BÀI CỰC TRỊ SỐ PHỨC A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các bất đẳng thức thường dùng a Cho số phức z1 , z2 ta có: +) z1 z2 z1 z2 (1) z1 Đẳng thức xảy z1 0, k ¡ , k 0, z2 kz1 +) z1 z2 z1 z2 (2) z1 Đẳng thức xảy z1 0, k ¡ , k 0, z2 kz1 b Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho số thực a, b, x, y ta có: ax by a b2 x2 y Đẳng thức xảy ay bx Một số kết biết a Cho hai điểm A, B cố định Với điểm M ln có bất đẳng thức tam giác: +) MA MB AB , dấu “=” xảy M nằm hai điểm A, B +) MA MB AB , dấu “=” xảy B nằm hai điểm A, M b Cho hai điểm A, B nằm phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB AB , dấu “=” xảy Ba điểm A, M , B thẳng hàng +) Gọi A điểm đối xứng với A qua d , ta có MA MB MA MB AB , dấu “=” xảy Ba điểm A, M , B thẳng hàng c Cho hai điểm A, B nằm khác phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB AB , dấu “=” xảy M nằm hai điểm A, B +) Gọi A điểm đối xứng với A qua d , ta có MA MB MA MB AB , dấu “=” xảy Ba điểm A, M , B thẳng hàng d Cho đoạn thẳng PQ điểm A không thuộc PQ , M điểm di động đoạn thẳng PQ , max AM max AP, AQ Để tìm giá trị nhỏ AM ta xét trường hợp sau: +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ nằm đoạn PQ AM AH +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ khơng nằm đoạn PQ AM AP; AQ Trang 237 e Cho đường thẳng điểm A không nằm Điểm M có khoảng cách đến A nhỏ hình chiếu vng góc A f Cho x, y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A1 A2 An Khi giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức F ax by ( a, b hai số thực cho không đồng thời ) đạt đỉnh miền đa giác SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với số thực a, b, x, y ta có Các bất đẳng thức a b x y thường dùng ax by Dấu “=” xảy 2 2 a b x y Bất đẳng thức tam giác z1 z2 z1 z2 Dấu “=” xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 Dấu “=” xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 Dấu “=” xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 Dấu “=” xảy z1 kz2 k z2 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp hình học Phương pháp giải Vi dụ: Cho số phức z thỏa mãn 2 z z i z z Giá trị nhỏ z 3i A B C D Hướng dẫn giải Bước 1: Chuyển đổi ngơn ngữ tốn số Giả sử z x yi x, y ¡ phức sang ngơn ngữ hình học zz i zz z x yi Khi yi x 2i y x Trang 238 Gọi M x; y ; A 0; 3 điểm biểu diễn cho số phức z; 3i z 3i MA Bước 2: Sử dụng số kết biết để giải tốn hình học Parabol y x có đỉnh điểm O 0;0 , trục đối xứng đường thẳng x Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng parabol, nên ta có: Bước 3: Kết luận cho toán số phức MA OA Suy ra, MA M O Vậy z 3i , z Chọn A Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho số phức z thỏa mãn z 4i Môđun lớn số phức z A B C D Bài tập 2: Trong số phức z thỏa mãn z 4i z 2i , số phức z có mơđun nhỏ A z 2i B z i C z 2i D z i Bài tập 4: Xét số phức z thỏa mãn z i z i 10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z A 60 49 B 58 49 C 18 D 16 Trang 239 Bài tập 5: Cho z số phức thay đổi thỏa mãn z z Trong mặt phẳng tọa độ gọi M , N điểm biểu diễn số phức z z Giá trị lớn diện tích tam giác OMN A B C D 2 Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z i z i Giá trị nhỏ P i 1 z 2i A B C D Bài tập 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z Khi mơđun số phức M mi A 76 C 10 B 76 D 11 Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z i z 3i Giá trị nhỏ biểu thức P z 4i A C B D Dạng 2: Phương pháp đại số Phương pháp giải Các bất đẳng thức thường dùng: Cho số phức z1 , z2 ta có: a z1 z2 z1 z2 (1) Trang 240 z1 Đẳng thức xảy z1 0, k ¡ , k 0, z2 kz1 b z1 z2 z1 z2 (2) z1 Đẳng thức xảy z1 0, k ¡ , k 0, z2 kz1 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho số thực a, b, x, y ta có ax by a b2 x2 y Đẳng thức xảy ay bx Bài tập Bài tập 1: Cho số phức z a a 3 i, a ¡ Giá trị a để khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ nhỏ A a C a B a D a Bài tập 2: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i , số phức z có mơđun nhỏ A z 2i B z 1 i C z 2i D z 1 i Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1 , biết z 5i đạt z 2i giá trị nhỏ Giá trị z A B C D 17 Bài tập 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 4i z1 z2 Giá trị lớn biểu thức z1 z2 A B C 12 D Trang 241 Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn z Giá trị lớn biểu thức P z z A 10 B C 15 D Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z 2i Giá trị lớn z i A B C D Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z z z 2i Giá trị nhỏ z i A B C D Bài tập 9: Tìm số phức z thỏa mãn z 1 z 2i số thực z đạt giá trị nhỏ A z i 5 C z i 5 B z i 5 D z i 5 Bài tập 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z Tìm giá trị lớn biểu thức T z i z i A max T B max T C max T D max T Bài tập 11: Cho số phức z thỏa mãn z Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z z z Khi giá trị M m A B Trang 242 C D Trang 243 ... , z Chọn A Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho số phức z thỏa mãn z 4i Môđun lớn số phức z A B C D Bài tập 2: Trong số phức z thỏa mãn z 4i z 2i , số phức z có môđun nhỏ A z 2i... , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z Khi môđun số phức M mi A 76 C 10 B 76 D 11 Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z i z 3i Giá trị nhỏ biểu thức P z 4i A... 241 Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn z Giá trị lớn biểu thức P z z A 10 B C 15 D Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z 2i Giá trị lớn z i A B C D Bài tập 8: Cho số phức