Toán Lớp 9: Các Bài Tập Về Cát Tuyến Tiếp Tuyến

CHÙM BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN Những tính chất cần nhớ:.. 1)..[r]

CHÙM BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN Những tính chất cần nhớ:

1) Nếu hai đường thẳng chứa dây AB,CD,KCDcủa đường tròn cắt M MA.MBMC.MD

2) Đảo lại hai đường thẳng AB,CD cắt M 

MA.MB MC.MD bốn điểm A, B,C, D thuộc đường tròn.

3) Nếu MC tiếp tuyến MAB cát tuyến

  

2 2

4) Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD,H , trung điểm CD năm điểm K,A,H,O, B nằm đường trịn

5) Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến

KCD 

AC BC

AD BD

Ta có:

      ACKC

KAC ADK KAC KAD

AD KA

Tương tự ta có: 

BC KC

BD KB mà KAKB nên suy 

AC BC

AD BD

Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD ta ln có: 

AC BC

AD BD

và 

CA DA

CB DB

NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU

Bài 1: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây DI qua M Chứng minh

a) KIOD tứ giác nội tiếp b) KO phân giác góc IKD Giải:

a) Để chứng minh KIOD tứ giác nội tiếp việc góc khó khăn

Ta phải dựa vào tính chất cát tuyến , tiếp tuyến

Mặt khác KAOB tứ giác nội tiếp nên MA.MBMO.MK Từ suy MO.MKMI.MD hay KIOD tứ giác nội tiếp

a) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIOD Ta có

 

   

IO OD R OKI OKD

suy KO phân giác góc IKD

Bài 2: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Chứng minh

a) CMOD tứ giác nội tiếp

b) Đường thẳng AB chứa phân giác góc CMD Giải:

a) Vì KB tiếp tuyến nên ta có: KB2KC.KD KO 2 R2

Mặt khác tam giác KOB vuông B BMKO nên KB2 KM.KO suy



KC.KD KM.KO hay CMOD tứ giác nội tiếp

b) CMOD tứ giác nội tiếp nên KMC ODC,OMD OCD   

Mặt khác ta có:

    

Trường hợp 1:

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A bờ KO (h1)

Hai góc

 

AMC,AMD có góc phụ với tương ứng KMC,ODC  mà  

KMC ODC nên AMC AMD  hay MA tia phân giác góc CMD Trường hợp 2:

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B bờ KO (h2) tương tự ta có MB tia phân giác góc CMD

Suy Đường thẳng AB chứa phân giác góc CMD.

Bài Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Vẽ dây AF qua H Chứng minh BF / /CD

Giải:

Ta có

 1

AFB AOB

2 ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB).

Mặt khác KO phân giác góc AOB nên   1   

AOK BOK AOB AFB AOK

2 Vì A,K, B,O,Hcùng nằm đường

trịn đường kính KO nên AHK AOK  AFB AHK   BF / /CD Bài Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I Chứng minh CIOB

Giải:

Ta có HI / /BD CHI CDB Mặt khác CAB CDB  chắn cung CB nên suy CHI CAB  hay AHIC tứ giác nội tiếp Do

    

IAH ICH BAH ICH Mặt khác ta có A,K, B,O,Hcùng nằm đường

trịn đường kính KO nên BAHBKH

Từ suy

  

Nhận xét: Mấu chốt toán nằm vấn đề OBKB.Thay chứng minh 

CI OB ta chứng minh CI / /KB

Bài 5: Cho đường tròn (O) dây cung ADI Gọi I điểm đối xứng với A qua D Kẻ tiếp tuyến IB với đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn

(O) A cắt IB K Gọi C giao điểm thứ hai KD với đường tròn (O) Chứng minh BC / /AI.

Giải:

Mặt khác ta có:

  1 đ

KBC CAB s CB

2 nên ta chứng minh AIK CAB hay

 BIDBCAThật theo tính chất ta có: 

CB DB

CA DA mà   CB DB

DA DI

CA DI

Tứ giác ACBD nội tiếp nên

       

BCA BDI BID BCA AIK CAB

Hay

  

AIK KBC BC / /AI

Bài Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây CF qua

M Chứng minh DF / /AB Giải:

Kẻ OHCD

Ta chứng minh được: CMOD tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên

 

1

M D

mà         

0

1 2

M M 90 ; D DOH 90 M DOH

 1  1   

CFD COD, DOH COD CFD DOH

2 Từ suy ra

  

2

M CFD DF / /AB

Chú ý: DF / /AB ABFD hình thang cân có hai đáy

 

 

AB, DF OMD OMF

Bài 7: Từ điểm K nằm đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Kẻ OH vng góc với CD cắt AB E Chứng minh

a) CMOE tứ giác nội tiếp

b) CE, DE tiếp tuyến đường trịn (O) Giải:

a) Theo tốn 2, ta có CMOD

là tứ giác nội tiếp nên CMK ODC OCD  Do góc phụ với chúng

bằng nhau: CME COE 

Suy CMOE tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc) c) Cũng theo tốn 2, CMOD nội tiếp

Mặt khác CMOE tứ giác nội tiếp nên E,C,M,O, D thuộc đường trịn

Từ dễ chứng minh CE, DE tiếp tuyến đường tròn (O)

thứ tự G,N Chứng minh OGON Giải:

Ta vẽ hình trường hợp O A nằm khác phía CD Các trường hợp khác chứng minh tương tự

Để chứng minh OGON, ta chứng minh IOGAON

Ta có OI OA,IOG  AON , cần chứng minh CIA IAN  , muốn phải có AN / /CI Ta chứng minh AND CID  Chú ý đến AI đường kính, ta có ADI 90  0, ta kẻ AMOKTa có AMND tứ giác nội tiếp, suy AND AMD (1)

Sử dụng 2, ta có CMOD tứ giác nội tiếp

 1 1

AMD CMD COD

2

(2) Từ (1) (2) suy

 1

AND COD

2 Ta lại có

 1

CID COD

2 nên

 1

AND CID

2 .

Bài Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M trung điểm AB Chứng minh rằng

 

ADC MDB.

Giải:

Kẻ OHCD, cắt AB E.

Theo , EC tiếp tuyến đường tròn  O , nên theo toán quen thuộc 3, ta có ECMD tứ giác nội tiếp, suy EBD ECD  (2)

Từ (1) (2) suy CBD EMD 