SKKN BAT DANG THUC CAUCHY TRẦN CÔNG văn

Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận Bất đẳng thức Cauchy Hệ bất đẳng thức Cauchy Chương 2: Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy I Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức II Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải phương trình, bất phương trình III Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào tìm GTLN- GTNN 13 Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy 13 Ứng dụng vào tìm GTLN- GTNN 17 IV Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh tính chất nghiệm 20 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 MỞ ĐẦU 1- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn học phổ thơng mà học sinh cần phải nắm được, ứng dụng bất đẳng thức xuyên suốt Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng chương trình tốn học THPT Đặc biệt phải kể đến mảng ứng dụng , lí nên tơi chọn đề tài : “ Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ’’ Đề tài giúp hiểu sâu phương pháp dậy tập bất đẳng thức cho học sinh 2- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy vai trò bất đẳng thức Cauchy giải toán Yêu cầu đạt đến học sinh thấy rõ, hiểu biết cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy thực hành giải toán 3- ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Đối tượng nghiên cứu đề tài vận dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải số toán liên quan đề thi HSG tuyển sinh ĐH 4- NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Đưa sở lí luận bất đẳng thức Cauchy Từ mơ tả phân tích để tìm biện pháp dậy cho học sinh cách vận dụng vào giải toán 5- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : Với tảng sở lí luận phương pháp dạy tốn học , đòi hỏi phương pháp phân tích sản phẩm , tổng kết kinh nghiệm để út lí thuyết cho thân người dạy 6- KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI : Đề tài gồm chương : Chương : Cơ sở lí luận Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Chương : Cơ sở lí luận 1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho ∈ ¡ + , i = 1, n Ta có : n ∑a i =1 i ≥n Dấu '' = '' xảy ⇔ a1 = a2 = = an n ∏a i =1 i , n ∈ ¥ \ { 0,1} (1) Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng CM • Với n = ta có : a1 + a2 ≥ a1a2 ( ln đúng) k k 1 k  • Giả sử (1) với n = k , tức :  ∑ ak ÷ ≥ ∏ Ta chứng minh (1)  k i =1  i =1 với n = k + Thật , giả sử k a1 ≤ a2 ≤ ≤ ak ≤ ak +1 ⇒ ak +1 ≥ ∑ k i=1 k Đặt x = ∑ , ak +1 = x + y ,( y ≥ 0) k i =1 1 k +1 k k a k x+ y   = ∑ + k +1 = x+ =x+ y÷ Vì ∑ k + i =1 k + k i =1 k +1 k +1 k +1  k +1  k +1  k +1  Do :  ÷ ∑ k + i =1   k +1   =x+ y÷ k +1   ≥ x k +1 + ≥x k k +1 k x y k +1 k +1 ( x + y ) ≥ ∏ (đúng) i =1 Dấu '' = '' xảy ⇔ a1 = a2 = = an Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) n Ơ \ { 0,1} Vi n = hiển nhiên bất đẳng thức (1) HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY + Hệ 1: ( ) n  S Nếu ∑ = S( const) Max ∏ =  ÷ xảy ⇔ a1 = a2 = = an i =1 i =1  n n n + Hệ 2: ( ) ∏ = P ( const) Min ∑ = nn P xảy ⇔ a1 = a2 = = an n Nếu n i =1 i =1 Chương : Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy I.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT Bài toán (BĐT Bernoulli) Cho α ∈ ¡ + , x ≥ −1, : • α ≥ , ta có: ( + x ) ≥ + α x (2) Dấu '' = '' xảy ⇔ α = x = α Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng • ≤ α < , ta có : ( + x ) ≤ + α x (3) Dấu '' = '' xảy ⇔ α = x = α CM • α ≥ Trước hết ta chng minh Ô + + Vi = 1thỡ bđt (2) hiển nhiên n , ( n, m ) = 1, n > m Khi ta có : m n m m + α x + n − m   ( ) ( ) m n m ( + α x ) + 114+2 + 31 ≥ n ( + α x ) ⇔  ÷ ≥ (1+ α x) n −m n   + Với α > , đặt α = n m ⇔ ( x + 1) ≥ ( + α x ) ⇔ ( + x ) ≥ ( + α x ) ⇔ ( + x ) ≥ ( + α x ) n m α Dấu '' = '' xảy ⇔ x = + Với α ∈ I + , giả sử α số vô t tựy ý Khi ú vỡ Ô l trù mật ¡ ∞ αn = α nên tồn dãy số hữu tỷ ( α n ) n =1 , α n > mà lim x →∞ Với n , ta có : ( + x ) αn ≥ + α n x chuyển qua giới hạn ta có : lim ( + x ) ≥ lim ( + α n x ) hay x →∞ x →∞ αn ( + x) α ≥ + α x Như BĐT (2) chứng minh trọn vẹn • ≤ < 1, Ô + + Vi = , bđt (3) hiển nhiên m , ( n, m ) = 1, m < n, ( m, n ∈ ¥ *+ ) n n mx + n m m   Ta có : m ( + x ) + ( n − m ) ≥ n n ( + x ) ⇔  ÷ ≥ ( 1+ x)  n  + Với < α < , đặt α = m n ⇔ ( + α x) ≥ ( 1+ x) ⇔ ( 1+ x) ≤ ( + α x) ⇔ ( + x) ≤ 1+ α x Dấu '' = '' xảy ⇔ x = ∞ Giả sử α số vô tỷ tùy ý , vỡ Ô trự mt Ă nờn ( α n ) n=1 hữu tỷ , αn = α < α n < mà lim x →∞ n m α ∀n ∈ ¥ *+ ta có : ( + x ) ≤ + α n x Chuyển qua giới hạn , : αn lim + α n x ) hay ( + x ) ≤ + α x ( + x ) ≤ lim(1 x →∞ x →∞ αn α Như bđt (3) chứng minh hồn tồn Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng * Bài toán : Cho ∈ ¡ , ≥ 0, i = 1, k , ( n, k ∈ ¢ + ) Ta có : n k n 1 k  ÷ (4) Dấu '' = '' xảy ⇔ a1 = a2 = = ak ∑ ≥  ∑ k i =1  k i =1  CM ∑ k i =1 • k = , BĐT (4) hiển nhiên n • k > , áp dụng BĐT cauchy cho số ( n − 1) số S n ta : ain + ( n − 1) S n ≥ nS n −1 , ∀i k Đặt S = k Do : k k i =1 i =1 ∑ ain + k ( n − 1) S n ≥ nS n−1 ∑ = knS n ⇔ ∑ ain ≥ kS n i =1 n ⇔ k n 1 k  ≥ S n =  ∑ ÷ Dấu '' = '' xảy ⇔ a1 = a2 = = ak ( đpcm) ∑ k i =1  k i =1  Chú ý : + Ta chứng minh BĐT (4) nhờ BĐT Bernoulli sau : n k k  ka  Đặt S = ∑ Khi : (4) ⇔ k ≤ ∑  i ÷ i =1  S  k i =1 n n kai   kai − S  kai − S  ∀i , ta có :  ÷ = 1 + ÷ ≥ 1+ n S  S  S   k  ka i   ks − ks   ka i  ≥ k + n ⇔ Do : ∑  ∑ ÷  ÷ i =1  ÷ ≥ k i =1  s   s   s  k n n kai − S = 0,(i = 1, k ) ⇔ a1 = a2 = = a k S * + Nếu thay điều kiện n ∈ ¢ + điều kiện n ≥ 1, n ∈ ¡ cách Dấu “ = ” xảy ⇔ chứng minh thứ hợp lí + Các BĐT (2), (3) , (4) chứng minh đạo hàm * Bài toán 3: Cho x, y , z > m, n ∈ ¥ Chứng minh rằng: xm ym zm m− n m− n m− n + + ≥ x + y + z Dấu “ = ” xảy ⇔ x = y = z yn zn xn CM Áp dụng BĐT CauChy cho ( m + mn + n 2 ) số , ta có : 2 m m m n mn xm ym z z 2 ( m + mn+ n ) x y m n + mn n + n n ≥ ( m + mn + n ) y z x ynm zn mxn 2 2 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ( m + mn+n ) ≥ ( m + mn + n ) xm −n = ( m2 + mn + n2 ) xm−n m m zm y x 2 m− n Tương tự ta có : m n + mn n + n n ≥ ( m + mn + n ) y z x y m m m x z y 2 m− n m n + mn n + n n ≥ ( m + mn + n ) z x y z 2 2 3 Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta điều phải chứng minh MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ: k n Cho ∈ ¡ , > 0, i = 1, k , m ≥ n; k ≥ 2; m, n, k ∈ ¥ Đặt S = ∑ * i =1 m −n k k k m −n k 1 n  ≥ ≥ a ≥ ÷ Chứng minh : ∑ ∑ ∑  ∑ i n i =1 S − a i =1 S i =1 i = k − k − k − k   i Cho ∈ ¡ , > 0, i = 1, n, ∀k , l ∈ ¥ Chứng minh : k l k +l n  n  n  n l ≤∑ , S = ∑ ∑ ∑ ÷ ÷ i =1  i =1 n  i =1 n  i =1 n Cho ∈ ¡ , i = 1, n, n ∈ ¥ *+ Chứng minh : k m m m m  n l  n ∑ l , ( m, l ∈ ¥ * ) , ∑ l = α (chẵn) j j ∏  ∑ ÷ ≤ ∑ j =1 j =1  n i =1  n i=1 Cho xi ∈ ¡ , xi > 0, i = 1, k , k ≥ k , m, n ∈ ¥ * Chứng minh : k k xin ≥ xin −m , xk +1 ≡ x1 ∑ ∑ m i =1 x i =1 i +1 m j j j=1 Chú ý : Với việc sử dụng đẳng thức sau : m k − n k = ( m − n ) ( m k −1 + m k−2 n + + mn k −2 + n k −1 ) Ta có lời giải BĐT Cauchy thật đẹp cho * Cho x, y , z > Chứng minh k , m, n ∈ ¢ + thỏa mãn điều kiện xm yn ym zn zm xn + k + k ≥ x m + n −k + y m + n − k + z m + n −k k ≥ m.n , ta có : k z x y II ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT , BPT ,HPT, HBPT ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT, BPT Ví dụ Giải pt sau : x − 3x − x + 40 = 4 x + Lời giải Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Điều kiện 4x + ≥ ⇔ x ≥ −1 Ta có : x − 3x − x + 40 = x + = 4 ( x + 1) 4.4.4 CS ≤ x +1+ + + ⇔ ( x + 3) ( x − 3) ≤ ⇔ x = Vậy x = nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình sau : 27 x10 − x + 864 = lời giải Do x = không nghiệm pt , nên chia vế cho 27x ta : 864 5 + = ⇔ x + = 27 x x 27 27 x4 − x4 x    ⇔ = + ≥  ÷  ÷ = x 27 27   x  x = ⇔ x10 = ⇔ x = ± 10 Dấu “ = ’’ xảy ⇔ x Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± 10 Ví dụ Tìm nghiệm x, y bất phương trình sau : e 2002 x+ y 2003 2003 > 2002 x y e + e 2003 2003 (1) Lời giải Đặt a = 2002 , = b ⇒ a + b = ⇒ b = − a Khi phương trình( 1) trở 2003 2003 thành : e ax + ( 1− a ) y > ae x + be y = ae x + ( − a ) e y ⇔ e a( x − y ) > ae x − y + − a ( ) Giả sử ( x0 , y0 ) nghiệm BPT (2) , điều có nghĩa nghiệm BPT (1) Tức : (*) e a( x − y ) > ae x − y + − a Mặt khác theo BĐT Bernoulli , ta lại có : a x −y ea( x − y ) = 1 + ea ( x − y ) −  ≤ + a e a ( x − y ) − = ( − a ) + ae mâu thuẫn với ( *) Vậy BPT cho vơ nghiệm Ví dụ Chứng minh BPT sau khơng có nghiệm ngun dương: y x a) x + y ≤ (1) 0 ( 0 0 ) ( 0 ) b) ( x + y ) + ( y + z ) + ( x + z ) ≤ Lời giải z x y 0 (2) Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng a) Từ ( ) suy < x, y < Giả sử ( x0 , y0 ) nghiệm BPT (1) , tức : x0y + y0x ≤ 0 (*) Theo BĐT Bernoulli , ta có : x0 x0 x0 x0 = = 1− y ≥ 1− y x0 + ( − y0 ) ( x0 − 1) x0 + y0 − x0 y0 1 + ( x0 − 1)  y0 x0 Và y0 ≥ x0 + y0 − x0 y0 x0 y0 x0 + y y x + ≥ >1 Do : x0 + y0 ≥ x0 + y0 − x0 y0 x0 + y0 − x0 y0 x0 + y0 − x0 y0 x0y = 0 0 Mâu thuẫn (*) suy điều giả sử sai Vậy BPT (1) vô nghiệm b) làm tương tự ý a 2.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI HPT, HBPT Ví dụ Giải hệ phương trình sau : 1  + + = 3 (1)  x y z  (2) x + y + z =  + xyz (3)  xy + yz + zx = 27  Điều kiện x, y, z > Lời giải 1 ⇔ xyz ≥ 3 xyz ⇔ xyz ≥ (4) xyz 27 Từ (2) ⇒ = x + y + z ≥ 3 xyz ⇔ xyz ≤ (5) 27 1  = =  y z ⇔ x = y = z Dấu “ = ’’ (4) (5) xảy đồng thời ⇔  x x = y = z  Thay vào (1) ⇒ x = y = z = thoả mãn (3) Vậy HPT cho có nghiệm x = y = z = Từ (1) ⇒ 3 = 1 + + ≥ 33 x y z Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Nhận xét : • Thay lý luận dấu “ = ’’ (4) (5) xảy đồng thời , ta làm sau : Từ (4) (5) ⇒ xyz = = (7) (6) vào (3) ta : xy + yz + zx = 27 27 Từ (2), (6),(7) theo định lí Vi-ét x, y,z nghiệm phương trình sau : 1 1 1  X −X + X− =0 ⇔X − ÷ =0⇔ X = ⇔ x= y= z= 27 3 3  • Với cách làm phương trình (3) khơng cần thiết • Ta trình bày lời giải tốn theo cách sau : Vì vai trò x, y , z Khơng tính tổng qt ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ Ta có 3z ≤ x + y + z = ⇒ ≤ 3z ≤ ⇒ ≤ z ≤ = xy + yz + zx − xyz = xy ( − z ) + z ( x + y ) ≤ 27 2 x + y) 1− z) ( ( ≤ ( − 2z ) + z ( x + y ) = ( − 2z ) + z ( − z ) 4   z + z + − z  1 + = ( −2 z + z + 1) =  z z ( − z ) + 1 ≤  = ÷  4   27 ( 3) ⇔ x = y x = y  ⇔ Dấu " = " xảy ⇔  Thế vào (2) ta x = y = z = thoả z = − 2z  z = mãn phương trình (1) Vậy x = y = z = nghiệm hệ cho Bình luận : Với cách làm ta thấy phương trình (1) cần thay giả thiết x, y , z > đủ Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm dương : x + y + z =   xy + yz + zx = 9m  xyz = m  Lời giải • Giả sử hệ có nghiệm nguyên dương x0 > 0, y > 00 , z0 > , tức : Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng  x0 + y0 + z0 = (1)   x0 y + y z + z x = m x y z = m (3)  0 Ta có : = x0 + y + z ≥ 3 x y z = 3 m (2) ⇔m≤ 27 (4) Mặt khác : 9m = x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 ≥ 3 ( x0 y0 z0 ) = 3 m ⇔ m ≥ Từ (4) (5) suy m = • Với m = 27 27 (5) , ta có : 27  x + y + z =   ⇒ x, y , z nghiệm (phân biệt trùng nhau) phương  xy + yz + zx =   xyz =  27 1 X− =0 27 1 1  ⇔X − ÷ =0⇔ X = ⇔ x= y= z= 3 3  Vậy với m = , ycbt thoả mãn 27 trình sau : X − X + Ví dụ Tìm a,b ∈ ¢ + thoả mãn : * a b + b a ≤ 12  a a + b b ≥ 28 (1) (2) Lời giải 10 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Từ (1) ta có : 12 ≥ a b + b a ≥ (ab) ⇔ ab ≤ 6 < = 12 Do a,b ∈ ¢ + ⇒ ab ≤ 11 (3) * ( Từ (2) ta có : 28 ≤ a a + b b ) ≤ ( a + b2 ) ( a + b ) ≤ ( a + b) ( a + b) = ( a + b) ⇔ a + b > 28 > ⇔ a + b ≥ 10 (4) Giả sử a ≤ b , từ (3) suy ab ≤ 11 ⇔ a ≤ 11 ⇒ a ≤ • Với ≤ a ≤ , từ (4) ⇒ b ≥ ⇒ ab ≥ 2.7 = 14 > 11 (mâu thuẫn (3) ) • Với a = , từ (4) suy b ≥ kết hợp với (3) ta b = 9;10;11 Dễ dàng kiểm tra thấy có cặp (1 ; 9) thoả mãn Vậy nghiệm hệ BPT cho ( a, b ) = ( 1;9 ) , ( 9;1) { } Ví dụ Tìm nghiệm dương HBPT sau : 2000 2000 2000  a + b + c = (1)  2 (2) a + b + c ≥ Lời giải Áp dụng BĐT cauchy ta có : a 2000 + 999.1 ≥ 10001000 a 2000 ≥ 1000a Tương tự , ta có : b 2000 + 999.1 ≥ 1000b c 2000 + 999.1 ≥ 1000c 2000 2 Do : a 2000 + b 2000 + c + 3.999 ≥ 1000( a + b + c ) ⇒ ( a + b + c ) 1000 ≤ 3.( + 999 ) = 3.1000 ⇒ a + b + c ≤ (3) 2 Từ (2) (3) suy a + b + c = Dấu “ = “ xảy ⇔ a = b = c = Vậy nghiệm HBPT cho : a = b = c = W MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ   1.Tìm x ∈  ; 2− n π n n thoả mãn : sin x + cos x = n , n ∈ ¥ \ { 0,1} ÷ 2 2.Giải phương trình sau : 11 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng 16 + x − 1986 = 10 − y − 2002 ( x − 1986 + y − 2002 ) 3.Tìm GTLN tham số a để BPT sau có nghiệm : a ( x − 1) + 4.Giải HPT , HBPT sau : a πx a sin ≤ ( x − 1) y  x + = xy  y x a)  2005  2008 2008 x + y = xy ( )   x , y , x, t >  b)  x + y + z + t = 12  xy + yz + zx + xt + yt + zt = xyzt − 27  x y = c)  3 x + y = 6 x x − x + = ( x + ) ( x + x − )  d)  x + ≥ +  x x ( x − 1) ( y − 2) z3t6 = 1024  f)  4x + z + 16y + t = 8x + 76  x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 0; t ≥   4x+ y−1 + 3.42y−1 ≤ e)   x + 3y ≥ − log4 III ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO TÌM GTLN - GTNN 1.KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BĐT CAUCHY Giả sử ta cần chứng minh, BĐT sau : S ( a1 , a2 , , an ) ≥ C _ const (*) 12 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng S ( a1 , a2 , , an ) ≤ C _ const 1.1 Trường hợp : S ( a1 , a2 , , an ) biểu thức đối xứng , i = 1, n Ta dự đoán dấu “ = ’’ BĐT (*) xảy a1 = a2 = = an Kiểm tra lại dự đoán kết hợp với điều kiện xảy dấu “ = ’’ BĐT cauchy , ta tìm số đánh giá giả định Từ đưa lời giải tốn Ví dụ 1: a, b, c >  Cho  a + b + c ≤  Chứng minh : S = ( a + b2 + c ) + 1 15 + + ≥ a b c Lời giải Dự đoán S = 15 a = b = c = Do ta cần chọn α cho : 2 2a = 2b = 2c  ⇒ = ⇒ α = Từ ta có lời giải sau :  1 α = = α a α b α c 1 1 1  1 1 1  S =  2a + 2b + 2c + + + + + + ÷+  + + ÷ 4a 4b 4c 4a 4b 4c   a b c   1  ≥ + 33 ÷ ≥ + a + b + c ≥ + = 15 2  abc  2 2 Dấu “ = ” xảy a = b = c = (đpcm) 2 2 Ví dụ : Cho a, b, c > Chứng minh : a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ a + ab + b b + bc + c c + ac + a 13 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Trước tiên ta xét đánh giá giả định sau : a3 ≥ αa + βb a + ab + b ⇔ ( − α ) a − β b3 ≥ ( α + β ) ab ( a + b ) 1− α −β ⇔ a + b ≥ ab ( a + b ) (*) α +β α +β Mặt khác , ta lại có : a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) ≥ ( a + b ) ( 2ab − ab ) = ab ( a + b ) ∀a, b ≥ Do (*) ln ta chọn α , β thoả mãn :  1−α  = α = α + β  ⇔  − β −  = β = α + β  CS Khi , ta có lời giải sau : a3 b3 ≥ a − b ≥ b − c Ta có : , a + ab + b 3 b + bc + c 3 c3 ≥ c − a c + ac + a 3 Cộng vế với vế BĐT ta ĐPCM Ví dụ : Cho a, b,c∈ ¡ * + W t / m abc = Chứng minh : 1 + + ≥ a3 ( b + c) b3 ( c + a) c3 ( a + b) Trước tiên ta dự đoán dấu “ = ” xảy a = b = c = Khi 1 b+ c = = = Do : a ( b + c) 4bc b+ c b+ c 1 1  1 + ≥ = ⇒ ≥ − + a3 ( b + c) 4bc a3 ( b + c) 4bc a a3 ( b + c) a  b c ÷  14 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Tương tự ta có : 1 1 1 1 1 1 ≥ −  + ÷ ≥ −  + ÷ b ( c + a) b  c a  c ( a + b) c  a b  Cộng vế với vế BĐT ta được: 1 1  1 1 3 1 + + ≥ + + ≥ = a3 ( b + c) b3 ( c + a) c3 ( a + b)  a b c ÷  a b c 1.2 Trường hợp : Trong biểu thức S ( a1 , a2 , , an ) , i = 1, n khơng có tính đối xứng Khi việc dự đoán dấu “ = ’’ BĐT (*) cho lớp toán khó Kết việc chủ yếu dựa vào kinh nghiệm trực quan toán học người làm toán a, b, c > Chứng minh : a + b + c ≥ 20  S = a+b+c+ + + ≥ 13 a 2b c Trước tiên , ta dự đoán S = 13 , a, b, c > thoả mãn a + 2b + 3c = 20 Ví dụ : Cho  Biểu diễn S dạng sau : 3    4  S =  α a + ÷+  β b + ÷+  γ c + ÷+ ( − α ) a + ( − β ) b + ( − γ ) c a  2b   c  Như ta cần chọn số α , β , γ thoả mãn điều kiện sau : 1 − α − β − γ α = − k (1)  = = =k >0  β = − 2k (2)   3  (3) , b= ,c = ⇔ γ = − 3k a = α β γ   6 a + 2b + 3c = 20  + + = 20 (4)  α  2β γ  Thế (1),(2),(3) vào (4) ta : 6 + + = 20 (5) 1− k − 4k − 3k 15 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ta cần chọn < k < cho thay vào (5) ta khai biểu thức có chứa dấu Dễ thấy k = đẹp sau : đáp ứng yêu cầu Khi ta có lời giải LG Ta có : 3 4 1   16  1 S =  a + ÷+  b + ÷+  c + ÷+ a + b + c 4 a  2 b  4 c  CS 16 ⇔ S ≥ a + b + c + ( a + 2b + 3c ) a b c 20 ≥ 3+3+ 2+ = 13 ⇔ S ≥ 13 Dấu “ = “ xảy ⇔ a = 2, b = 3, c = W Ví dụ : Cho x, y > 0, x + y ≥ Chứng minh : 48 + ≥ 68 x y Trước tiên ta dự đoán P = 68 , x, y > x + y = P = 51x + 23 y + Ta biểu diễn P dạng sau : 9  48   P =  α x + ÷+  β y + + ( 51 − α ) x + ( 23 − β ) y x  7y ÷   Như , ta cần chọn α , β > thoả mãn điều kiện sau : α = 28 + β (1) 51 − α = 23 − β   3 3   , y=4 ⇔ x = , y=4 (2) x = β β α 28 + β    x + y =  x + y = (3) 3 +4 =1 (4) Thay (2) vào (3) ta : β 28 + β Dễ thấy β = 21 thoả mãn (4) , thay vào (1) ta α = 49 Khi , ta có lời giải sau : 16 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng 9  48   P =  49 x + ÷+  21 y + ÷+ 2( x + y ) x y     ≥ 42 + 24 + = 68 Dấu đẳng thức xảy x = , y = W CS ỨNG DỤNG VÀO TÌM GTLN - GTNN Ví dụ : Cho x, y , z > Tìm GTNN biểu thức sau : ( x + y + z) S= xy z LG Do x, y , z khơng có mối quan hệ ràng buộc Nên để tìm MinS ta có cách sau Cách Sử dụng BĐT Cauchy ngược ta có : xy z ≤ α ( x + y + z ) 1  6( x + y + z )  Ta có : xy z = ( x.3 y.3 y.2 z.2 z.2 z ) ≤  ÷ 423 423   ⇔ xy z ≤ ( x + y + z ) Do : 432 6 ( x + y + z) ( x + y + z) S= ≥ = 432 xy z ( x + y + z) 432 1 Vậy MinS = 432 , x = y = z > W Cách Sử dụng BĐT Cauchy thuận ta có : ( x + y + Z ) ≥ αxy z 6 1 1   Ta có ( x + y + z ) =  x + y + y + z + z + z ÷ 2 3   CS  xy z  ≥ 6 ÷ = 432xy z Do đó, ta có kết cách 108   0 ≤ x ≤ 0 ≤ y ≤ Ví dụ : Cho  Tìm GTLN : 17 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng S = ( − x) ( − y ) ( 2x + y ) LG Nhận xét : Rõ ràng với điều kiện cho − x ≥ 0,4 − y ≥ Mặt khác , ( ) n ∏a theo hệ BĐT cauchy i i =1 n ⇔ ∑ = C _ const Vậy ta cần chọn i =1 α , β cho : (3α − α x) + (4β − β y ) + (2 x + y ) = C _ const Dễ dàng thấy α = 2, β = Khi ta có lời giải sau : S = ( − x ) ( 12 − y ) ( x + y ) CS  (6 − x) + (12 − y ) + (2 x + y )  ≤   ≤ 36 6 Vậy MaxS=36 , x = 0, y = W Ví dụ : Cho a,b,c,d > Trong tất nghiệm dương ( x, y,z, t ) phương trình : a b c d + + + = Hãy nghiệm với tổng : x y z t Sn = x n + y n + z n + t n nhỏ với n ∈ ¥ * Đặt A = n +1 a + n n +1 b + n Theo BĐT cauchy , ta có : n +1 Lời giải c + dn n xn + n +1 a n+1 a A + + A n +1 ≥ ( n + 1) n+1 a n A n x 44 x4 43 n _ sô' b y n + n A n +1 ≥ ( n + 1) n +1 b n A n y c z n + n A n +1 ≥ ( n + 1) n +1 c n A n z d t n + n A n +1 ≥ ( n + 1) n +1 d n A n Và t b c d n n n n n +1  a Do : x + y + z + t + nA  + + + ÷ ≥ x y z t  18 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng ≥ ( n + 1) A n ( n +1 ( n +1 a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n ≥ ( n + 1) A n +1 Vậy S = x + y + z + t ≥ A n n n n n +1 = a + n +1 n +1 b n +1 + n +1 c n +1 + ) n +1 d n +1 ) n +1  n a n +1 n b n +1 n c n +1 n d n +1  x = x A , y = y A ,z = z A , t = t A Dấu “ = “ xảy ⇔  a + b + c + d =1  x y z t Vậy MinSn = (  x = n +1 aA , y = n +1 bA ⇔ z = n +1 cA , t = n +1 dA n +1 a + n n +1 b + n n +1 c + n n +1 d (*) n ) n +1 , đạt có (*) MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : x 30 y 30 z 30  x, y,z > Cho  Tìm GTLN : P = 21 + 21 + 21 y z x x + y + z = 2004  Tìm giá tị nhỏ hàm số: y = 9x2 1+ x4 + 13x2 1− x4 , ( x ≤ 1) Với ≤ x ≤ 2001 2002 Tìm GTLN y = x ( 2002 − x 2001 ) a ≥  bc a − + ca b − + ab c − Cho b ≥ Tìm GTLN S = abc c ≥  Tìm GTLN , GTNN hàm số : y = x ( ) 1999 − x + 1997 IV.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CM TÍNH CHẤT NGHIỆM 19 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Ví dụ : Chứng minh phương trình x dương x , x < n n +1 + − = (1) có nghiệm x ( n ≥ ) Lời giải Giả sử x > nghiệm (1) ta có : x 02 n +1 + 1 − = ⇔ = x 02 n +1 + ≥ 2x 0n x0 x0 ⇔ x ≤ n Dấu “ = ” xảy ⇔ x 02 n +1 = ⇔ x = x0 Nhưng x = khơng thoả mãn (1) Do x < Ví dụ : Chứng minh phương trình : n W x − ax + a x − a x + a = , a > khơng thể có nghiệm khơng âm Lời giải Giả sử phương trình cho có nghiệm x1 , x , x , x ≥  x1 + x + x + x = a  x1 x x x = a Theo định lý Vi-et ta có :  Mặt khác theo BĐT Cauchy , ta lại có : x1 + x + x + x 4 a a ⇔ a ≤ ⇔ a ≤ ⇔ ≤ ( vô lý ) 4 4 x1 x x x ≤ Vậy điều giả sử sai , tức phương trình cho khơng thể có nghiệm khơng âm W Ví dụ : Cho P ( x ) = x + a x n n −1 + + a n −1 x + , a i ≥ , i = 1,n − P ( x ) = có n nghiệm thực Chứng minh P ( m ) ≥ ( m + 1) , m, n ∈ ¥ * n Lời giải Vì a i ≥ , i = 1,n − > nên n nghiệm P ( x ) = nghiệm dương Giả sử α i , i = 1,n Khi P ( x ) có dạng : 20 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng P ( x ) = ∏ ( x − α i ) = ∏ ( x + βi ) ( với βi = −α i > 0,i = 1,n ) n n i =1 i =1 Theo định lý Vi-et ∏ βi = ( −1) ∏ α i = ( −1) ( −1) = n n i =1 n n n i =1 Áp dụng BĐT Cauchy ta : P ( m ) = ∏ ( m + βi ) ≥ ( m + 1) n n ∏ β = ( m + 1) n n +1 i =1 ⇔ P ( m ) ≥ ( m + 1) W n i i =1 n KẾT LUẬN Như biết, bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức tiếng phạm vi ứng dụng rộng rãi Ngồi việc vận dụng để chứng minh bất đẳng thức đại số bất đẳng thức Cauchy sử dụng các chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay toán cực trị hình học Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu không nhiều nên chuyên đề vấn đề thú vị chưa đề cập đến Trên số kinh nghiệm có trình dạy hoc, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chun mơn Các ví dụ sưu tầm chọn lọc kĩ lưỡng từ đề thi đại học năm đề thi học sinh giỏi tỉnh nước Mặc dù cố gắng song kinh nghiệm khiêm tốn Mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn động nghiệp nội dung hình thức trình bày để chun đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Mê Linh , ngày 10 tháng 05 năm 2011 Giáo viên Trần công Văn 21 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính) Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số (Nguyễn Đức Tấn) Báo toán học tuổi trẻ Báo tốn tuổi thơ 22 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh ... thành cảm ơn ! Mê Linh , ngày 10 tháng 05 năm 2011 Giáo viên Trần công Văn 21 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO Bất đẳng thức ( Phan Đức... DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT , BPT ,HPT, HBPT ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT, BPT Ví dụ Giải pt sau : x − 3x − x + 40 = 4 x + Lời giải Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy. .. đẳng thức Cauchy Chương : Cơ sở lí luận 1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho ∈ ¡ + , i = 1, n Ta có : n ∑a i =1 i ≥n Dấu '' = '' xảy ⇔ a1 = a2 = = an n ∏a i =1 i , n ∈ ¥ { 0,1} (1) Trần Công Văn – Trường