Bài 3 GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số

BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D +) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≤ M với x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = M f ( x) Kí hiệu: M = max D +) Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≥ m với x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = m f ( x) Kí hiệu: m = D SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≤ M với x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = M f ( x) Kí hiệu: M = max D Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≥ m với x ∈ D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = m f ( x) Kí hiệu: m = D 43 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) khoảng Phương pháp giải Ta thực bước sau Bước Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng) Bước Tính y ′ = f ′ ( x ) ; tìm điểm mà đạo hàm không không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải Bước Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) miền (a; b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE (MODE lập bảng giá trị) Bước Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn xuất max, giá trị nhỏ xuất - Ta thiết lập miền giá trị biến x Start a End b Step b−a (có thể làm trịn để Step đẹp) 19 Chú ý: Khi đề liên có yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính chế độ Radian Bài tập Bài tập Cho hàm số f ( x ) = − x + x − x + x + Khẳng định sau đúng? A max f ( x ) = 17 30 B max f ( x ) = C max f ( x ) = 67 30 D Hàm số không tồn giá trị lớn ¡ ¡ ¡ Bài tập Gọi a giá trị lớn hàm số f ( x ) = biểu thức P = A 47 30 − 8x khoảng ( −∞; 1) Khi giá trị x2 + − 8a a2 + 22 B 13 C − 58 65 D − 74 101 x2 − x + Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) = Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? x + x +1 f ( x) = A ¡ B f ( x ) = f ( x) = C ¡ D Hàm số khơng có giá trị nhỏ ¡ 44 Dạng 2: Tìm GTLN GTNN hàm số đoạn Phương pháp giải Bước Tính f ′ ( x ) Bước Tìm điểm xi ∈ ( a; b ) mà f ′ ( xi ) = f ′ ( xi ) khơng xác định Bước Tính f ( a ) , f ( xi ) , f ( b ) Bước Tìm số lớn M số nhỏ m số f ( x ) m = f ( x ) Khi M = max [ a ; b] [ a ; b] Chú ý:  max f ( x ) = f ( b ) +) Hàm số y = f ( x ) đồng biến đoạn [a; b]   f ( x ) = f ( a )  max f ( x ) = f ( a ) +) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến đoạn [a; b]   f ( x ) = f ( b ) 45 Bài tập Bài tập Cho hàm số y = A 16 x+2 Giá trị x −1 B 2  y  +  max y   [ 2; 3] ÷  [ 2; 3] ÷     45 C 25 D 89 Bài tập Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + − x Giá trị biểu thức P = M + m A ( ) −1 B ( ) +1 C +1 D −1 Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y = x − x + m đoạn [0; 5] m A B 10 C Bài tập Gọi A, B giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = Tất giá trị thực tham số m để A + B = D x + m2 + m đoạn [2; 3] x −1 13 A m = 1; m = −2 B m = −2 C m = ±2 D m = −1; m = Bài tập Biết hàm số y = x + 3mx + ( 2m − 1) x + (với m tham số) đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn Các giá trị tham số m A m = B m = C m = D m = −1 Dạng 3: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = |f(x)| đoạn [a; b] Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x ) đoạn [ a; b ] , giả sử thứ tự M, m Bước y = max { M ; m } +) Tìm max [ a ; b] y +) Tìm [ a ; b] y=0 - Trường hợp 1: M m < ⇒ [ a ; b] y=m - Trường hợp 2: m ≥ ⇒ [ a ; b] y = M = −M - Trường hợp 3: M ≤ ⇒ [ a ; b] Bước Kết luận * Tìm tham số để GTLN hàm số y = |f(x)| đoạn [α, β] k Thực theo bước sau 46 f ( x ) = max { A ; B } Bước Tìm max [α ; β ] [α ; β ] Bước Xét trường hợp +) A = k tìm m, thử lại giá trị m +) B = k tìm m, thử lại giá trị m Bài tập Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y = x − x + 24 x − 68 đoạn [-1; 4] A 48 B 52 C -102 D Bài tập 2: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y= x + mx + m đoạn [1; 2] x +1 Số phần tử tập S A B C D Bài tập Gọi S tập giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số f ( x) = x − 14 x + 48 x + m − 30 đoạn [0; 2] không vượt 30 Tổng phần tử S A 108 B 120 C 210 Bài tập Biết giá trị lớn hàm số y = − x2 + x − D 136 + m 18 Mệnh đề sau đúng? A < m < B 10 < m < 15 C < m < 10 D 15 < m < 20 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN hàm số y = |f(x) + g(m)| đoạn [a; b] đạt GTNN Phương pháp giải Thực bước sau f ( x ) ; β = f ( x ) Bước Tìm α = max [ a; b] [ a ; b] Bước Gọi M giá trị lớn y = f ( x ) + g ( m ) { M = max α + g ( m ) ; β + g ( m ) } ≥ α + g ( m) + β + g ( m) = α + g ( m ) + −β − g ( m ) Dấu xảy α + g ( m ) = β + g ( m ) Áp dụng bất đẳng thức α + g ( m ) + −β − g ( m ) ≥ 47 α + g ( m) − β − g ( m) = α −β Dấu xảy α + g ( m )   − β − g ( m )  ≥ Bước Kết luận M = −α − β α −β g ( m ) = 2 Bài tập Bài tập 1: Biết giá trị lớn hàm số y = x + x + m − đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị tham số m A B C Bài tập 2: Để giá trị lớn hàm số y = A m = B m = D x − x − 3m + đạt giá trị nhỏ m C m = D m = 2 Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y = f ( x, m ) = x − x + + mx đạt giá trị lớn A B C D Bài tập Giá trị nhỏ hàm số f ( x, m ) = x − x − + mx đạt giá trị lớn A B -7 C D Dạng 5: TÌM GTLN-GTNN cho đồ thị - bảng biến thiên Bài tập Hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có bảng biến thiên hình bên Biết f ( −4 ) > f ( ) , giá trị nhỏ hàm số cho ¡ B f ( −4 ) A C f ( )  Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập hợp D = ( −∞; − 1] ∪ 1;  thiên sau Khẳng định A max f ( x ) = ; không tồn f ( x ) D D 48 D -4 3 có bảng biến  f ( x ) = ; f ( x ) = − B max D D f ( x ) = ; f ( x ) = −1 C max D D f ( x ) = ; không tồn max f ( x ) D D D Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ −1; 3] có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số cho đoạn [ −1; 3] Giá trị M − m A B C D Bài tập Cho đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn khoảng [ 1; 3] x0 Khi giá trị x0 − x0 + 2019 bao nhiêu? A 2018 B 2019 C 2021 D 2022 Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phương pháp giải Ghi nhớ: Điều kiện ẩn phụ t = sin x ⇒ −1 ≤ t ≤ - Nếu  t = cos x t = cos x ⇒ ≤ t ≤1 - Nếu  t = cos x 49 t = sin x ⇒ ≤ t ≤1 - Nếu  t = sin x π  - Nếu t = sin x ± cos x = 2.sni  x ± ÷ 4  ⇒− ≤t ≤ Bước Đặt ẩn phụ tìm điều kiện cho ẩn phụ Bước Giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số theo ẩn phụ Bước Kết luận (Chọn đáp án) Bài tập Bài tập Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y = cos x + 2sin x A M = ; m = −4 B M = 4; m = D M = 4; m = − C M = 0; m = − Bài tập Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = A B C cos x + cos x + cos x + D Bài tập Giá trị lớn M hàm số y = cos x + sin x + B M = A M = + C M = + D M = + Bài tập Cho hàm số y = sin x − ( m + 1) sin x + 2m + sin x − (với m tham số thực) Giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ m A − B C D − Bài tập Giá trị nhỏ biểu thức P = + cos x + + 2sin x A −1 B −1 C D − Bài tập Giá trị lớn hàm số f ( x ) = sin x + cos x đoạn [ 0; π ] A max y = [ 0; π ] y =1 B max [ 0; π ] Vậy giá trị lớn hàm số max y = [ 0; π ] y=2 C max [ 0; π ] D max y = Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khác 50 [ 0; π ] 6x  x  Bài tập Giá trị lớn hàm số y =  ÷ + −  x +1  x +1 A C − B -5 D Bài tập Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x − + − x + B 4; A 2; C 4; Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y = x + − − x − A −5 B – D 4; 2 ( x + 1) ( − x ) C – D Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến Bài tập Cho biểu thức P = A B x + xy + y với x + y ≠ Giá trị nhỏ P x − xy + y C D Bài tập Cho hai số thực x,y thỏa mãn x ≥ 0; y ≥ x + y = Giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = A x y + y +1 x +1 B C D Bài tập Cho x, y số thực thỏa mãn ( x − 3) + ( y − 1) = Giá trị nhỏ biểu thức y + xy + x + y − P= x + y +1 A B C 114 11 D Bài tập Gọi x0 , y0 , z0 ba số thực dương cho biểu thức P= − − đạt giá trị nhỏ x + y + yz 2( x + y + z ) + xz + x + y + z Tổng x0 + y0 + z0 A B C 3 D  x − xy + = Bài tập Cho x,y số thực dương thỏa mãn điều kiện   x + y − 14 ≤ Tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x y − xy − x3 + x A B C 12 51 D Bài tập Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [ 1;9] x ≥ y , x ≥ z Giá trị nhỏ biểu thức P= y 1 y z  +  + ÷ 10 y − x  y + z z + x  A 11 18 B C D Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f(x) Phương pháp giải Thực theo hai cách Cách 1: Bước Đặt t = u(x) Đánh giá giá trị t khoảng K Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất đẳng thức để đánh giá giá trị t = u(x) Bước Từ bảng biến thiên đồ thị hàm số cho ta giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(t) Bước Kết luận Cách 2: Bước Tính đạo hàm y ' = u ' ( x) f ' (u ( x )) Bước Tìm nghiệm y ' = u ' ( x) f ' (u ( x )) =0 Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x), y = f (u ( x)) , y = f (u ( x)) ± h( x) Bài tập Bài tập Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau Hàm số y = f ( x − 1) có giá trị nhỏ đoạn [ 0; 2] A f (−2) B f (2) C f (1) D f (0) Bài tập Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ sau Khi hàm số y = f (2 − x ) đạt giá trị nhỏ 0;  A f (−2) B f (2) C f (1) 52 D f (0) Bài tập Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + c xác định liên tục ¡ có bảng biến thiên sau Giá trị nhỏ hàm số y = f ( x + 3) đoạn [ 0; 2] A 64 B 65 C 66 D 67 Dạng 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … Khi biết đồ thị hàm số y = f ' ( x) Bài tập Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x) Lập hàm số g ( x) = f ( x) − x − x Mệnh đề sau đúng? A g (−1) > g (1) B g (−1) = g (1) C g (1) = g (2) D g (1) > g (2) Dạng 11 Ứng dụng giá trị lớn nhỏ toán thực tế Bài tập Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 3t − t Thời điểm t (giây) mà vận tốc v ( m / s ) chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn A t = 2s B t = 5s C t = 1s 53 D t =3s Bài tập Một vật chuyển động theo quy luật s = − t + 6t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 180 (m/s) B 36 (m/s) C 144 (m/s) D 24 (m/s) Bài tập Một loại thuốc dùng cho bệnh nhân nồng độ thuốc máu bệnh nhân giám sát bác sĩ Biết nồng độ thuốc máu bệnh nhân sau tiêm vào thể t cho công thức c ( t ) = t ( mg / L ) Sau tiêm thuốc nồng độ t +1 thuốc máu bệnh nhân cao nhất? A B C D Bài tập Người ta xây bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 500 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá th nhân công để xây bể 600.000 đồng / m Hãy xác định kích thước bể cho chi phí th nhân cơng thấp Chi phí A 75 triệu đồng B 85 triệu đồng C 90 triệu đồng D 95 triệu đồng Bài tập Bác Hồng có thép mỏng hình trịn, tâm O, bán kính dm Bác định cắt hình quạt trịn tâm O, quấn hàn ghép hai mép hình quạt trịn lại để tạo thành đồ vật dạng mặt nón trịn xoay (tham khảo hình vẽ) Dung tích lớn đồ vật mà bác Hoàng tạo bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn độ dày thép) A 128π 3 dm 27 B 128π 3 dm 81 C 16π 3 dm 27 D 64π 3 dm 27 Bài tập Người ta làm thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu 2π m3 Hỏi bán kính đáy R chiều cao h thùng phi để làm tiết kiệm vật liệu A R = m; h = 8m B R = 1m; h = 2m C R = 2m; h = m D R = 4m; h = m Bài tập Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C hình vẽ Khoảng cách từ C đến B km Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách 4km Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện biển 40 triệu đồng, cịn đất liền 20 triệu đồng Tính tổng chi phí nhỏ để hồn thành cơng việc (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 120 triệu đồng B 164,92 triệu đồng C 114,64 triệu đồng D 106,25 triệu đồng 54 Dạng 12 Tìm m để F ( x; m ) = có nghiệm tập D Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Cô lập tham số m đưa dạng f ( x ) = g ( m ) Bước Khảo sát biến thiên hàm số f ( x ) D Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A ( m ) cho đường thẳng y = g ( m ) cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) Bước Kết luận Chú ý: +)Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục có giá trị lớn giá trị nhỏ D phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm f ( x ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x ) D D +)Nếu tốn u cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện cho đường thẳng y = g ( m ) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) k điểm phân biệt Bài tập Bài tập1: Có giá trị nguyên tham số m đoạn [ −100;100] để phương trình x + = x + m có nghiệm thực? A 100 B.101 Bài tập Cho phương trình m C 102 ( D 103 ) x − x + + − x + x = ( m tham số) Biết tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;1 + 2  đoạn [ a; b ] Giá trị biểu thức T = − a + 2b A T = B T = C T =  x+ y = Bài tập Giá trị nhỏ tham số m để hệ phương trình  4 x + y = m m0 Mệnh đề đúng? A m0 ∈ ( −20; −15 ) B m0 ∈ ( −12; −8 )  −3  C m0 ∈  ;0 ÷   1 9 D m0 ∈  ; ÷ 2 4 55 D T = ( x, y ∈ ¡ ) có nghiệm Dạng 13 Tìm m để bất phương trình F ( x; m ) > 0; F ( x; m ) ≥ 0; F ( x, m ) < 0; F ( x; m ) ≤ có nghiệm tập D Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Cô lập tham số m đưa dạng g ( m ) > f ( x ) g ( m ) ≥ f ( x ) g ( m ) ≤ f ( x ) g ( m ) < f ( x ) Bước Khảo sát biến thiên hàm số f ( x ) D Bước Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số m Bước Kết luận Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ D f ( x) +) Bất phương trình g ( m ) ≤ f ( x ) có nghiệm D ⇔ g ( m ) ≤ max D f ( x) +) Bất phương trình g ( m ) ≤ f ( x ) nghiệm ∀x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ D f ( x) +) Bất phương trình g ( m ) ≥ f ( x ) có nghiệm D ⇔ g ( m ) ≥ D f ( x) +) Bất phương trình g ( m ) ≥ f ( x ) nghiệm ∀x ∈ D ⇔ g ( m ) ≥ max D Bài tập Bài tập 1: Các giá trị tham số m để bất phương trình x + ( −∞;1) − m ≥ có nghiệm khoảng x −1 A m < B m ≤ −3 C m ≤ D m ≥ Bài tập Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m ∈ [ 0; 2019] để bất phương trình x2 − m + ( 1− x ) ≤ nghiệm với x ∈ [ −1;1] Số phần tử tập S A B 2020 C 2019 Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ −1;3] có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x ) + x + + − x ≥ m có nghiệm thuộc [ −1;3] A m ≤ B m ≥ C m ≤ 2 − D m ≥ 2 − 56 D 57 ... Bài tập Bài tập 1: Biết giá trị lớn hàm số y = x + x + m − đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị tham số m A B C Bài tập 2: Để giá trị lớn hàm số y = A m = B m = D x − x − 3m + đạt giá trị. .. D Bài tập Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x − + − x + B 4; A 2; C 4; Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y = x + − − x − A −5 B – D 4; 2 ( x + 1) ( − x ) C – D Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị. .. max [ 0; π ] Vậy giá trị lớn hàm số max y = [ 0; π ] y=2 C max [ 0; π ] D max y = Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khác 50 [ 0; π ] 6x  x  Bài tập Giá trị lớn hàm số y =  ÷ + −