Bài 3 GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số

BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D +) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≤ M với x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = M f ( x) Kí hiệu: M = max D +) Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≥ m với x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = m f ( x) Kí hiệu: m = D SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≤ M với x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = M f ( x) Kí hiệu: M = max D Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≥ m với x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = m f ( x) Kí hiệu: m = D Trang 107 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) khoảng Phương pháp giải Ta thực bước sau Bước Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng) Bước Tính y ′ = f ′ ( x ) ; tìm điểm mà đạo hàm không không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải Bước Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) miền (a; b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE (MODE lập bảng giá trị) Bước Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn xuất max, giá trị nhỏ xuất - Ta thiết lập miền giá trị biến x Start a End b Step b−a (có thể làm trịn để Step đẹp) 19 Chú ý: Khi đề liên có yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính chế độ Radian Bài tập Bài tập Cho hàm số f ( x ) = − x + x − x + x + Khẳng định sau đúng? A max f ( x ) = 17 30 B max f ( x ) = C max f ( x ) = 67 30 D Hàm số không tồn giá trị lớn ¡ ¡ ¡ 47 30 Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D = ¡ 4 Ta có f ′ ( x ) = −2 x + x − x + = − ( x − 1) ( x + 1) Khi f ′ ( x ) = ⇔ − ( x − 1) ( x + 1) = ⇔ x = Bảng biến thiên Trang 108 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f ( x ) = ¡ 47 x = 30 − 8x khoảng ( −∞; 1) Khi giá trị x2 + Bài tập Gọi a giá trị lớn hàm số f ( x ) = biểu thức P = A − 8a a2 + 22 B 13 C − 58 65 D − 74 101 Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số liên tục khoảng ( −∞; 1) Ta có f ′ ( x ) = x − 12 x − (x + 1)  x = ∉ ( −∞; 1) ′ Khi f ( x ) = ⇔ x − 12 x − = ⇔  x = − ∈ ( −∞; 1)  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f ( x ) = ⇒ P = ( −∞ ; 1) Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) = − 8a 58 =− a +1 65 x2 − x + Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? x2 + x + 1 f ( x) = A ¡ B f ( x ) = f ( x) = C ¡ D Hàm số khơng có giá trị nhỏ ¡ Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D = ¡ Ta có ( x + x + 1) − x ( x + 1) 2x x2 − ′ y = f ( x) = − ⇒ y =− = 2 x + x +1 ( x + x + 1) ( x + x + 1) Do y ′ = ⇔ x − = ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên Trang 109 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f ( x ) = ¡ x = Dạng 2: Tìm GTLN GTNN hàm số đoạn Phương pháp giải Bước Tính f ′ ( x ) Bước Tìm điểm xi ∈ ( a; b ) mà f ′ ( xi ) = f ′ ( xi ) khơng xác định Bước Tính f ( a ) , f ( xi ) , f ( b ) Bước Tìm số lớn M số nhỏ m số f ( x ) m = f ( x ) Khi M = max [ a ; b] [ a ; b] Chú ý: Trang 110  max f ( x ) = f ( b ) +) Hàm số y = f ( x ) đồng biến đoạn [a; b]   f ( x ) = f ( a )  max f ( x ) = f ( a ) +) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến đoạn [a; b]   f ( x ) = f ( b ) Bài tập 2 x+2     Bài tập Cho hàm số y = Giá trị  y ÷ +  max y ÷ x −1  [ 2; 3]   [ 2; 3]  A 16 B 45 C 25 D 89 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có y ′ = −3 ( x − 1) < 0, ∀x ≠ , hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; 1) ; ( 1; + ∞ ) ⇒ Hàm số nghịch biến [2; 3] Do y = y ( 3) = ; max y = y ( ) = [ 2; 3] [ 2; 3] 2 89 5 Vậy  y ÷ +  max y ÷ =  ÷ + 42 =  [ 2; 3]   [ 2; 3]    Bài tập Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + − x Giá trị biểu thức P = M + m A ( ) −1 B ( ) +1 C +1 D −1 Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D = [ −2; 2] Ta có y ′ = − x − x2 = − x2 − x − x2 , x ∈ ( −2; )  x ≥ y′ = ⇔ − x2 = x ⇔   x = ±2 ∈ ( −2; ) y ( 2) = ( ) 2; y − = 0; y ( ) = 2; y ( −2 ) = −2 Vậy M = 2, m = −2 ⇒ P = 2 − = ( ) −1 Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y = x − x + m đoạn [0; 5] m A B 10 C D Hướng dẫn giải Trang 111 Chọn A Hàm số xác định liên tục D = [ 0; 5] x = ∈ D Ta có y ′ = ⇔ x − x = ⇔   x = 1∈ D f ( ) = m; f ( 1) = m − 1; f ( ) = 175 + m f ( x ) = f ( 1) = m − Dễ thấy f ( ) > f ( ) > f ( 1) , ∀m ∈ ¡ nên [ 0; 5] f ( x) = ⇔ m −1 = ⇔ m = Theo đề [ 0; 5] Bài tập Gọi A, B giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = giá trị thực tham số m để A + B = x + m2 + m đoạn [2; 3] Tất x −1 13 A m = 1; m = −2 B m = −2 C m = ±2 D m = −1; m = Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số cho liên tục đoạn [2; 3] Ta có y ′ = − ( m2 + m + 1) ( x − 1) < 0, ∀m m2 + m + ⇒ A = y ( 3) = ; B = y ( 2) = m2 + m + 2 Do A + B = 13 m2 + m + 13 ⇔ + m2 + m + = 2 m = ⇔ 3m + m − = ⇔   m = −2 Bài tập Biết hàm số y = x + 3mx + ( 2m − 1) x + (với m tham số) đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn Các giá trị tham số m A m = B m = C m = D m = −1 Hướng dẫn giải Chọn D  x = −1 y′ = ⇔   x = − 2m y = nên giá trị lớn không đạt x = −2; x = Do Vì y ( −2 ) = −1; y ( ) = theo max [ −2; 0] giá trị lớn đạt y ( −1) y ( − 2m ) Ta có y ( −1) = −3m + 3, y ( − 2m ) = ( − 2m ) ( m − 2) + - Trường hợp 1: Xét −3m + = ⇔ m = −1 Trang 112  x = −1 ∈ [ −2; 0] Thử lại với m = −1 , ta có y ′ = ⇔  nên m = −1 giá trị cần tìm  x = ∉ [ −2; 0] ( − 2m ) ( m − ) = ( − 2m ) ( m − ) + =  ⇔ 1 - Trường hợp 2: Xét   (loại) Trang 114 +) Với m = − 3m + ⇒ = < (thỏa mãn) - Trường hợp 2:  m=  3m + max y = =2⇔ 1; [ ]  m = − 10  +) Với m = 2m + ⇒ = < (thỏa mãn) +) Với m = − 10 2m + 17 ⇒ = > (loại) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Bài tập Gọi S tập giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số f ( x) = x − 14 x + 48 x + m − 30 đoạn [0; 2] không vượt 30 Tổng phần tử S A 108 B 120 C 210 D 136 Hướng dẫn giải Chọn D Xét hàm số g ( x ) = x − 14 x + 48 x + m − 30 đoạn [0; 2]  x = −6 ∉ [ 0; 2]  Ta có g ′ ( x ) = x − 28 x + 48 ⇒ g ′ ( x ) = ⇔  x = ∈ [ 0; 2]   x = ∉ [ 0; 2]  g ( ) ≤ 30  m − 30 ≤ 30 g ( x ) ≤ 30 ⇔  ⇔ ⇔ ≤ m ≤ 16 Để max [ 0; 2]  m + 14 ≤ 30  g ( ) ≤ 30 ⇒ m ∈ { 0;1; 2; ; 15; 16} Tổng phần tử S 136 Bài tập Biết giá trị lớn hàm số y = − x2 + x − + m 18 Mệnh đề sau đúng? A < m < B 10 < m < 15 C < m < 10 D 15 < m < 20 Hướng dẫn giải Chọn D Xét hàm số g ( x ) = − x + x − Ta có g ′ ( x ) = −x − x2 liên tục tập xác định [-2; 2] + ⇒ g′( x) = ⇔ −x − x2 + = 0, x ∈ ( −2; ) Trang 115 x ≥ ⇔ − x2 = x ⇔  ⇔ x = ∈ ( −2; ) 2 4 − x = x g ( −2 ) = − ; g ( ) = −1 +24 Do max g ( x ) = [ −2; 2] Theo ; g ( 2) = 5 x = −2 , suy giá trị lớn hàm số + m 2 + m = 18 ⇔ m = 15,5 Vậy 15 < m < 20 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN hàm số y = |f(x) + g(m)| đoạn [a; b] đạt GTNN Phương pháp giải Thực bước sau f ( x ) ; β = f ( x ) Bước Tìm α = max [ a ; b] [ a ; b] Bước Gọi M giá trị lớn y = f ( x ) + g ( m ) { M = max α + g ( m ) ; β + g ( m ) } ≥ α + g ( m) + β + g ( m) = α + g ( m ) + −β − g ( m ) Dấu xảy α + g ( m ) = β + g ( m ) Áp dụng bất đẳng thức α + g ( m ) + −β − g ( m ) ≥ α + g ( m) − β − g ( m) = α −β Dấu xảy α + g ( m )   − β − g ( m )  ≥ Bước Kết luận M = −α − β α −β g ( m ) = 2 Bài tập Bài tập 1: Biết giá trị lớn hàm số y = x + x + m − đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị tham số m A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Đặt f ( x ) = x + x Ta có f ′ ( x ) = x + 2; f ′ ( x ) = ⇔ x = −1 ∈ [ −2; 1] f ( −2 ) = 0; f ( 1) = 3; f ( −1) = −1 f ( x ) = 3; f ( x ) = −1 Do max [ −2; 1] [ −2; 1] Trang 116 Chọn A ( x − 3) + ( y − 1) = ⇒ x + y − x − y + = P= = (3 y + xy + x + y − 1) + ( x + y − x − y + 5) x + y +1 y + xy + x + x + y + (2 y + x) + ( x + y ) + = x + y +1 x + y +1 Đặt t = x + y (12 + 22 ) ( x − 3) + ( y − 1)  ≥ [ ( x − 3) + (2 y − 2) ] ⇒ ( x + y − 5) ≤ 25 ⇔ ≤ x + y ≤ 10 Ta P = f (t ) = Xét f ′(t ) = − t2 + t + 4 =t+ , ≤ t ≤ 10 t +1 t +1 t = 1∈ (0;10) = ⇒ (t + 1) = ⇒  (t + 1) t = −3 ∉ (0;10) Vì f (0) = 4; f (10) = 114 ; f (1) = ⇒ P = t = 11 Bài tập Gọi x0 , y0 , z0 ba số thực dương cho biểu thức P= − − đạt giá trị nhỏ 2 2 x + y + yz 2( x + y + z ) + xz + x + y + z Tổng x0 + y0 + z0 A B C 3 D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có P = ≥ − − x + y + 2 yz y + 2( x + z ) + x + y + z − − 2( x + y + z ) ( x + y + z ) + x + y + z Đặt x + y + z = t > Khi P = f (t ) = ' Ta có f (t ) = − , (t > 0) 2t t + 3(t − 1)(5t + 3) = ⇔ t =1 2t (t + 3) Bảng biến thiên Trang 127 x + y + z = x = z =   ⇔ Suy P ≥ − Dấu “=” xảy ⇔  y = z y = x + z y =   Do x0 + y0 + z0 = 1 + + = 4  x − xy + = Bài tập Cho x,y số thực dương thỏa mãn điều kiện   x + y − 14 ≤ Tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x y − xy − x3 + x A B C 12 D Hướng dẫn giải Chọn B Với điều kiện toán x, y > x − xy + = ⇒ y = x2 + 3 = x+ x x Lại có 3   9 x + y − 14 ≤ ⇔ x +  x + ÷− 14 ≤ ⇔ x − 14 x + ≤ ⇔ x ∈ 1;  x   5 3  3  Từ P = x  x + ÷− x  x + ÷ − x + x = x − x  x x  9  9  9 ' Xét hàm số f ( x) = x − ; ∀x ∈ 1;  ⇒ f ( x ) = + > 0; ∀x ∈ 1;  x x  5  5  9 Suy hàm số đồng biến 1;   5 9 ⇒ f (1) ≤ f ( x) ≤ f  ÷⇒ −4 ≤ f ( x) ≤ ⇒ max P + P = + (−4) = 5 Bài tập Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [ 1;9] x ≥ y , x ≥ z Giá trị nhỏ biểu thức P= y 1 y z  +  + ÷ 10 y − x  y + z z + x  A 11 18 B C D Hướng dẫn giải Chọn C Trang 128 Thật 1 + ≥ ⇔ + a + b + ab ( a− b )( ) ab − ≥ ab ≥ Dấu xảy a = b ab =   1 1 ÷ 1 ÷≥ +  + + Áp dụng bất đẳng thức P = x 2 z x÷ x x 10 − + + 10 − 1+  y y z÷ y   y Đặt x 1 = t ∈ [ 1;3] Xét hàm số f (t ) = + đoạn [ 1;3] y 10 − t + t f ' (t ) = 2t − ; f ' (t ) = ⇔ t − 2t − 24t − 2t + 100 = 2 (10 − t ) (1 + t ) ⇔ (t − 2)(t − 24t − 50) = ⇔ t = t − 24t − 50 < 0, ∀t ∈ [ 1;3] Bảng biến thiên Suy Pmin x = y    z = x =   y z x = y  ⇔  x z = y  =   y Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f(x) Phương pháp giải Thực theo hai cách Cách 1: Bước Đặt t = u(x) Đánh giá giá trị t khoảng K Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất đẳng thức để đánh giá giá trị t = u(x) Bước Từ bảng biến thiên đồ thị hàm số cho ta giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(t) Bước Kết luận Cách 2: Bước Tính đạo hàm y ' = u ' ( x) f ' (u ( x )) Trang 129 Bước Tìm nghiệm y ' = u ' ( x) f ' (u ( x )) =0 Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x), y = f (u ( x)) , y = f (u ( x)) ± h( x) Bài tập Bài tập Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau Hàm số y = f ( x − 1) có giá trị nhỏ đoạn [ 0; 2] A f ( −2) B f (2) C f (1) D f (0) Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = x − , ∀x ∈ [ 0; 2] ⇒ t ∈ [ 0;1] f (t ) = f (0) Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f (t ) có giá trị nhỏ [ 0;1] Bài tập Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ sau Khi hàm số y = f (2 − x ) đạt giá trị nhỏ 0;  A f ( −2) B f (2) C f (1) D f (0) Hướng dẫn giải Chọn B 2 Đặt t = − x Từ x ∈  0;  ⇔ ≤ x ≤ ⇔ ≥ − x ≥ ⇒ t ∈ [ 0; 2] f (t ) = f (2) Dựa vào đồ thị, hàm số y = f (t ) có giá trị nhỏ [ 0;2] Trang 130 Bài tập Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + c xác định liên tục ¡ có bảng biến thiên sau Giá trị nhỏ hàm số y = f ( x + 3) đoạn [ 0; 2] A 64 B 65 C 66 D 67 Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số có dạng f ( x) = ax + bx + c Từ bảng biến thiên ta có  f (0) = c = c =     f (1) = ⇔  a + b + c = ⇔ b = −2 ⇒ f ( x) = x − x +  f ' (1) =  4a + 2b =   a =  Đặt t = x + 3, x ∈ [ 0; 2] ⇔ t ∈ [ 3;5] Dựa vào đồ thị, hàm số y = f (t ) đồng biến đoạn [ 3;5] f ( x + 3) = f (t ) = f (3) = 66 Do [ 0;2] [ 3;5] Dạng 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … Khi biết đồ thị hàm số y = f ' (x) Bài tập Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x) Lập hàm số g ( x) = f ( x) − x − x Mệnh đề sau đúng? A g (−1) > g (1) B g (−1) = g (1) C g (1) = g (2) D g (1) > g (2) Hướng dẫn giải Chọn D Trang 131 Ta có g ' ( x) = f ' ( x) − x − Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x) đường thẳng y = x + ta có g ' ( x) =  x = −1 ⇔ f ' ( x) = x + ⇒  x =  x = Bảng biến thiên Ta cần so sánh đoạn [ −1; 2] Đường thẳng y = x + đường thẳng qua điểm A(−1; −1) , B (1;3) , C (2;5) nên đồ thị hàm số y = f ' ( x) đường thẳng y = x + cắt điểm Dạng 11 Ứng dụng giá trị lớn nhỏ toán thực tế Bài tập Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 3t − t Thời điểm t (giây) mà vận tốc v ( m / s ) chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn A t = 2s B t = 5s C t = 1s D t =3s Hướng dẫn giải Chọn C Ta có v ( t ) = s′ ( t ) = 6t − 3t ⇒ v ( t ) = −3 ( t − 1) + ≤ 3, ∀t ∈ ¡ Giá trị lớn v ( t ) = t = Trang 132 Bài tập Một vật chuyển động theo quy luật s = − t + 6t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 180 (m/s) B 36 (m/s) C 144 (m/s) D 24 (m/s) Hướng dẫn giải Chọn B Ta có v ( t ) = s′ ( t ) = −t + 12t v′ ( t ) = −2t + 12 = ⇔ t = Vì v ( ) = 36; v ( ) = 0; v ( ) = 35 nên vận tốc lớn đạt 36 (m/s) Bài tập Một loại thuốc dùng cho bệnh nhân nồng độ thuốc máu bệnh nhân giám sát bác sĩ Biết nồng độ thuốc máu bệnh nhân sau tiêm vào thể t cho công thức c ( t ) = t ( mg / L ) Sau tiêm thuốc nồng độ thuốc máu t +1 bệnh nhân cao nhất? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Xét hàm số c ( t ) = c′ ( t ) = 1− t2 (t + 1) t ( t > 0) t +1  t = ∈ ( 0; ∞ ) =0⇔ t = −1 ∉ ( 0; ∞ ) Bảng biến thiên Với t = (giờ) nồng độ thuốc máu bệnh nhân cao Bài tập Người ta xây bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 500 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây bể 600.000 đồng / m Hãy xác định kích thước bể cho chi phí th nhân cơng thấp Chi phí A 75 triệu đồng B 85 triệu đồng C 90 triệu đồng D 95 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn C Trang 133 Gọi x ( m ) chiều rộng đáy bể, chiều dài đáy bể 2x ( m ) h ( m ) chiều cao bể Bể tích x h = 500 250 ⇔h= 3x Diện tích cần xây S = ( xh + xh ) + x = x Xét hàm f ( x ) = 250 500 + 2x2 = + 2x2 3x x 500 −500 + 2x2 , ( x > 0) ; f ′ ( x ) = + 4x ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x = x x Bảng biến thiên f ( x ) = f ( ) = 150 Do (min 0; +∞ ) Chi phí th nhân cơng thấp diện tích xây dựng nhỏ S = 150 Vậy giá thuê nhân công thấp 150.600000 = 90.000.000 đồng Bài tập Bác Hồng có thép mỏng hình trịn, tâm O, bán kính dm Bác định cắt hình quạt trịn tâm O, quấn hàn ghép hai mép hình quạt tròn lại để tạo thành đồ vật dạng mặt nón trịn xoay (tham khảo hình vẽ) Dung tích lớn đồ vật mà bác Hồng tạo bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn độ dày thép) A 128π 3 dm 27 B 128π 3 dm 81 C 16π 3 dm 27 D 64π 3 dm 27 Hướng dẫn giải Trang 134 Khi hàn hai mép hình quạt trịn, độ dài đường sinh hình nón bán kính hình quạt trịn, tức OA = 4dm Chọn A 2 Thể tích hình nón V = π r h = π ( 16 − h ) h với < h < 3 Ta có V ′ ( h ) = π ( 16 − 3h ) ⇒ V ′ ( h ) = ⇔ h = 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy thể tích lớn hình nón 128π 3 dm 27 Bài tập Người ta làm thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu 2π m3 Hỏi bán kính đáy R chiều cao h thùng phi để làm tiết kiệm vật liệu A R = m; h = 8m B R = 1m; h = 2m C R = 2m; h = m D R = 4m; h = m Hướng dẫn giải Chọn B Từ giả thiết ta có V = π R h = 2π ⇒ h = R2  2 Diện tích toàn phần thùng phi Stp = 2π Rh + 2π R = 2π  R + ÷ R  Xét hàm số f ( R ) = R + với R ∈ ( 0; +∞ ) R ( R − 1) Ta có f ′ ( R ) = R − 22 = R R2 f ′( R) = ⇔ R = Trang 135 Bảng biến thiên Suy diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ R = ⇒ h = Vậy để tiết kiệm vật liệu làm thùng phi R = 1m; h = 2m Bài tập Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến hịn đảo C hình vẽ Khoảng cách từ C đến B km Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách 4km Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện biển 40 triệu đồng, đất liền 20 triệu đồng Tính tổng chi phí nhỏ để hồn thành cơng việc (làm trịn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 120 triệu đồng B 164,92 triệu đồng C 114,64 triệu đồng D 106,25 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M điểm đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện biển nối với điểm C Đặt AM = x ⇒ BM = − x ⇒ CM = + ( − x ) = 17 − x + x , x ∈ [ 0; 4] Khi tổng chi phí lắp đặt y = x.20 + 40 x − x + 17 (đơn vị: triệu đồng) y ′ = 20 + 40 x−4 x − x + 17 = 20 x − x + 17 + ( x − ) x − x + 17 y ′ = ⇔ x − x + 17 = ( − x ) ⇔ x = 12 − 3  12 −  Ta có y  ÷ ÷ = 80 + 20 ≈ 114, 64; y ( ) = 40 17 ≈ 164,92; y ( ) = 120   Do chi phí nhỏ để hồn thành cơng việc 114,64 triệu đồng Dạng 12 Tìm m để F ( x; m ) = có nghiệm tập D Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Cô lập tham số m đưa dạng f ( x ) = g ( m ) Trang 136 Bước Khảo sát biến thiên hàm số f ( x ) D Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A ( m ) cho đường thẳng y = g ( m ) cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) Bước Kết luận Chú ý: +)Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục có giá trị lớn giá trị nhỏ D phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm f ( x ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x ) D D +)Nếu tốn u cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện cho đường thẳng y = g ( m ) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) k điểm phân biệt Bài tập Bài tập1: Có giá trị nguyên tham số m đoạn [ −100;100] để phương trình x + = x + m có nghiệm thực? A 100 B.101 C 102 D 103 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện x ≥ −1  t≥0 Đặt t = x + ⇒  x = t −1 Ta phương trình 2t = t − + m ⇔ m = −t + 2t + Xét hàm số f ( t ) = −t + 2t + 1, t ≥ f ′ ( t ) = −2t + = ⇔ t = Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm m ≤ ⇒ −100 ≤ m ≤ Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn Trang 137 Bài tập Cho phương trình m ( ) x − x + + − x + x = ( m tham số) Biết tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;1 + 2  đoạn [ a; b ] Giá trị biểu thức T = − a + 2b B T = A T = D T = C T = Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t = x − x + Xét hàm số t ( x ) = x − x + đoạn 0;1 + 2  t′ ( x ) = x −1 x − 2x + 2 ⇒ t′ = ⇔ x = ( ) Vì t ( ) = 2; t ( 1) = 1; t + 2 = nên t ∈ [ 1;3] Yêu cầu tốn tương đương với phương trình m ( t + 1) = t − có nghiệm thuộc đoạn [ 1;3] ⇔ m = t2 − có nghiệm thuộc đoạn [ 1;3] (1) t +1 Xét hàm số f ( t ) = f ′( t ) = t + 2t + ( t + 1) t2 − đoạn [ 1;3] t +1 > 0, ∀t ∈ [ 1;3] hàm số đồng biến đoạn [ 1;3] f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) Để phương trình (1) cho có nghiệm [ 1;3] [ 1;3] ⇔ f ( 1) ≤ m ≤ f ( 3) ⇔ − ≤ m ≤ Vậy a = − ; b = ⇒ T =  x+ y =2 Bài tập Giá trị nhỏ tham số m để hệ phương trình  4 x + y = m ( x, y ∈ ¡ ) có nghiệm m0 Mệnh đề đúng? A m0 ∈ ( −20; −15 ) B m0 ∈ ( −12; −8 )  −3  C m0 ∈  ;0 ÷   1 9 D m0 ∈  ; ÷ 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 138  x + y = ( 1) Ta có  4 x + y = m ( 2) Từ (1) suy y = − x thay vào (2) ta (2) ⇒ x + ( − x ) = m (3) Xét hàm số f ( x ) = x + ( − x ) có tập xác định D = ¡ f ′ ( x ) = x3 − ( − x ) ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x3 = ( − x ) ⇔ x = − x ⇔ x = 3 Bảng biến thiên Hệ cho có nghiệm thực phương trình (3) có nghiệm thực 1 9 Dựa vào bảng biến thiên ta m ≥ ⇒ m0 = ∈  ; ÷ 2 4 Dạng 13 Tìm m để bất phương trình F ( x; m ) > 0; F ( x; m ) ≥ 0; F ( x, m ) < 0; F ( x; m ) ≤ có nghiệm tập D Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Cô lập tham số m đưa dạng g ( m ) > f ( x ) g ( m ) ≥ f ( x ) g ( m ) ≤ f ( x ) g ( m) < f ( x) Bước Khảo sát biến thiên hàm số f ( x ) D Bước Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số m Bước Kết luận Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ D f ( x) +) Bất phương trình g ( m ) ≤ f ( x ) có nghiệm D ⇔ g ( m ) ≤ max D f ( x) +) Bất phương trình g ( m ) ≤ f ( x ) nghiệm ∀x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ D f ( x) +) Bất phương trình g ( m ) ≥ f ( x ) có nghiệm D ⇔ g ( m ) ≥ D f ( x) +) Bất phương trình g ( m ) ≥ f ( x ) nghiệm ∀x ∈ D ⇔ g ( m ) ≥ max D Bài tập Bài tập 1: Các giá trị tham số m để bất phương trình x + − m ≥ có nghiệm khoảng ( −∞;1) x −1 Trang 139 A m < B m ≤ −3 C m ≤ D m ≥ Hướng dẫn giải Chọn B Bất phương trình cho tương đương với x + Xét hàm số y = x + ≥m x −1 khoảng ( −∞;1) x −1 ( x − 1) − y′ = − = 2 ( x − 1) ( x − 1)  x = ∉ ( −∞;1) ⇒ y′ = ⇔   x = −1∈ ( −∞;1) Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, để bất phương trình x + − m ≥ có nghiệm khoảng ( −∞;1) m ≤ −3 x −1 Bài tập Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m ∈ [ 0; 2019] để bất phương trình x2 − m + ( 1− x ) ≤ nghiệm với x ∈ [ −1;1] Số phần tử tập S A B 2020 C 2019 D Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t = − x , với x ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ [ 0;1] Bất phương trình cho trở thành t − t + − m ≤ ⇔ m ≥ t − t + (1) Yêu cầu toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm với t ∈ [ 0;1] 2 Xét hàm số f ( t ) = t − t + ⇒ f ′ ( t ) = 3t − 2t  t = ∉ ( 0;1) f ′( t ) = ⇔  t = ∈ ( 0;1)  Trang 140   23 f ( t) =1 Vì f ( ) = f ( 1) = 1; f  ÷ = nên max [ 0;1] 27   Do bất phương trình (1) nghiệm với t ∈ [ 0;1] m ≥ Mặt khác m số nguyên thuộc [ 0; 2019] nên m ∈ { 1; 2;3; ; 2019} Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn toán Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ −1;3] có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x ) + x + + − x ≥ m có nghiệm thuộc [ −1;3] A m ≤ B m ≥ C m ≤ 2 − D m ≥ 2 − Hướng dẫn giải Chọn A Xét hàm số P = x + + − x đoạn [ −1;3] Ta có P = + ( x + 1) ( − x ) ≤ + ( x + 1) + ( − x ) = 16 ⇒ P ≤ Dấu xảy x = P = x = Suy max [ −1;3] (1) f ( x ) = x = Mặt khác dựa vào đồ thị f ( x ) ta có max [ −1;3] ( (2) ) f ( x ) + x + + − x = x = Từ (1) (2) suy max [ −1;3] Vậy bất phương trình ( f ( x ) + x + + − x ≥ m có nghiệm thuộc [ −1;3] ) m ≤ max f ( x ) + x + + − x ⇔ m ≤ [ −1;3] Trang 141 ... max y = max { 3m − ; 3m − } ≥ 3m − + 3m − D ≥ − 3m + 3m − =  3m − = 3m − ⇒ m = (thỏa mãn) Dấu xảy ⇔  ( − 3m ) ( 3m − ) ≥ Suy giá trị lớn hàm số nhỏ m = 2 Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y = f (... = [ 0; 1] 4 Vậy giá trị lớn hàm số max y = [ 0; π ] Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khác 6x  x  Bài tập Giá trị lớn hàm số y =  ÷ + −  x +1  x +1 Trang 1 23 A C − B -5 D Hướng... kiện cho ẩn phụ Bước Giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số theo ẩn phụ Bước Kết luận (Chọn đáp án) Bài tập Bài tập Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y = cos x + 2sin x A M = ; m =