CĐ 5 bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC A LÝ THUYẾT Định nghĩa: - Các mệnh đề “ A > B ” “ A < B ” gọi bất đẳng thức (BĐT) - Các mệnh đề: “ A  B ” “ A  B “ gọi bất đẳng thức suy rộng Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương: - Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi thành C > D ta nói BĐT C > D BĐT hệ BĐT A > B kí hiệu A > B => C > D - Nếu BĐT A>B hệ BĐT C>D C>D BĐT hệ BĐT A>B ta nói hai BĐT tương đương với nhau, Kí hiệu A>B C>D Tính chất: - A  B  A  C  B  C ( Cộng hai vế BĐT với số)  A  B  AC  B.C, C  0   B.C, C  0  A  B  AC -  (Nhân hai vế BĐT với số) A  B , C  D  A  C  B  D ( Cộng hai BĐT chiều) - A  B,C  D  AC  BD, A,C  0 2n1 - A  B  A thừa) - 2n1 B A  B  A  B, A  0 a  b  a b  a  b (Nhân hai BĐT chiều) A  B 2n 2n Với A > 0, (Nâng hai vế BĐT lên lũy (Khai hai vế BĐT) (Tính chất giá trị tuyệt đối) B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT A  2 Bài 1: CMR : với x,y,z x  y  z  xy  yz  zx HD: 2 2 x  y  z  xy  yz  zx    x  y    y  z    z  x   Xét hiệu ta có: Dấu xảy x = y = z 2 Bài 2: CMR : với x,y,z x  y  z  xy  yz  zx  HD:  x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z   Xét hiệu ta có: Dấu xảy x+z=y x2  y2  z    x  y  z  Bài 3: CMR : với x,y,z HD: 2  x  1   y  1   z  1  , Dấu x=y=z=1 Xét hiệu ta có: a2  b2  a  b      Bài 4: CMR : với a,b ta có : HD : a  b a  2ab  b  0 2a  2b   a  2ab  b   Xét hiệu ta có :  a  2ab  b    a  b   , Dấu a=- b 2 2 a b c  abc    3   Bài 5: CMR : với a,b,c ta có : HD: a  b  c a  b  c  2ab  2bc  2ac  Ta có:  3a  3b2  3c   a  b  c  2ab  2bc  2ac    2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac  2   a  b    b  c    c  a   , Dấu a=b=c  a  b  c a  b2  c  Bài 6: CMR : HD: 2 2 2 Ta có: 3a  3b  3c  a  b  c  2ab  2bc  2ca  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac  2   a  b    b  c    c  a   , Dấu a=b=c  a  b   2ab a  b2  Bài 7: CMR : HD: a  b  2 a b   2a  2b  a  2ab  b 2 Ta chứng minh:  a  b  2ab    a  b   , Dấu a=b  a  b   2ab  a  2ab  b2  4ab   a  b   Ta chứng minh , Dấu a=b b2 a   ab Bài 8: Cho a,b,c số thực CMR: HD: 4a  b  4ab   2a  b   Ta có: Dấu b=2a 2 Bài 9: Cho a,b,c số thực CMR : a  b   ab  a  b HD: a  b   ab  a  b   2a  2b   2ab  a  2b  Ta có: 2   a  2ab  b    a  2a  1   b  2b  1    a  b    a  1   b  1  Dấu a=b=1 a2  b2  c2  d  e2  a  b  c  d  e  Bài 10: Cho a,b,c,d số thực CMR : HD: 2 2 Ta có: a  b  c  d  e  ab  ac  ad  ae   4a  4b  4c  4d  4e2  4ab  4ac  4ad  4ae  2 2 2 2   a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d    a  4ae  4e     a  2b    a  2c    a  2d    a  2e   Dấu xảy a=2b=2c=2d=2e 2 2    1  1   Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR:  a  b  HD: b  a  a  b  a  b   a b  1  1   2  2      1 a  b   a  b b a Ta có: VT  a b a b        2.2    a  b  a  b  b a Dấu b a  x y x, y  0, CMR :    xy   Bài 12: Cho HD: x  y  xy  xy  x  xy  y    x  y   Ta có: , Dấu x=y 3 2 Bài 13: Cho a > 0, b > CMR: a  b  a b  ab HD: a  a 2b    b3  ab    a  a  b   b  a  b    Ta có: a  b   a  b     a  b   a  b     Dấu a=b 1   2 Bài 14: Cho a  b  1, CMR:  a  b  ab HD:   1         2  a  ab  b  ab     Xét hiệu:  a  b  a b  a  b    a    ab    b    ab  2  b  a   ab  1 2    ab   a  1  b  a  0 0 , Dấu a=b a.b=1 x2  y  z2  t  x  y  z  t  Bài 15: CMR : với số thực x,y,z,t ta ln có : HD: 2 2 2 2 Ta có: x  y  z  t  xy  xz  xt   x  y  z  4t  xy  xz  xt  2 2 2   x  xy  y    x  xz  z    x  xt  4t   x  Dấu x= 2y=2z=2t=0 a2  b  c  ab  ac  2bc Bài 17: CMR : HD: 2  a  4a  b  c    b  c  2bc   a  b  c  ab  ac  bc  Ta có:  a  4a  b  c    b  c     a  2a  2c   2 Bài 19: CMR : x  y  z  xy  zx  yz HD: 2 2  x  x  y  z   y  yz  z  Ta có: x  y  z  xy  yz  zx  2 x  x  y  z    y  z     x  y  z   x  y  z   x  xy  x  z  1 Bài 20: CMR : HD: 4 2 Ta có: x  y  z   x y  x  xz  x  x  y  x y    x  xz  z    x  x  1  x  y    x  z    x  1  2 , Dấu x=z=1, y= 1 Bài 21: CMR : a  b  c  ab  bc  ca HD: 2 2 2 Ta có : a  b  c  ab  bc  ca   2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca  2   a  b    b  c    c  a   2 2 Bài 22: CMR : a  b  ab HD: b b 3b b  3b   a  2a      a    0 2 4 2  Ta có: a  b  ab  2 Bài 23: CMR : x  xy  y  HD: y y2 y2 y  y2  x  x      x    0 4   Ta có: a  a  b   a  c   a  b  c   b 2c  Bài 24: CMR : HD:  a  a  b  c   a  b   a  c   b 2c  2 2   a  ab  ac   a  ab  ac  bc   b c  a  ab  ac  x  x  x  y   y   x  xy  y  bc  y Đặt  , Khi ta có: a Bài 25: CMR :  b   a  b4    a3  b3  HD: 4 6 3 Ta có: a  a b  a b  b  a  2a b  b 3 3   a b  a b    a b  a b   2  a b  a  b   a b  b  a     a  b   a 3b  a 2b3    a 2b  a  b    a  b   a  b3    a  b  Bài 26: CMR : HD: 3 4 4 Ta có: a  ab  a b  b  2a  2b  a  ab  b  a b  3 a  b3   a  b     a  b   a  a  b   b  b  a      a  b3    a  b   a  b  Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : HD: 3 2 Ta có: 2a  2b  a  ab  a b  b a  ab  b   3  a  a b  b  ab  2  a  a  b   b  b  a     a  b   a  b   Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:  a  b3    a  b  HD: 3 2 Ta có: 4a  4b  a  3a b  3ab  b 3  3a  3a b  3b  3ab  2 2  3a  a  b   3b  b  a     a  b   a  b     a  b   a  b  a  b3  abc  ab  a  b  c  Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: HD: 3 2 Ta có: a  b  abc  a b  ab  abc 2 3  a  a b  b  ab   a  a  b   b  b  a     a  b  a Bài 30: CMR: HD: Ta có: b  2  ab  a  b   a  b  a  2a 2b  b  ab  a  2ab  b   a 3b  2a 2b  ab 4 3   a  a b    b  ab    a  a  b   b  b  a   a  b3  a  b     a  b  a  ab  b   a  b2  c  a  b  c  Bài 31: CMR: HD: 2 2 2 Ta có: a  b  c  ab  ac   4a  4b  4c  4ab  4ac      2 2 2 2   a  4ab  4b    a  4ac  4c   2a    a  2b    a  2c   2a  a  b2  c  d  a  b  c  d  Bài 32: CMR: HD: 2 2 Ta có: a  b  c  d  ab  ac  ad   4a  4b2  4c  4d  4ab  4ac  4ad  2 2 2   a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d   a    a  2b    a  2c    a  2d   a  a  b2  c    a  b  c  Bài 33: CMR: HD:  a  a    b2  b    c  c   34   Ta có: 1  1  1   a  a   b  b   c  c   4  4  4  2 2 2 1  1  1   a    b    c    2  2  2   4 Bài 34: CMR: a  b   4ab HD: 4 4 2 2 Ta có: a  b  4ab    a  b  2a b  2a b  4ab        a  b  a 2b  2ab   a2  b2   Bài 35: CMR: x  x   HD: x Ta có:  x     x  x  1   x    ab  1      x  1  2 Không xảy dấu x4  x   Bài 36: CMR: HD: 2 1  1 1   1   x  x   x  x    x    x    4  4 2  2   Ta có:  Bài 37: CMR: x  x   x ( x  0) HD: x  x  x    x    x  x    x   Ta có: x  3x  x    , Vì x >0  x  1  x    x  3  x    1 Bài 39: CMR: HD:  x  1  x    x    x  3     x  x    x  x      t  1  t  1    t  , Dấu t=0 Đặt x  x   t , Khi ta có: Bài 40: CMR: x  x  x  x   HD: x  x  1   x  1  x    x  1  x  1  x  Ta có : x  1 x  x   x    ( ĐPCM) 2 Bài 41: CMR : a  4b  4c  4ab  8bc  4ac HD: 2 Ta có: a  4b  4c  4ab  8bc  4ac     a   2b    2c   2.a.2b  2.2b.2c  2.a.2c  2   a  b  c   3  a  b3  c    a  b    b  c    c  a  Bài 42: CMR : với a, b, c >0 HD: 3 3 3 2 2 2 Ta có: 8a  8b  8c  2a  2b  2c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac 3 2 2 2  6a  6b  6c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac    3a  3a 2b    3a  3a c    3b3  3b a    3b3  3b 2c    3c  3bc    3c  3ac   2 2 2  3a  a  b   3a  a  c   3b  b  a   3b  b  c   3c  c  b   3c  c  a   2 2 2   a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c     a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c   a  b  c   a  b3  c  24abc  Bài 43: CMR: với a,b,c>0 HD: a  b3  c   a  b   b  c   c  a   a  b3  c  24abc Ta có:   a  b   b  c   c  a   24abc 2  a  b  ab  b  c  bc  c  a  ca Vì  , Nhân theo vế ta ĐPCM  x y x2 y    3   x  y x Bài 44: CMR: Với x, y # ta có: y HD: x Ta có: y  2 x  y  x y  xy  x  y    xy  x  y   x y  xy  x  y   2 2 2   x  y   x  y  xy   xy  xy  x  y     x  y  xy   x  y  xy     x  y x  xy  y   Bài 45: CMR : Nếu a  b  , HD: a  b3  1 1  a  b3  3a  3a    a     3 2 4  Ta có: b   a  b   3a  3a  a  2 Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab  bc  ca  a  b  c HD: 2 2 2  a  b   b  c   c  a   Ta có: a  b  c  ab  bc  ca   a2  a  0 Bài 47: CMR : a  a  HD: 1 1   a  a    a  a    0, a a  a    a  a    0, a 4 4   Ta có: 4a  a  b   a  1  a  b  1  b  Bài 48: CMR : HD: 2 4a  a  b  1  a  1  a  b   b    a  ab  a   a  ab  a  b   b  Ta có: a  ab  a  x x  x  y   y   x  xy  y   Đặt b  y Khi đó:   2x  y   , 2a  a  1 x   y  2a  2ab  2a  b  b   2a  Dấu  x  y   xy x2  y  Bài 49: CMR : HD:  x  y  2  x  y  x  y  xy   x  y   x  y    x  y 2   xy  x  y  xy  xy   x  y   Ta có:  1   Bài 50: CMR : a b a  b , Với a,b > HD:  a  b  2 a  b   4ab   a  b    ab a  b  Ta có: Bài 51: CMR : HD: a  b  ab  a  b  4 3 a  a  b   b3  a  b     a  b  Ta có: a  b  a b  ab   a  b4  a  b      Bài 52: CMR : HD: a  ab  b   Dạng : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : a  b  2 a b  Bài 1: Cho a+b > 1, CMR : HD:  x  y a  b4   xy x y  2 y x a  b  2ab  1 a  b    a  b     2 a  b  2ab  Ta có:  4 2 1  a  b  2a b  2  2a  2b   a  b     a4  b4   a  b  2a 2b   => , Vậy a  b2  Bài 2: Cho a+b = 1, CMR : HD: a  2ab  b  1  2a  2b   a  b   a  b     2 a  2ab  b  Ta có: 2 Bài 3: Cho a+b > 2, CMR : a  b  HD: a  2ab  b2  a  b    2a  2b   a  b     2 a  2ab  b  Ta có: 2 Bài 4: Cho a  b  , CMR: a  b  HD: a  b   2 a  b  2ab  2ab  a  b  Ta có:  a  b  2ab    a  b    a  b  Cộng theo vế ta được: a  b  c   ab  bc  ca  Bài 5: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD: Ta có: Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:  a  ab  ac a  b  c   2 b  a  c  b  ab  bc  a  b  c   ab  bc  ac  c  a  b   c  ac  bc Bài 6: Cho a,b hai số thực có tổng 1, CMR: HD: Ta có: a  b   b   a  b3    a  3 1 1     a  a     a     4 2 4   a3  b3  3 3 => a  b  a   3a  3a  a  3a  3a  1 1  3   3 Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc HD: 2 a  b3   a  b  a  ab  b   a  b  ab Ta có: , Do a  ab  b  ab b3  abc   a  b  ab  abc  ab  a  b  c  Khi Chứng minh tương tự ta có: b3  c  abc  bc  a  b  c  c  a  abc  ac  a  b  c  1 abc  1  VT       a  b  c  ab bc ca  a  b  c abc abc Khi ta có:   a b c    Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR : b  c c  a a  b HD: x  a  b  1 1 y  b  c  x  y  z      z  c  a x y z Từ , Đặt  1   2 a  b  c      ab bc ca => a bc a bc a bc c a b       3 bc ca => a  b b  c c  a 2 a  b a b    Bài 11: Cho a,b > 0, CMR : b  a  a  b HD:  a   b     1        Ta có:  b    a    a  b  1     a  b  1        2  a  b a 1 b 1  a  b  c   a  b  c Bài 15: CMR : HD: 1  1  1   a  a   b  b   c  c   4  4  4 Ta có:  1   9 Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng 1, CMR : a b c HD: 1  a  b  c     a  b  c       a b c Vì x4 y x2 y x y      2 x y x y x Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR : y HD:  x2 y2  x y x4 y          2 4 y x  y x y x Ta có: , Tương tự  Cộng theo vế ta có: VT     Bài 19: Cho a,b số dương thỏa mãn: a+b < ab, CMR : a+b > HD: ab   a  b   4ab  ab a  b Do Ta có: a  b ab a  b  ab       a  b  ab ab a b 2 Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: a  b  c  , CMR: ab  bc  ca  a  b  c  HD: a  b  2ab  2 2 b  c  2bc   a  b  c    ab  bc  ca   2.3   ab  bc  ca  c  a  2ac Ta có:  => ab  bc  ca  (1)  a   2a  b   2b     a  b  c   a  b  c  c   2c Mặt khác:  (2) Cộng (1) (2) theo vế ta ĐPCM x2 y2   4 , với x,y số thực Bài 22: CMR:  16 x  16 y HD: Ta có:  16 x  16 x  2.4 x  x  x2   16 x y y  2 8y Tương tự:  16 y Cộng theo vế ta : (1) VT  (2) a  b a2  b2  2 Bài 24: CMR: với a,b > a > b > a  b a  b HD: a  b  a  b   a  b  a  b2   2 ab a  b   a  b  , Mà a  2ab  b  a  b Ta có: a  b2 VT  2 a b Khi Bài 25: Cho số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR : a  b  abc HD: 2 a  b   4ab   a  b   c    a  b  c  16   a  b  c  Ta có:      a  b  c   a  b    a  b  c   a  b   ab c  4abc => a  b  abc 3 2 Bài 26: Cho số x,y > thỏa mãn: x  y  x  y , CMR : x  y  HD: Ta có: x3  y   x  y   x  y    x  y   x  y   x  y 3 2 2  x3  xy  x y  y  x  y  y  x y  xy   y  y  x  xy   a  b2  Bài 27: Cho a+b = 1, CMR: HD: a  2ab  b  1 2 2  a  b   a  b   a  b     2 a  2ab  b  Ta có: a  b4  Bài 28: Cho a+b=1, CMR: HD: 2 a  2ab  b  2 2  a  b   a  b   2 a  2ab  b  Ta có:   4 2 1  a  b  2a b   2a  2b   a  b    a  b  2a b  Mặt khác:  2 abc    a  b  c  ab  bc  ca   Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn: a  b  c  1, CMR: HD: a  b  c   a , b , c   1  x, y , z  Vì Khi đó:  a  1  b  1  c  1   abc  ab  bc  ca  a  b  c    a  b  c  1   a  b  c    a  b  c    Mà  a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c     ab  bc  ca  a  b  c   (2) 2 Cộng (1) (2) theo vế ta được: abc   ab  bc  ca  a  b  c  1  (1) Dạng 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: a b c   2 Bài 1: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: b  c c  a a  b HD : a a 2a    bc abc Ta có : b  c b b 2b c 2c    ,  c  a a  b  c a  b a  b  c , cộng theo vế Tương tự ta có: c  a 2(a  b  c) VT  2 abc a b c 1   2 ab bc ca Bài 2: Cho a,b,c > 0, CMR: HD : a a ac b b ba     Ta có : a  b  c a  b a  b  c a  b  c b  c a  b  c c c cb   abc ca abc Cộng theo vế ta : a b c ab bc ca   M    a bc a bc a bc a b c a b c a b c 2 a  b  c abc M    M  abc abc a b c d 1    2 a bc bc d c d a d a b Bài 3: Cho a,b,c,d > 0, CMR: HD : a a ad b b ab     Ta có : a  b  c  d a  b  c a  b  c  d a  b  c  d b  c  d a  b  c  d c c cb d d d c     a  b  c  d c  d  a a  b  c  d a  b  c  d d  a  b a  b  c  d Cộng theo vế ta có : 2 a  b  c  d  abcd M    M  abcd abcd ab bc cd d a 2    3 a bc bc d c d a d a b Bài 4: Cho a,b,c,d > 0, CMR: HD : ab ab abd   Ta có : a  b  c  d a  b  c a  b  c  d Chứng minh tương tự : bc bc bca cd cd cd b     a bc d bc d a bc  d , a bc d c  d  a a b c  d d a d a d ac   Và a  b  c  d d  a  b a  b  c  d Cộng theo vế ta có : 2 a  b  c  d  3 a  b  c  d  M  abcd abcd a b c 1   2 bc c a a b Bài 5: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : a a aa b b bb     Ta có : a  b  c b  c a  b  c a  b  c c  a a  b  c c c cc   abc ab abc 2 a  b  c abc M  a bc Cộng theo vế ta : a  b  c a b c    Bài 6: CMR a,b,c > b  c c  a a  b HD : b  c  x  1 1 c  a  y  x  y  z   a  b  c   x  y  z      a  b  z x y z Áp dung BĐT : , Đặt  Khi ta có : 1  a bc a b c a bc  2 a  b  c          ab bc ca  ab bc ca  => ĐPCM a b c   3 Bài 7: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: b  c  a a  c  b a  b  c HD : b  c  a  x  x  y  2c   a  c  b  y   y  z  2a yz xz x y 2A    a  b  c  z  z  a  2b x y z   Đặt : , Khi :  x y  z x  z y            A   y x x z  y z Bài 8: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, 1 1 1      CMR: a  b  c b  c  a c  a  b a b c HD : 1    Áp dụng BĐT Schawzr : a  b  c b  c  a 2b b Tương tự ta có : 1 1     b  c  a c  a  b c c  a  b a  b  c a , Cộng theo vế ta : ĐPCM Bài 9: CMR với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác thì: 1  1 1    2    p a p b p c a b c HD : 1 4    Ta có : p  a p  b p  a  b c 1 1     Tương tự ta có : p  b p  c a p  c p  a b Cộng theo vế ta điều phải chứng minh Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a,b,c chu vi 2p, CMR: abc   p  a  p  b  p  c HD :  p  a    p  b    p  a   p  b   c   p  a   p  b  Ta có : a   p  b  p  c b   p  a  p  c Chứng minh tương tự ta có : abc   p  a   p  b   p  c  Nhân theo vế ta : Bài 11: CMR: Nếu a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác thì: ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  HD : 2 Ta chứng minh : a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a   2 Chuyển vế ta : a  b  c   ab  bc  ca  Ta chứng minh :  a  ab  ac a  b  c   b  a  c  b  bc  ba c  a  b  2 2  c  ac  bc , Cộng theo vế ta : a  b  c   ab  bc  ca  Ta có : abc   a  b  c   b  c  a   c  a  b  Bài 12: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD :  a  b  c    b  c  a    a  b  c   b  c  a   2b   a  b  c   b  c  a  Ta có : 2c   b  c  a   c  a  b  2a   a  b  c   c  a  b  Tương tự ta có : Nhân theo vế ta ĐPCM a  b  c  a 2b  b c  c a Bài 13: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : Ta có : 4 a  b  c  2a 2b  2b 2c  2c a   a  b  c  2a 2b  2b 2c  2c a  4a 2b     a   b  c    2ab     a  b  c  2ab   a  b  c  2ab   2   a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c   (Luôn ) b c a a b c      Bài 14: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác, CMR: a b c b c a với a  b  c HD : 2 2 2 Nhân vế với a,b,c ta có : b c  c a  a b  a c  ab  bc  c  b  a   a  c  b   b  a  c     c  a   b  c   b  a   Đúng 4a 2b2   a  b  c  Bài 15: CMR với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác thì: HD : 4a 2b  a  b  c   2ab  a  b  c 2ab  a  b  c  Xét hiệu :   a  b  c   a  b  c   c  a  b   c  a  b   Bài 16: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR:   a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b3  c HD : 2    a  b  c   a  a  b  c   a   a  b  c  a   b  c  a     Ta xét : Chứng minh tương tự ta có : Tổng số âm số âm a  b  c  1, CMR : a  b  c  Bài 17: Cho HD :   2 a  x   a  x  x      2 b  y   b  y  y  3     2 c  z   c  z  z    2 Đặt Cộng theo vế ta : a  b2  c2   x2  y  z    x  y  z   3 (1) a  b  c  x  y  z   x  y  z  Mà : , Thay vào (1) 1 a  b2  c2  x2  y  z   3 => a  b  c   ab  bc  ca  Bài 18: Cho a,b,c dộ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD :  a  ab  ac a  b  c   b  c  a  b  ab  bc c  a  b c  ac  bc   Ta có : , Cộng theo vế ta ĐPCM 1 , , Bài 19: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a  b b  c c  a , độ dài cạnh tam giác HD : Ta cần chứng minh : 1 1 2       a  b b  c a  b  c a  b  c a  b  c  a  c   a  c a  c 1 1 1     Tương tự ta có : b  c c  a a  b c  a a  b b  c Bài 20: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2, so sánh a,b,c với 1, 2 CMR: a  b  c  2abc  HD : Giải sử : a  b  c  a  b  c  2a  a  b  c   a   b, c  Khi : lại có :   a    b    c    ab  bc  ca   abc  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c    abc  2 2 2   a  b  c   2abc  a  b  c  2abc  Bài 21: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, abc   a  b  c   b  c  a   c  a  b  CMR: HD :  a  b  c    b  c  a    a  b  c   b  c  a   2b   a  b  c   b  c  a  Ta có : 2c   b  c  a   c  a  b  2a   a  b  c   c  a  b  Tương tự ta có : Nhân theo vế ta ĐPCM Bài 22: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR : ab  bc  ca  a  b2  c   ab  bc  ca  HD : 2 Ta chứng minh : a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a   Chuyển vế ta : a  b  c   ab  bc  ca  Ta chứng minh : Ta có :  a  ab  ac a  b  c   b  a  c  b  bc  ba c  a  b  2 2  c  ac  bc , Cộng theo vế ta : a  b  c   ab  bc  ca  2 Bài 23: Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi 2,CMR: a  b  c  2abc  HD : Giải sử : a  b  c  a  b  c  2a  a  b  c   a   b, c  Khi :   a    b    c    ab  bc  ca   abc  a  b  c Lại có :  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c    abc  2 2 2   a  b  c   2abc  a  b  c  2abc  3a  b 3b  c 3c  a   4 Bài 24: Cho a,b,c ba cạnh tam giác: CMR: 2a  c 2b  a 2c  b HD :  3a  b   3b  c   3c  a  VT           a  c b  a c  b       Ta có : a bc bca c a b    1 2a  c 2b  a 2c  b , Lại có :  a  b  c  b  c  a  c  a  b   1 a  c a  b  c b  a b  c  a c  b c  a  b               a  b  c 1 a  c a  b  c  b  a b  c  a  c  b c  a  b              2 Bài 25: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác: a 2016 b 2016 c 2016    a 2015  b 2015  c 2015 CMR : b  c  a c  a  b a  b  c HD :   a  b   a  c    a 2016  a    a 2015   a 2015   1  a 2015    bca bca bca     Xét hiệu ta có :  Tương tự ta có :   b  a   b  c    c  a   c  b  b 2015  c 2015    c  a b abc     Khi  a 2015  b 2015  a 2015 b 2015  c 2015  c 2015  VT   a  b     b  c   a  c            b c a c  a b   c  a b a b c  bc a a b c  Giả sử : a  b  c  Ngoặc 2,  Ta có ngoặc 1= c a a 2015 b 2015    b  c  a  c  a  b ĐPCM Bài 26: Cho a  b  c  1, CMR : a  b  c  2015  b 2015    a  b   a 2015  b 2015   b  c  a   c  a  b 0 , HD :   2 a  x  a  x  x      2 b  y   b  y  y  3     2 c  z   c  z  z  Đặt Cộng theo vế ta : a  b2  c2   x2  y  z    x  y  z   3 (1) a  b  c  x  y  z   x  y  z  Mà : , Thay vào (1)=> 1 a  b2  c2  x2  y  z   3 a b c   3 Bài 27: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: b  c  a a  c  b a  b  c HD : b  c  a  x  x  y  2c   a  c  b  y   y  z  2a yz xz x y 2A    a  b  c  z  z  a  2b x y z   Đặt : , Khi :  x y  z x  z y            A   y x x z  y z Bài 28: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích chu vi HD: Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) 2 xy  2 x  y  z Ta có: (1) x  y  z (2)  z2   x  y  2xy Từ (2) , thay vào (1) ta có: z   x  y  4 x  y  z  z2  4z   x  y  4 x  y 2 z2  4z    x  y  4 x  y    z  2   x  y  2 2  z   x  y   z  x  y  , thay vào (1) ta : xy  2 x  y  x  y  4  xy  4x  4y  8   x  4  y  4   1.8  2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z :  5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10 ... b3   a  b5  Bài 68: CMR : HD: 8 5  a8  a5b3    b8  a3b5   Ta có: 2a  2b  a  a b  a b  b  3 3 5 3  a  a  b   b  a  b     a  b   a  b   , 3 5 Giả sử a >...  a   c  b  b 20 15  c 20 15    c  a b abc     Khi  a 20 15  b 20 15  a 20 15 b 20 15  c 20 15  c 20 15  VT   a  b     b  c   a  c            b c a c ... 2,  Ta có ngoặc 1= c a a 20 15 b 20 15    b  c  a  c  a  b ĐPCM Bài 26: Cho a  b  c  1, CMR : a  b  c  20 15  b 20 15    a  b   a 20 15  b 20 15   b  c  a   c  a  b