Víi ý nghÜa vµ t¸c dông nh vËy, viÖc híng dÉn häc sinh tiÕp cËn vµ vËn dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n tØ lª thøc lµ vÊn ®Ò quan träng... Qua nhiÒu n¨m båi dìng vµ t×m hiÓu nhiÒu [r]
(1)Phòng gd& đt yên định
Trêng tHCS yên tâm *** -*** -*** -***
Phơng pháp giảI
Một số toán tØ lƯ thøc hay vµ khã
Ngời thực hiện: Lê xuân Phơng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trờng thcs yên tâm
(2)a phn mở đầu I Lý chọn đề tài:
Trong nhiều năm gần đây, đa số kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS kỳ thi học sinh giỏi khối 7;8 đặc biệt thi vào trờng THPT chuyên nh khiếu thờng gặp toán tỉ lệ thức đặc biệt toán dãy tỉ số hay khó Các tốn gọi chung toán tỉ lệ thức Các toán phong phú đa dạng mang nội dung vô sâu sắc việc giáo dục t tởng qua mơn tốn: Đi tìm tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, toán để hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối u cho cơng việc sống sau
Loại toán đa dạng nh nhiều toán học sinh gặp nhiều khó khăn việc phân tích để tìm lời giải Nhng tài liệu tham khảo chi dành phần nhỏ để nói vấn đề viêt rời rạc toán đa số đơn giản, nhằm phát huy t học sinh Vì qua nhiều năm ơn học sinh giỏi, qua thực tế giảng dạy thân đọc tham khảo nhiều sách tài liệu tốn tơi rút đợc số dạng tập tỉ lệ thức hay vá khó, phơng pháp để giải dạng tốn nhằm góp thêm tài liệu cho đồng nghiệp tham khảo việc bồi dỡng học sinh giỏi toán khối THCS
1 ý nghĩa đề tài:
Các toán tỉ lệ thức phơng pháp giải có ý nghĩa quan trọng em học sinh : + Rèn luyện phơng pháp phân tích tốn trớc bắt tay vào giải tốn
+ RÌn lun kÜ giảI toán tỉ lệ thức
+ L kiến thức cần thiết cho Học Sinh (HS) thi HS giỏi cấp + Là hành trang để em thi vào THPT chuyên không chuyên + Là sở vững vốn hiểu biết để em ơn thi đại học sau + Góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện phát triển t học sinh
Với ý nghĩa tác dụng nh vậy, việc hớng dẫn học sinh tiếp cận vận dụng phơng pháp giải toán tỉ lê thức vấn đề quan trọng
2 Phạm vi đề tài:
(3)B néi dung
I
C¬ së lý ln:
Việc giải tốn tỉ lệ thức đợc dựa hệ thống kiến thức trờng phổ thông nh: phép biến đổi tơng đơng, quy tắc, đẳng thức , tỉ lệ thức, dãy tỉ số nhau…
Dựa trình độ khả t duy, độ tuổi HS
II Thực trạng vấn đề
1 Đặc điểm tình hình
Trng THCS n Tâm có truyền thống hiếu học, trình độ Giáo Viên tơng đối đảm bảo, gần 80% chuẩn, nhiệt tình giảng dạy, ln ln tự trau dồi học hỏi kinh nghiệm bạn bè đồng nghiệp sách báo, tài liệu tham khảo Nhiều năm trở lại trờng nằm tốp 10 huyện chất lợng dạy học, chất lợng mũi nhọn tơng đối tốt đứng từ thứ đến thứ 10 kì thi HS giỏi cấp huyện
Nhà trờng có tủ sách phong phú chủng loại sách để giáo viên có điều kiện tham khảo trình dạy học
Ngày với trình độ khoa học tiên tiến nên đợc tiếp cận tốt với kiến thức mới, phát minh nh học hỏi bạn bè khắp đất nớc
Song nhiều tài liệu nhng việc đọc phân loại toỏn cn cú nhiu thi gian
Khó khăn việc hình thành rèn luyện HS khả phân tích, so sánh , tổng hợp, trớc giải toán
2 Thực trạng:
Giỏo viờn mụn toán thờng cha quan tâm đến vấn đề này, cha ý đến việc phân loại dạng bài, cha phân loại đối tợng HS để rèn luyện kỉ giải tốn nói chung tốn tỉ lệ thức nói riêng cho em HS
Vì chất lợng HS có nhiều tiến song thấp so với yêu cầu thực tế tiềm HS Đa số em giải toán theo hớng dẫn giáo viên cách máy móc, cha biết nhìn nhận, phân tích toán trớc giải, có mò mẫm lúng túng giải tập toán
Theo khảo sơ HS khèi líp 7, lµ khèi tiÕp cËn nhiỊu với toán tỉ lệ thức năm 2004-2005 cho thấy :
+ Có 35% định hớng để giải đợc toán tỉ lệ thức, 21% làm đợc số đơn giản, 25% làm mò mẫm số lại cha bit gii
+ Trong lớp dạy tỉ lệ HS có khả giải toán thấp + Chất lợng mũi nhọn không cao
(4)tham khảo, lựa chọn phân loại số toán điển hình phơng pháp giải toán toán tỉ lệ thức hay nh sau:
III Ph ơng pháp giảI số toán tỉ lệ thức hay khó Dạng 1: Từ mét d y tØ sè b»ng chøng minh mét d y tØ sè b»ng · · kh¸c
Trong dạng cần chi thành số loại điển hình sau:
Loại 1: Nhân tử mẫu tỉ số với mẫu tơng øng.
VÝ dô 1: Cho cy bz az cx bx ay
x y z
Chøng minh r»ng: a b c
x y z
Lêi gi¶i:
Ta cã cy bz az cx bx ay
x y z
cxy bxz2 ayz cxy2 bxz ayz2 cxy bxz ayz cxy bxz ayz2 2 2
x y z x y z
cy bz
x
= cy-bz = cy = bz b c y z (1)
Vµ az cx
y
= az = cx a c x z (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã a b c
x y z (§PCM)
VÝ dơ 2: Cho 2 3
2
bz cy cx az ay bx
a b c
Chøng minh r»ng:
2
x y z
a b c
Lêi gi¶i:
Ta cã 2 3
2
bz cy cx az ay bx
a b c
23 2.3 22 3.22
4
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
= 2 62 22 2
4
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
=0
2bz 3cy a
=
2bz-3cy =
2
y z
b c (1)
Vµ 3
2 cx az
b
= 3cx-az =
3
x z
a c (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã
2
x y z
a b c (§PCM).
VÝ dơ 3: Cho 4 5 3
3
bz cy cx az ay bx
a b c
Chøng minh r»ng:
3
x y z
a b c
Lêi gi¶i: Ta cã 4 5 3
3
bz cy cx az ay bx
a b c
12 215 20 122 15 202
9 16 25
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
= =
2 2
12 15 20 12 15 20
9 16 25
baz acy bcx abz ay bcx
a b c
= 0
3 bz cy
a
= vµ 5
4 cx az
b
= 0
4bz -5cy =
4
y z
b c (1)
Vµ 5cx -3az =
5
z x
c a (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã
3
x y z
a b c (ĐPCM).
Tơng tự ta cho HS làm sau:
4 2
2
cy bz az cx bx ay
x y z
CMR:
2
a b c
x y z
7cy 5bz 2az 7cx 5bx 2ay
x y z
CMR: 2a 5b 7c
x y z
bz cy cx az ay bx
a b c
CMR: x y z
a b c Loại 2: Đặt dÃy tỉ số b»ng h»ng sè k hc 1
k , sau tìm đẳng thức để đến dãy tỉ số cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho số a,b,c,x,y,z thoả mÃn:
2 4
x y z
a b c a b c a b c
Chøng minh r»ng:
2 4
a b c
x y z x y z x y z Lời giải: Ta đặt:
2 4
x y z
a b c a b c a b c =k
Ta cã: 2 4 x k
a b c
y
k a b c
c
k
a b c
2 4
x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc
2 2
4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
Céng tõng vÕ ta cã: x+2y+z= 9ka
2
a
x y z k
L¹i cã
2
4
x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc
2
2
4
x ka kb kc
y ka kb kc z ka kb kc
Céng tõng vÕ ta cã: 2x+y-z = 9bk
2
b
(5)T¬ng tù ta cịng cã
4
c
x y z k
Khi ta có
2 4
a b c
x y z x y z x y z (§PCM) VÝ dơ 2: Cho a,b,c,x,y,z tho¶ m·n:
2 4
x y z
a b c a b c a b c
Chøng minh r»ng:
2 4
a b c
x y z z y x x y z Lời giải: Ta đặt:
2 4
x y z
k a b c a b c a b c
Khi ta có:
2
4
x
k
a b c
y
k a b c
c
k
a b c
2
4
x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc
2
2 2
4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
Céng tõng vÕ ta cã: x+2y+z = 9ak
2
a
x y z k
L¹i cã
2
4
x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc
2
2
4
x ka kb kc
y ka kb kc z ka kb kc
Céng tõng vÕ ta cã: z-y-2x = 9bk
2
b
z y x k
T¬ng tù ta cã:
4
c
x y z k
Tõ kết ta có
2 2 4 4
a b c
x y z z y x x y z (§PCM)
VÝ dơ 3: Cho a,b,c,x,y,z tho¶ m·n:
2 4
x y z
a b c a b c b a c
Chøng minh r»ng:
2 4
a b c
x y z x y z x y z Lời giải: Lời giải: Ta đặt:
2 4
x y z
(6)Khi ta có:
2
4
x
k
a b c
y
k a b c
c
k
b a c
2
4
x ka kb kc y ka kb kc z kb ka kc
2
2 2
4
x ka kb kc
y ka kb kc
z kb ka kc
Céng tõng vÕ ta cã: x+2y-z = 9ak
2
a
x y z k
L¹i cã
2
4
x ka kb kc y ka kb kc z kb ka kc
2
2
4
x ka kb kc
y ka kb kc z kb ka kc
Céng tõng vÕ ta cã: 2x+y+z = 9bk
2
b
x y z k
T¬ng tù ta cã:
4
c
x y z k
Từ kết ta cã
2 4
a b c
x y z x y z x y z (ĐPCM)
Bằng cách làm tợng tự ta làm thêm sau: Cho a,b,c,x,y,z tho¶ m·n:
2 4
x y z
b c a b c a c b a
Chøng minh r»ng:
2 4
a b c
x y z z x y z x y
Cho a,b,c,x,y,z tho¶ m·n:
2 4
x y z
a b c a b c b c a
Chøng minh r»ng:
2 4
a b c
x y z x y z y z x Loại Đặt dÃy tỉ số mét sè k hc 1
k nhng phải bình phơng hai vế đẳng thức tìm đợc để tìm đẳng thức mà có vế nh nhau.
VÝ dơ 1: Cho a,b,c,x,y,z kh¸c tho¶ m·n:
2 2
x yz y xz z xy
a b c
Chøng minh r»ng:
2 2
a bc b ac c ab
x y z
(7)Lời giải: Đặt
2 2
x yz y xz z xy
a b c
=k
Khi ta có:
2 2
x yz ak y zx bk z xy ck
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
x yz a k
y zx b k
z xy c k
4 2 2
4 2 2
4 2 2
2 (1)
2 (2)
2 (3)
x x yz y z a k y xy z x z b k z xyz x y c k
L¹i cã: 2
x yz ak y zx bk z xy ck
2 2
2 2
2 2
( )( )
( )( )
( )( )
x yz y zx abk x yz z xy ack y xz z xy bck
2 3 2
2 3 2
2 3 2
(4) (5) (6) x y x z y z xyz abk x z x y yz xy z ack y z xy xz x yz bck
LÊy (1)-(6) ta cã : x(x3+y3+z3-3xyz) = k2(a2-bc)
3 3
2
x y z 3xyz a bc
k x
LÊy (2)-(5) ta cã: y(x3+y3+z3-3xyz) = k2(b2-ac)
3 3
2
x y z 3xyz b ac
k y
LÊy (3)-(4) ta cã: z(x3+y3+z3-3xyz) = k2(c2-ab)
3 3
2
x y z 3xyz c ab
k z
Khi ta có :
2 2
a bc b ac c ab
x y z
(§PCM)
VÝ dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác thoả mÃn:
2 6 4 3 9 2
2
x yz y xz z xy
a b c
Chøng minh r»ng:
2 6 4 3 9 2
2
a bc b ac c ab
x y z
Lời giải: Đặt
2 6 4 3 9 2
2
x yz y xz z xy
a b c
=k
Khi ta có:
2 2
6
4
9
x yz ak
y zx bk
z xy ck
2 2
2 2
2 2
( )
(4 )
(9 )
x yz a k
y zx b k
z xy c k
4 2 2
4 2 2
4 2 2
12 36 (1)
16 24 (2)
81 36 (3)
x x yz y z a k
y xy z x z b k
z xyz x y c k
L¹i cã: 2
4
9
x yz ak
y zx bk
z xy ck
2 2
2 2
2 2
( )(4 )
( )(9 )
(4 )(9 )
x yz y zx abk
x yz z xy ack
y xz z xy bck
2 3 2
2 3 2
2 3 2
4 24 18 (4)
9 54 (5)
36 27 6 (6)
x y x z y z xyz abk
x z x y yz xy z ack
y z xy xz x yz bck
Mặt khác:
LÊy (1)-(6) ta cã : x(x3+8y3+27z3-6xyz) = k2(a2-6bc)
3 3
2
x 8y 27z 6xyz a 6bc
k x
(8)(9)LÊy (2)-(5) ta cã: 2y(x3+8y3+27z3-6xyz) = k2(b2-ac)
3 3
2
x 8y 27z 6xyz c
2
b a
k y
LÊy (3)-(4) ta cã: 3z(x3+8y3+27z3-6xyz) = k2(c2-ab)
3 3
2
x 8y 27z 6xyz
3
c ab
k z
Khi ta có
2 6 4 3 9 2
2
a bc b ac c ab
x y z
(ĐPCM)
Bằng cách làm tợng tự ta cho HS làm thêm sau: Cho a,b,c,x,y,z khác thoả mÃn:
2 15 9 5 15 3
3
x yz y xz z xy
a b c
Chøng minh r»ng:
2 15 9 5 25 3
3
a bc b ac c ab
x y z
2 Cho a,b,c,x,y,z khác thoả mÃn:
2 2
9 20 16 15 25 12
3
x yz y xz z xy
a b c
Chøng minh r»ng:
2 2
9 20 16 15 25 12
3
a bc b ac c ab
x y z
3 Cho a,b,c,x,y,z khác thoả mÃn:
2 2
x yz y xz xy z
a b c
Chøng minh r»ng:
2 2
a bc b ac ab c
x y z
Lo¹i 4: Đặt dÃy tỉ số số k 1
k sau cộng trừ cách hợp lý đẳng thức tìm đợc ta có kết toán
Ta xÐt mét sè vÝ dơ sau:
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c khác đôi khác thoả mãn: a(y+z) = b(x+z)= c(x+y)
Chøng minh r»ng:
( ) ( ) ( )
y z z x x y
a b c b c a c a b
Lêi gi¶i: §Ỉt a(y+z) = b(x+z)= c(x+y) = k
Ta cã
(1) (2) (3) k y z
a k z x
b k x y
c
Lấy (!) - (2) ta đợc: y-x = k b a( )
ab
x y k a b ab
( )
x y k
c a b abc
Lấy (2) - (3) ta đợc: z-y = ( )
( )
k c b y z k
bc a b c bac
(10)
Lấy (1) - (3) ta đợc: x-z = ( )
( )
k a c z x k
ac b c a bac
Khi ta có
( ) ( ) ( )
y z z x x y
a b c b c a c a b
(§PCM)
Ví dụ 2: Cho ba số x,y,z khác đôi khác thoả mãn: z(a+b) = x(b+c)= y(a+c)
Chøng minh r»ng:
( ) ( ) ( )
a b b c c a
z x y x y z y z x
Lời giải: Đặt z(a+b) = x(b+c)= y(a+c) = k
Ta cã:
(1) (2) (3) k a b
z k b c
x k c a
y
Lấy (1) – (2) ta đợc: a-c = ( )
( )
k x z c a k
xz z x y xyz
Lấy (2)-(3) ta đợc : b-a = ( )
( )
k y x a b k
xy z x y xyz
Lấy (1) - (3) ta đợc: b-c = ( )
( )
k y z b c k
yz x y z xyz
Khi ta có:
( ) ( ) ( )
a b b c c a
z x y x y z y z x
Ví dụ 3: Cho ba số a,b,c khác đôi khác thoả mãn: a(y+z) = b(z-x)= c(y-x)
Chøng minh r»ng:
( ) ( ) ( )
y x y z x z
c b a a b c b c a
Lời giải: Đặt a(y+z) = b(z-x)= c(y-x) = k
Tacã:
(1) (2) (3) k z y
a k z x
b k y x
c
Lấy (1) - (2) ta đợc: x+ y = k b a( )
ab
x y k b a ab
( )
x y k
c b a abc
Lấy (2) - (3) ta đợc: z-y = ( )
( )
k c b y z k
bc a b c bac
(11)Lấy (1) - (3) ta đợc: x+z = ( )
( )
k a c z x k
ac b c a bac
Bằng cách làm tợng tự ta cho HS làm thêm bµi sau:
Cho ba số a,b,c khác đôi khác thoả mãn: a(y+z) = b(x-z)= c(x-y) Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
y x y z x z
c b a a c b b c a
Cho ba số a,b,c khác đôi khác thoả mãn: a(z-y) = b(z+x)= c(x-y)
Chøng minh r»ng:
( ) ( ) ( )
y z z x x y
c c b b c a c a b
Dạng 2: Từ dãy tỉ số chứng minh đẳng thức:
Với loại có nhiều laọi song đề cập đến ba loại mà cách giải quen với HS trình làm từ HS thấy với cách vận dụng vào tốn hiệu
Loại 1: Đó đặt dãy tỉ số k 1
k từ ta tính giá trị hai vế đẳng thức
so s¸nh:
VÝ dơ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác thoả mÃn: x y z
a b c
Chøng minh r»ng:
2 2
( )
a b c a b c
x y z x y z
Lời giải: Đ ặt x y z
a b c= k Ta cã : x=ka, y=kb vµ z=kc
Khi đó:
2 2
a b c
x y z =
2 2
a b c a b c
ak bk ck k
(1)
2
(a b c) x y z
=
2
( )
( )
a b c a b c
k a b c k
(2)
Tõ (1) vµ (20 suy
2 2
( )
a b c a b c
x y z x y z
(§PCM)
VÝ dơ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác thoả mÃn: x y z
a b c
Chøng minh r»ng:
2 2
2 2
1
( )
x y z
ax by cz a b c
Lời giải: Đ ặt x y z
a b c= k Ta cã : x=ka, y=kb vµ z=kc
Khi đó:
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
( ) ( )
x y z a k b k c k
ax by cz a k b k c k a b c
VËy ta suy ra:
2 2
2 2
1
( )
x y z
ax by cz a b c
(ĐPCM)
Ví dụ 3: Cho a,b,c,x,y,z khác tho¶ m·n: 3x 4y 5z
a b c
(12)(13)
Chøng minh r»ng:
2 2 ( )2
3 4
a b c a b c
x y z x y z
Lời giải: Đ ặt 3x 4y 5z
a b c = k Ta cã : 3x=ka, 4y=kb vµ 5z=kc
Khi đó:
2 2
3
a b c
x y z =
2 2
a b c a b c
ak bk ck k
(1)
2
( )
3
a b c
x y z
=
2
( )
( )
a b c a b c
k a b c k
(2)
Tõ (1) vµ (20 suy
2 2 ( )2
3 5
a b c a b c
x y z x y z
(§PCM)
VÝ dơ 4: Cho a,b,c tho¶ m·n:
2002 2003 2004
a b c
Chøng minh r»ng: 4(a-b)(b-c)=(a-c)2
Lời giải: Đặt
2002 2003 2004
a b c
= k Ta cã: a = 2002k, b = 2003k vµ c= 2004k
Khi 4(a-b)(b-c) = 4(2002k-2003k)(2003k-2004k) = 4k2
(a-c)2 = (2002k- 2004k)2 = 4k2
Suy ra: 4(a-b)(b-c)=(a-c)2 (§PCM).
VÝ dơ 5: Cho a,b,c tho¶ m·n:
1
a b c
x x x Chøng minh r»ng: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
Lời giải: Đặt
1
a b c
x x x = k ta cã: a= kx, b= k(x+1) vµ c = k(x+2)
Khi : 4(a-b)(b-c)=kx k x ( 1) k x( 1) k x( 2) = 4k2
(a-c)2 = kx k x ( 2)2 = 4k2
Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)2 (§PCM).
VÝ dơ 6: Cho a,b,c tho¶ m·n:
1
a b c
x x x Chøng minh rằng: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
Lời giải: Đặt
1
a b c
x x x = k ta cã: a= k(x-1), b= kx vµ c = k(x+1)
Khi : 4(a-b)(b-c)=k x( 1) kx kx k x ( 1)= 4k2
(a-c)2 = k x( 1) k x( 1)2 = 4k2
Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)2 (§PCM).
Đơi ta có thểỉ dụng tính chất dãy tỉ số cách hợp lí ta đến kết cách dễ dàng
Ví dụ 7: Cho bốn số a,b,c,d khác thoả m·n: a b c
b c d
Chøng minh r»ng:
3 3
3 3
a b c a
b c d d
Lêi gi¶i: a b c
b c d =
3 3
3 3
a b c
b c d =
3 3
3 3
a b c
b c d
3
b c =
2
b b acb a c c bdc d
VËy
3 3
3 3
a b c a
b c d d
(§PCM)
(14)Bằng cách tơng tự giảI toán sau: Cho a,b,c thoả m·n:
1997 1996 1995
a b c
Chøng minh r»ng: 4(a-b)(b-c)=(a-c)
2
Cho x,y,z kh¸c tho¶ m·n:
1
x y z
Chøng minh r»ng: (x+y+z)(1 9) 36
x yz
Loại 2: Từ dãy tỉ số kết hợp với điều kiện tốn ta chứng minh đợc đẳng thức Với loại ta nên đặt dãy tỉ số số k
1
k
VÝ dơ 1: Cho 2
1 a b c
a b c
x y z
a b c
Chøng minh r»ng: xy + yz + zx =
Lời giải: Đặt x y z
a b c =
k Ta cã: xk = a, yk = b vµ kz = c
Khi đó: a +b + c = xk+ky + kz =1 k( x +y + z) =1 k2 ( x + y + z)2= 1
k2 ( x2 + y2 + z2+ 2xy+2yz +2zx) =
k2 ( x2 + y2 + z2) + 2( xy + yz + zx) =1
Mặt khác : a2b2c2 k2 ( x2 + y2 + z2) =
Suy ra: + 2( xy + yz + zx) =1 xy + yz + zx =
VËy xy + yz + zx = (§PCM)
VÝ dô 2: Cho 2
3 a b c
a b c
x y z
a b c
Chøng minh r»ng: xy + yz + zx =
Lời giải: Đặt x y z
a b c
=
k Ta cã: - xk = a, yk = b vµ kz = c
Khi đó: a - b - c =
- xk- ky - kz =3
- k( x +y + z) =3 k2 ( x + y + z)2= 9
k2 ( x2 + y2 + z2+ 2xy+2yz +2zx) =9
k2 ( x2 + y2 + z2) + 2( xy + yz + zx) =9
MỈt kh¸c : a2b2c2 9 k2 ( x2 + y2 + z2) =
Suy ra: + 2( xy + yz + zx) =9
xy + yz + zx =
VËy xy + yz + zx = (§PCM)
VÝ dơ 3: Cho 2
4 16 a b c
a b c
x y z
a b c
Chøng minh r»ng: xy + yz = zx
Lời giải: Đặt x y z
a b c =
k Ta cã: xk = a, yk = b vµ kz = c
Khi đó: a - b + c = -4
xk- ky + kz = -
k( x - y + z) = - k2 ( x - y + z)2= 16
k2 ( x2 + y2 + z2- 2xy - 2yz + 2zx) =16
k2 ( x2 + y2 + z2) - 2( xy + yz - zx) =16
Mặt khác : a2b2c2 16 k2 ( x2 + y2 + z2) = 16
Suy ra: 16 - 2( xy + yz - zx) =16
xy + yz - zx =
VËy xy + yz = zx (ĐPCM)
Tơng tự ta cho HS vận dụng sau cách tơng tự
Cho 2
7 49 a b c
a b c
x y z
a b c
Chøng minh r»ng: xy = yz + zx
Cho 2
1 a b c
a b c
x y z
a b c
Chøng minh r»ng: xy + yz + zx =
Loại 3 Ta chứng minh đồng thời đẳng thức dãy tỉ số: Với dạng ta lại không đặt dãy tỉ số số k mà ta nên kết hợp cặp tạo nên dẳng thức và sử dụng phép biến đổi để đI đến đáp số:
Ví dụ1: Cho a,b,c khác thoả m·n: 2 1
2
ab bc ac
b c a
Chøng minh r»ng: a = 2b = c hc 4a2b2c2 =1.
Lêi gi¶i: Tõ 2 1
2
ab bc ac
b c a
Ta cã: 2
2
ab bc
b c
2
a b
b c
1
2
b c
a b
c b bc
(1)
2bc ac
c a
2b c
c a
2b c 1 c a
a c ac
(15)2 1 1 1
2 2
ab ac b a
a c a c
b a b a a b ab
(3)
Nhân vế ba đẳng thức (1), (2) (3) ta có: (a-2b)(2b-c)(a-c) =
2 b c
bc
.c a
ac
.2
2 b a
ab
= (2 )( 2 2)(2 )
4
b c c a b a a b c
Suy ra: (a-2b)(2b-c)(a-c) - (2 )( 2 2)(2 )
4
b c c a b a a b c
= (a-2b)(2b-c)(a-c) 1- 2 21
4a b c =
(a-2b)(2b-c)(a-c) = hc 1- 2 21
4a b c =
* NÕu (a-2b)(2b-c)(a-c) =
NÕu a = 2b 2b = c a = 2b = c NÕu 2b = c a = c a = 2b = c NÕu a = c 2b = a a = 2b = c * NÕu 1- 2 21
4a b c = 4a
2b2c2 =1.
VËy a = 2b = c 4a2b2c2 =1 (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho a,b,c khác thoả mÃn:
2
ab bc ac
b c a
Chøng minh r»ng: a = 2b = 3c 36a2b2c2 =1.
Lời giải: Tõ
2
ab bc ac
b c a
Ta cã:
2
ab bc
b c
2
a b
b c
1
3
b c
a b
c b bc
(1)
3
bc ac
c a
2 3
b c
c a
1
3
c a
b c
a c ac
(2)
1 3 1
2 2
ab ac b a
a c a c
b a b a a b ab
(3)
Nhân vế ba đẳng thức (1), (2) (3) ta có: (a-2b)(2b-3c)(a-3c) =
6
b c
bc
.3
3 c a
ac
.2
2 b a
ab
= (2 )( 2 2)(2 )
36
b c c a b a a b c
Suy ra: (a-2b)(2b -3 c)(a - c) - (2 )(32 2)(2 )
36
b c c a b a
a b c
= (a-2b)(2b-3c)(a-3 c) 1- 2 21
36a b c =
(a-2b)(2b-3c)(a-3c) = hc 1- 2 21
36a b c =
(16)NÕu a = 2b 2b = 3c a = 2b = 3c NÕu 2b = 3c a = 3c a = 2b = 3c
* NÕu 1- 2 21
36a b c = 36a
2b2c2 =1.
VËy: a = 2b = 3c 36a2b2c2 =1 (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho a,b,c khác thoả m·n: 12
4
ab bc ac
b c a
Chøng minh r»ng:3 a = 4b = c hc 144a2b2c2 =1.
Lêi gi¶i: Tõ 12
4
ab bc ac
b c a
Ta cã: 12
4
ab bc
b c
4
a b
b c
1
4
b c
a b
c b bc
(1)
3
bc ac
c a
4 1
b c
c a
1
3
c a
b c
a c ac
(2)
12 3 1 1
4 3 12
ab ac b a
a c a c
b a b a a b ab
(3)
Nhân vế ba đẳng thức (1), (2) (3) ta có: (3a-4b)(4b-c)(3a-c) =
4 b c
bc
3
c a
ac
12
b a
ab
= (4 )( )(42 2 )
144
b c c a b a
a b c
Suy ra: (3a-4b)(4b - c)(3a - c) - (4 )( )(42 2 )
144
b c c a b a
a b c
= (3a-4b)(4b-c)(3a- c) 1- 12 2
144a b c =
(3a-4b)(4b-c)(3a-c) = hc 1- 12 2
144a b c =
* NÕu (3a-4b)(4b-c)(4a-c) =
NÕu 3a = 4b 4b = c 3a = 4b = c NÕu 4b = c 3a = c 3a = 4b = c NÕu 3a = c 4b = 3a a = 4b = c
* NÕu 1- 12 2
144a b c = 144a
2b2c2 =1.
VËy: 3a = 4b = c hc 144a2b2c2 =1 (ĐPCM
Tơng tự ta làm toán sau:
Cho a,b,c khác thoả mÃn: ab bc ac
b c a
Chøng minh r»ng: a2005+ 2006
1 b = b
2005+
2006
1
c =
2005 2006
1 c
a
Cho a,b,c khác thoả mÃn: ab bc ac
b c a
Chøng minh r»ng: an+
1
n b = b
n+
1
1
n
c =
1
n n c
a
(víi n số tự nhiên lẻ)
(17)
Ví dụ 1: Tìm x;y;z khác không thoả m·n xy zy xz 1
y z x
PP: Với loại ta nên hớng dẫn HS kết hợp hai tỉ số thành đẳng thức để biến đổi, sau nhân kết ta sẻ tim đợc mối quan hệ đặc biệt x;y;z Vì dãy tỉ số nên ta sẻ tìm đợc giá trị x;y;z
Lêi gi¶i: Tõ xy zy xz 1
y z x
Ta cã:
* xy zy
y z
x y
y z
x y 1 z y
y z yz
* zy xz
z x
y z
z x
y z 1 x z
z x xz
* xy xz
y x
x z
y x
x z 1 x y
y x xy
Từ đẳng thức tìm đợc ta có:
(x y y z x z)( )( ) z y yz
x z
xz
.x y
xy
= (x y z y x z)(2 2 2)( )
x y z
(x y y z x z )( )( ) (x y z y x z)(2 2 2)( ) x y z
=
(x y y z x z )( )( )(1- 212 2
x y z ) = (x y y z x z )( )( )= hc 1- 212 2
x y z =
*NÕu (x y y z x z )( )( )=
+) NÕu x - y = y = z x=y=z mµ x
y
= x = y= z =
2
; x = y= z = 1
2
+) NÕu y-z = x = z x=y=z mµ x
y
= x = y= z =
2
; x = y= z = 1
2
+) NÕu z – x = y = x x=y=z mµ x
y
= x = y= z =
2
; x = y= z =
1
2
* NÕu 1- 212 2
x y z = x2y2z2= xyz = hc xyz = -
+) NÕu xyz = Do xy 1
y
x 1 y
x = 1
y nªn (
1
y )yz =
z + yz = mµ y 1
z
suy z + z (1+1
z) =
2z = z = vô lý x;y;z khác Suy không tồn x;y;z trờng hợp
+) NÕu xyz = -1 Do xy 1
y
x 1 y
x = 1
y nªn (
1
(18) z + yz = -1 mµ y 1
z
suy z + z (1+1
z) = -1
2z = -2 z = -1 suy y = suy không tồn x
VËy x = y= z =
2
; x = y= z = 1
2
.
VÝ dô 2: Tìm x;y;z khác không thoả mÃn 1
2
xy zy xz
y z x
Lêi gi¶i: Tõ 1
2
xy zy xz
y z x
Ta cã:
*
2
xy zy
y z
2
x y
y z
1
2
z y
x y
y z yz
*
3
zy xz
z x
3
y z
z x
1
3
x y
y z
z x xz
*
2
xy xz
y x
2
x z
y x
1
2
x y
x z
y x xy
Từ đẳng thức tìm đợc ta có:
2 2
3
2 3
36
z y x z x y
x y y z x z
x y z
2 (1 21 2 2) 36
x y y z x z
x y z
=
x 2y 2y 3z x 3z 0 hc 1- 21 2 2
36x y z =
*NÕu x 2y 2y 3z x 3z 0
+) NÕu x - 2y = 2y = 3z x=2y=3z mµ
2 x
y
= x =
2
; y =1
4
;z=1
6
x =
2
; y=1
4
;z=1
4
+) NÕu 2y-3z = x = 3z x=3y=3z mµ
2 x
y
= 1 x =
2
; y =1
4
;z=1
6
x =
2
; y=1
4
;z=1
4
+) NÕu 3z – x = 2y = x x=2y=3z mµ
2 x
y
= 1 x =
2
; y =1
4
;z=
1
6
x =
2
; y=1
4
;z=1
4
* NÕu 1- 21 2 2
36x y z = x2y2z2= 36 xyz = hc xyz = -
+) NÕu xyz = Do 1
2 xy
y
1
2 x
y
x = 1
2y nªn (
1
2y )yz =
z + 2yz = 12 mµ 1
3 y
z
suy z + z (1+
(19)
2z = 35
3 z = 35
6 y = 37
70 vµ x = 72 37
+) NÕu xyz = -6 Do 1
2 xy
y
1
2 x
y
x = 1
2y nªn (
1
2y )yz = -6
z + 2yz = -12 mµ 1 y
z
suy z + z (1+
3z ) = -12
2z = -37
3 z = 37
6
suy y =35
74 vµ x= 72 35
VËy x =
2
; y =1
4
;z=1
6
hc x =
2
; y=1
4
;z=1
4
hc z = 35
6 ;y = 37
70 vµ x = 72
37 hc z = 37
6
; y =35
74 vµ x= 72 35
Tơng tự ta giải toán sau:
1 Tìm x;y;z khác không thoả mÃn xy zy xz 1
y z x
2 T×m x;y;z khác không thoả mÃn xy zy xz
y z x
T×m x;y;z tho¶ m·n: 4x – y2 = 4y-z2 = 4z-x2 = 1
Tìm x;y;z thoả m·n: 3x-y2= 3y – z2 = 3z – x2=1
Dạng 4: Từ đẳng thức cho trớc, chứng minh dãy tỉ số nhau: Với loại toán thông thờng nên hớng dẫn HS dùng phép biến đổi tơng đơng để đa đẳng thức dạng tổng số không dơng không âm.
VÝ dơ 1: Cho a;b;c tho¶ m·n (a+2b)(2b+3c)(3c+a) ≠ vµ
2 2 2
4 9
2 3 3
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
Chøng minh r»ng:
6
a b c
Lêi gi¶i: Do (a+2b)(2b+3c)(3c+a) ≠ Nªn
2 4 9 2 4 9
2 3 3
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
a4+16b4+81c4 = 9a2c2+4a2b2+36b2c2
2(a4+16b4+81c4 ) = 2(9a2c2+4a2b2+36b2c2)
(a4-8b2a2+16b4) +( 16b4-72b2c2+81c4)+ (81c4-18a2c2+a4) = 0
(a2- 4b2)2 +(4b2-
9c )2 + (
9c - a2)2 = (*)
Do (a2- 4b2)2≥ , (4b2- 9c2)2≥ vµ (9c2- a2)2≥ nªn
(*)
2
2
2
4
4
9
a b
b c
c a
2
2
2
4
4
3
a b a b
b c b c
c a
c a
6
a b c
VËy NÕu (a+2b)(2b+3c)(3c+a) ≠ vµ
2 4 9 2 4 9
2 3 3
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b Th×
a b c
(20)VÝ dơ 2: Cho a;b;c tho¶ m·n (a- b)(b+2c)(2c-a) ≠ vµ
2 4 2 4
2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b
Chøng minh r»ng:
2
a b c
Lêi gi¶i: Do (a- b)(b+2c)(2c-a) ≠ Nªn
2 4 2 4
2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b
a4+b4+ 16c4- 4a2b2- 4b2c2 – a2b2 = 0
2a4+2b4+ 2.16c4- 8a2b2- 8b2c2 – 8a2b2 = 0
(a2-b2)2 + (a2- 4c2)2 + (b2- 4c2)2 = Do (a2-b2)2≥ 0; (a2- 4c2)2≥ vµ (b2- 4c2)2 ≥
2
2
2
0
4
4
a b
a c
b c
2
2
2
4
a b
a c
b c
2
a b
a c
b c
2
a b c
VËy (a- b)(b+2c)(2c-a) ≠ vµ
2 4 2 4
2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b th× 2
a b c
(ĐPCM)
Tơng tự giải toán sau:
Cho a;b;c thoả mÃn (2a+3b)(3b+4c)(2c+a)
2 2 2
4 9 16
2 3 4
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
Chøng minh r»ng:
6
a b c
2 Cho a;b;c tho¶ m·n (a- 2b)(2b- 3c)(3c+a) ≠ vµ
2 2 2
4 9
2 3 3
a b c a b c
a b b c c a c b a c a b
Chøng minh r»ng:
6
a b c
3 Cho a;b;c tho¶ m·n (a+ b)(b+c)(c+a) ≠ vµ
2 2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b
Chøng minh r»ng: a=b=c
(21)
VÝ dô 1: Cho a; b; c khác a b c a b c b c a
c b a
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A = a b b c a c
abc
Lêi gi¶i: Ta cã: a b c a b c b c a
c b a
a b a c b c
c b a
a b a c b c 2a 2b 2c
c b a a b c
2 2
a b c
b c a
a c b
Suy A = a b b c a c 2 2a b c
abc abc
VËy A = (ĐPCM)
Vídụ 2: Cho a; b; c khác vµ b c a a b c b c a
c b a
Tính giá trị cđa biĨu thøc A = b a c b a c
abc
Lêi gi¶i: Ta cã: b c a a b c b c a
c b a
b a a c b c
c b a
b a a c b c b a a c a c
c b a c b a
2 2
b a c
a c b
c b a
Suy A = b a a c c b ( ).( )a b c 8
abc abc
VËy A =
VÝ dơ 3: Cho x;y;z tho¶ m·n: x y z t
y z t z t x x t y x y z
tÝnh giá trị P = x y y z z t t x
z t t z x y z y
Lêi gi¶i: Ta cã x y z t
y z t z t x x t y x y z
x y z t
y z t z t x x t y x y z
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x t y x y z
y+z+t = z+t+x = x+t+y = x+y+z x = y = z = t
Suy ra: P =
Tơng tự ta làm to¸n sau:
1 Cho a; b; c kh¸c vµ b c a b c a c a b
c b a
Tính giá trị cđa biĨu thøc A = b a c b a c
abc
2 : Cho a; b; c kh¸c vµ b c a a b c c a b
a b c
Tính giá trị biÓu thøc A = a b c b c a
abc
II Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm:
Sau thời gian vận dụng phơng pháp kết, đạt đợc tơng đối khả quan 60% vận dụng thành thạo, 30% biết vận dụng để giải số đơn giản, 10% cần đợc bồi dỡng thêm Trong kì thi học sinh giỏi HS đạt đợc số thành tích đáng kể.
C PhÇn kÕt luËn I KÕt luËn.
Thơng qua số tốn phơng pháp giải số toán tỉ lệ thức hay khó học sinh hình thành cho nhìn tốn cách tích cực, hình thành một số phơng pháp giải tốn cho học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi.
Qua trình hớng dẫn cách cụ thể nh vậy, học sinh biết vận dụng một cách linh hoạt phơng pháp giải số dạng tốn tỉ lệ thức hay khó vào giải các tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp Đối với học sinh giỏi em biết sử dụng, kết hợp phơng pháp để giải đợc tốn đại số dạng khó Qua đó giúp học sinh hứng thú gặp loại toán nói riêng học mơn tốn nói chung.
Trên số kinh nghiệm việc bồi dỡng học sinh phơng pháp giải một số tốn tỉ lệ thức hay khó cho HS lớp 7;8 đặc bịêt HS giỏi. Mong với số dạng đồng nghiệp vận dụng sáng tạo vào tình hình của học sinh bổ sung để công tác bồi dỡng học sinh ngày có kết quả.
- điểm chung khái quát để tìm phơng pháp giải cho dạng tốn đó.
- Cần phân loại đối tợng HS trình dạy học đặc biệt dạy bồi dng
môn toán cho em.
(22)
II Một số ý kiến đề xuất 1. Đối với giáo viên toán:
Trong trình dạy giáo viên cần phân loại dạng tốn, tìm đặc pháp phân tích toỏn.
- Tạo hứng thú cho em học toán
2. Đối với cấp quản lý.
- Cần đầu t nhiều trang thiết bị để phục vụ cho dạy học
- Đầu t sở vật chất nhà trờng để giáo viên sử dụng cơng nghệ thơng tin
vµo công việc giảng dạy.
Yên tâm, ngày 15 tháng 04 năm 2010 Ngời thực hiện