b c  ÷  16  a b c  tương tự ta có : 1   1  1   1   1 +  + ÷ =  + + ÷  ÷≤  + ÷≤  a + 2b + c   2b a + c   2b  a c   16  b a c  1  2 1  ÷≤  + + ÷  a + b + 2c  16  c a b  VT ≤ , Khi 4 4  + + ÷= 16  a b c  ... xy = A≥4 , => dấu BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ A LÝ THUYẾT Tên gọi: Bất đẳng thức Schawzr hay gọi bất đẳng thức cộng mẫu số hiểu hệ bất đẳng thức Bunyakovsky Còn hay gọi tắt Svac – Xơ Tổng quát: Ở chương... 3.9y z3 + 23 + 23 ≥ 3.4z x3 + 63 + 63 ≥ 3.36x (4) , (5) (6) ( ta : ) (4) + 4.(5) + 9. (6) = x3 + 4y3 + 9z3 + 2 .63 + 8.33 + 18.23 ≥ 108( x + y + z) = 11.108 Cộng P ≥ 3 96 Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU Bài... trị biểu thức điểm rơi ẩn có giá trị Phương pháp : - Thay giá trị điểm rơi vào biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức cho Cơ si xảy dấu - Ta hạ bậc nâng bậc biểu thức để Cô si để biểu thức sau