SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ LỚP 8, LỚP 9

Để tìm GTNN (GTLN) của biểu thức A ta cần chứng minh A k ( hoặc A k) với k là hằng số với mọi giá trị của biến và chỉ ra trường hợp xẩy ra đẳng thức PHẦN I MỞ ĐẦU I Lí do chọn đề tài 1 Cơ sở lí luận Bài toán tìm GTLN, GTNN là một dạng toán nâng cao khá phổ biến trong chương trình THCS Để giải những bài toán dạng này đòi hỏi HS phải nghiên cứu và làm nhiều lần mới có thể làm quen được 2 Cơ sở thực tiễn Thực tế hiện nay khi gặp những bài toán về tìm GTNN, GTLN, HS thường bối rối và không biết hướn.

Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài: Cơ sở lí luận: Bài tốn tìm GTLN, GTNN dạng tốn nâng cao phổ biến chương trình THCS Để giải tốn dạng địi hỏi HS phải nghiên cứu làm nhiều lần làm quen Cơ sở thực tiễn: Thực tế gặp tốn tìm GTNN, GTLN, HS thường bối rối hướng giải Mặc dù có nhiều tài liệu viết chủ đề thấy phần kiến thức cần phải nghiên cứu nhiều Chính lẽ tơi chọn đề tài : “Một số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức đại số” II Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Môn Đại Số lớp 8; lớp III Mục đích nghiên cứu: Giúp HS giải tốn “Tìm GTNN, GTLN biểu thức đại số” IV Điểm kết nghiên cứu: Bài tốn “Tìm GTNN, GTLN biểu thức đại số” nhiều tài liệu đề cập đến kiến thức phần đề tài chưa cụ thể Điểm đề tài đưa kiến thức vào trước phát triển để nâng cao tập khó làm rõ sai lầm hay mắc phải HS Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -1- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -1- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số PHẦN II: NỘI DUNG I LÍ THUYẾT: Cho biểu thức f(x,y,…) Ta nói a giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x,y, ) kí hiệu Max f(x,y,…) = a đồng thời có điều kiện sau thõa mãn : - Với x, y,… để f(x, y,…) xác định : f(x,y,…)  a ( a số) Tồn x0 , y0,… Sao cho f(x0,y0, ) = a Cho biểu thức f(x,y,…) Ta nói b giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y, )kí hiệu Min f(x,y,…) = b đồng thời có điều kiện sau thõa mãn : - Với x, y,… để f(x, y,…) xác định : f(x,y,…)  b ( b số) - Tồn x0 , y0,… Sao cho f(x0,y0, ) = b * Chú ý : Nếu xảy điều kiện khơng kết luận GTNN hay GTLN Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -2- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -2- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số II MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN : Dạng 1: Tìm GTNN (GTLN) tam thức bậc hai A Lí thuyết: Xét tam thức bậc hai A = ax2 + bx + c (a  0) Khi đó: b b A = ax2 + bx + c = a(x2 + x)+ c = a(x2 + 2x + 4a 4a b2 b b ) +(c - ) = a(x + )2 + k a 2a 2a b2 với k = c - 4a b  nên : Vì (x + ) 2a Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -3- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -3- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số b - Nếu a >  a(x + )2   A k Khi đó: Min A = k x = - b 2a 2a b - Nếu a <  a(x + )2   A  k Khi đó: Max A = k x = - b 2a 2a B Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: A = 2x2 + 2 x + (Đề thi KSCL Học kì I năm học 2010 - 2011 Mơn Toán Huyện Cẩm Xuyên) HD: A = 2(x2 + x + ) + = 2(x + )2 + 2 Vì 2(x + )2  với x nên A  với x 2 Do Min A = x = - * Tuy nhiên VD ta biến đổi sau: A = 2x2 + 2 x + = ( x )2 + 2 x + + = ( x + 1)2 +  Do Min A = x = - - Từ VD ta phát triển thêm tập khác tìm GTLN sau: Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức: B = - 2x2 + 2 x + Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -4- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -4- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số HD: B = - 2x2 + 2 x + = - 2(x2 - x + ) + = - 2(x - Vì - 2(x - 2 )2  với x Do B  )2 + 4 với x Do MaxB = x = *Ở dạng cần lưu ý cho HS phải biến đổi A(x)  k A(x)  k ( k số) Tránh sai sót: biến đổi A(x)  B(x) A(x)  B(x) kết luận Ví dụ: Tìm GTNN A = x2 + Bài giải sai: Ta có: (x - 1)2 0 với x - 2x + 0 x2 +  2x Rồi kết luận Min A = 2x C.Bài tập: Tìm GTNN biểu thức: a , A = 5x2 - 3x + 2; b, B = 2x2 - 3x + c, C = x(x - 3) d, D = 7x2 + 3x + x y e, E = 2x xy 2 x 2012 với x 0;y HD: Đặt x a; y b (với a > 0; b > 0) ta có : E = 2a2 - ab - a + b2  + 2012 = ……….= a12  a  b 2   2011 2011 2 …………………… Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -5- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -5- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Min E = 2011   x1  y  f, F = x2 xy3y2 x2013,5 với x  0; y HD : Cách giải giống e ĐS : Min F = 2012x 94 y1  Tìm GTLN biểu thức: a, A = - x2 + 3x b, B = - 3x2 - 4x - c, C = - (x - 2)2 - (2x - 1)2 d, D = + 5x - x2 e, E = - 5x2 - y2 - 4xy + 2x HD: E = - ( 2x + y)2 - ( x - 1)2  f, F = 2( x1 + 1) - (x - 1)2 (Đề thi HSG Toán Huyện Thạch Hà năm học 2001 - 2002) HD: Đặt x1 = y ta có: y2 = x12 = (x - 1)2 Khi : A = 2(y + 1) - y2 Bài toán đưa dạng Dạng 2:Tìm GTNN (GTLN) đa thức bậc cao: Phương pháp: Biến đổi đa thức dạng tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm GTNN f(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + ( Đề thi KSCL GV năm học 2009 - 2010 Huyện Cẩm Xuyên) HD: - Trường hợp 1: Nếu x =  f(x) = - Trường hợp 2: Nếu x  , chia vế cho x2 ta được: Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -6- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -6- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số f ( x) = x2 - 2x + - + x x = (x2 + + ) - 2( x + ) + x x x = x 2- 2( x + ) + = x 12  x x  x   f(x) = x2 x 1x 12 = x2 x2 x1x2= x2 x12 = x 122  34  432= 169    Vậy Min f(x) = x = *Lưu ý: - Tránh sai sót : Khi ta biến đổi f(x) = x2 x12 ta kết luận: Vìx2 x12  với x nên Min f(x) = 0(Bài giải sai.Vì dấu “ = ” khơng xảy ra) * Có ta cần đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ 2: Tìm GTNN A = x(x - 2)(x - 3)(x - 5) HD: A = x(x - 5)(x - 2)(x - 3) = ( x2 - 5x)( x - 5x + 6) Đặt y = x2 - 5x +3 ta có: A = ( y- 3)(y + 3) = y2 -  - Min A = - y =  x2 - 5x +3 =  x1 = 5 13 ; x2 = 5 13 2 Bài tập: Tìm GTNN biểu thức sau: a , A = x4 - 6x3 + 8x2 - 6x + b, B = x( x - 2)(x - 5)( x- 7) c, C = (x2 + x + 1)2 Dạng 3: Tìm GTNN( GTLN) biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: A Lí thuyết: Với A biểu thức tùy ý, ta có:  A A  A  Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -7- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -7- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số A neáu A  Một số ý: AB  BA với A, B A B  AB dấu “ = ” xảy  A.B  AB  A B dấu “ = ” xảy  A.B  A B  AB dấu “ = ” xảy  A  B  A B A  B  A B dấu “ = ” xảy  A.B  A  B  AB dấu “ = ” xảy  A.B  với A, dấu “ = ” xảy A2  A2 với A A A A A 0 với A.dấu “ = ” xảy  A = - A  A A với A dấu “ = ” xảy  A = B Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = 3x1 - HD: Ta có: 3x1  với x 2 3x1 -  - với x Vậy MinA = -  3x - = hay x = Từ tập ta cho HS tập 2: Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức : a, B = - 3x1 HD: Ta có: 3x1  với x  - 3x1  với x  - 3x1  Vậy Max B =  3x - = hay x = Ví dụ 3: Tìm GTLN C = x với x  0;x Z x HD: Vì x Z nên : Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -8- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -8- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số - Với x  -  x +   C  - Với x = -1  C = -1 - Với x   C = x = x2 x = 1+ x x C lớn lớn  x nhỏ Mà x  nên x nhỏ x = C x =3 Vậy Max C = x = Ví dụ 4: Tìm GTNN A = 2x2001 + 20042x (Đề thi HSG Toán Huyện Cẩm Xuyên năm học 2003- 2004) HD: C/1: Áp dụng kiến thức: A B  AB dấu “ = ” xảy  A.B  Ta có: A = 2x2001 + 20042x  2x200120042x = = dấu “ = ” xảy (2x - 2001)(2004 - 2x)    x 1002 Vậy MinA =  x 1002 C/2: (Dùng phương pháp xét khoảng) x 2x - 2001 2004 - 2x + - Với x < Vì x < - Với 1002 + + + - ta có: A = 2001 - 2x + 2004 - 2x = 4005 - 4x  4x < 4002  4005 - 4x > 4005 - 4002 = hay A >  x1002 ta có: A = 2x - 2001 + 2004 - 2x = Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -9- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -9- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số - Với x > 1002 ta có: A = 2x - 2001 + 2x - 2004 = 4x - 4005 Vì x > 1002  4x > 4008  4x - 4005 > 4008 -4005 = hay A > Do Min A =   x1002 * Nếu tốn có từ hạng tử trở lên có chứa giá trị tuyệt đối ta dùng cách giải * Chú ý: Có nhiều tốn ta cần sử dụng kiến thức: AB  BA Ví dụ 5: Tìm GTNN biểu thức : f(x) = x x1 + x x1 (Đề thi HSG Toán Huyện Cẩm Xuyên năm học 2010 - 2011) HD: Đk: x 1 ta có : ( x  1)  x   = x 1 1 + x 1 1 f(x) = (x1)  x11 + = x1 1 + 1 x1 Đến ta giải tương tự VD Ví dụ : Tìm GTLN biểu thức A = x1  x5 HD: A = x 1  x 5  (x1)(x5) = dấu “ = ” xảy (x - 1)(x - 5)   x  x  C Bài tập : 1.Tìm GTNN biểu thức sau : a , A = 3x2 1 b, B = 514x 1 c, C = x2 + y2 - d, D=x+x e , E = 2x1 + 2x3 ; f, F = x1002 + x1000 h, H = x2 + 2x3 + x5 Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -10- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -10- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số 22x1 - 2x + 6P - = (*) Ta có: P =  Px x 6 Để P tồn GTLN,GTNN phương trình (*)(ẩn x) phải có nghiệm Tức : /   - 6P2 + P +   6P2 - P -  …  1  P Với P = ta có : 22x 1 = x  62 2 x1 Với P = 1 ta có : = 1 x= -3 x 6 3 Vậy Max P = x=2  x = ; Min P = 1 x = - 3 C/2 : P = 22x1 = 2(22x1) = x2 62x2 4x4 = x226  x2 24x4 = - x2 22 x 6 2(x    6) x 6 Vì x 22  2(x 6) 2(x 6) 2(x 6) với x nên P  2(x  6) Vậy Max P = x = Ta lại có : P = x22x16 = 33((x22x16)) = 3((6xx236)) = (x2 63)(x2(x26) 6x9)  = 3((xx22 66)) x32(x6x9 = 1 + (x2 3)62) Vì 3((xx2 3)62)  với x nên P  31 + 6) 3(x  1 Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -13- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -13- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Vậy Min P = x = - 3 * Bài tập: Tìm GTNN, GTLN biểu thức: a, A = 4x 3 x 1 (Đề thi HSG Toán Huyện Kì Anh năm học 2003 - 2004) HD: Cách làm C/2 VD b, B = 53x ; c, C = x x 4 3.Phân thức có tử mẫu tam thức bậc hai 3x2 8x Ví dụ: Tìm GTNN A = x  2x1 HD: C/ 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu: A = 3xx2228xx19 = 3(x2 2x(x1)1)22(x1)4 = 3 x21 + (x41)2 =  2+   + + 11 =   12+ 11  11 x1 x1 x1 Vậy Min A = 11 = 1 x1  2 4 x=-5 C/2: Ta đổi biến Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -14- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -14- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số x  x  3x  x 9 HD : Ta thấy A = x 22 x  = 2x  2 Đặt y = x 1 Khi : x = y A = 3(1 1)2 8 1y 19.y2 y161 114 y = ………….= 4y2 y22 y3 = 4y2  2.14   = y  1 11   Dấu “=” xảy y = 4 1 x = - - = - 44 Vậy Min A = x = - C/3: Dùng công thức nghiệm để giải * Ngoài với tập dạng ta viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm Chú ý: Tất dạng có chung phương pháp dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để giải ( VD ) với cách giải ta tìm GTLN GTNN biểu thức * Bài tập: 1.Tìm GTNN biểu thức: a, A = x2  y2 ; x 2xy y b, B = x x 10x25 Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -15- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -15- - Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số c, C  x22  2x x  2x d, D x2  2x17 2x1 e, E x6 x34 x3 Tìm GTNN GTLN của: x2 x  5x a, A  b, B = HD: B = x với x 0 x  x 1 x  x 1     2  - Với x = ta có B = - Với x > Ta có : B =    1 x x 1  x  2  Vì tử mẫu dương tử số nên B  Dấu “=” xảy x x=4 Vậy Max B =  x4 Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -16- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -16- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Min B =  x = Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN đa thức hai biến quan hệ ràng buộc biến: * Phương pháp giải: C/1( Thường sử dụng): Biến đổi đa thức f(x,y) thành tổng số không âm tổng số không dương số Tức là: f(x,y) = g(x, y)2 k f(x,y) = -g(x, y)2 m C/2: Sử dụng tính chất có nghiệm tam thức bậc hai để đánh giá ẩn Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy Biết x + y = HD: A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = … = x2 + y2 Đến ta có cách giải : C/1 : Sử dụng điều kiện cho để làm xuất biểu thức có chứa A Vì x + y = nên x2 +2xy + y2 = Ta lại có : (x - y)2 = x2 - 2xy + y2  Do 2(x2 + y2)  x2 + y2  Vậy Min A =  x = y = C/2 : Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = - x vào A ta tam thức bậc hai x Từ giải tiếp dạng C/3 : Sử dụng điều kiện có nghiệm để đổi biến Đặt x = +a;y = - a Khi : x2 + y2 = + 2a2  Vậy Min A =  a =  x = y = Bài tập : Cho số thực x, y thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 8(x + y) + = 0(1) Tìm Max, Min S = x + y (Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2008 - 2009 Tỉnh Hà Tĩnh) HD: C/1: Từ S = x + y  y = S - x Thay vào (1) ta được: x2 + 2(S - x)2 + 2x (S - x) + 8S + = Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -17- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -17- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số x2 - 2Sx + 2S2 + 8S + = (2) ( Phương trình bậc hai ẩn x) / = - S2 - 8S -  Để tồn Max, Min S pt(2) phải có nghiệm tức /  - S2 - 8S -  + 8S +   -  S  - Vậy Min S = -  x y 7  x7 y   S2 y0 ( Với x + y = - thay vào (1) tính y = 0) Max S = -  x y 1 x1 y  y0 C/2: (1)  (x + y)2 + 2(x + y).4 + 16 + y2 = (x + y + 4)2 + y2 = Do y2  nên (x + y + 4)2   -3  x+y+43 -  x + y  - Đến ta giải tiếp C/1 Cho biểu thức M = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2011 Với giá trị x y M đạt GTNN (Đề thi HSG Toán Huyện Cẩm Xuyên năm học 2010 - 2011)  HD : M = x2  2x 2y  y42  2x.32  94  2y.32 34 y2  2.34 y 34 + 2008  = x y  32  3y12  2008  Vì 2 ;3  y 3 2 x    y1   2 với x, y Do M  2008  x1 Dấu “ = ” xảy  Vậy Min M = 2008 Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm  x1  -18- -18- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số y1 y1 Cho x2 + 2y2 + 2xy + 4x - y + = (1) Tìm Min S = x+ y Tìm GTNN biểu thức P = 2x2 + y2 - 2xy - 4x + 6y - 5 Tìm x để y lớn thõa mãn : x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y + 13 = 0(1) (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010 - 2011) HD : Biến đổi ta : (1)  (x + y - 4)2 + (y + 1)2 =  (y + 1)2  ( (x + y - 4)2  0) -2  y + 1 Đến ta giải tiếp BT Dạng : Dùng Bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN A.Lí thuyết : Một số BĐT quen thuộc : a , a2 + b2  2ab với a, b Dấu “ = ” xảy a = b b, - Với ab > ta có : ” xảy a = b a b  2 Dấu “ = ba - Với ab < ta có : a  b b 2 Dấu “ = ” xảy a = - b a c, (a + b)2  4ab Từ suy BĐT sau: Nếu a > 0, b > ta có: ab  ab 114 b b ab a a (a + b)   a b Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -19- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -19- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số    1 ab a b 2.Một số tính chất quen thuộc bất đẳng thức: a, Với a, b, c, d > a > b, c > d a.c > b.d b, Với a > b c > a.c > b.d c, Với a > b c < a.c < b.c d, Với a > b a, b, n > an > bn Ví dụ: Tìm GTNN M =  2 ab với a > 0; b > 0; a + b = a b (Đề thi GVG Huyện Cẩm Xuyên năm học 2011 - 2012) HD: M =    3  2  2ab a b  2ab a b  2ab Ta có: (a + b)2  4ab (áp dụng BĐT c)  2ab  ab2  1  Dấu “ = ” xảy a = b =  2ab  ( a + b = 1)  2ab a b 2aba b   ( a + b = 1) ab Dấu “ = ” xảy a = b = M=1   3   2ab  2   3.4 = 14 Dấu “ = ” xảy a = b =  2ab a b  Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -20- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -20- Một số toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Vậy Min M = 14 a = b = BĐT Côsi : Cho số không âm a1; a2; ;an ta có: a1 + a2 + + an  n.n a1.a2 an Dấu “ = ” xẩy a1 = a2 = = an Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau; + Nếu số không âm có tổng khơng đổi tích chúng lớn số + Nếu số khơng âm có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số *Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức A 3x5  3x HD: ĐKXĐ:  x  A2 3x573x2 3x573x Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 3x - - 3x ta có: 3x573x3x573x Nên A2 224, dấu “=” xảy 3x5  73xx Vậy MaxA = x = *Ví dụ 2: Cho x > Tìm GTNN biểu thức A  3x4  16 3x4 16 16 16 16 HD: A   3x  xxx  44 x.x.x  4.2  x x x x x 16 Dấu “=” xảy x  x=2 x Vậy minA = x=2 Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -21- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -21- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số * Ngồi ta áp dụng mệnh đề để làm số tập Ví dụ : Tìm GTNN biểu thức D =  x HD : D =  = xy x y = x với x > ; y > x + y = y y xy Vì x + y = (kđ) nên D đạt giá trị nhỏ xy lớn Theo mệnh đề ta có xy lớn x = y Mà x + y =  x = y = Vậy Min D =  * Chú ý : - Ta sử dụng nhiều BĐT tốn Ví dụ :Cho x, y số dương thõa mãn : x + y  Tìm GTNN biểu thức : M = 2  (Đề thi HSG Toán Huyện Cẩm Xuyên năm học 2012 - 2013) x  y xy HD : Ta có : M = x2 1 y2  xy1 = x2 1 y2  21xy 42xy  Áp dụng BĐT   ta có : 2   = a a b b 2xy x  y  2xy xy (x y) Áp dụng BĐT CơSi cho số dương x, y ta có : x + y  xy (x + y)2  4xy   Do : M  + 2 = 2 4xy (x y)  ( x + y  1) Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -22- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -22- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số (x y) (x y) (x y) Dấu “ = ” xảy x = y = Chú ý : - Nếu sử dụng nhiều BĐT khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xẩy dấu hay khơng Ví dụ :Cho x, y số dương thỏa mãn x+y= 1 x x Tìm GTNN 1 y y A = x+1x 2 y 1y2 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm x, Ta có:x+  x  (1) x Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm y, y Từ (1) (2) =>A  => Min A = Sai lầm: Đẳng thức (1) xảy   x Ta có: y+  y  x2 x Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -23- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -23- (2) Đẳng thức (2) xảy   y y2 Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) y Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x, y ta có : x + y 1  xy  xy   xy 2 Ta có : A = + x +y22    1x +   1y Ta lại có: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  - = 1 25   +4 = x Từ (1) (2) =>A  + xy =>Min A = (1) 22 y  (do xy ) 8 (2) x y x = y = BĐT BunhiaCop ki : Cho số n ( a1; a2; ;an) (b1 ; b2 ;… ;bn) ta có : (a12 + a22 + +an2)(b12 + b22 + + bn2)  (a1b1 + a2b2 + + anbn)2 Dấu “ = ” xảy b1 a1  a2 b2   bn an ( Lưu ý : Nếu bi = = 0) *Ví dụ 1: Cho x2 y 10 Tìm GTNN x + y HD: áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai số (1;2) ( x; y ) Ta có: 1 x y 1  xy 102  5x y 20  x y Dấu “=” xảy x y   x = 4, y = 16 Vậy Min( x + y) = 20 x = 4, y = 16 Ví dụ : Tìm GTLN A = x + 10 x (với x10) HD : Áp dụng BĐT Bunhia Copxki cho số (1 ; 1) ( x ; 10 x ) ta có : (1 + 1)(x - 2+ 10 - x)  ( x + 10 x )2 hay A2  16 A  Dấu “ = ” xảy x = Vậy Max A = x6 BĐT Sa- Vac : Cho số a1, a2, ,an b1, b2, ., bn > Ta có : a12  a22   an2  b2 bn a a2  an2 b1 b1 b2  .bn Dấu “ = ” xảy a1  b1 a2   an b2 bn Ví dụ : Cho a, b, c số dương thõa mãn : a + b + c  1 Tìm GTNN A = 2  a 2bc b 2ca c 2ab 1 HD : C/1 : Áp dụng BĐT Sa- vac ta có :    a  2bc b  2ca c  2ab (abc) Do a, b, c > a + b + c  nên < (a + b + c)2   (abc) Dấu “ = ” xảy a = b = c Vậy Min A =  a = b = c =  C/2: Đặt x = a2 + 2bc; y = b2 + 2ca ; z = c2 + 2ab Ta có : x + y + z = (a + b + c)2  Áp dụng VD BĐT CơSi ta có : (x + ) y + z  x  1 y  z    Vì < x + y + z      hay A  Dấu “ = ” xảy x = y = z  a = b = c x y z Vậy Min A =  a = b = c = Bài tập : 1.Cho x > ; y > thõa mãn : xy = Tìm GTNN biểu thức : A = (x + y + 1)(x2 + y2 ) + x y a2 b2 2.Cho a > ; b > Tìm GTNN biểu thức: A =  b  a  3.Cho x2 + y2 = 136 Tìm GTLN B = 3x + 5y HD : Áp dụng BĐT Bunhia- Copxki a b 4.Cho a > ; b > ; c > Tìm GTNN C =   c bc ca ab 5.Tìm GTNN M = x y  y x3 với x  3; y  xy 6.Tìm GTLN biểu thức : N = (2 - x)(2x + y)(2 - y) với x , y 0;2 HD : Nhân vế biểu thức với áp dụng mệnh đề PHẦN III : KẾT LUẬN - - - I Bài học kinh nghiệm :Trong trình áp dụng đề tài thấy : Đối với người dạy : Cần kiến thức SGK để từ khai thác, phát triển sâu Khi dạy HS cần làm kĩ dạng cụ thể đặc biệt ý sai lầm HS Đối với người học : Cần phân tích giả thiết tốn để xác định cách làm Tăng cường làm tập, ý nghe giảng Biết khai thác giả thiết phát vấn đề II Kiến nghị : Đối với cá nhân : Cần nghiên cứu nghiều tốn dạng đồng thời tìm phương pháp giải khác cho dạng Đối với tổ nhà trường : Cần triển khai tổ để đồng nghiệp nghiên cứu phát triển thêm để triển khai cấp cao ( Cấp cụm) Trên dạng tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Với lí mà tơi nêu phần đặt vấn đề, có nhiều cố gắng chắn cịn có nhiều điều thiếu sót, tơi mong góp ý chân thành đồng nghiệp bạn đọc để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn .. .Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số PHẦN II: NỘI DUNG I LÍ THUYẾT: Cho biểu thức f(x,y,…) Ta nói a giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x,y,... - 19- Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm - 19- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số    1 ab a b 2 .Một số tính chất quen thuộc bất đẳng thức: ... x1  -18- -18- Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số Một số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số y1 y1 Cho x2 + 2y2 + 2xy + 4x - y + = (1) Tìm Min S = x+ y Tìm GTNN biểu thức P = 2x2 +