TOÁN 7 HK2 HH c3 bài 3 bất ĐẲNG THỨC TAM GIÁC THCS VN

Bài Quan hệ cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác Các kiến thức cần nhớ Quan hệ ba cạnh tam giác, bất đẳng thức tam giác Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh Ta có bất đẳng thức tam giác: Các dạng toán thường gặp AC − AB < BC < AC + AB hay b− c < a < b+ c Dạng 1: xác định xem có tồn tam giác với ba cạnh ba độ dài cho trước hay không? Phương pháp: + Tồn tam giác có độ dài ba cạnh + Trong trường hợp xác định giác a, b, c nếu: b − c < a < b + c a số lớn ba số a, b, c điều kiện để tồn tam a < b+ c Dạng 2: xác định khoảng giá trị cạnh tam giác Phương pháp: sử dụng bất đẳng thức tam giác : Trong tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c có bất đẳng thức b − c < a < b + c Từ bất đẳng thức ta suy khoảng giá trị a Dạng 3: chứng minh bất đẳng thức độ dài Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức tam giác biến đổi bất đẳng thức Chú ý đến phép biến đổi sau: + cộng số vào hai vế bất đẳng thức: + Cộng vế hai bất đẳng thức chiều: a < b ⇒ a+c b⇒ a+ c > b+ c Với ba điểm M , B, C bất kì, ta có BM + CM ≥ BC Dấu “=” xảy M thuộc đoạn BC I PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Cho ∆ ABC , em chọn đáp án sai đáp án sau: A AB + BC > AC B BC − AB < AC C BC − AB < AC < BC + AB D AB − AC > BC Lời giải Chọn D Phương pháp: sử dụng bất đẳng thức tam giác Vì tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh nên đáp án Câu Cho A, B, C ∆ MNP , em chọn đáp án đáp án sau: A MN + NP < MP B MP − NP < MN C MN − NP < MP < MN + NP D Cả B, C Lời giải Chọn D Phương pháp: sử dụng bất đẳng thức tam giác Câu Vì tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh cịn lại hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại nên đáp án B, C Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba ba đoạnt hẳng cho sau ba cạnh tam giác 3cm,5cm,7cm B 4cm,5cm,6cm C 2cm,5cm,7cm D 3cm,6cm,5cm A Lời giải Chọn C 3 + = >   + = 10 >  + Xét ba : 3cm,5cm,7cm Ta có:  + = 12 > thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên ba 3cm,5cm,7cm lập thành tam giác Loại đáp án A 4 + = >   + = 11 >  + Xét ba : 4cm,5cm,6cm Ta có:  + = 10 > thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên ba 4cm,5cm,6cm + Xét ba : ba lập thành tam giác Loại đáp án B 2cm,5cm,7cm Ta có: + = 2cm,5cm,7cm không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên không lập thành tam giác Chọn đáp án C 3 + = >  3 + = >  + Xét ba : 3cm,6cm,5cm Ta có: 5 + = 11 > thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên ba 3cm,6cm,5cm Câu lập thành tam giác Loại đáp án D Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba ba đoạnt hẳng cho sau ba cạnh tam giác 6cm,6cm,5cm B 7cm,8cm,10cm C 12cm,15cm,9cm D 11cm,20cm,9cm A Lời giải Chọn D Phương pháp: bất đẳng thức tam giác Trong tam giác, độ dài cạnh nhỏ tổng độ dài hai cạnh 6 + = 12 >  + Xét ba : 6cm,6cm,5cm Ta có: 6 + = 11 > thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên ba 6cm,6cm,5cm lập thành tam giác Loại đáp án A  + = 15 > 10   + 10 = 17 >  + Xét ba : 7cm,8cm,10cm Ta có:  + 10 = 18 > thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên ba 7cm,8cm,10cm lập thành tam giác Loại đáp án B 12 + 15 = 27 >  12 + = 21 > 15  + Xét ba : 12cm,15cm,9cm Ta có: 15 + = 24 > 12 thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên ba 12cm,15cm,9cm lập thành tam giác Loại đáp án C + Xét ba : 11cm,20cm,9cm Ta có: 11 + = 20 khơng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên ba 11cm,20cm,9cm lập thành tam giác Chọn đáp án D Câu Cho ∆ ABC có cạnh số nguyên AB = 1cm cạnh BC = 4cm Tính độ dài cạnh AC biết độ dài cạnh AC A 1cm B 2cm C 3cm D 4cm Lời giải Chọn D Phương pháp: bất đẳng thức tam giác Gọi độ dài cạnh Câu AC x ( x > ).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: − < x < + ⇔ < x < Vì x số nguyên nên x = độ dài AC = 4cm Cho ∆ ABC có cạnh AB = 10cm cạnh BC = 7cm Tính độ dài cạnh AC biết độ dài cạnh AC số nguyên tố lớn 11 A 17cm B 15cm C 19cm D 13cm Lời giải Chọn D Phương pháp: bất đẳng thức tam giác Trong tam giác, độ dài cạnh nhỏ tổng độ dài hai cạnh nhỏ hiệu độ dài hai cạnh Gọi độ dài cạnh Câu AC x ( x > ).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: 10 − < x < + 10 ⇔ < x < 11 Vì x số nguyên tố lớn 11 nên x = 13 độ dài AC = 13cm Cho ∆ ABC có cạnh AB = 1cm cạnh BC = 9cm cạnh AC số nguyên.Chu vi ∆ ABC : A 17cm B 18cm C 19cm D 16cm Lời giải Chọn C Phương pháp: bất đẳng thức tam giác để tính AC Từ tính chu vi tam giác ABC x ( x > ).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: − < x < + ⇔ < x < 10 Vì x số nguyên nên x = độ dài AC = 9cm Gọi độ dài cạnh AC ∆ ABC là: AB + BC + CA = + + = 19cm ∆ ABC có cạnh AB = 2cm cạnh BC = 7cm Chu vi Câu Cho cạnh AC số tự nhiên lẻ.Chu vi ∆ ABC : A 17cm B 15cm C 14cm D 16cm Lời giải Chọn D Phương pháp: bất đẳng thức tam giác để tính AC Từ tính chu vi tam giác ABC x ( x > ).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: − < x < + ⇔ < x < Vì x số tự nhiên lẻ nên x = độ dài AC = 7cm Gọi độ dài cạnh AC ∆ ABC là: AB + BC + CA = + + = 16cm ∆ ABC có cạnh AC = 8cm cạnh BC = 1cm ABC tam giác gì? Chu vi Câu Cho giác độ dài cạnh AB số nguyên.Tam A Tam giác vuông B Tam giác cân A A C Tam giác vuông cân D Tam giác cân A B Lời giải Chọn B Phương pháp: bất đẳng thức tam giác để tính Gọi độ dài cạnh AB AC Từ xác định tính chất tam giác ABC x ( x > ).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: − < x < + ⇔ < x < Vì x số nguyên nên x = độ dài AB = 8cm Câu 10 ∆ ABC có : AB = CA = 8cm nên ∆ ABC cân A Cho ∆ ABC có cạnh AC = 1cm cạnh BC = 5cm giác ABC tam giác gì? A Tam giác vng B Tam giác cân AB số nguyên.Tam B B C Tam giác vuông cân D Tam giác cân độ dài cạnh A A Lời giải Chọn B Phương pháp: bất đẳng thức tam giác để tính AC Từ xác định tính chất tam giác ABC x ( x > ).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: − < x < + ⇔ < x < Vì x số nguyên nên x = độ dài AB = 5cm Gọi độ dài cạnh Câu 11 AB ∆ ABC có : AB = BC = 5cm nên ∆ ABC cân B Cho ∆ ABC cân A có cạnh 5cm Tính độ dài cạnh BC tam giác biết chu vi tam giác 17cm A BC = 7cm BC = 5cm B BC = 7cm C BC = 5cm D BC = 6cm Lời giải Chọn A Phương pháp: áp dụng tính chất tam giác cân Áp dụng bất đẳng thức tam giác ∆ ABC cân A Trường hợp 1: AB = Ta có : AC = 5cm ⇒ BC = 17 − − = 7cm  AB + AC = + = 10 > BC =   AB + BC = + = 12 > AC =  BC + AC = + = 12 > AB =  Trường hợp : BC = thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 5cm ⇒ AB = AC = ( 17 − ) : = 6cm  AB + AC = + = 12 > BC =   AB + BC = + = 11 > AC =  Ta có :  BC + AC = + = 11 > AB = thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Vậy ∆ ABC Vậy Câu 12 Cho  AB = AC = 5cm ⇒ BC = 7cm  cân A có  BC = 5cm ⇒ AB = AC = 6cm BC = 7cm BC = 5cm ∆ ABC có M trung điểm A AB + BC < AM B AB + AC > AM C AB + AC = AM D AB + AC ≤ AM BC So sánh AB + AC 2AM Lời giải Chọn B Phương pháp giải: - Kẻ thêm hình: tia đối tia MA lấy điểm N cho MN = MA Áp dụng bất đẳng thưc tam giác : tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh cịn lại Trên tia đối tia có M MA lấy điểm N cho MN = MA trung điểm BC (gt) ⇒ MB = MC (tính chất trung điểm) ∆ MAB ∆ MNC có: Xét MB = MC (cmt ) ·AMB = NMC · ( ®èi ®Ønh) AM = MN ( gt ) ⇒ ∆ MAB = ∆ MNC(cgc) ⇒ NC = AB (2 cạnh tương ứng) (1) ¼ng thøc tam gi¸c) (2) Xét ∆ ACN : AN < AC + CN ( bÊt ® Từ (1) (2) Mặt khác Câu 13 Cho ⇒ AN < AC + AB AN = 2AM(gt) ⇒ 2AM < AB + AC ∆ ABC có AB < AC Trên đường phân giác AD lấy điểm E Em chọn câu A EC − EB > AC − AB B EC − EB = AC − AB C EC − EB < AC − AB D EC − EB ≤ AC − AB Lời giải Chọn C Phương pháp giải: - ∆ ABE = ∆ AKE(cgc) suy EB = EK (2 cạnh tương ứng) Áp dụng bất đẳng thức tam giác chứng minh: EC − EK < KC - EC − EB < KC Mặt khác: KC = AC − AK = AC − AB từ suy đpcm Xét hình: cạnh AC lấy điểm K cho AK = AB ∆ ABE va ∆ AKE có: điểm K Kẻ Trên cạnh thêm AC lấy - cho AK = AB chứng mà minh EK = EB (cmt) suy AB = AK ( c¸ch dùng) · = KAE · ( AD phân giác BAC à ) BAE EA chung ∆ ABE = ∆ AKE(cgc) suy EB = EK (2 cạnh tương ứng) ng thøc tam gi¸c) mà EK = EB suy EC − EB < KC (1) Xét ∆ CEK : EC − EK < KC( bất đẳ Mt khỏc KC = AC AK = AC − AB (2) Từ (1) (2) ⇒ EC − EB < AC − AB ∆ ABC có điểm O điểm nằm tam giác So sánh AO + OC AB + BC : A OA + OC < BA + BC Câu 14 Cho B OA + OC > BA + BC C OA + OC = BA + BC D OA + OC ≥ BA + BC Lời giải ChọnA Phương pháp giải: - Kẻ thêm hình: giao điểm AO BC điểm D Áp dụng bất đẳng thưc tam giác : tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh lại Lời giải: giao điểm AO BC điểm D Vì O nằm ∆ ABC nên D nằm B ⇒ BC = BD + DC (*) Xét ∆ COD có OC < OD + DC (2) (bất đằng thức tam giác) Cộng vế với vế (1) (2) ta Câu 15 OA + OD + OC < AB + BD + OD + DC ⇒ OA + OC < AB + BD + DC (**) Từ (*) (**) ta có OA + OC < AB + BC Cho ∆ ABC , có điểm M điểm nằm tam giác So sánh MB + MC AB + BC A MB + MC ≤ AB + AC : C B MB + MC < AB + AC C MB + MC = AB + AC D MB + MC > AB + AC Lời giải Chọn B giao điểm BM AC điểm I ∆ IMC có MC < MI + IC (1) (bất đằng thức tam giác) ⇒ MC + MB < MI + IC + MB ⇒ MC + MB < IB + IC (2) Xét ∆ IAB có IB < IA + AB (3) (bất đằng thức tam giác) ⇒ IB + IC < IA + AB + IC ⇒ IB + IC < AC + AB (4) Từ (2) (4) suy MC + MB < AB + AC Có tam giác có độ dài hai cạnh 7cmvà 2cm độ dài cạnh lại số Xét Câu 16 nguyên (đơn vị cm) A B C D Lời giải Chọn C Gọi độ dài cạnh lại x ( x > ).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: − < x < + ⇔ < x < Vì x số nguyên nên x ∈ { 6;7;8} Vậy có giá trị thỏa mãn Câu 17 Có tam giác có độ dài hai cạnh nguyên (đơn vị cm)? A 9cmvà 3cm độ dài cạnh lại số B C D Lời giải Chọn C Gọi độ dài cạnh lại x ( x > ).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: − < x < + ⇔ < x < 12 Vì x số nguyên nên x ∈ { 7;8;10;11} có giá trị thỏa mãn Câu 18 Cho hình vẽ Hãy chọn câu A AB + BC + CD + DA < AC + BD B AB + BC + CD + DA < ( AC + BD ) C AB + BC + CD + DA > ( AC + BD ) D AB + BC + CD + DA = ( AC + BD ) Lời giải Chọn B Xét Xét ∆ AED có AE + ED > AD (1) (bất đằng thức tam giác) ∆ ECD có CE + ED > CD (2) (bất đằng thức tam giác) ∆ EBC có EB + EC > BC (3) (bất đằng thức tam giác) Xét Cộng vế với vế (1)(2)(3) AE + ED + CE + ED + EB + BC > AD + CD + BC Mà AE + EC = AC; DE + BE = BD nên 2( AC + BD) > AB + BC + CD + DA Câu 19 Cho hình vẽ với · nhọn Hãy chọn câu xOy A MN + EF < MF + NE B MN + EF > MF + NE C MN + EF = MF + NE D MN + EF ≤ MF + NE Lời giải Chọn A Xét Xét ∆ MIN có MN < MI + IN (1) (bất đằng thức tam giác) ∆ EIF có EF < IF + IE (2) (bất đằng thức tam giác) Cộng vế với vế (1)(2) Câu 20 MN + EF < MI + NI + IF + IE ⇒ MN + EF < MF + NE Cho ∆ ABC có M nằm tam giác A MA + MA < AC + BC B MA + MA > AC + BC C MA + MA = AC + BC D MA + MA < Hãy chọn câu AC + BC Lời giải Chọn A Kéo dài BM cắt AC điểm E Xét ∆ BEC có BE < EC + BC (1) (bất đằng thức tam giác) Xét ∆ AME có MA < ME + EA (2) (bất đằng thức tam giác) MA + MB < ME + MB + EA < EC + BC + EA mà EC + EA = AC nên MA + MB < AC + CB Suy Câu 21 Chọn câu đúng: A Độ dài cạnh lớn nửa chu vi B Độ dài cạnh nửa chu vi C Độ dài cạnh lớn chu vi D Độ dài cạnh nhỏ nửa chu vi Lời giải Chọn D Gọi độ dài cạnh a, b, c Chu vi tam giác Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: a < Tương tự, ta có b< a+ b+ c b + c ⇒ a + a < b + c + a ⇒ 2a < a + b + c ⇒ a< a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c ;c < 2 Nên độ dài cạnh nhỏ nửa chu vi tam giác ∆ ABC ,điểm M nằm tam giác So sánh tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh A, B,C với chu vi ∆ ABC Câu 22 Cho A tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh A, B,C lớn chu vi ∆ ABC M đến ba đỉnh A, B,C nửa chu vi ∆ ABC C tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh A, B,C nhỏ chu vi ∆ ABC D tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh A, B,C lớn nửa chu vi ∆ ABC B tổng khoảng cách từ Lời giải Chọn D Nối đoạn Xét Xét Xét MA, MB, MC ∆ AMB có AB < MA + MB (1) (bất đằng thức tam giác) ∆ AMC có AC < AM + MC (2) (bất đằng thức tam giác) ∆ BMC có BC < BM + MC (3) (bất đằng thức tam giác) ⇒ BC + AC + BA < BM + MC + AM + MC + AM + MB ⇒ BC + AC + BA < BM + MC + AM Câu 23 Cho ∆ ABC , BC lấy điểm M A AB + BC − AC > AM B AB + BC − AC ≥ AM C AB + BC − AC = AM D AB + BC − AC < AM nằm B C So sánh AB + AC − BC 2AM Lời giải Chọn D ∆ AMB có MA > AB − MB (1) (bất đằng thức tam giác) Xét ∆ AMC có AM > AC − MC (2) (bất đằng thức tam giác) Vì M nằm B; C (gt) ⇒ BC = BM + MC Xét Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên, ta có: AM > AB + AC − ( MB + MC ) ⇒ AM > AB + CA − BC Câu 24 Cho ∆ ABC , BC lấy điểm M A AB + BC + AC = AM B AB + BC + AC < AM C AB + BC + AC ≥ AM D AB + BC + AC > AM nằm Lời giải Chọn D B C So sánh AB + AC + BC 2AM ∆ AMB có AM < AB + MB (1) (bất đằng thức tam giác) Xét ∆ AMC có AM < AC + MC (2) (bất đằng thức tam giác) Vì M nằm B; C (gt) ⇒ BC = BM + MC Xét Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên, ta có: AM + AM < AB + MB + AC + CM ⇒ 2AM < AB + ( BM + MC ) + AC Câu 25 ⇒ 2AM < AB + BC + AC Cho ∆ ABC có AB > AC M trung điểm án sau: AB − AC AB + AC < AM ≤ A 2 AB − AC AB + AC ≤ AM ≤ B 2 AB − AC AB + AC < AM < C 2 AB − AC AB + AC > AM > D 2 Lời giải Chọn C BC em chọn đáp án đáp MA lấy điểm A ' cho MA = MA ' Xét ∆ AMB ∆ A ' MC có: Trên tia đối tia MB = MC ( M latrung diem BC ) ·AMB = A· ' MC ( ®èi ®Ønh) AM = A ' M ( gt ) ⇒ ∆ AMB = ∆ A ' MC (cgc) ⇒ AB = A ' C (2 cạnh tương ứng) (1) Xét ∆ ACA ': A ' C − AC < AA ' < A ' C + AC ( bÊt đẳng thức tam giác) (2) AB = A ' C (cmt ); AA ' = AM (cachve) Mà nên ta có AB − AC < AM < AB + AC AB − AC AB + AC ⇒ < AM < 2 Câu 26 Cho ∆ ABC ,có hai đường vng góc BE,CF A BC > EF B BC < EF C BC ≥ EF D BC ≤ EF So sánh EF BC : Lời giải Chọn A Gọi M trung điểm BC Xét ∆ BEC vuông Xét ∆ BFC vng Do ME + MF = Ba điểm M, E, F E , M trung điểm BC nên F , M trung điểm BC nên ME = BC MF = BC BC BC + ⇒ ME + MF = BC (1) 2 nằm ba cạnh ∆ ABC nên khơng thể thẳng hàng Do ba điểm M, E, F tạo thành tam giác Xét ∆ MEF : ME + MF > EF ( bất đẳng thøc tam gi¸c) (2) Từ (1) (2) suy Câu 27 Cho ∆ ABC , M BC > EF trung điểm BC em chọn đáp án đáp án sau: A AM nửa chu vi ∆ ABC B AM nhỏ nửa chu vi ∆ ABC C AM lớn chu vi ∆ ABC D AM lớn nửa chu vi ∆ ABC Lời giải Chọn B AM Xét ∆ AMB có AM < AB + MB (1) (bất đằng thức tam giác) Xét ∆ AMC có AM < AC + MC (2) (bất đằng thức tam giác) Vì M nằm B; C (gt) ⇒ BC = BM + MC Nối đoạn thẳng Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên, ta có: AM + AM < AB + MB + AC + CM ⇒ 2AM < AB + ( BM + MC ) + AC ⇒ 2AM < AB + BC + AC ⇒ AM < AB + BC + AC BẢNG ĐÁP ÁN D D C D D D C D 10 B B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C A B C C 21 22 23 24 25 26 27 D D D D C A B B A A ... ABC tam giác gì? Chu vi Câu Cho giác độ dài cạnh AB số nguyên .Tam A Tam giác vuông B Tam giác cân A A C Tam giác vuông cân D Tam giác cân A B Lời giải Chọn B Phương pháp: bất đẳng thức tam giác. .. BC = 5cm giác ABC tam giác gì? A Tam giác vuông B Tam giác cân AB số nguyên .Tam B B C Tam giác vuông cân D Tam giác cân độ dài cạnh A A Lời giải Chọn B Phương pháp: bất đẳng thức tam giác để tính... tam giác 3cm,5cm,7cm B 4cm,5cm,6cm C 2cm,5cm,7cm D 3cm,6cm,5cm A Lời giải Chọn C ? ?3 + = >   + = 10 >  + Xét ba : 3cm,5cm,7cm Ta có:  + = 12 > thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên ba 3cm,5cm,7cm