CĐ 2 bất ĐẲNG THỨC lớp 6+7

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (LỚP 7) Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA Phương pháp: So sánh số hạng tổng với số hạng tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn giá trị k đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, ngược lại A 1 1     1 2 1002 Bài 1: Chứng minh rằng: HD: Ta thấy tốn có dạng tổng lũy thừa bậc hai, nên ta phân tích tổng A sau: 1 1 A      2.2 3.3 4.4 99.99 100.100 Đến ta so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, u cầu tốn chứng minh nhỏ   1  1   1   1   1 1 1                 A         98 99   99 100  1.2 2.3 3.4 98.99 99.100       1 A  1 100 1 1 1       100 Bài 2: Chứng minh rằng: 6 HD: Ở toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ ta cần chứng minh: 1 1 1 A       A 6 99 100 Chứng minh 1 1 1 1 1 A            5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 Ta có: 1 96 96 A   101 505 đến đây, ta so sánh 505 với sau: 96 96 1   Ta có: 505 576 cách ta nhân tử mẫu phân số với 96 để hai phân số 96 96 A   505 567 tử so sánh ta có: (1) 1 1 1 A        99 100 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: Ta làm tương tự sau : 1 1 1 1 1 A            5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 1 A   100 (2) => 1  A Từ (1) (2) ta có : 1 1      2 100 Bài 3: Chứng minh rằng: HD : Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn)- Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 1 1 1 1 1            3.3 4.4 99.99 100.100 2.3 3.4 4.5 99.100 Ta biến đổi: 1 3 A      100 100 A Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn)- Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com A 1 1      2 100 A 100     100  2 2 Bài 4: Chứng minh rằng: HD : Nhận thấy tổng lũy thừa số lại chẵn, nên ta đưa tổng lũy thừa hai liên tiếp sau :  1 1  1 1 1  A  1        1        50   1.2 2.3 3.4 49.50  1  1 A  1       4 50  200 => Bài 5: Chứng minh rằng: HD : Nhận thấy có dạng tổng lũy thừa số, nên ta thực phép tính tổng A Việc tính xác tổng A giảm bớt sai số, nhiên tổng tính được, 99 100 A       98  99 2 2 Ta tính tổng A sau: Sau lấy 2A trừ A theo vế nhóm phân số có mẫu ta : 1 100 1 1 A      99  100 B      99 2 2 , đặt 2 2 tính tổng B theo cách ta 1 1 100 B   99 A    99  100  2 , thay vào A ta : 2 2 : 100 A      100  3 3 Bài 6: Chứng minh rằng: HD : 1 1 100 A       99  100 3 , Tính tượng tự 5, ta có: 1 1 B      99 3 3 , tính B thay vào tổng A ta Đặt 1 1 100 3 B   A     100  A     A  99 99 2.3 2.3 2 1 1 A       n Bài 7: Chứng minh rằng: HD : 1 1 1 1 A           1  2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n  n  1 n Ta có : 1 1 A       (2n) Bài 8: Chứng minh rằng: HD :  1 1  1 1  1 1             1      2 2 n   1.2 2.3 n  1 n     n  4n Ta có : 1 1 A      2 (2n) với Bài 9: So sánh HD :  1  1 1 1 A         1       2 n  4 n  4n A Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn)- Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com A 1 1      2 n không số tự nhiên Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n>2 HD : 1 A  1    2 1.2 2.3 n  1 n  Ta có : mặt khác ta thấy A>1 ta có : 1 2015 M      2015 3 3 Bài 19: Chứng minh rằng: có giá trị khơng ngun HD : M  M  nên M < M > M khơng có giá trị nguyên Tính 2 2 1003 A       2007 2008 : Chứng minh rằng: Bài 20 HD : 2 2 1 1003 A        2.4 4.6 6.8 2006.2008 2008 2008 3 S    1 1.4 4.7 n ( n  3) Bài 21: Chứng minh rằng: HD :   1 1 1 1 S           1   n3  4 4 7  n n3 A 1 1 B        2 2004 2004 Bài 22: Chứng minh rằng: HD:   1 B         20042  , Đặt tổng ngặc B ta có: 2 1 1 1 A     1   A  1  1.2 2.3 3.4 2003.2004 2004 2004 1 B   A  11   B  2004 2004 1 1     2002  2004  0, 2 2 Bài 23: Chứng minh rằng: 2 HD: 1 1 1 1 1 A      2004  2006  A  A   2006  2 2 2 Ta có: 5A 1   A  4 =0.2 1 1 A      A 50 Bài 24: Chứng minh rằng: HD: 1 1 1 1 48 48 A              3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 51 153 192 Ta có : Mặt khác : Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn)- Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 1 1 1 1 1 191 200                3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 49.50 50 450 450  A Vậy 1 A     A 1.2 3.4 99.100 , CMR: 12 Bài 25: Cho HD: 1   1   1 1 A           A     75   76 77 100   51 52 51 52 100 => CMR: 1 1 1 1 A  25  25    A  25  25    75 100 12 50 75 TH1: TH2: 1 A     2 50 , CMR: A < Bài 26: Cho HD: 1 1 1 1 A      1      2 2 2.2 3.3 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50 Ta có: Bài 27: CMR: 1 1 1 1 99 100            99  100  3 16 a, 16 32 64 b, 3 3 HD: 1 1 1 1 1 A       A       16 32 64 16 32 a, Ta có: 1 2A  A  3A  1   A  64 Nên 1 1 100 A  A  A        99  100 3 3 3 b, Ta có: 1 1 B        99  B   99 3 3 3.3 , Thay vào A ta được: Đặt 100 3 A   99  100   A  4 16 1 1    98  100  7 50 Bài 28: CMR : 7 HD: 1 1 1 A     98  100 50 A   100   A  7 7 Nhân 49 A => 50 Đặt A 1 1 1      98  100 A 7 7 7 , CMR: 50 Bài 29: Cho 4019  2  2   1 2 20092.20102 Bài 30: CMR : 2 3 A 1 1     99  5 5 Bài 31: CMR: 2012 2012 2012 2012 1     2 2 2011  2011  2011  20112  2011 Bài 32: CMR: HD: A 2012 2012 2012 2012   2 2 Ta có: 2011  2011 , 2011  2011 , tương tự : Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn)- Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 2012 2012 2012 2012.2011 2012        A  2 2011 2011 2011 20112 20112 2012 2012 2012 2012   2 2 Mặt khác: 2011  2011  2011 , 2011  2011  2011 , Tương tự vậy: A A 2012 2012 2012 2012.2011 2012.2011      1 2 2 2011  2011 2011  2011 2011  2011 2011  2011 2011 2011 1 1 1      10 100 Bài 33: CMR: CMR : HD: 1 1 1  ;  ; ;  100 10 Ta có : 10 10 1 1 1 100           10 10 10 100 10 10 15 2499 E      16 2500 > 48 Bài 34: CMR: HD: 1  1  1    E      1   1    1   4    16  2500    1    49         48 50  2 Bài 35: Cho HD: A 1     A 1.2 3.4 99.100 , CMR: 12 1   1  1  A               75   76 77 100   51 52 51 52 100 => CMR: 1 1 1 1 A  25  25    A  25  25    75 100 12 50 75 TH1: TH2: A Bài 36: CMR : 1 1 Bài 37: CMR: HD: 1     45 2025     n  2500 n n  100  n  n  2  n  n  , n  1 Xét số hạng tổng quát: 1 1     n  n       n Do đó: 1 A  1     2500  100 2500 Với n=2500 ta có: 1 1 A      1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 Bài 38: Chứng minh rằng: HD:  1  2A       C   19.40  1.2 19.20   Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn)- Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com  D 36 36 36 36     3 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 Bài 39: Chứng minh rằng: HD: 4     D  9      3   9   25.27.29  3.29  1.3.5 3.5.7 5.7.9  1.3 27.29  1 1      2 1990 Bài 40: CMR: 99 1 1 99        99 100 100 Bài 41: CMR: 202 Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn)- Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp: Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối so sánh nhóm với nhau, để tạo ngoặc có tử, so sánh bình thường 1 1 1 1        Bài 1: CMR: 16 36 64 100 144 196 HD: 1 1       14 1 1 1 1        Bài 2: CMR: 13 25 41 61 85 113 HD: 1 1 1 1 1            12 12 12 60 60 60 20 11 1 1        59 60 Bài 3: CMR: 15 21 22 23 HD: 1 1 1         20 20 20 60 60 60 1 1       79 80 12 Bài 4: CMR: 41 42 43 HD:  1 1  1 1 VT             60   61 62 63 80   41 42 43 Nhóm thành ngoặc: Khi ta có:  1 1  1  20 20 1  VT                60   80 80 80  60 80 12  60 60 2010 2011 2012 1 1 A   B      2011 2012 2010 17 Bài 5: So sánh A B biết : HD:   1        1  A   1  1  1  3            2011  2012   2010   2010 2011  2010 2012  1 1  1  1 5 B                 7  12   13 17 10 3 Bài 6: Cho HD: M Tổng B có 15 số 1 1     17 , CMR: M Chứng minh rằng: HD: a a a ad   abc abcd abc abcd b b b ba   bc d a b c d bcd a bcd c c c cb   cd a abc d cd a abcd d d d d c   Ta có: d  a  b a  b  c  d d  a  b a  b  c  d Cộng theo vế ta được:  A  2 Bài 6: Cho a, b, c, d > 0, Chứng minh rằng: HD: Ta có: ab ab a bd   abcd abc abcd bc bc abc   abcd bcd abcd cd cd cd b   abcd cd a abcd d a d a d ac   abcd abd abcd ab bc cd d a    3 abc bcd cd a d ab Cộng theo vế ta được: 2