1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

CHUYÊN đề 14 GIÁ TRỊ MIN MAX và bất ĐẲNG THỨC (55 trang)

55 2 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 55
Dung lượng 1,45 MB

Nội dung

1 CHUYÊN ĐỀ.GIÁ TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT   Với n   A ta có: A2 n  , A2 n  A  Với A ta có: A  , A  A   1  A B An   A  (với n số tự nhiên)  A  B (với A, B dấu) II CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Với n   , A biểu thức chứa x; y; m số tùy ý, dạng ta đưa hai loại tốn sau: Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2n  m với k  Hướng giải: Với k  A ta có A2n   k A2n   k A2n  m  m Do GTNN k A2n  m m A  Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A   x  5  Lời giải 4 Với x ta có  x  5    x  5   ,  x  5  x   hay x   Vậy GTNN biểu thức A   x  5  x   Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A   x  1  2019 b) B  2021 x   2020  2022 Lời giải a) Vì  x  1  x nên  x  1  2019  2019 2 Dấu xảy  x  1   x  Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 2019 x  b) Vì 2021 x  2 2021 x   2020 2020  x  2021 x  2 2020  2022  2022 Dấu xảy   x  2 Vậy giá trị nhỏ B 2022 x  2 Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức C   x  y  2020   y  3  25 30 Lời giải Với x; y ta có  x  y  2020  ,  x  y  2020  x  y  hay x  y Với y ta có  y  3    y  3  ,  y  3  y   hay y  30 Do với x; y ta có:  x  y  30 2020 30   y  3    x  y  30 2020   y  3  25  25 hay 30 B  25 Ta có B  25 xảy đồng thời x  y y  hay x  y  Vậy GTNN biểu thức C   x  y  2020   y  3  25 25 x  y  30 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   x  1   y  1  10 B   x     y  1  100, n  2n 4n Lời giải   x  1  x + Ta có:   A   x  1   y  1  10  10   y  1  y  x   x  1  Dấu xảy    y     y  1  x  Vậy giá trị nhỏ A  10  y 1 2n  2n 4n  x    x + Ta có:    x     y  1  100  100 4n  4  y  1  y 2n  x   x    Dấu xảy    4n y   y       x  Vậy giá trị nhỏ B  100  y 1 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A  x  x  1  x  30 Phân tích: Với tốn mà biểu thức chưa có dạng A  a.M  b Ta đặt thừa số chung để đưa dạng A  a.M  b Lời giải Ta có: A  x  x  1   x  1  29   x  1 x  1  29   x  1  29 + Vì  x  1  x nên  x  1  29  29 2 Dấu xảy  x  1   x  1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 29 x  1 Loại 2: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2n  m với k  Hướng giải: Với k  A ta có A2n   k A2n   k A2n  m  m Do GTLN k A2n  m m A  Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức sau a) C    x  5  102019 b) D  2  x  10  2020  2100 Lời giải a) Vì   x  5  x nên   x  5  102019  102019 2 Dấu xảy   x  5   x  Vậy giá trị lớn biểu thức C 102019 x  b) Vì 2  x  10 2020  x  2  x  10  Dấu xảy 2  x  10  2020 2020  2100  2100   x  10 Vậy giá trị lớn D 2100 x  10 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B  2  x  1   y    Lời giải 6 Ta có: B  2  x  1   y     3  2  x  1   y      Với x ta có  x  1    x  1  ,  x  1  x   hay x  4 Với y ta có  y    ,  y    y   hay y  2 6 Do với x; y ta có: 6  x  1   y      2  x  1   y       2  x  1   y      3 hay     B  3 Vậy GTLN biểu thức B  2  x  1   y    3 x  y  2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức C    x    100  y  10   2025 2 Lời giải  2   x    x + Ta có:   C    x    100  y  10   2025  2025  100  y  10   y  x    x    Dấu xảy    y  10   100 y  10      x  Vậy giá trị lớn C  2025   y  10 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức B   x  x    x  100 Lời giải Ta có: B   x  x  2   x     100   x    x    104    x    104 + Vì   x    x nên   x    104  104 2 Dấu xảy   x     x  2 Vậy giá trị lớn biểu thức C 104 x  2 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn biểu thức D   x2  x  y  y  50 Lời giải Ta có: D    x  x    x  1  y  y  y   55   x  x  1   x  1  y  y     y    55   x  11  x    y    y   55    x  1   y    55 2  2   x  1  x Vì     x  1   y    55  55    y    y  x    x  1  Dấu xảy    y      y    x  Vậy giá trị lớn D  55  y  Dạng 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức Ở dạng xét tốn: Tìm số nguyên n ( số tự nhiên n ) để phân thức A có GTLN – GTNN a với a; b; c số nguyên biết b.n  c + Nếu a   thì: Loại 1: A  A có GTLN b.n  c số dương nhỏ ứng với n nguyên A có GTNN b.n  c số âm lớn ứng với n nguyên + Nếu a   thì: A có GTLN b.n  c số âm lớn ứng với n nguyên A có GTNN b.n  c số dương nhỏ ứng với n ngun Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để A  15 có GTLN Tìm GTLN 2n  Lời giải Ta có tử 15  nên A  15 có GTLN 2n   có GTNN ứng với n  2n  Xét 2n    2n   n  Do để 2n   có GTNN ứng n  Từ ta suy n  GTLN A  Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để P  n phải số tự nhiên nhỏ thỏa mãn n  15 15  15 2n  2.3  5 (n  3) có giá trị lớn n3 Lời giải Ta có:  khơng đổi P có giá trị lớn n  số nguyên dương nhỏ n3 Ta có: n    n  Do n  N n  số nguyên dương nhỏ suy ra: n  Khi P đạt giá trị lớn Vậy n  Ví dụ 3: Tìm số ngun n để P  có giá trị nhỏ 2n  Lời giải Ta có:  khơng đổi P có giá trị nhỏ 2n  số nguyên âm lớn 2n  5 Ta có: 2n    n  Do n  2n  số nguyên âm lớn suy ra: n  3 Khi P đạt giá trị nhỏ 7 Vậy n  3 Ví dụ 4: Tìm n để phân số P  có giá trị lớn 2n  Lời giải Ta có:  khơng đổi P có giá trị lớn 2n  số nguyên dương nhỏ 2n  Ta có: 2n   n  Do 2n  nhỏ n2   n  nên P đạt giá trị lớn Vậy n  a.n  d với a; b; c; d số nguyên biết b.n  c a.n  d f  Tách A   e b.n  c b.n  c Loại 2: A   Việc tìm n ngun để A có GTLN – GTNN trở thành tốn tìm n ngun để f có GTLN có GTNN (Bài tốn loại 1) b.n  c  A Chú ý ta cách tách biểu thức A theo cách sau: a.n  d b  a.n  d  ban  bd ban  ac  bd  ac a  bn  c   bd  ac a bd  ac       b.n  c b  b.n  c  b  b.n  c  b  b.n  c  b b.n  c  b b b.n  c  Ví dụ 1: Tìm số nguyên n để B  7n  có GTNN Tìm GTNN 2n  Lời giải Ta có: B 7n   7n  5 14n  10 14n   17  2n  1  17 17 17         2n   2n  1  2n  1  2n  1  2n  1 2  2n  1 2  2n  1 Do biểu thức B  7n  đạt GTNN đạt GTLN 2n  2n  Mặt khác, tử  nên đạt GTLN 2n   có GTNN ứng với n  2n  Xét 2n    2n  1  n   Do để 2n   có GTNN ứng với n  n phải số nguyên nhỏ thỏa mãn n Từ ta suy n  GTNN B  Ví dụ 2: Tìm số ngun n để M  7n  7.0   5 2n  2.0  6n  đạt GTLN Tìm GTLN 4n  Lời giải Ta có: M  n  6n    n    6 3       4n   2n  3  2n  3 2  2n  3 2n  Do biểu thức M  6n  3 đạt GTLN đạt GTLN 4n  2n  Mặt khác, tử  nên đạt GTLN 2n   có GTNN ứng với n  2n  Xét 2n    2n   n  Do để 2n   có GTNN ứng với n  Từ ta suy n  GTLN M  Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n để P  n phải số nguyên nhỏ thỏa mãn n  6n  6.2   4n  4.2  5n  có giá trị nhỏ 2n  Lời giải 5 1  5n  (2n  1)   (2n  1)  1  5 Ta có: P      2n  2n  2n  2n  2(2n  1) 1 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn P đạt giá trị nhỏ biểu thức 2(2n  1) 2(2n  1) Do  khơng đổi Phân số có giá trị lớn (2n  1) số nguyên dương nhỏ 2(2n  1) Ta có: 2n    n  Do n  N (2n  1) số nguyên dương nhỏ suy ra: n  Khi P đạt giá trị nhỏ Ngoài hai loại thay n lũy thừa bậc cao n ta tốn mở rộng Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Với A biểu thức chứa x; y; m số tùy ý, dạng ta đưa hai loại toán sau: Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A  m với k  Hướng giải: Với k  A ta có A   k A   k A  m  m Do GTNN k A  m m A  Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A   x  Lời giải Ta có:  x  với x nên A  Vậy A đạt giá trị nhỏ 12 x  Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức A  x   Lời giải Với x ta có x    x    x    5 hay A  5 Vậy GTNN biểu thức A  x   5 x   hay x   Loại 2: Tìm GTLN biểu thức dạng: k A  m với k  Hướng giải: Với k  A ta có A   k A   k A  m  m Do GTLN k A  m m A  Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn B   x   Lời giải Ta có:  x   nên B  Vậy B đạt giá trị lớn x  4 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B   x   x  y Lời giải Với x ta có x    3 x   x   x   hay x  Với x; y ta có x  y   5 x  y  x  y  x  y  hay x  y Suy x; y ta có: 3 x   x  y    x   x  y  hay B  Ta có B  xảy đồng thời x  x  y Thay x  vào x  y ta  y  y  Vậy GTLN biểu thức B   x   x  y x  y  Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức C  x   x  y   25 Lời giải Với x ta có x   , x   x   hay x  1 Với x; y ta có x  y    x  y   , x  y   x  y   hay y  x4 Do với x; y ta có: x   x  y    x   x  y   25  25 hay C  25 Ta có C  25 xảy đồng thời x  1 y  x  Thay x  1 vào y  x  ta y  1   Vậy GTLN biểu thức C  x   x  y   25 25 x  1 y  CÁC DẠNG TỐN TỔNG HỢP Loại 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A   x  1  y   Lời giải 2 Với x ta có  x  1  ,  x  1  x   hay x   Với y ta có y   , y   y   hay y  2 Do đó:  x  1  y   , với x , y Suy A   x  1  y    , với x , y Vậy GTNN biểu thức A   x  1  y   x   y  2 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B  10  x    y  1 Lời giải 6 Ta có : B  10  x    y  1  10  3 x    y  1    Với x ta có x    x   , x   x   hay x  10 Với y ta có  y  1  ,  y  1  y   hay y  1 6 6 Do x    y  1    3 x    y  1    10  3 x    y  1   10 hay B  10     Vậy GTLN biểu thức B  10  x    y  1 10 x  y  1 Loại 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức A   x  2  Lời giải Do tử  nên biểu thức A   x  2 đạt GTLN  x     đạt GTNN 2 4 Với x ta có  x  1    x  1   2 Do GTNN  x     x    hay x  2 2 Vậy GTLN biểu thức A   x  2 4 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức B  x  2 4  x  1 10 2 Lời giải Ta có: B  4  x  1 Biểu thức B  10 2  4  x  1 10 2 Mặt khác, tử  nên  x  1 10 2 đạt GTNN 4  x  1 10 2 đạt GTLN đạt GTLN  x  1   đạt GTNN 10  x  1 10 2 Với x ta có  x  1    x  1   10 10 10 10 Do GTNN  x  1   x  1  hay x   Vậy GTNN biểu thức B  4  x  1 10   2 x   2 2 41 Như tốn đưa tìm số tự nhiên a để 4a – 23 số tự nhiên nhỏ Vậy a  => 5a  17  13 4a  23 Bài Cho phân số M  6n  (n  Z) Tìm n để M có giá trị nhỏ 3n  Lời giải M  2 5 có giá trị nhỏ  có giá trị lớn 3n  3n   3n  số nguyên dương nhỏ  n  Khi M   Bài Tìm số tự nhiên n để phân số B  10n  đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn 4n  10 Lời giải B 10n   2n  5  22 11    4n  10  2n   2n  B đạt GTLN 11 11 đạt GTLN Vì 11  không đổi nên đạt GTLN 2n –  2n  2n  đạt GTNN Suy 2n –   n  Vậy B đạt GTLN  11  13,5 n  Bài Tìm số tự nhiên n để phân số M  6n  đạt giá trị lớn Tìm GTLN 4n  Lời giải M 6n  3  2n  3  6    4n   2n  3 2  2n  3 *)n   M  *)n   M  Khi để M đạt giá trị lớn  2n  3 đạt giá trị dương nhỏ nhất, n  Max M  3  n  2 Bài Cho phân số Tìm n để A có giá trị lớn Lời giải Ta có: A  n 1 n   4   1 n 3 n 3 n 3 42 Với n  4  , Với n  0 n 3 n 3 Để A có giá trị lớn n  nguyên dương có giá trị nhỏ hay n    n  Bài Chứng minh rằng: 1 1 1 1        30 32 35 45 47 50 Lời giải 1 1 1       30 32 35 30 30 30 10 1 1 1       45 47 50 45 45 45 15 1 1 1 1 1            30 32 35 45 47 50 10 15 Bài Chứng tỏ 1 1       41 42 43 79 80 12 Lời giải Ta thấy Vậy 1 đến có 40 phân số 41 80 1 1 1       41 42 43 78 79 80 1  1 1  1               59 60   61 62 79 80   41 42 1 1 1       41 42 60 61 62 80 Vì (1) (2) 1   1 1   Ta có:              60 60   80 80 80 80   60 60  20 20 1     60 80 12 Từ 1 ,   ,  3  (3) 1 1 1        41 42 43 78 79 80 12 Bài Chứng minh rằng: 1 1     1 2 1002 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1   ;   ;   ;   2 2 3 4 100 99 100  1 1 99      1  1 2 100 100 100 43 Bài Cho A  1 1     1 1  1        2017 Chứng minh A  Bài 10 Chứng minh rằng: Bài 10 1 1     1 2 1002 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1                 1 1 2 100 1.2 2.3 99.100 2 99 100 100 Bài 11 Cho A  Bài 11 Ta có: 1 1      Chứng minh : A  2 50 Lời giải 1   1 2 1.2 1 1    2.3 1 1    3.4 1 1    50 49.50 49 50 A 1 1 1 1 1            2 50 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1         2 49 50 99  11  2 50 50 Bài 12 Chứng tỏ 1 1       41 42 43 79 80 12 Lời giải Ta thấy Vậy 1 đến có 40 phân số 41 80 1 1 1       41 42 43 78 79 80 1  1 1  1               59 60   61 62 79 80   41 42 Vì 1 1 1       41 42 60 61 62 80 (2) (1) 44 1   1 1   Ta có:              60 60   80 80 80 80   60 60  20 20 1     60 80 12 Từ 1 ,   ,  3  1 1 1        41 42 43 78 79 80 12 Bài 12 Chứng minh rằng: Bài 13 (3) 1 1 1       16 32 64 Lời giải 1 1 1 1 1 1            16 32 64 22 23 24 25 26 1 1  2A  1     2 2 26  1  A  A  1  3A    A  2 A Bài 13 Thực phép tính: Cho A  Bài 14 A 1 1     Chứng minh A  2 4 100 Lời giải 1 1 1 1      2    2 99.100 100 2.3 3.4  A 1 1 1        99 100 2 3 1    A 2 100 1 1 Bài 14 Chứng minh      n Lời giải  A Ta có: 1 1    n n  n  1 n  n Áp dụng : 1 1 1 1   ;   ; ;   2 3 n n 1 n 1 1        2 n n Bài 15 Tính giá trị biểu thức:  1 1      1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 Lời giải C 1 1 99  C         2 99 100 100 45 Bài 16 Cho biết S  1 1 91    Chứng minh  S  101 102 130 330 Lời giải *Chứng minh S  91 330 1   1   1   S            110   111 120   121 130   101 102 1   1   1   S            100   110 110   120 120   100 100 S 1 1 1 181 182 91 10  10  10       100 110 120 10 11 12 660 660 330 S 91 330 *Chứng minh (1) S   1   1   S           110   120 120   130 130   110 S 1 1 1 10  10  10    110 120 130 11 12 13 S 431 429  S  1716 1716 Từ (1) (2)  (2) 91 S 330 Bài 17 Chứng minh rằng: 1    1 2 1002 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1               2 100 1.2 2.3 99.100 2 99 100 1 1 99      1  1 2 100 100 100 Bài 18 Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: A 1 1     2  2n  1 1      2  2n  46 A  2.2    2.3   2.4     2.n   1 1   1  A              2 n   1.2 2.3  n  1 n  1 1 1 1 A          1 2 n 1 n   1 A  1    ( Đpcm)  n Bài 19 Chứng minh rằng: 1 1 + + + + đạt giá trị nhỏ  2n - =  n = 2n  50 Vậy B đạt giá trị lớn  11  13,5 n = Bài 29 (Đề HSG 2019-2020)... có giá trị nhỏ 3n  Lời giải M  2 5 có giá trị nhỏ  có giá trị lớn 3n  3n   3n  số nguyên dương nhỏ  n  Khi M   Bài Tìm số tự nhiên n để phân số B  10n  đạt giá trị lớn Tìm giá trị

Ngày đăng: 12/10/2022, 12:38

w