THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (LỚP 7) Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA Phương pháp: So sánh số hạng tổng với số hạng tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn giá trị k đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, ngược lại A= 1 1 + + + + + + + + + 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 Ta có: 1 96 96 A> − = 101 505 505 đến đây, ta so sánh với sau: 96 96 1 > = 505 576 6 Ta có: cách ta nhân tử mẫu phân số với 96 để hai phân số 96 96 A> > = 505 567 tử so sánh ta có: (1) 1 1 1 A = + + + + + < 99 100 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: Ta làm tương tự sau : 1 1 1 1 1 A= + + + + + < + + + + + 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 A< => 1 − < 100 (2) 1 < A< Từ (1) (2) ta có : 1 1 + + + + < 2 100 Bài 3: Chứng minh rằng: HD : 1 1 1 1 1 A= + + + + + < + + + + + 3.3 4.4 99.99 100.100 2.3 3.4 4.5 99.100 Ta biến đổi: 1 3 A< + − = − < 100 100 A= 1 1 + + + + < 2 100 Bài 4: Chứng minh rằng: HD : Nhận thấy tổng lũy thừa số lại chẵn, nên ta đưa tổng lũy thừa hai liên tiếp sau : 1 1 1 1 1 A = 1 + + + + + ÷ < 1 + + + + + ÷ 50 1.2 2.3 3.4 49.50 A< => 1 1 < 1 + − ÷ = − 4 50 200 A= 100 + + + + 100 < 2 2 Bài 5: Chứng minh rằng: HD : Nhận thấy có dạng tổng lũy thừa số, nên ta thực phép tính tổng A Việc tính xác tổng A giảm bớt sai số, nhiên tổng tính được, 99 100 A = + + + + + 98 + 99 2 2 Ta tính tổng A sau: Sau lấy 2A trừ A theo vế nhóm phân số có mẫu ta : 1 100 1 1 A = + + + + 99 − 100 B = + + + + 99 2 2 2 2 , đặt tính tổng B theo cách ta 1 1 100 B = − 99 A = + − 99 − 100 < 2 2 2 : , thay vào A ta : 100 A = + + + + 100 < 3 3 Bài 6: Chứng minh rằng: HD : 1 1 100 A = + + + + + 99 − 100 3 Tính tượng tự 5, ta có: , 1 1 B = + + + + 99 3 3 Đặt , tính B thay vào tổng A ta 1 1 100 3 B= − => A = + − 99 − 100 => A < + = => A < 99 2.3 2.3 2 A= 1 1 + + + + < 2 n Bài 7: Chứng minh rằng: HD : 1 1 1 1 A= + + + + < + + + + = 1− < 2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n ( n − 1) n Ta có : 1 1 A = + + + + < (2n) Bài 8: Chứng minh rằng: HD : A= 1 1 1 1 1 1 + + + + ÷ < + + + = 1 − ÷ = − < ÷ ÷ 2 n 1.2 2.3 n − n ( ) n 4n A= 1 1 + + + + 2 (2n) Ta có : Bài 9: So sánh với HD : 1 1 1 1 A = + + + + ÷ < + − ÷ = − < 2 n 4 n 4n A= 1 1 + + + + + 2 n Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n>2 không số tự nhiên HD : 1 A < 1+ + + + 1 ta có : 1 101 1 1 100 + + + + > 2 100 101 1 2016 < + + + + 2016 < 5 5 Bài 13: Chứng minh rằng: HD : 2016 1 A = + + + + 2005 ÷− 2016 5 4B = − 52015 , Đặt tổng ngoặc B tính B ta có : 1 => B = − 4.52015 , thay vào A ta : 1 2016 5 A = + − 2015 − 2016 < => A < > = 5 16 15 2016 7 A = + + + 2016 > + = > = 5 5 25 25 28 (1) Mặt khác : (2) Từ (1) (2) ta ĐPCM 99 100 A = − + − + + 99 − 100 < 3 3 3 16 Bài 14: Chứng minh rằng: HD : 1 1 100 A = (1 − + − + − 99 ) − 100 3 3 Tính tổng A , ta : , Đặt tổng ngoặc B 3 100 3 B= − => A = − 99 − 100 < => A < 4.399 4 16 A= Bài 15: Chứng minh rằng: HD : 19 + 2 + 2 + + 2 < 2 3 10 Ta có : A = 1− 22 − 12 32 − 22 102 − 92 1 1 1 A = 2 + 2 + + 2 = − ÷+ − ÷+ + − ÷ 2 10 1 10 B − B = = − 2006 < 3 3 3 3 3 M= B< => 2 2015 + + + + 2015 3 3 Bài 19: Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên HD : M => M < Tính nên M < M > M khơng có giá trị ngun 2 2 1003 A = + + + + < 2007 2008 : Chứng minh rằng: Bài 20 HD : 2 2 1 1003 A< + + + + = − = 2.4 4.6 6.8 2006.2008 2008 2008 S= 3 + + + −1 + 1.2 2.3 3.4 2003.2004 2004 2004 B > − A = 1−1 + 1 => B > 2004 2004 Bài 23: Chứng minh rằng: HD: 1 1 − + − + 2002 − 2004 < 0, 2 2 2 1 1 1 1 1 A = − + − + 2004 − 2006 => A + A = − 2006 < 2 2 2 Ta có: 5A 1 < => A < 4 =0.2 A= 1 + + + 2 50 < A< Bài 24: Chứng minh rằng: HD: 1 1 1 1 48 48 A= + + + + > + + + = − = > = 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 51 153 192 Ta có : Mặt khác : 1 1 1 1 1 191 200 A= + + + + < + + + + = + − = < = 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 49.50 50 450 450 Vậy < A< A= Bài 25: Cho HD: 1 + + + 1.2 3.4 99.100 A= CMR: TH1: Bài 26: Cho HD: 1 + + + 51 52 100 , CMR: < A< 12 1 1 A = + + + ÷+ + + + ÷ 75 76 77 100 51 52 => 1 1 A > 25 + 25 = + = 75 100 12 1 A = + + + 2 50 A< TH2: 1 1 25 + 25 = + = 50 75 , CMR: A < 1 1 1 1 A= + + + + < 1+ + + + + = 2− A = − + − + − 16 32 64 16 32 a, Ta có: 1 A + A = 3A = − < => A < 64 Nên 1 1 100 A + A = A = − + − + − − 99 − 100 3 3 3 b, Ta có: Đặt 1 1 B = − + − + − − 99 => B = − 99 3 3 3.3 4A = , Thay vào A ta được: 100 3 − 99 − 100 < => A < 4 16 1 1 − + + 98 − 100 < 7 7 50 Bài 28: CMR : HD: A= Đặt 1 1 − + + 98 − 100 7 7 A= Bài 29: Cho Bài 30: CMR : Nhân 49 A => 1 1 1 − + − + + 98 − 100 7 7 7 A< , CMR: 1 < => A < 100 50 50 4019 + 2 + 2 + + 2011 + 20112 + 2011 2012 2012 = 2011 + 20112 + 2011 Mặt khác: , , Tương tự vậy: 2012 2012 2012 2012.2011 2012.2011 A> + + + = = =1 2 2 2011 + 2011 2011 + 2011 2011 + 2011 2011 + 2011 2011( 2011+ 1) 1 1 + + + + > 10 100 Bài 33: CMR: CMR : HD: 1 1 1 > ; > ; ; = 10 10 100 10 Ta có : 1 1 1 100 + + + + > + + + = = 10 10 10 100 10 10 E= Bài 34: CMR: 15 2499 + + + + 16 2500 > 48 HD: 1 1 1 E = − ÷ + − ÷ + − ÷+ + − ÷ 4 16 2500 1 = 49 − + + + + ÷ > 48 50 2 A= Bài 35: Cho HD: 1 + + + 1.2 3.4 99.100 A= CMR: A> TH1: 1 + + + 51 52 100 , CMR: => < A< 12 1 1 A = + + + ÷+ + + + ÷ 75 76 77 100 51 52 1 1 25 + 25 = + = 75 100 12 1+ A< TH2: 1 1 25 + 25 = + = 50 75 1 + + + > 45 2025 Bài 36: CMR : 1+ + + + + 2500 < 100 Bài 37: CMR: HD: n = n+ n < n + n− ( =2 ) n − n − ,( n ≥ 1) Xét số hạng tổng quát: 1 1+ + + + < n − n − + + − + − n Do đó: 1 A = 1+ + + + < 2500 = 100 2500 Với n=2500 ta có: 1 1 A= + + + + < 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 Bài 38: Chứng minh rằng: HD: 1 2A = − < ÷ => C = − 19.40 1.2 19.20 ( D= 36 36 36 36 + + + + 41 42 43 79 80 12 1 1 1 1 VT = + + + + ÷+ + + + + ÷ 60 61 62 63 80 41 42 43 Nhóm thành ngoặc: Khi ta có: 1 1 1 20 20 1 => VT > + + + ÷+ + + + ÷ = + = + = 60 80 80 80 60 80 12 60 60 A= 2010 2011 2012 + + 2011 2012 2010 B= 1 1 + + + + 17 Bài 5: So sánh A B biết : HD: 1 1 A = 1− + 1− + 1+ = 3+ − + − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷> 2011 2012 2010 2010 2011 2010 2012 1 1 1 1 5 B = + + ÷+ + + ÷+ + + ÷ < + + 7 12 13 17 10 3 Tổng B có 15 số M= Bài 6: Cho HD: Ta có: 1 1 + + + + 17 , CMR: M + + + + = = => S > 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 S= 3 3 3 3 3 15 + + + + < + + + + = = 1,5< => S < 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 S= 5 5 + + + + 20 21 22 49 Bài 8: Cho , CMR: 3 S > 50 50 50 50 Ta có: 5 5 S< + + + + = 30 => S < 20 20 20 20 20 Ngược lại: 1 1 A= + + + + < A< 101 102 103 200 Bài 9: Chứng minh rằng: HD: Ta thấy tổng A có 100 số, ta nhóm thành 50 ngoặc, ngoặc có hai phân số, gốm phân số đứng đầu phân số đứng cuối, dồn sâu vào tổng 1 301 301 301 A= + + + + + + ÷+ ÷+ + ÷= 150.151 101 200 102 199 150 151 101.200 102.199 ( 50 ngoặc) 1 A = 301 + + + ÷ 150.151 101.200 102.199 , lúc ta so sánh tất với chung phân số đầu cuối, A> TH1: Ta chứng minh ta có: 1 50 301 300 300 A > 301 + + + = > > = ÷ = 301 150.151 150.151 453 453 480 150.151 150.151 TH2: Ta chứng minh A< ta có: (1) 1 50 301 303 A < 301 + + + = < = ÷ = 301 101.200 101.200 404 404 101.200 101.200 (2) Từ (1) (2) => ĐPCM 1 1 < + + + + 12 101 102 103 200 Bài 10: Chứng minh rằng: HD: 1 A= + + + 101 102 200 Nhận thấy tổng tổng 5 7 A> > => A > 8 12 12 Nên ta chứng minh , mà 1 1 A = + + + + < A< 11 12 13 70 Bài 11: Cho Chứng minh rằng: HD : Thấy tổng A có 60 số hạng A> TH1: Ta chứng minh cách nhóm số ngoặc thơng thường Ta có: A> 81 81 81 1 1 1 A = + ÷+ + ÷+ + + ÷ = + + + 40.41 11 70 12 69 40 41 11.70 12.69 (30 ngoặc) 81 81 81 81.30 243 240 240 + + + = = > > = 40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 A< TH2: Tuy nhiên để chứng minh , làm khơng chứng minh Lý do: việc chứng minh nhỏ mà so sánh lớn lượng dư thừa, dẫn đến tổng A lớn , để giảm bớt lượng dư, tùy vào tốn, nên nhóm thành ngoặc 1 1 1 1 1 1 A = + + + ÷+ + + ÷+ + + ÷+ + + ÷+ + + ÷+ + + ÷ 20 21 30 31 40 41 50 51 60 61 70 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A < + + ÷+ + + ÷+ + + ÷+ + + ÷+ + + ÷+ + + ÷ 11 21 21 31 31 41 41 51 51 61 61 11 11 10 10 10 10 10 10 1 1 1 + + + + + + + + + + < 1+ + + + + ÷ ÷ + 0,5 = 11 21 31 41 51 61 = = 1 1 S = + + + + 10 10 10 1 + + = + + > 40 50 60 Mặt khác: 1 1 1 A = − + − + + − 98 99 Bài 13: Cho , Chứng minh rằng: 0,2 6010 1 6010.1001 2002 1803 1001 + > + > > = 3004.3006 3005 3005.3005 3005 3005 3005 A < 6010 TH2: 1 6012.1001 3003 3003 1001 + = = < 2004.4006 3005 2004.4006 4006 4004 1 1 A= + + + + 51 52 53 100 Bài 15: Cho HD: Tổng A có 50 số hạng , Chứng minh = 31 < A< 40 1 1 1 1 A= + + + + ÷+ + ÷+ + + ÷ = 151 ÷ 75.76 51 100 52 99 75 76 51.100 52.99 Ta có: 151.25 151 155 155 31 A< = < < = 51.100 204 204 200 40 25 151 150 150 A > 151 = > > = 75.76 228 228 250 (1) Mặt khác: (2) Từ (1) (2) ta có ĐPCM 1 1 A= + + + + 21 22 23 80 Bài 16: Cho , Chứng minh rằng: 1< A 101 Mặt khác: 30 303 = >1 50.51 255 A= 15 2499 + + + + > 48 16 2500 Bài 17: Chứng minh rằng: HD: Nhận thấy mẫu tổng A bình phương cảu số tự nhiên liên tiếp, tử số mẫu số nên ta tách A sau: 1 1 1 1 A = 1 − ÷+ 1 − ÷+ + 1 − ÷ = 49 − + + + + ÷ 50 4 9 2500 2 Mà 1 B = + + + ÷ < => − B > −1 => A = 49 − B > 49 − = 48 50 2 A = 1+ Bài 18: Chứng minh rằng: HD : 1 1 2016 + + + + 2016 > −1 Nhận thấy tổng A có phân số cuối có dạng 2n cho phân số có dạng cuối ngoặc : 2n , nên muốn Chứng minh tổng A lớn số ta nhóm 1 1 1 1 1 A = + + + ÷+ + + + ÷+ + 2005 + + 2006 ÷− 2006 3 4 5 8 +1 Ta có : 1 1 1 1 1 A > + + + ÷+ + + + ÷+ + 2006 + + 2006 ÷ − 2 2 2 22006 2 A > 1+ 1 1 + 2 + 22 + + 22005 2006 − 2006 2 2 1 1 1 2016 2016 A > + + + + − 2006 = + 2016 − 2016 = + 1 − 2016 ÷ > 2 2 2 2 A = 1+ Bài 19: Cho : HD : 1 1 + + + + 100 −1 , chứng minh A>50 A 1+ 1 1 100 = + + + + − 100 = + − 100 ÷ > 50 2 2 Mặt khác muốn chứng minh A 1+ 1 1 1 + 2 + 2 + + 25 = + + + + = 2 2 2 A= Bài 21: Cho HD: 455 454 453 + + + + + 454 455 , So sánh A với 2007 454 453 A= + 1÷+ + 1÷+ + + 1÷+ 455 Ta có: 1 456 456 456 456 = + + + + = 456 + + + = 456.B 455 456 456 ÷ 2 Xét B= 1 1 1 1 1 1 1 + + + = + + ÷+ + + + ÷+ + + + ÷+ + + + 456 8 456 ÷ 257 258 +1 > 1 1 1 1 1 1 + + ÷ + + + + ÷+ + + + ÷+ + + 4 2 2 456 ÷ 456 2 = 22 27 200 1 200 200 2024 + + + + + = + + + ÷+ = 4+ = 2 2 456 456 456 456 2 A > 456 Khi đó: 2024 = 2024 > 2007 456 1+ Bài 22: Chứng minh tồn số tự nhiên n để: 1 + + + > 1000 n HD : Chọn Bài 23: Cho HD : n=2 A = 1+ 2000 Khi : 1 1 B = + + + + + 99 1 2000 + + + 2000 > = 1000 2 , So sánh B với 50 1 1 1 B = + + + ÷+ + 98 + + 99 ÷ > + + 2 + + 298 99 3 4 2 +1 =1+ 1 99 + + + = + > 50 2 2 A= Bài 24: Chứng minh rằng: 1 1 + + + + > n n +1 n + n HD : A= 1 1 + + + + ÷ n n +1 n + n n − ( n + 1) + = n − n , có 1 1 n −n n A > + + + = + = + − = n n n n n n n số hạng A= A>1 1 1 + + + >1 12 13 14 144 Bài 25: Chứng minh rằng: HD: Tổng trường hợp 15: Áp dụng cách làm 15 ta có: 1 1 1 1 12 − 12 A = + + + + ÷ > + + + + = + =1 12 13 14 12 12 12 12 12 12 12 1 1 + + + + >1 36 Bài 26: Chứng minh rằng: HD: Tương tự tổng có dạng 15, nên ta có: 1 1 62 − A = + + + + ÷ > + = => A > 7 6 1+ : Chứng minh rằng: 1 1 + + + + 2016 < 2016 Bài 27 HD: Ta có: 1 1 1 A = + + ÷+ + + + ÷+ + 2015 + + 2016 ÷+ 2016 −1 3 2 1 1 1 A < + + 2 + 23 + + 22015 2015 + 2016 < + + + + + 2016 = 2015 + 2016 < 2016 2 2 2 Bài 28: CMR tồn số tự nhiên n để HD: Chọn n = 21999 1+ Bài 29: CMR: HD: VT = 1+ > 1+ 1 1 + + + + + > 1000 n 1 + + + 1999 > 1000 1 1 1 1 + + ÷+ + + + ÷+ + 1998 + + 1999 ÷ 8 +1 1 1 + 2 + 22 + + 21998 1999 = 1+ 1999 > 1000 2 2 Bài 30: CMR: Bài 31: CMR: HD: 1 1 + + + + + 1999 + − 1 + − + + 1999 − 1997 A = − + − + − + ÷ ÷ ÷ 4 8 6 2000 1998 2000 = 2 2 5.473 2365 2013 2013 =1+ + + + + > 1+ = = = > > 60 112 2000.1998 4 4.473 1892 1892 18892 1 1 + + + < 5.8 8.11 ( 3n + ) ( 3n + 5) 15 Bài 32: CMR: Bài 33: CMR: 1 1 13 + + + + > , ∀n ≥ n +1 n + n + 2n 14 Dạng 3: TÍCH CỦA DÃY Phương pháp: Với dạng tích ta sử dụng tính chất: Bài 1: Cho HD: 200 A = 199 a a a+m < => < b b b+m Chứng minh rằng: 14 < A < 20 n +1 n +1 n + > => > n n n +1 Ta thấy: Phân số với m>0, ngược lại nên ta có: ( 2.4.6 200 ) ( 3.5.7 201) A2 > ( 1.3.5 199 ) ( 2.4.6 200 ) 201 A > 200 : n +1 n < n n −1 Mặt khác : nên ta có : 199 A < 198 A2 < => A2 > 201 > 196 = 142 => A > 14 ( 2.4.6 200 ) ( 2.3.5.7 199 ) ( 1.2.4.6 198) ( 1.3.5.7 199 ) => A2 < 200.2 = 202 => A < 20 : 10 208 A = < 12 210 25 Bài 2: Cho Chứng minh A HD : n n n −1 n −1 < => < < n+2 n + n +1 n Ta thấy A có dạng , ( 1.4.7.10 208 ) ( 1.3.6 207 ) => A2 < = 1 207 1 A < => A2 < 208 3.210 630 < 625 => A < 25 ( 3.6.9 210 ) ( 3.4.7 208 ) Bài 3: Cho HD : 99 A = 100 A có dạng Chứng minh 1 < A< 15 10 n n n +1 < => < n +1 n +1 n + 2 100 A < 101 : Mặt khác : 98 A > 99 Bài 4: Chứng minh HD : A2 > ta có : ( 1.3.5 99 ) ( 2.4.6 100 ) => 1 A2 < A < < => A < 2.4.6 100 3.5.7 101 ( )( ) 101 100 10 ( 1.3.5 99 ) ( 1.2.4 98 ) ( 2.4.6 100 ) ( 2.3.5.7 99 ) => 10 244 A = < 12 246 27 = 1 1 200 => A > 200 > 225 = 152 => A > 15 ( 1.4.7 244 ) ( 1.3.6 243 ) 243 A < => A2 < 10 244 ( 3.6.9 246 ) ( 3.4.7 244 ) A2 < => 199 P = 200 P2 < 201 1 1 = < => A < 3.246 738 27 27 Bài 5: Chứng minh rằng: Chứng minh HD : ( 1.3.5 199 ) ( 2.4.6 200 ) => P < 200 P < => P < 201 201 ( 2.4.6 200 ) ( 3.5.7.9 201) Ta có : Bài 6: Cho HD : 200 S = 199 Chứng minh rằng: 101 < S < 400 ( 2.4.6 200 ) ( 2.3.5 199 ) = 400 199 S < => S < 198 ( 1.3.5.7 199 ) ( 1.2.4.6 198 ) Ta có : ( 2.4.6 200 ) ( 3.5.7 201) = 201 > 101 201 S > => S > 200 ( 1.3.5 199 ) ( 2.4.6 200 ) Mặt khác : A = − 1÷ − 1÷ − 1÷ − 1÷ 2 100 − So sánh A với Bài 7: Cho HD : Ta thấy tích A gồm 99 số âm : 99.101 −101 1.3 2.4 A = − 1÷ − 1÷ − ÷ = − ÷= 100.100 200 10000 2.2 3.3 Vậy −1 A< Bài 8: Chứng minh với n số thự nhiên thì: , Mà : 1 + + + n 2n < 1 n +1 + + + + 2n − 101 −101 −1 > => < 200 200 Dạng 4: BẤT ĐẲNG THỨC CHỮ Phương pháp: Với chương trình lớp 6-7 dạng toán chứng minh bất đẳng thức chữ, ta thường sử dụng tính a a a+m < => < ,m > b b b+m chất: ngược lại đưa mẫu M= a b c + + a+b b+c c+a Bài 1: Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằng: có giá trị khơng nguyên HD: a a a a+c > < a+b a +b+c a+b a+b+c b b b b+a > < b+c a +b+c b+c a+b+c c c c c+b > < c+a a+b+c c+a a+b+c Ta có: , Cộng theo vế bất đẳng thức ta có: a b c a +b b+c c+a + + < x + y + z x + y + z +t x + y + z x + y + z +t y y y y+z > < x + y +t x + y + z +t x + y +t x + y + z +t z z z z+x > < y+ z +t x+ y+ z +t y + z +t x+ y + z +t t t t t+y > < x + z +t x + y + z +t x + z +t x + y + z +t Ta có: , Cộng theo vế ta được: 1< M < , Vậy M không nguyên Bài 3: Cho a, b, c, d Chứng minh rằng: a b c d A= + + + a +b+c a +b+d b+c +d a +c +d HD: Có giá trị khơng ngun Ta có: a a > a+b+c a+b+c+d b b > a+b+d a+b+c+d c c > b+c +d a +b +c +d d d > a+c+d a+b+c+d 1< A < a a+d < a+b+c a+b+c+d b b+c < a+b+d a+b+c+d c c+a < b+c + d a +b +c +d d d +b < a+c+d a+b+c+d Cộng theo vế ta được: Vậy A có giá trị khơng ngun Bài 4: Cho a, b, c số dương, tổng hai số lớn số lại a b c + + a + b > a + c > b + c a a = b+c b+c b b < c+a b+c c c < a +b b+c VT < a+b+c a = 1+ < 1+1 = b+c b+c , cộng theo vế ta được: a b c d 1< + + + Chứng minh rằng: HD: a a a a+d > < a+b+c a+b+c+d a+b+c a+b+c+d b b b b+a > < b+c +d a +b +c +d b+c+d a +b+c+d c c c c+b > < c+d +a a+b+c +d c+d +a a+b+c+d d d d d +c > < d +a +b a +b+c+d d +a+b a+b+c+d 1< A < Ta có: Cộng theo vế ta được: 2< Bài 6: Cho a, b, c, d > 0, Chứng minh rằng: HD: Ta có: a+b a+b a +b+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d a+b b+c c+d d +a + + + a( b + c) > a2 => ab + ac > a2 Tương tự ta có : bc + ba > b2 ac + cb > c2 2( ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 Cộng theo vế ta : Bài 10: Cho ba số dương HD: 0≤ a≤ b≤ c ≤1 , CMR: a b c + + ≤2 bc + ac + ab + Vì a − 1≤ 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1=> => ( a − 1) ( b − 1) ≥ b − 1≤ => ab − a − b + ≥ => ab + 1≥ a + b => Mà 1 ≤ ab + a + b c c ≤ ,( c ≥ 0) ab + a + b => c 2c c 2c ≤ ,( c ≥ 0) => ≤ a + b a+ b+ c ab + a + b + c b 2b ≤ ac + a + b + c a 2a ≤ bc + a + b + c Chứng minh tương tự ta có: a b c 2a + 2b + 2c + + ≤ =2 bc + ac + ab + a+ b+ c Cộng theo vế ta được: (ĐPCM) ... 20 1 12 + 20 11 20 12 20 12 < 20 11 + 20 1 12 20 12 20 12 < 20 11 + 20 1 12 Ta c? ?: , , tương tự : 20 12 20 12 20 12 20 12. 2011 20 12 A< + + + = = < => A < 2 2011 20 11 20 11 20 1 12 201 12 20 12 20 12 > 20 11 + 20 1 12 + 20 11... 20 1 12 + 20 11 20 12 20 12 = 20 11 + 20 1 12 + 20 11 Mặt kh? ?c: , , Tương tự vậy: 20 12 20 12 20 12 20 12. 2011 20 12. 2011 A> + + + = = =1 2 2 20 11 + 20 11 20 11 + 20 11 20 11 + 20 11 20 11 + 20 11 20 11( 20 11+ 1) 1... + 2 + +
Ngày đăng: 26/10/2022, 06:17
Xem thêm: