Bài giảng Giải tích 12 – Bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cung cấp đến các bạn những kiến thức về định nghĩa, cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
Bài : Giáo viên : Phạm Quốc Khánh Chương trình thay sách Tốn THPT Bộ GD-ĐT I - ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y = f(x) xác định tập D a) Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) tập D , f(x) ≤ M với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho f(x0) = M kí hiệu : M = max f(x) D b) Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập D , f(x) ≥ M với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho f(x0) = m kí hiệu : m = f(x) D Ví dụ Giải : Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số : y = x − + x khoảng ( ; + ∞) x2 −1 Trên (0 ; + ∞) có : y ' = − = x Bảng biến thiên : x y’ y − +∞ +∞ + Từ bảng biến thiên khoảng (0 ; + ∞) hàm số có giá trị cực tiểu giá trị nhỏ hàm số Vậy f(x) = - ( x = 1) +∞ -1 x ; y ' = ⇔ x2 −1 = ⇔ x = (0 ; + ∞) Không tồn giá trị lớn hàm số (0 ; + ∞) II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Đặt vấn đề : Xét tính đồng biến , nghịch niến Tính giá trị nhỏ , giá trị lớn hàm số : a) y = x2 [-3 ; 0] a) y = x2 [-3 ; 0] Giải : b) y = Trên [-3 ; 0]) có : y’ = 2x y’ = ⇔ x = Bảng biến thiên : x y -3 − y’ b) − y= x +1 x −1 x +1 [3 ; 5] x −1 [3 ; 5] Trên [3 ; 5]) có : y’ = Bảng biến thiên : x ( x − 1) − y ↓ / [ −3;0] [ −3;0] y = [ −3;0] − 3/2 max y = y’ < y’ y −2 y ↓ / [ 3;5] max y = [ 3;5] y = [ 3;5] Định lý : Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Thừa nhận định lý Ví dụ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số : y = sin x π 7π π a) ; b) ; 2π 6 6 Giải : a) Vẽ đồ thị hàm số y = sin x đoạn π ; 2π Tính giá trị hàm số y π 7π Trên D = ; Có : − 6 7π π π 7π y ÷= y ÷= y 6 2 O − | π | π | π | | 3π | x 2π Từ có : max y = D -1 − π π y b) Tương tự xét E = ; 2π Có : ÷ = 6 π y ÷= 2 max y = E 3π y ÷ = −1 y = −1 E y = − D y ( 2π ) = = − ÷ 2 Quy tắc tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn − x + y= x Cho hàm số : neu − ≤ x ≤ neu < x ≤ Có đồ thị hình vẽ Hãy giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [-2 ; 3] nêu cách tính max y = y [ −2;3] y ( −2 ) = −2 y ( 0) = y ( 1) = 1 -| -2 O -1 -2 [ −2;3] Nêu cách tính | -1 y = −2 | | y ( 3) = x Có nhận xét (Đọc sgk trang 21 ) QUY TẮC : 1) Tìm điểm x1 ; x2 ; … xj khoảng (a ; b) f’(x) = f’(x) khơng xác định 2) Tìm f(a) ; f(x1) ; f(x2) ; … ; f(xj) ; f(b) 3) Tìm số lớn M ; số nhò m số có M = max f ( x ) m = f ( x ) [ a ;b ] Chú ý : [ a ;b ] Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng Ví dụ : f ( x ) = x Khơng có giá trị lớn nhỏ khoảng ( ; 1) Tuy nhiên có hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng ví dụ sau : Ví dụ Cho tơn nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt góc hình vng , gấp nhơm hình vẽ để hộp khơng nắp Tính cạnh hình vng bị cắt cho thể tích khối hộp lớn ⇒ a Giải : Gọi x độ dài cạnh hình vng bị cắt bỏ ⇒ < x < a Thể tích khối hộp : a Ta phải tìm x0 ∈ 0; ÷ 2 a < x < ÷ 2 cho V(x0) có giá trị lớn V ( x ) = x ( a − 2x ) a Có V’(x) = (a-2x)(a-6x) 0; ÷ 2 Bảng biến thiên : x a + V’(x) a ─ 2a 27 V(x) ; V’(x) = ⇔ x = a Hàm số có điểm cực trị nên V(x) có giá trị lớn 2a max V ( x ) = 27 a 0; ÷ 2 x= a *Ví dụ Giải : f ( x) = − Lập bảng biến thiên hàm số 1 + x2 Từ suy giá trị nhỏ hàm số tập xác định 2x Hàm số xác định với x ∈ R ; f '( x) = 2 x + ( ) f’ (x)= ⇔ x = Bảng biến thiên : x -∞ ─ f’ +∞ Vậy hàm số : + f ( x ) = −1 R 0 x=0 f −1 Bài trắc nghiệm : A Bài tập nhà : Giá trị lớn hàm số : y = x4 - 3x2 + đọan [ ; ] 16 B 26 C 36 D Bài ; ; ; ; trang 23 24 sgk GiẢI TÍCH 12 56 ... có giá trị cực tiểu giá trị nhỏ hàm số Vậy f(x) = - ( x = 1) +∞ -1 x ; y ' = ⇔ x2 −1 = ⇔ x = (0 ; + ∞) Không tồn giá trị lớn hàm số (0 ; + ∞) II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT... Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Thừa nhận định lý Ví dụ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số : y = sin x π 7π π a) ; b) ; 2π 6 6 Giải : a) Vẽ đồ thị hàm. .. = = − ÷ 2 Quy tắc tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn − x + y= x Cho hàm số : neu − ≤ x ≤ neu < x ≤ Có đồ thị hình vẽ Hãy giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [-2 ; 3] nêu cách