Cđ 2 bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC A LÝ THUYẾT Định nghĩa: - Các mệnh đề “ A > B ” “ A < B ” gọi bất đẳng thức (BĐT) - Các mệnh đề: “ A B ” “ A B “ gọi bất đẳng thức suy rộng Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương: - Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi thành C > D ta nói BĐT C > D BĐT hệ BĐT A > B kí hiệu A > B => C > D - Nếu BĐT A > B hệ BĐT C > D C > D BĐT hệ BĐT A > B ta nói hai BĐT tương đương với nhau, Kí hiệu A > B C > D Tính chất: - A  B  A  C  B  C ( Cộng hai vế BĐT với số)  A  B  A.C  B.C ,  C     A  B  A.C  B.C ,  C   -  (Nhân hai vế BĐT với số) A  B , C  D   A  C  B  D ( Cộng hai BĐT chiều) - A  B, C  D  AC  BD,  A, C   n1 n1 2n (Nhân hai BĐT chiều) 2n B - A  B  A A  B Với A > 0, (Nâng hai vế BĐT lên lũy thừa) A  B  A  B ,  A   (Khai hai vế BĐT) a  b ab a  b (Tính chất giá trị tuyệt đối) B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT A 0 2 Bài 1: CMR : với x, y, z x  y  z  xy  yz  zx HD: 2 2 x  y  z  xy  yz  zx 0   x  y    y  z    z  x  0 Xét hiệu ta có: Dấu xảy x = y = z 2 Bài 2: CMR : với x, y, z x  y  z 2 xy  yz  zx   HD: x  y  z  xy  yz  zx 0   x  y  z  0 Xét hiệu ta có: Dấu xảy x + z = y x  y  z  2  x  y  z  Bài 3: CMR : với x, y, z HD: 2 x  1   y  1   z  1 0  Xét hiệu ta có: , Dấu x = y = z = 2 a b  a b      Bài 4: CMR : với a, b ta có : HD : GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90 a  b a  2ab  b  0 2a  2b   a  2ab  b  0 Xét hiệu ta có : 2  a  2ab  b 0   a  b  0 , Dấu a = - b 2 a  b  c2  a  b  c    3   Bài 5: CMR : với a, b, c ta có : HD: a  b  c a  b  c  2ab  2bc  2ac  Ta có:  3a  3b  3c   a  b  c  2ab  2bc  2ac  0  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac 0 2   a  b    b  c    c  a  0 , Dấu a = b = c  a  b  c a  b2  c2  Bài 6: CMR : HD: 2 2 2 Ta có: 3a  3b  3c a  b  c  2ab  2bc  2ca  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac 0 2   a  b    b  c    c  a  0 , Dấu a = b = c  a  b  2ab a  b2  Bài 7: CMR : HD: a  b  2 a b   2a  2b2 a  2ab  b 2 Ta chứng minh:  a  b  2ab 0   a  b  0 , Dấu a = b  a  b  2ab  a  2ab  b 4ab   a  b  0 Ta chứng minh , Dấu a = b b a  ab Bài 8: Cho a, b, c số thực CMR: HD: 4a  b  4ab   2a  b  0 Ta có: Dấu b = 2a 2 Bài 9: Cho a, b, c số thực CMR : a  b  ab  a  b HD: a  b   ab  a  b 0  2a  2b2   2ab  2a  2b 0 Ta có: 2   a  2ab  b    a  2a  1   b  2b  1 0   a  b    a  1   b  1 0 Dấu a = b = a  b  c  d  e a  b  c  d  e  Bài 10: Cho a, b, c, d số thực CMR : HD: 2 2 Ta có: a  b  c  d  e  ab  ac  ad  ae 0  4a  4b  4c  4d  4e2  4ab  4ac  4ad  4ae 0 2 2 2 2   a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d    a  4ae  4e  0 GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90 2 2   a  2b    a  2c    a  2d    a  2e  0 Dấu xảy a = 2b = 2c = 2d = 2e GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90   1       9 Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > CMR:  a   b  HD: b  a  a b  a b    a b    1        4      a  b   a  b  b a Ta có: VT  a b a b 5     5  2.2 9   a  b  a b  b a   Dấu b a  x y x, y 0, CMR :    xy   Bài 12: Cho HD: x  y  xy 4 xy  x  xy  y 0   x  y  0 Ta có: , Dấu x = y 3 2 Bài 13: Cho a > 0, b > CMR: a  b a b  ab HD:  a3  a 2b    b3  ab2  0  a  a  b   b  a  b  0 Ta có: a  b   a  b  0   a  b   a  b  0   Dấu a = b 1   2 Bài 14: Cho a b 1, CMR:  a  b  ab HD: a  b  a b  a  b   1     0     2     2  a  ab  b  ab     Xét hiệu:   a  ab    b  ab   b  a   ab  1 0 2    ab   a  1  b  a  , Dấu a = b a.b = x  y  z  t x  y  z  t  Bài 15: CMR : với số thực x, y, z, t ta có : HD: 2 2 2 2 Ta có: x  y  z  t  xy  xz  xt 0  x  y  z  4t  xy  xz  xt 0     2 2 2   x  xy  y    x  xz  z    x  xt  4t   x 0 Dấu x = 2y = 2z = 2t = a2  b  c ab  ac  2bc Bài 17: CMR : HD: 2  a  4a  b  c    b  c  2bc  0 a  b  c  ab  ac  bc  Ta có: 2  a  4a  b  c    b  c  0   a  2a  2c  0 2 Bài 19: CMR : x  y  z 2 xy  zx  yz HD: 2  x  x  y  z   y  yz  z 0 x  y  z  xy  yz  zx  Ta có: 2 x  x  y  z    y  z  0   x  y  z  0 Bài 20: CMR : HD: x  y  z  2 x  xy  x  z  1 GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90 4 2 Ta có: x  y  z   x y  x  xz  x 0  x4  y  x2 y    x  xz  z    x2  x 1 0 x 2 2  y    x  z    x  1 0 2 , Dấu x = z = 1, y = 1 Bài 21: CMR : a  b  c ab  bc  ca HD: 2 2 2 Ta có : a  b  c  ab  bc  ca 0  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca 0 2   a  b    b  c    c  a  0 2 Bài 22: CMR : a  b ab HD: b b 3b b  3b2    a  a      a  0    2 4 2  Ta có: a  b  ab 0 2 Bài 23: CMR : x  xy  y 0 HD: y y2 3y2 y  3y2  x  x   0   x    0 4   Ta có: a  a  b   a  c   a  b  c   b 2c 0 Bài 24: CMR : HD:  a  a  b  c   a  b   a  c   b 2c 0 2 2   a  ab  ac   a  ab  ac  bc   b c 0 a  ab  ac  x  x  x  y   y 0  x  xy  y 0 Đặt bc  y , Khi ta có: a Bài 25: CMR :  b   a  b   a  b3  HD: 4 6 3 Ta có: a  a b  a b  b a  2a b  b 3 3   a b  a b    a b  a b  0 2  a b  a  b   a b  b  a  0 2 2 a  b a b  a b    a b a  b 0        a  b   a  b3  2  a  b   Bài 26: CMR : HD: 3 4 4 Ta có: a  ab  a b  b 2a  2b  a  ab  b  a b 0 3 a  b3  a  b  0   a  b   a  a  b   b  b  a  0   a  b3   a  b   a  b  Bài 27: Cho a, b > 0, CMR : HD: 3 2 Ta có: 2a  2b a  ab  a b  b   a  ab  b  0 3  a  a b  b  ab 0 2  a  a  b   b  b  a  0   a  b   a  b  0 Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:  a  b   a  b  GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90 HD: 3 2 Ta có: 4a  4b a  3a b  3ab  b 3  3a  3a b  3b  3ab 0 2 2  3a  a  b   3b  b  a  0   a  b   a  b  0   a  b   a  b  0 a  b3  abc ab  a  b  c  Bài 29: Cho a, b, c > 0, CMR: HD: 3 2 Ta có: a  b  abc a b  ab  abc 2 3  a  a b  b  ab 0  a  a  b   b  b  a  0   a  b  2 a  b  ab  a  b   Bài 30: CMR: HD: a  2a 2b  b ab  a  2ab  b  a 3b  2a 2b  ab3 Ta có: 4 3   a  a b    b  ab  0  a  a  b   b  b  a  0 a   Bài 31: CMR: HD:  b3   a  b  0   a  b  a 2  a  b  0  ab  b  0 a  b  c a  b  c  2 2 2 Ta có: a  b  c  ab  ac 0  4a  4b  4c  4ab  4ac 0 2 2 2 2   a  4ab  4b    a  4ac  4c   2a 0   a  2b    a  2c   2a 0 Bài 32: CMR: HD: a  b  c  d a  b  c  d  2 2 2 2 Ta có: a  b  c  d  ab  ac  ad 0  4a  4b  4c  4d  4ab  4ac  4ad 0 2 2 2   a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d   a 0 2 2 2   a  2b    a  2c    a  2d   a 0 a  b  c   a  b  c  Bài 33: CMR: HD: 1  1  1   a  a    b2  b    c  c   34 0   a  a     b2  b     c  c   0 Ta có: 1  1  1   a     b     c   0 2  2  2   4 Bài 34: CMR: a  b  4ab HD: 4 4 2 2 Ta có: a  b  4ab  0  a  b  2a b  2a b  4ab  0   a 2  b    a 2b  2ab  1 0   a  b    ab  1 0 Bài 35: CMR: x  x   HD: x Ta có: 2  x     x  x  1    x     x  1  Không xảy dấu x4  x   Bài 36: CMR: GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90 HD: 2 1  1 1   1   x  x     x  x   0  x     x   0 4  4 2  2   Ta có:  Bài 37: CMR: x  x   x ( x  0) HD: x  x  x    x    x  x    x   x  x  x     Ta có: , Vì x > GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90  x  1  x    x  3  x    Bài 39: CMR: HD:  x  1  x    x    x  3  0   x  x    x  x    0  t  1  t  1  0  t 0 , Dấu t = Đặt x  x  t , Khi ta có: Bài 40: CMR: x  x  x  x   HD: x  x  1   x  1  x    x  1  x  1  x  Ta có : x  x  x 1  x2     ( ĐPCM) 2 Bài 41: CMR : a  4b  4c 4ab  8bc  4ac HD: 2 2 a   2b    2c   2.a.2b  2.2b.2c  2.a.2c 0 Ta có: a  4b  4c  4ab  8bc  4ac 0    a  b  c  0   3 a  b3  c3  a  b    b  c    c  a  Bài 42: CMR : với a, b, c >0 HD: 3 3 3 2 2 2 Ta có: 8a  8b  8c 2a  2b  2c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac   3 2 2 2  6a  6b  6c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac 0 3 3 3   3a  3a b    3a  3a c    3b  3b a    3b  3b c    3c  3bc    3c  3ac  0 2 2 2  3a  a  b   3a  a  c   3b  b  a   3b  b  c   3c  c  b   3c  c  a  0 2 2 2   a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c  0 2   a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c  0  a  b  c  a3  b3  c3  24abc với a,b,c>0 Bài 43: CMR: HD: a  b3  c   a  b   b  c   c  a  a  b3  c  24abc Ta có:   a  b   b  c   c  a  24abc  a  b 2 ab  b  c 2 bc  c  a 2 ca Vì  , Nhân theo vế ta ĐPCM  x y x2 y   3    x  y x Bài 44: CMR: Với x, y # ta có: y HD: x  y  x y 3xy  x  y    x  y   xy  x  y   x y  xy  x  y  0 Ta có: 2 2 2 2 2   x  y   x  y  xy   xy  xy  x  y  0   x  y  xy   x  y  xy  0 x  y   x2    xy  y  0 Bài 45: CMR : Nếu a  b 1 , HD: a  b3  GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90 1 1  a  b 3a  3a  3  a     3 2 4  Ta có: b 1  a  b 1  3a  3a  a  3 GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90 2 Bài 46: Cho a, b, c > 0, CMR : ab  bc  ca a  b  c HD: 2 2 2 a  b    b  c    c  a  0  a  b  c  ab  bc  ca    Ta có: a2  a 1 0 Bài 47: CMR : a  a  HD: 1 1   a  a   a  a     0, a a  a   a  a     0, a 4 4   Ta có: 4a  a  b   a  1  a  b  1  b 0 Bài 48: CMR : HD: 2 4a  a  b  1  a  1  a  b   b 0   a  ab  a   a  ab  a  b   b 0 Ta có: a  ab  a  x x  x  y   y 0  x  xy  y 0   x  y  0 Đặt b  y Khi đó:  , 2a  a  1 x  y  2a  2ab  2a  b  b  2a  Dấu x y Bài 49: CMR : HD:  x  y  2 2 xy  x  y  2  x  y x  y  xy   x  y  0 x y     x  y2  2 xy  x  y  xy 4 xy   x  y  0 Ta có:  1   Bài 50: CMR : a b a  b , Với a,b > HD:  a  b  2 a  b   a  b  4ab   a  b  0 Ta có: ab a  b ab  a  b  Bài 51: CMR : HD: 4 3 a  a  b   b3  a  b  0   a  b  a  b  a b  ab    Ta có: a  b4  a  b      Bài 52: CMR : a  ab  b  0 HD: 4 4 2 2 3 Ta có: 8a  8b a  b  4a b  2a b  4a b  4ab 4 2 2 3  7a  7b  4a b  2a b  4a b  4ab 0 4 2 4 2 2   a  b  2a b    6a  6b   4ab  a  b   8a b 0   a   a 2  b   4ab  a  b   4a 2b   a  b   12a 2b 0  b  2ab    a  b  2a 2b  0   a  b    a  b  0 Bài 53: Cho a + b + c = 0, CMR : ab  bc  ca 0 HD: 10 GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90 2 Bài 90: Chứng minh BĐT sau: x  y  xy  x  y  HD: x  y  xy  x  y   x  y  xy 2  x  y  1 Ta có: 2 2  x  y  xy 2 x  y   x  xy  y  x  x   y  y  0         3 5 2 Bài 91: Cho a, b số dương thỏa mãn: a  b a  b , Chứng minh rằng: a  b 1  ab HD: a2  b 1  ab  a2  b  ab 1   a  b  a2  b  ab a  b Ta có:  a3  b a  b  a3  b3 a3  b  a  b  a  b  2a 3b ab  a 5b   ab a  2a 2b      b  0  ab  a  b  2    0, a, b    0;1 Bài 92: Cho số a, b, c   , chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca 1 HD:   0;1 Do a, b,c   , nên:   a    b    c  0   a  b  c  ab  bc  ca  abc 0  a  b  c  ab  bc  ca 1  abc 1 a, b, c   0;1  b b,c3 c Do , từ ta có: a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  ab  bc  ca 1 20 GV: Nguyễn Văn Tuấn _ 038 87654 90