Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 49 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
49
Dung lượng
1,28 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC Dạng 1: TÌM X Bài 1: Tìm x biết: x−3 x +1 = = x+5 x −1 a, b, HD: => ( x − 3) = ( x + ) => x = 46 => x = 23 a, => ( x − 1) ( x + 1) = 7.9 = ( − 1) ( + 1) => x = b, => ( 44 − x ) = ( x − 12 ) => x = 256 => x = 32 c, Bài 2: Tìm x biết: x− y x x+4 = = x + 2y y 20 x+4 a, b, ( tìm ) HD: => ( x + ) = 100 = 102 => x + = ±10 a, x => x − y = x + y => x = 10 y => = 10 y b, x −1− x − x − − x − x −1 x − => − 1÷ = − 1÷ => = => x+2 x+3 x+2 x+3 c, −1 => ( x + ) = ( x + ) => x = −1 => x = c, c, 44 − x x − 12 = x −1 x − = x+2 x+3 −3 −5 = x+2 x+3 Bài 3: Tìm x, y, z biết: 15 20 40 40 20 28 = = = = x − y − 12 z − 24 x − 30 y − 15 z − 21 a, x.y=1200 b, x.y.z = 22400 HD: x − y − 12 z − 24 x y z => = = = − = − = − 15 20 40 15 20 40 a, Từ gt x = 15k x y z => = = = k => 15 20 40 x y = 1200 => k = ±2 y = 20k , Mà x = 40k => y = 20k x − 30 y − 15 z − 21 x y z => = = => = = =k z = 28k 40 20 28 40 20 28 b, Từ gt Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com x = 40 x y.z = 22400 => y = 20 z = 28 Mà: Bài 4: Tìm x, y, z biết: x −1 y − z − x −1 y − z − = = = = x + y − z = 50 4 a, b, x - 2y +3z =14 HD : x − y − z − ( x − 1) + ( y − ) − ( z − ) ( x + y − z ) − => = = = = =5 4+9−4 a, x − y − z − ( x − 1) − ( y − ) + ( z − 3) ( x − y + z ) − = = = = =1 − + 12 b, Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Bài 5: Tìm x, y, z biết: x −1 y + z − = = = = z − 3x − y = 50 x + y − z = −10 3x − y z − x y − 3z a, b, HD : x − y + z − 5 ( z − ) − ( x − 1) − ( y + 3) ( z − x − y ) − 34 = = = 30 − − 16 a, Từ : = 3x − y z − x y − 3z = = = = 3x − y z − x y − 3z b, Từ : => ( x − y ) ( z − x ) ( y − z ) ( 12 x − y ) + ( z − 12 x ) + ( y − z ) = = = = =0 16 27 3 x = y x y z x+ y−z => 2 z = x => = = = = −10 + − 4 y = z = = 2x + 2y − z + Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết : x + y + z = 17 3x + y + z = 169 Bài 7: Tìm số x,y,z biết chúng thỏa mãn đồng thời điều kiện sau : x + 25 y − 169 z + 144 = = 144 25 169 HD : Từ : x + 25 y − 169 z + 144 ( x + y + z ) + ( 25 − 169 + 144 ) 169 = = = = = 144 25 169 338 338 => x + 25 = 144 47 = 72 => x = , Tương tự cho y z Bài 8: Tìm x, y, z biết: x y z = = x + y − z = 585 x + y − z = −100 a, b, x:y:z=3:4:5 HD: x2 y z x2 + y − z => = = = =9 25 49 25 + 49 − a, x y z x y z 2 x + y − 3z −100 = = => = = = = =4 16 25 18 + 32 − 75 −25 b, Bài 9: Tìm x, y, z biết: a b c = = z − 3x − y = 594 x : y : z = 3: :5 a − b + 2c = 108 a, b, HD: Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com a, a b c a b c a − b + 2c 108 = = => = = = = =4 4 16 − + 32 27 x y z x y z z − 3x − y 594 = = => = = = = =9 16 25 125 − 27 − 32 66 b, Bài 10: Tìm số x, y, z biết: x3 y z x3 y3 z3 = = = = 2 x + y + z = 14 x + y − z = −650 64 216 27 64 a, b, HD : 3 x y z x2 y z x y z x + y + z 14 = = => = = => = = = = = ÷ ÷ ÷ 16 36 2 4 6 + 16 + 36 56 a, Từ GT ta có : => b, x y z x y z x + y − 3z −650 = = => = = = = = 25 4 16 −26 −26 Bài 11: Tìm x, y biết: HD : x3 + y x3 − y = (x GT = Ta có : => y = x y = 64 + y ) − ( x3 − y ) 6−4 = ( x + y ) + ( x3 − y ) 12 + = y 3 x3 = 16 x = 64k x3 x6 = y => => k = ±1 64 y = k 3x y 3z = = 64 216 x2 + y − z = Bài 12: Tìm x, y, z biết: HD : x y z x2 y2 z2 2x2 + y − z = = => = = = = 64 216 64 4096 46656 8320 − 46656 −38336 Từ GT ta có : ( Vơ lý) Vậy không tồn x, y, z thỏa mãn : Bài 13: Tìm x, y, z biết: 2x y 4z 18 = = x= y= z − x + y + z = −120 11 a, x+y+z=49 b, HD: x y z x y z x+ y+z => = = => = = = =1 3.6 4.4 5.3 18 16 15 49 a, x y z x y z − x + y + z −120 => = = => = = = = =5 11.3 2.2 33 −24 −24 b, Bài 14: Tìm x, y, z biết: Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com x + y − z = 95 x = y = 5z a, HD : b, − x + z = −196 x + y − z = 95 x + y − z = 95 => x + y − z = −95 a, Từ : x = y = z => Nên b, Từ : 18 x= y= z 11 x y z x+ y−z ±95 = = = = 15 10 15 + 10 − 19 18 x= y= z 11 => x y z − x + z −196 = = = = 33 −33 + −28 x y z = = = x+ y+z y + z +1 x + z + x + y − Bài 15: Tìm x,y,z biết: HD : x y z y + z +1 x + z + x + y − = = => = = y + z +1 x + z + x + y − x y z Từ : ( y + z + 1) + ( x + z + ) + ( x + y − 3) ( x + y + z ) = = =2= x+ y+z x+ y+z x+ y+z => y + z + = x => x + y + z = x − = => x = x + z + = y => x + y + z = y − = => y = x + y − = z => x + y + z = 3z + = => z = −1 => => y + x +1 x + z + z + y − = = = x y z x+ y+ z Bài 16: Tìm x, y, z biết : HD : GT = 2( x + y + z) x+ y+z =2= 1 => x + y + z = x+ y+z Từ giả thiết => Cộng tử với tử ta : x + z + = y => x + y + z = y − = Khi : z + y − = z => z = y − = Và => y = −13 −3= => x = 6 … y + z +1 x + z + x + y − = = = x y z x+ y+z Bài 17: Tìm x, y, z biết: HD : Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com GT = 2x + y + 2z 1 =2= => x + y + z = x+ y+z x+ y+z Từ GT => Tử + Tử + Tử = y + z + = x => x + y + z = 3x − = => x = => x = 2 Khi : Tượng tự để tìm y, z y + z + x + z +3 x+ y −5 = = = x y z x+ y+z Bài 18: Tìm x, y, z biết: HD : 2( x + y + z) 1 GT = =2= => x + y + z = x+ y+z x+ y+z Từ GT=> Tử + Tử + Tử => y + z + = x => x + y + z = 3x − = => x = Khi : Làm tương tự cho y z x y z = = = x+ y+ z y + z +1 z + x +1 x + y − Bài 19: Tìm x, y, z biết: HD : x+ y+z GT = = = x+ y+z 2( x + y + z) Ta có : 1 x = y + z + => x + y + z = 3x − = => x = 2 Khi : Tương tự cho y z x + y − 2x + y −1 = = 6x Bài 20: Tìm x, y biết: HD : 3y − ( x + 1) + ( y − ) x + y − => y = GT = = => x = => = 12 6x Từ 2x +1 y − 2x + y − = = 7x Bài 21: Tìm x, y biết: HD : ( x + 1) + ( y − ) x + y − GT => = => x = 5+9 7x Từ , Thay vào tìm y 1+ y 1+ y 1+ y = = 18 24 6x Bài 22: Tìm x, biết: HD : ( + y ) − 1( + y ) ( + y ) + ( + y ) − ( + y ) 1 => = => x = GT = = 12 42 − x 36 − 24 18 + 24 − x Ta có : , Thay vào tìm y Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 5x −1 y − 5x − y − = = 4x Bài 23: Tìm x biết HD: 5x − y − 5x − y − 5x − y − = = = 4x => x= ;y= x=2 Nếu 5x-7y-7 # , Thay vào ta y=3 Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> 1+ 3y 1+ 5y 1+ y = = 12 5x 4x Bài 24: Tìm x, y biết: HD : ( + 3y) − (1 + 5y) ( 1+ y) − (1 + y) GT = = 12 − x 5x − 4x Ta có : −2 y −2 y = 12 − x = x x = 12 x = 12 − x x Thay vào tìm y 7x − 3y + 12 y + 2z x = = 2y z − 3y + − y Bài 25: Tìm x,y,z biết : 3x + y x + y −2 − xz2 − yz2 = = = ( x ≠ 0) 47 −17 x2 z2 + Bài 26: Tìm x, y, z biết : a b c = = a + b + c ≠ 0, a = 2012 b c a Bài 27: Cho Tính b, c HD : a b c a +b+c = = = = => a = b = c = 2012 b c a b+c+a Từ : a b c = = a + b + c ≠ 0, a = 2017 b c a Bài 28: Cho Tính b, c HD: a b c a+b+c = = = = => a = b = c = 2017 b c a a+b+c Ta có: a b 10 = = , a + b ≠ −10 b 10 a Bài 29: Tìm a, b biết: HD: a b 10 a + b + 10 = = = = => a = b = 10 b 10 a a + b + 10 Ta có: Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com x y z = = y z x x2018 − y2019 = Bài 30: Tìm ba số thức x, y, z khác biết : a b c ; ; a+b +c ≠ b+c c +a a +b Bài 31: Cho số hữu tỉ nhau: , Tính giá trị tỉ số HD : a b c a+b+c = = = = b + c c + a a + b 2( a + b + c) x= Bài 32: Tìm x biết : HD : a b c = = b+c c+a a +b , tỉ số có nghĩa x= a b c = = = −1 − a −b −a Nếu a+b+c=0 b+c= -a, a+c= -b, a+b= -c a b c a +b+c x= = = = = b + c c + a a + b 2( a + b + c) ≠ Nếu a+b+c x x =2 = 16 y y Bài 33: Tìm x, biết: , HD : x x 1 = => = => 16 = => y = => x = 16.8 y y y y Ta có : x + y + z = 94 3x = y = z Bài 34: Tìm x, y, z biết: a + b + c = 260 a = 3b = 0,3(b + c ) Bài 35: Tìm a, b, c biết: HD: a b + c a + b + c 260 60 a b = = = = 200 => a = 60, b = = 20 = c a = 3b => = 0, 1,3 1,3 3 Từ , Bài 36: Tìm a, b, c biết: (a+b) : ( – c): (b+c) : (10 +c)=2:5:3:4 HD : a + b − c b + c 10 + c GT => = = = =t Từ a + b = 2t => => b = 8, a = −4 ( − c ) = ( 10 + c ) => c = −2 => t = b + c = 3t mà a b c b c a + + = + + = a +b+c = b c a a b c ∈ Bài 37: Tìm số a, b, c Z biết : HD : Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com a b c b c a a c b a c b GT => + + ÷ + + + ÷ = => + ÷ + + ÷+ + ÷ = b c a a b c b b c c a a Ta có : a+b+c a+b+c a+b+c => ÷+ ÷+ ÷= a b c a + b + c = => 1 + + =3 a b c , Vì 1 1 1 ≤ ≤ ≤ => + + ≤ => a = b = c = a b c a b c Do a,b,c nguyên nên x− y x+ y xy = = 13 200 Bài 38: Tìm x, y biết: HD: x − y x + y ( x − y) + ( x + y) x x xy GT = = = = => = 13 16 8 200 => x = xy − 200 x = x ( y − 200 ) = => y = 25 x = => y = TH1: TH2: y = 25 => x = 40 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c = = Bài 39: Tìm ba số a,b,c biết: a+b+c=-50 HD : ( 3a − 2b ) ( 2c − 5a ) 6c − 10b −5b + 3c 5b − 3c GT = = = = = =0 25 34 17 Ta có : 3a = 2b a b c a+b+c = −5 2c = 5a => = = = 10 5b = 3c => z − 10 y 10 x − 3z y − x = = 10 Bài 40: Tìm x,y,z biết : 2x+3y-z=40 HD: z − 10 y 10 x − z ( z − 10 y ) ( 10 x − z ) GT => = = = 16 Ta có: z = 10 y 40 x − 30 y 30 y − 40 x => = = => 10 x = z 13 100 3 y = x => x y z x + y − z 40 = = = = =5 10 + 12 − 10 Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 12 x − 15 y 20 z − 12 x 15 y − 20 z = = 11 Bài 41: Tìm x, y, z biết: x+ y+ z=48 HD: ( 12 x − 15 y ) + ( 20 z − 12 x ) + ( 15 y − 20 z ) GT = =0 + + 11 Ta có: x y x y 12 x − 15 y = => 12 x = 15 y => = => = 15 12 => x z x y z x + y + z 48 = => = = = = 5 + + 12 làm tương tự ta được: 5z − 6y 6x − 4z 4y − 5x = = 3x − 2y + 5z = 96 Bài 42: Tìm x, y, z biết: x + 3y 3y + 9z 5z + 15x = = 19 114 115 Bài 43: Tìm x, y,z biết: x+y+2z= -31 HD : x + 3y y + 3z z + 3x = = a( x + 3y) = b( y + 3z) = c( z + 3x) = h( x + y + 2z) 19 38 23 Ta có : , Đặt (1) x( a + 3c) + y( b + 3a) + z( c + 3b) = hx + hy + 2hz Đồng ta : a + 3c = h b + 3a = h c + 3b = 2h a = ;b = ;c = 7 , Giả sử cho h=1 , Như chẵn ta nen cho h =7 a = 1; b = 4; c = Khi : Ta biến đổi (1) sau : x + 3y y + 3z z + 3x ( x + 3y) + 4( y + 3z) + 2( z + 3x) 7( x + y + 2z) 7.( −31) = = = = = = −1 19 38 23 19 + 152 + 46 217 217 x + 3y = −19 => y + 3z = −38 z + 3x = −23 4( x + y + z) = −80 => x + y + z = −20 , Cộng theo vế ta : x + y + 2z = −31 => −20 + z = −31 => z = −11 Mà 3b 1− 125a − 3b = = 1− 125a 6a + 13 a −4 Bài 44: Tìm cặp số a, b thỏa mãn: HD: −13 a ≠ ±2, a ≠ ĐKXĐ: Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 10 Bài 34: Cho HD : 2a + 13b 2c + 13d a c = , CMR : = 3a − 7b 3c − 7d b d 2a + 13b 3a − 7b ( 2a + 13b ) − ( 3a − 7b ) b a a c = = = = => = 2c + 13d 3c − 7d ( 2c + 13d ) − ( 3c − 7d ) d c b d GT=> a +b c +d a = , CMR : = a−b c−d b Bài 35: Cho u+2 v+2 = u−2 v−3 Bài 36: CMR : Nếu c d u v = Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 35 Bài 37: Cho HD: a =b+c c= bd b−d , CMR: a c = b d ( b − d ) c = b.d => bc − cd = bd => bc = bd + cd = d ( b + c ) = ad Từ GT => => 2 a c a d a +b ab = = = 2 b d b c c +d cd ≠ Bài 38: Cho , Với a, b, c, d 0, Chứng minh rằng: HD: 2 a − b) ( a + b 2ab ( a + b ) = = = c + d 2cd ( c + d ) ( c − d ) Ta có: TH1: TH2: a c = b d a +b a −b 2a 2b a b a c = = => = => = c+d c−d 2c d c d b d a + b b − a 2b 2a a c = = = => = c + d c − d 2c 2d b d a + b a − 2b a c = , ∀b, d ≠ 0, CMR : = c + d c − 2d b d Bài 39: Cho HD: Từ GT, Ta nhân chéo rút gọn: a+b c+d b a − 2b a b a c GT => = = => = => = a − 2b c − 2d d c − 2d c d b d Hoặc : , Trừ vào vế ta : ab bc a b = = c≠ a+ b b+ c b c Bài 40: Cho , CMR: a +b+c a −b+c = ,b ≠ a+b−c a−b−c Bài 41: Cho tỉ lệ thức: , Chứng minh rằng: c = HD: ( a + b + c ) − ( a − b + c ) = 2b = => a + b + c = a + b − c => 2c = => c = GT = ( a + b − c ) − ( a − b − c ) 2b Ta có: a−b+c a+b+c = ( b ≠ 0) − a − b + c −a + b + c Bài 42: Cho tỉ lệ thức : , CMR : a=0 HD: a −b + c a+b+c a −b+c a+b+c 2a 2a = => −1 = −1 = −a − b + c − a + b + c −a − b + c −a + b + c − a − b + c −a + b + c Từ => a≠0 −a − b + c = −a + b + c => −b = b => b = Nếu ta có vơ lý=> a=0 a b c d = = = 3b 3c 3d 3a ≠ Bài 43: Cho a, b, c, d t/m : , a+b+c+d 0, Chứng minh rằng: a= b= c= d HD: Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 36 GT = a b c d a+b+c+ d = = = = = 3b 3c 3d 3a ( a + b + c + d ) a=b=c=d Từ GT ta có: => a1 a2 a9 = = = , a1 + a2 + + a9 ≠ 0, CMR : a1 = a2 = a3 = = a9 a a3 a1 Bài 44: Cho HD : Từ GT cộng từ với tử, mẫu với mẫu ab b a + b2 a = ( c ≠ 0) = bc c b2 + c2 c Bài 45: Cho tỉ lệ thức: , CMR : HD: a.10 + b b 10a a a b a b a.b a + b a GT = = = = => = => = = = = b.10 + c c 10b b b c b c b.c b + c c Bài 46: CMR: a+c=2b 2bd=c(b+d) HD: a c = b d với b,d khác a c = b d Vì a+c=2b nên từ 2bd=c(b+d) ta có: (a+c)d=c(b+d) hay a.d=b.c=> x− y y−z = ( x + y ) = 5( y + z ) = 3( z + x ) Bài 47: Chứng minh rằng: , Thì HD: x+ y z+x x+ y−z−x y + z z + x −y − z + z + x x − y = = = y−z = = = 3− −3 + 5 Ta có: 2( z + x) z+x y−z z+x x− y z+x x− y z+x = y − z => = (2) = => x − y = => = (1) 10 5 10 và x− y y−z = Từ (1) (2) ta có: a + d = b2 + c ( b, d ≠ 0, ) a + d = b + c, Bài 48: Cho CMR số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức: HD : a c 2 a + d = b + c => ( a + d ) = ( b + c ) => 2ad = 2bc => = b d Vì a+b c+a = a−b c−a ≠ Bài 49: Cho , Chứng minh số a,b,c 0, lập thành tỉ lệ thức HD : a+b c+a a+b a −b a b = => = = = a −b c −a c+a c−a c a Vì : Bài 50: Chứng minh : Nếu có a, b, c, d thỏa mãn : ab ( ab − 2cd ) + c 2d ab ( ab − ) + ( ab + 1) = chúng lập thành tỉ lệ thức : Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 37 HD : TH 1: ab ( ab − 2cd ) + c 2d = => ( ab − cd ) = => ab = cd => Từ GT=> đpcm 2 2 ab( ab − 2) + 2( ab + 1) = => a b − 2ab + 2ab + = a b = −2 TH2 : M= ax + by = k ( c, d ≠ ) cx + dy ( Vô lý) Bài 51: Cho , Chứng minh rằng, Giá trị M khơng phụ thuộc vào x,y số a,b,c,d lập thành tỉ lệ thức : HD : ax + by b = k, x = 0, y = => = k cx + dy d Đặt Chọn a a b x = 1, y = => = k => = c c d Chọn a c = 2bd = c b + d ( ) a + c = 2b b d Bài 52: Chứng minh : Nếu HD : => ( a + c ) d = c ( b + d ) Từ GT , Nhân vào=> ĐPCM x = yz; y = xz; z = xy Bài 53: Cho x,y,z số khác CMR : x=y=z HD : Từ gt=> cặp phân số Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 38 Bài 54: Cho a,b,c,d,e,g a c e & & b d g a, So sánh HD : ∈Z , Biết b,d,g>0 a.d - b.c=2009 c.g - d.e =2009 c a+e & d b+ g b, So sánh: a.d > b.c => a, Từ GT ta có : b, Từ GT ta có : a c > b d c.g > d e => c e a c e > => > > d g b d g a.d − b.c = c.g − d e => a.d + de = cg + bc => d ( a + e ) = c ( b + g ) => c a+e = d b+g a+b c+a = a−b c−a a = bc Bài 55: Chứng minh : Nếu , Đảo lại có khơng ? HD : a b a +b a −b => = = = c a a+c c−a Từ GT a + b a − b 2b b a = = = = c + a c − a 2a a c Ngược lại : , x y z = = a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c Bài 56: Cho , a b c = = x + y + z 2x + y − z 4x − y + z Chứng minh rằng: HD: a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c = = x y z Từ GT=> ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) = a = x + 2y + z x + 2y + z 2 ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) − ( 4a − 4b + c ) b = 2x + y − z 2x + y − z = = ( a + 2b + c ) − ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) c = 4x − y + z 4x − y + z a b c = = x + y + z 2x + y − z 4x − y + z => Bài 57: Cho HD: (đpcm) x y z = = a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c a b c = = x + y + z 2x + y − z 4x − y + z , Chứng minh : Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 39 a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c = = x y z Từ GT=> ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) = 9a = x + 2y + z x + 2y + z ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) − ( 4a − 4b + c ) 9b = 2x + y − z 2a + y − z = = ( a + 2b + c ) − ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) 9c = 4x − y + z 4x − y + z Bài 58: Cho 2y + 2z − x 2z + 2x − y 2x + 2y − z = = a b c , CMR: x y z = = 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 40 Bài 59: Cho HD: x y z = = a − 2b + c 2a − b − c 4a + 4b + c a b c = = x + y + z z − y − 2x 4x − y + z , CMR: a − 2b + c 2a − b − c 4a + 4b + c = = x y z Nghịch đảo GT ta được: ( a − 2b + c ) + ( 2a − b − c ) + ( 4a + 4b + c ) = 9a = x + 2y + z x + 2y + z = = ( 4a + 4b + c ) − ( 2a − b − c ) − ( a − 2b + c ) z − y − 2x = 9b z − y − 2x ( a − 2b + c ) − ( 2a − b − c ) + ( 4a + 4b + c ) 9c = 4x − y + z 4x − y + z bz − cy cx − az ay − bx = = a b c x y z = = a b c Bài 60: Cho dãy tỉ số: , Chứng minh rằng: HD: bxz − cxy cxy − ayz ayz − bxz ( bxz − cxy ) + ( cxy − ayz ) + ( ayz − bxz ) = = = =0 ax by cz ax + by + cz Từ GT => y z bz = cy = x y z b c => = = cx = az => a b c ay = bx x = z a c => 3x − y z − x y − 3z x y z = = = = 2 Bài 61: Cho , CMR: HD: 3 x − y = => 2 z − x = ( 3x − y ) + ( z − x ) + ( y − 3z ) x y z = = GT = =0 4 y − z = 16 + + => 2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx x y z = = = = a 2b 3c a b 3c Bài 62: Cho dãy tỉ số nhau: , Chứng minh rằng: HD : Từ GT ta có : 2abz − 3acy 6bcx − 2abz 3acy − 6bcx 2abz − 3acy + 6bcx − 2abz + 3acy − 6bcx = = = =0 a2 4b 9c a + 4b + 9c 2bz − 3cy = => => Bài 63: Cho dãy HD: z y = 3c 2b 3cx − az = => a b c = = 2009 2011 2013 x z x y z = => = = a 3c a 2b 3c , Chứng minh rằng: ( a − c) = (a − b)(b − c ) Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 41 Ta có: a b c a −c a −b b−c = = = = = =k 2009 2011 2013 −4 −2 −2 a − c = −4k 2 a − c) −4 k ) ( ( => a − b = −2k => = = 4k 4 b − c = −2k ( a − b ) ( b − c ) = 4k => VT= VP Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 42 Bài 64: Cho số x,y,z thỏa mãn: HD: x y z = = 1998 1999 2000 ( x − z) = 8( x − y) ( y − z) , CMR : x−z x− y y−z x−z x− y y−z = = => ÷ = ÷ ÷ −2 −1 −1 −2 −1 −1 ( x − z) = ( x − y) ( y − z) Từ gt=> => Bài 65: Cho số x,y,z thỏa mãn: by+cz=a, ax+cz=b, ax+by=c , với a,b,c số dương cho trước 1 + + x +1 y +1 z +1 không phụ thuộc vào a,b,c HD: a + b + c = ( ax + by + cz ) = ( ax + a ) = 2a ( x + 1) Cộng theo vế GT ta được: 2a => = x +1 a + b + c 2b 2c = , = y +1 a + b + c z +1 a + b + c Chứng minh tương tự ta có: 2( a + b + c) 1 + + = =2 x +1 y +1 z +1 a+b+c Khi đó: Bài 66: Cho HD: Đặt: a => x − yz y − zx z − xy = = a b c a − bc b − ca c − ab = = x y z , Chứng minh: x − yz y − zx z − xy x − yz y − zx z − xy = = = k => a = ,b = ,c = a b c k k k (x − bc = − x yz + y z ) k2 − y z − xy − xz + x yz a − bc => = x + y + z − 3xyz x k2 b − ca = x + y + z − xyz y Chứng minh tương tự: c − ab = x + y + z − xyz z a 2006 +b 2006 =a 2004 +b 2004 => đpcm a +b ≤ 2−4 32 2 Bài 67: Cho a, b dương thỏa mãn: , Chứng minh HD: a + b2 = 2−4 a ≥ b => a 2004 a − = b 2004 − b a, b ≠ 32 Giả sử: a=1=>b=1=> Nếu: , Giả sử: 2004 a 1− b = 2004 a ≥ b => − b ≥ a − => a + b ≤ b 1− a2 => , Vì 2 a +b => ≤ = 2−4 32 32 ( Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com ) ( ) 43 1 + + =0 a b c 1 + + ≤0 ab bc ca ≠ Bài 68: Cho a,b,c , chứng minh rằng: HD: 11 1 1 1 = − + ÷ => + ÷ ≤ a ab c b c Từ GT=> 1 1 1 + ≤0 + ≤ 0, + ≤ ab ac bc ab ac bc => , Tương tự: 1 + + ÷≤ ab bc ca Cộng theo vế ta được: => Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 44 x= Bài 69: Cho HD: a −b b −c c−a ,y= ,z = a+b b+c c+a x +1 = Xét a −b 2a +1 = a+b a +b VT = , Chứng minh (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z) y +1 = , Tương tự: 2b 2c , z +1 = b+c c+a 8abc ( a + b) ( b + c) ( c + a ) Khi a −b 2b 2c 2a = 1− y = ,1 − z = a+b a+b b+c c+a Tương tự: , 8abc VP = = VT ( a + b) ( b + c) ( c + a) Khi đó: x 2000 y 2000 + 1000 = 2 2 1000 x + y = b.x = a y a b (a + b)1000 Bài 70: Cho Chứng minh rằng: HD: x2 y x2 + y bx + ay => = = = a b a +b a+b Từ x 2000 y 2000 x 2000 y 2000 = 1000 = => 1000 + 2000 = 1000 1000 1000 a b a b ( a + b) ( a + b) 1− x = 1− x= a −b b−c c−a ,y= ,z = a+b b+c c+a (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z) Bài 71: Chứng minh nếu: Thì HD: a −b 2a 2b 2c x +1 = +1 = y +1 = , z +1 = a+b a +b b+c c+a Xét , Tương tự: 8abc VT = ( a + b) ( b + c) ( c + a ) Khi a −b 2b 2c 2a 1− x = 1− = 1− y = ,1 − z = a+b a+b b+c c+a Tương tự: , 8abc VP = = VT ( a + b) ( b + c) ( c + a) Khi đó: 2c b + c b2 b2 = a + ab + = 15 c2 + = 2 a, c ≠ 0; a ≠ −c a + ac + c = 3 a a+c Bài 72 : Biết và , CMR : HD: b2 b2 a + ab + = 15 = + = a + ac + c + c + ÷ 3 Ta có: ( ) Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 45 => 2c = ab − ac => 2c = ab + ac − 2ac => 2c + 2ac = ab + ac => 2c ( c + a ) = a ( b + c ) => 3x = 9y−1 2c b + c = a a+c 8y − 2x+8 = x = y Bài 73: Cho Chứng minh rằng: HD: 8y = 2x+8 23y = 2x+8 => 3y = x + Từ (1) 3x = 9y−1 = ( y−1) Và => x = 2y − 3y = 2y − + y = => x = 10 thay vào (1) ta được: Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 46 Bài 73: Cho số hữu tỉ: CMR: x => a a+c < b b+d Bài 74: Cho số a, b,c đôi khác nhau, CMR: b−c c−a a −b 2 + + = + + ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a ) ( c − b) a − b b − c c − a HD : Ta có : 1 −1 = + = + a −b a −b a −b a −b b−a −1 = + b−c b−c c−b −1 = + c−a c−a a−c Tính tương tự ta có : , 2 1 −1 −1 + + = − + + ÷+ ÷+ ÷ = VT a −b b−c c−a a −b a −c b−c b−a c −a c −b Cộng theo vế : a b' b c' + = 1, + = abc + a ' b ' c ' = a' b b' c Bài 75: Cho , CMR: HD: ab + a ' b ' = a ' b => abc + a ' b ' c = a ' bc Từ GT ta có: bc + b ' c ' = b ' c => a ' bc + a ' b ' c ' = a ' b ' c Và ( abc + a ' b ' c ' ) + ( a ' b ' c '+ a ' bc ) = ( a ' bc + a ' b ' c ) => Nên đpcm a ( y + z) = b( z + x) = c ( x + y) Bài 76: Chứng minh nếu: , a, b, c khác khác 0, thì: y−z z−x x− y = = a ( b − c) b ( c − a ) c ( a − b) HD: ≠ Vì a, b, c 0, chia giả thiết cho y + z z + x x + y ( x + y) − ( z + x) ( y + z) − ( x + y ) ( z + x) − ( y + z) abc => = = = = = bc ac ab ab − ac bc − ab ac − bc => ĐPCM 11 1 = + ÷ c 2b d Bài 77: Cho số nguyên dương a, b, c, d b trung bình cộng a c , Chứng minh : số hợp nên tỉ lệ thức : Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 47 HD : b= Vì a+c => 2b = a + c P= 11 1 = + ÷ => 2bd = c ( b + d ) c 2b d ax + bc + c , CMR : a1 x + b1 x + c1 Bài 78: Cho HD : , Chuyển 66 a b c = = a1 b1 c1 Nếu , P khơng phụ thuộc vào x a b c = = =k a1 b1 c1 Đặt rút thay vào P Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 48 x y z t = = = y + z +t z +t + x t + x + y x + y + z Bài 79: Cho P= Chứng minh : HD: x+ y y + z z +t t + x + + + z+t t + x x+ y y+ z Có giá trị nguyên => y+ z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z = = = x y z t Từ GT ta có: x+ y + z +t x+ y+ z +t x+ y + z +t x+ y + z +t = = = x y z t => x + y + z + t = => P = −4 TH1: x + y + z + t ≠ => P = TH2: Ax + By + C Q= ax + by + c Bài 80: Cho A, B, C tỉ lệ với a, b, c, CMR : không phụ thuộc vào x, y HD : k ( ax + by + c ) A B C = = = k => A = ka , B = kb, C = kc => Q = =k a b c ax + by + c Ta có : x y z = = 2 a+ b+ c = a + b + c = a b c Bài 81: Cho số a,b,c,x,y,z thỏa mãn : ( Các tỉ số có x2 + y2 + z2 = ( x + y + z) nghĩa), CMR : Bài 82: Cho a, b, c khác thỏa mãn: 12ab + 4bc + 3ac + = = 4b c 3a , CMR: 3a = 4b = c − x + y + z, x − y + z, x + y − z Bài 83: Cho a, b, c tỉ lệ nghịch với , ( Giả sử số b+c, c+a, a+b a( b + c) ,b( a + c) , c( a + b) x, y, z khác 0), Chứng mỉnh tỉ lệ thuận với Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 49 ... 2b d Bài 77 : Cho số nguyên dương a, b, c, d b trung bình cộng a c , Chứng minh : số hợp nên tỉ lệ thức : Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu038 876 5490@gmail.com 47 HD : b= Vì... c, d lập thành tỉ lệ thức: HD : a c 2 a + d = b + c => ( a + d ) = ( b + c ) => 2ad = 2bc => = b d Vì a+b c+a = a−b c−a ≠ Bài 49: Cho , Chứng minh số a,b,c 0, lập thành tỉ lệ thức HD : a+b c+a... Sinhlaobenhtu038 876 5490@gmail.com 34 Bài 34: Cho HD : 2a + 13b 2c + 13d a c = , CMR : = 3a − 7b 3c − 7d b d 2a + 13b 3a − 7b ( 2a + 13b ) − ( 3a − 7b ) b a a c = = = = => = 2c + 13d 3c − 7d ( 2c + 13d