Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 55 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
55
Dung lượng
1,45 MB
Nội dung
1 CHUYÊN ĐỀ.GIÁ TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Với n A ta có: A2 n , A2 n A Với A ta có: A , A A 1 A B An A (với n số tự nhiên) A B (với A, B dấu) II CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Với n , A biểu thức chứa x; y; m số tùy ý, dạng ta đưa hai loại tốn sau: Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2n m với k Hướng giải: Với k A ta có A2n k A2n k A2n m m Do GTNN k A2n m m A Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A x 5 Lời giải 4 Với x ta có x 5 x 5 , x 5 x hay x Vậy GTNN biểu thức A x 5 x Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A x 1 2019 b) B 2021 x 2020 2022 Lời giải a) Vì x 1 x nên x 1 2019 2019 2 Dấu xảy x 1 x Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 2019 x b) Vì 2021 x 2 2021 x 2020 2020 x 2021 x 2 2020 2022 2022 Dấu xảy x 2 Vậy giá trị nhỏ B 2022 x 2 Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức C x y 2020 y 3 25 30 Lời giải Với x; y ta có x y 2020 , x y 2020 x y hay x y Với y ta có y 3 y 3 , y 3 y hay y 30 Do với x; y ta có: x y 30 2020 30 y 3 x y 30 2020 y 3 25 25 hay 30 B 25 Ta có B 25 xảy đồng thời x y y hay x y Vậy GTNN biểu thức C x y 2020 y 3 25 25 x y 30 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 1 y 1 10 B x y 1 100, n 2n 4n Lời giải x 1 x + Ta có: A x 1 y 1 10 10 y 1 y x x 1 Dấu xảy y y 1 x Vậy giá trị nhỏ A 10 y 1 2n 2n 4n x x + Ta có: x y 1 100 100 4n 4 y 1 y 2n x x Dấu xảy 4n y y x Vậy giá trị nhỏ B 100 y 1 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A x x 1 x 30 Phân tích: Với tốn mà biểu thức chưa có dạng A a.M b Ta đặt thừa số chung để đưa dạng A a.M b Lời giải Ta có: A x x 1 x 1 29 x 1 x 1 29 x 1 29 + Vì x 1 x nên x 1 29 29 2 Dấu xảy x 1 x 1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 29 x 1 Loại 2: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2n m với k Hướng giải: Với k A ta có A2n k A2n k A2n m m Do GTLN k A2n m m A Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức sau a) C x 5 102019 b) D 2 x 10 2020 2100 Lời giải a) Vì x 5 x nên x 5 102019 102019 2 Dấu xảy x 5 x Vậy giá trị lớn biểu thức C 102019 x b) Vì 2 x 10 2020 x 2 x 10 Dấu xảy 2 x 10 2020 2020 2100 2100 x 10 Vậy giá trị lớn D 2100 x 10 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B 2 x 1 y Lời giải 6 Ta có: B 2 x 1 y 3 2 x 1 y Với x ta có x 1 x 1 , x 1 x hay x 4 Với y ta có y , y y hay y 2 6 Do với x; y ta có: 6 x 1 y 2 x 1 y 2 x 1 y 3 hay B 3 Vậy GTLN biểu thức B 2 x 1 y 3 x y 2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức C x 100 y 10 2025 2 Lời giải 2 x x + Ta có: C x 100 y 10 2025 2025 100 y 10 y x x Dấu xảy y 10 100 y 10 x Vậy giá trị lớn C 2025 y 10 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức B x x x 100 Lời giải Ta có: B x x 2 x 100 x x 104 x 104 + Vì x x nên x 104 104 2 Dấu xảy x x 2 Vậy giá trị lớn biểu thức C 104 x 2 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn biểu thức D x2 x y y 50 Lời giải Ta có: D x x x 1 y y y 55 x x 1 x 1 y y y 55 x 11 x y y 55 x 1 y 55 2 2 x 1 x Vì x 1 y 55 55 y y x x 1 Dấu xảy y y x Vậy giá trị lớn D 55 y Dạng 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức Ở dạng xét tốn: Tìm số nguyên n ( số tự nhiên n ) để phân thức A có GTLN – GTNN a với a; b; c số nguyên biết b.n c + Nếu a thì: Loại 1: A A có GTLN b.n c số dương nhỏ ứng với n nguyên A có GTNN b.n c số âm lớn ứng với n nguyên + Nếu a thì: A có GTLN b.n c số âm lớn ứng với n nguyên A có GTNN b.n c số dương nhỏ ứng với n ngun Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để A 15 có GTLN Tìm GTLN 2n Lời giải Ta có tử 15 nên A 15 có GTLN 2n có GTNN ứng với n 2n Xét 2n 2n n Do để 2n có GTNN ứng n Từ ta suy n GTLN A Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để P n phải số tự nhiên nhỏ thỏa mãn n 15 15 15 2n 2.3 5 (n 3) có giá trị lớn n3 Lời giải Ta có: khơng đổi P có giá trị lớn n số nguyên dương nhỏ n3 Ta có: n n Do n N n số nguyên dương nhỏ suy ra: n Khi P đạt giá trị lớn Vậy n Ví dụ 3: Tìm số ngun n để P có giá trị nhỏ 2n Lời giải Ta có: khơng đổi P có giá trị nhỏ 2n số nguyên âm lớn 2n 5 Ta có: 2n n Do n 2n số nguyên âm lớn suy ra: n 3 Khi P đạt giá trị nhỏ 7 Vậy n 3 Ví dụ 4: Tìm n để phân số P có giá trị lớn 2n Lời giải Ta có: khơng đổi P có giá trị lớn 2n số nguyên dương nhỏ 2n Ta có: 2n n Do 2n nhỏ n2 n nên P đạt giá trị lớn Vậy n a.n d với a; b; c; d số nguyên biết b.n c a.n d f Tách A e b.n c b.n c Loại 2: A Việc tìm n ngun để A có GTLN – GTNN trở thành tốn tìm n ngun để f có GTLN có GTNN (Bài tốn loại 1) b.n c A Chú ý ta cách tách biểu thức A theo cách sau: a.n d b a.n d ban bd ban ac bd ac a bn c bd ac a bd ac b.n c b b.n c b b.n c b b.n c b b.n c b b b.n c Ví dụ 1: Tìm số nguyên n để B 7n có GTNN Tìm GTNN 2n Lời giải Ta có: B 7n 7n 5 14n 10 14n 17 2n 1 17 17 17 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2 2n 1 Do biểu thức B 7n đạt GTNN đạt GTLN 2n 2n Mặt khác, tử nên đạt GTLN 2n có GTNN ứng với n 2n Xét 2n 2n 1 n Do để 2n có GTNN ứng với n n phải số nguyên nhỏ thỏa mãn n Từ ta suy n GTNN B Ví dụ 2: Tìm số ngun n để M 7n 7.0 5 2n 2.0 6n đạt GTLN Tìm GTLN 4n Lời giải Ta có: M n 6n n 6 3 4n 2n 3 2n 3 2 2n 3 2n Do biểu thức M 6n 3 đạt GTLN đạt GTLN 4n 2n Mặt khác, tử nên đạt GTLN 2n có GTNN ứng với n 2n Xét 2n 2n n Do để 2n có GTNN ứng với n Từ ta suy n GTLN M Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n để P n phải số nguyên nhỏ thỏa mãn n 6n 6.2 4n 4.2 5n có giá trị nhỏ 2n Lời giải 5 1 5n (2n 1) (2n 1) 1 5 Ta có: P 2n 2n 2n 2n 2(2n 1) 1 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn P đạt giá trị nhỏ biểu thức 2(2n 1) 2(2n 1) Do khơng đổi Phân số có giá trị lớn (2n 1) số nguyên dương nhỏ 2(2n 1) Ta có: 2n n Do n N (2n 1) số nguyên dương nhỏ suy ra: n Khi P đạt giá trị nhỏ Ngoài hai loại thay n lũy thừa bậc cao n ta tốn mở rộng Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Với A biểu thức chứa x; y; m số tùy ý, dạng ta đưa hai loại toán sau: Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A m với k Hướng giải: Với k A ta có A k A k A m m Do GTNN k A m m A Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A x Lời giải Ta có: x với x nên A Vậy A đạt giá trị nhỏ 12 x Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức A x Lời giải Với x ta có x x x 5 hay A 5 Vậy GTNN biểu thức A x 5 x hay x Loại 2: Tìm GTLN biểu thức dạng: k A m với k Hướng giải: Với k A ta có A k A k A m m Do GTLN k A m m A Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn B x Lời giải Ta có: x nên B Vậy B đạt giá trị lớn x 4 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B x x y Lời giải Với x ta có x 3 x x x hay x Với x; y ta có x y 5 x y x y x y hay x y Suy x; y ta có: 3 x x y x x y hay B Ta có B xảy đồng thời x x y Thay x vào x y ta y y Vậy GTLN biểu thức B x x y x y Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức C x x y 25 Lời giải Với x ta có x , x x hay x 1 Với x; y ta có x y x y , x y x y hay y x4 Do với x; y ta có: x x y x x y 25 25 hay C 25 Ta có C 25 xảy đồng thời x 1 y x Thay x 1 vào y x ta y 1 Vậy GTLN biểu thức C x x y 25 25 x 1 y CÁC DẠNG TỐN TỔNG HỢP Loại 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A x 1 y Lời giải 2 Với x ta có x 1 , x 1 x hay x Với y ta có y , y y hay y 2 Do đó: x 1 y , với x , y Suy A x 1 y , với x , y Vậy GTNN biểu thức A x 1 y x y 2 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B 10 x y 1 Lời giải 6 Ta có : B 10 x y 1 10 3 x y 1 Với x ta có x x , x x hay x 10 Với y ta có y 1 , y 1 y hay y 1 6 6 Do x y 1 3 x y 1 10 3 x y 1 10 hay B 10 Vậy GTLN biểu thức B 10 x y 1 10 x y 1 Loại 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức A x 2 Lời giải Do tử nên biểu thức A x 2 đạt GTLN x đạt GTNN 2 4 Với x ta có x 1 x 1 2 Do GTNN x x hay x 2 2 Vậy GTLN biểu thức A x 2 4 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức B x 2 4 x 1 10 2 Lời giải Ta có: B 4 x 1 Biểu thức B 10 2 4 x 1 10 2 Mặt khác, tử nên x 1 10 2 đạt GTNN 4 x 1 10 2 đạt GTLN đạt GTLN x 1 đạt GTNN 10 x 1 10 2 Với x ta có x 1 x 1 10 10 10 10 Do GTNN x 1 x 1 hay x Vậy GTNN biểu thức B 4 x 1 10 2 x 2 2 41 Như tốn đưa tìm số tự nhiên a để 4a – 23 số tự nhiên nhỏ Vậy a => 5a 17 13 4a 23 Bài Cho phân số M 6n (n Z) Tìm n để M có giá trị nhỏ 3n Lời giải M 2 5 có giá trị nhỏ có giá trị lớn 3n 3n 3n số nguyên dương nhỏ n Khi M Bài Tìm số tự nhiên n để phân số B 10n đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn 4n 10 Lời giải B 10n 2n 5 22 11 4n 10 2n 2n B đạt GTLN 11 11 đạt GTLN Vì 11 không đổi nên đạt GTLN 2n – 2n 2n đạt GTNN Suy 2n – n Vậy B đạt GTLN 11 13,5 n Bài Tìm số tự nhiên n để phân số M 6n đạt giá trị lớn Tìm GTLN 4n Lời giải M 6n 3 2n 3 6 4n 2n 3 2 2n 3 *)n M *)n M Khi để M đạt giá trị lớn 2n 3 đạt giá trị dương nhỏ nhất, n Max M 3 n 2 Bài Cho phân số Tìm n để A có giá trị lớn Lời giải Ta có: A n 1 n 4 1 n 3 n 3 n 3 42 Với n 4 , Với n 0 n 3 n 3 Để A có giá trị lớn n nguyên dương có giá trị nhỏ hay n n Bài Chứng minh rằng: 1 1 1 1 30 32 35 45 47 50 Lời giải 1 1 1 30 32 35 30 30 30 10 1 1 1 45 47 50 45 45 45 15 1 1 1 1 1 30 32 35 45 47 50 10 15 Bài Chứng tỏ 1 1 41 42 43 79 80 12 Lời giải Ta thấy Vậy 1 đến có 40 phân số 41 80 1 1 1 41 42 43 78 79 80 1 1 1 1 59 60 61 62 79 80 41 42 1 1 1 41 42 60 61 62 80 Vì (1) (2) 1 1 1 Ta có: 60 60 80 80 80 80 60 60 20 20 1 60 80 12 Từ 1 , , 3 (3) 1 1 1 41 42 43 78 79 80 12 Bài Chứng minh rằng: 1 1 1 2 1002 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 ; ; ; 2 2 3 4 100 99 100 1 1 99 1 1 2 100 100 100 43 Bài Cho A 1 1 1 1 1 2017 Chứng minh A Bài 10 Chứng minh rằng: Bài 10 1 1 1 2 1002 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 100 1.2 2.3 99.100 2 99 100 100 Bài 11 Cho A Bài 11 Ta có: 1 1 Chứng minh : A 2 50 Lời giải 1 1 2 1.2 1 1 2.3 1 1 3.4 1 1 50 49.50 49 50 A 1 1 1 1 1 2 50 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 2 49 50 99 11 2 50 50 Bài 12 Chứng tỏ 1 1 41 42 43 79 80 12 Lời giải Ta thấy Vậy 1 đến có 40 phân số 41 80 1 1 1 41 42 43 78 79 80 1 1 1 1 59 60 61 62 79 80 41 42 Vì 1 1 1 41 42 60 61 62 80 (2) (1) 44 1 1 1 Ta có: 60 60 80 80 80 80 60 60 20 20 1 60 80 12 Từ 1 , , 3 1 1 1 41 42 43 78 79 80 12 Bài 12 Chứng minh rằng: Bài 13 (3) 1 1 1 16 32 64 Lời giải 1 1 1 1 1 1 16 32 64 22 23 24 25 26 1 1 2A 1 2 2 26 1 A A 1 3A A 2 A Bài 13 Thực phép tính: Cho A Bài 14 A 1 1 Chứng minh A 2 4 100 Lời giải 1 1 1 1 2 2 99.100 100 2.3 3.4 A 1 1 1 99 100 2 3 1 A 2 100 1 1 Bài 14 Chứng minh n Lời giải A Ta có: 1 1 n n n 1 n n Áp dụng : 1 1 1 1 ; ; ; 2 3 n n 1 n 1 1 2 n n Bài 15 Tính giá trị biểu thức: 1 1 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 Lời giải C 1 1 99 C 2 99 100 100 45 Bài 16 Cho biết S 1 1 91 Chứng minh S 101 102 130 330 Lời giải *Chứng minh S 91 330 1 1 1 S 110 111 120 121 130 101 102 1 1 1 S 100 110 110 120 120 100 100 S 1 1 1 181 182 91 10 10 10 100 110 120 10 11 12 660 660 330 S 91 330 *Chứng minh (1) S 1 1 S 110 120 120 130 130 110 S 1 1 1 10 10 10 110 120 130 11 12 13 S 431 429 S 1716 1716 Từ (1) (2) (2) 91 S 330 Bài 17 Chứng minh rằng: 1 1 2 1002 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 2 100 1.2 2.3 99.100 2 99 100 1 1 99 1 1 2 100 100 100 Bài 18 Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: A 1 1 2 2n 1 1 2 2n 46 A 2.2 2.3 2.4 2.n 1 1 1 A 2 n 1.2 2.3 n 1 n 1 1 1 1 A 1 2 n 1 n 1 A 1 ( Đpcm) n Bài 19 Chứng minh rằng: 1 1 + + + + đạt giá trị nhỏ 2n - = n = 2n 50 Vậy B đạt giá trị lớn 11 13,5 n = Bài 29 (Đề HSG 2019-2020)... có giá trị nhỏ 3n Lời giải M 2 5 có giá trị nhỏ có giá trị lớn 3n 3n 3n số nguyên dương nhỏ n Khi M Bài Tìm số tự nhiên n để phân số B 10n đạt giá trị lớn Tìm giá trị