BẤT ĐẲNG THỨC bộ 1 PHẦN 1 ( Có Đáp Án Chi Tiết)

CẨM NANG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC & CỰC TRỊ ĐẠI SỐ ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, ● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán ● Phân dạng phương pháp giải rõ ràng CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Lêi giíi thiƯu Các em học sinh thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Cẩm nang chứng minh bất đẳng thức THCS tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt mơn Tốn THCS THPT sau Các tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi toán THCS, vào lớp 10 chun mơn tốn nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thường gặp, tập rèn luyện giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện kiến thức học Mỗi chủ đề có ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết để làm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề B Một số ví dụ: Phần đưa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phương pháp luận mà chương trình địi hỏi Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo nhận xét, lưu ý, bình luận phương pháp giải, sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải tốn, học tốn C Bài tập vận dụng: Phần này, tác giả đưa hệ thống tập phân loại theo dạng tốn, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập trích từ đề thi học sinh giỏi Toán đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độ lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí ● Để chứng minh A ≥ B ta xét hiệu A – B chứng minh hiệu A – B số không âm cách dồn tổng bình phương ● Lưu ý : A2  với A ; dấu '' = '' xảy A = B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Chứng minh với số thực x ta có:  x  1  x    x  3  x   �1 Hướng dẫn giải Xét hiệu: A   x  1  x    x  3  x     1 �  x  1  x   �  x    x  3 � � �� � �   x  5x    x  5x    Đặt y  x  5x  ta A   y  1  y  1   y    y2 �0 Vậy  x  1  x    x  3  x   �1 Thí dụ Cho a, b số thực Chứng minh rằng: a  b  �ab  a  b Hướng dẫn giải Xét hiệu: A  a  b   ab  a  b   � a  2ab  b    a  2a  1   b  2b  1 �  � � 1� �0  a  b    a  1   b  1 � � � Vậy a  b  �ab  a  b Đẳng thức xảy a = b = 2 Thí dụ Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a  �a  a  1 Hướng dẫn giải 2 Xét hiệu: A  a   a  a  1  a  a  a   a  a  1   a  1   a  1  a  1   a  1 a  1 �0 Ta có A �0 a    a  1 �0 2 Vậy a  �a  a  1 Dấu xảy a = a = -1 Thí dụ Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a  9b  c  19  2a  12b  4c Hướng dẫn giải Xét hiệu: 19 � � A  �a  9b  c  �  2a  12b  4c    a  2a  1   9b  12b     c  4c    2� � 2   a  1   3b     c     Ta có A >  a  1 �0,  3b   �0  c   �0 Vậy a  9b  c2  Thí dụ 2 19  2a  12b  4c Chứng  x  y   x3  y  � x  y minh bất đẳng thức sau với x, y không âm  2 Hướng dẫn giải Xét hiệu hai vế:  x  y   x  y    x  y   x  xy  x3 y  y  x  x y  y  xy  y  x  xy   xy  x  y  �0 Đẳng thức xảy x  0, y  0, x  y C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh với x ta có:  x  1  x    x  3  x    �0 2) Chứng minh a, b, c ta có: a  4b  3c2  2a  12b  6c  14 3) Chứng minh với x, y, z ta có: a) x  y  z �xy  yz  zx 4) b) x  y  z �2xy  2xz  2yz Chứng minh với x, y ta có: 4x  4xy  4y  6y  PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí Để chứng minh A �B ta chứng minh A � �� B  Một số bất đẳng thức cần nhớ : Với a, b, c ta có : C D với C �D ln  �  a  b  ) 4ab � a  b  �2  a  b  2 �0   ) a  b  c2 �ab  bc  ca 1 2 2 � �  )  ab  bc  ca  � a  b  c  �3  a  b  c  ��  a  b    b  c    c  a  �0 � 2 � � B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Cho số thực a, b, c Chứng minh đẳng thức: a  b  c �a  b  c � �� � � � Hướng dẫn giải Ta có: a  b  c2 �a  b  c � �� � � � �  a  b  c  � a  b  c   1  1 �  a  b  c  �a  b  c   ab  bc  ca  �  a  2ab  b    b  2bc  c    c  2ca  a  �0 �  a  b    b  c    c  a  �0 2  2 Bất đẳng thức (2) Vậy bất đẳng thức (1) Đẳng thức xảy a = b = c Thí dụ Chứng minh đẳng thức  a  b   c  d  � ac  bd   1 Hướng dẫn giải  1 � a 2c  a d  b2c  b2 d �a 2c  2abcd  b 2d 2 ۣ a d  b c 2abcd   ad bc   3 Bất đẳng thức  3 Vậy bất đẳng thức  1 Đẳng thức xảy ad  bc Thí dụ Chứng minh rằng: a  b  c  d  e �a (b  c  d  e) a, b, c, d , e �R Hướng dẫn giải Ta có: a  b  c  d  e �a (b  c  d  e ) � a2 a2 a2 a2  ab  b   ac  c   ad  d   ae  e �0 4 4 2 2 �a � �a � �a � �a � � �  b � �  c � �  d � �  e ��0 �2 � �2 � �2 � �2 � Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh Dấu “=” xảy khi: b  c  d  a Thí dụ Chứng minh với số thực a, b ta có:  a  b  �ab3  a b  2a b Hướng dẫn giải Để ý với a = b có dấu đẳng thức nên ta tách số hạng để tạo nhân tử chung  a  b  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  2a b  b  a  a b  b  b  ab �0 �  a  b    a  b   a  b  �0 2 �  a  b � �0 �a  b    a  ab  b  � � 2 �  a  b � a  b   2a  2ab  2b ��0 � � 2 �  a  b � a  b   a  b ��0 � � Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b Chú ý: Qua hai ví dụ ta nhận thấy biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất đại lượng  a - b ;  b - c ;  c - a 2 với điều kiện dấu đẳng thức xảy a =b =c Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đốn dấu đẳng thức xảy để từ có hướng hợp lí 12ab Thí dụ Cho số thực x, y dương Chứng minh rằng: a  b �  ab Hướng dẫn giải Ta có: 12ab ab�  ab �  a  b    ab  �12ab   ab   � 9a  9b  a b  ab �12ab �  a b  6ab  9b    ab  6ab  9a  �0 � b  a  3  a  b  3 �0   2 2 Vì a, b  nên b  a  3 �0 a  b  3 �0 (2) Vậy bất đẳng thức chứng minh, dấu “=” xảy a = b = Thí dụ Cho số thực a, b dương Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải a2b a  2ab  � 2a  b3 2a  b Để ý a = b có dấu đẳng thức, a2b a  2ab  ;  2a  b3 2a  b Nên ta biến đổi sau : a2b a  2ab  �� �۳ 2a  b3 2a  b2 a2b 2a  b3   a  b a  2ab 2a  b2  2a  b   2a  b3    a  b 2a  b2 � 2a  b � 2 ��0 �  a  b  � �  a  b �   2a  b    2a  b   2a  b  � 3 � � 2a  b  2a  b  � � � � �  a  b � 2a  2b3  2a b  2ab � � ��0 �  a  b   a  b  �0 Ta có bất đẳng thức chứng minh Thí dụ Cho số thực a , b không đồng thời Chứng minh rằng: 2ab 2 a +4b + b2 � 3a +2b 2 Hướng dẫn giải 2ab b2  ;  Nên ta ta biến 2 2 3a  2b a  4b Dấu đẳng thức xảy với a =b , 2ab b2 - + �0 Tới ta quy đồng hai a +4b2 3a2 +2b2 vế phân tích thành bình phương đổi bất đẳng thức thành Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2ab a2 +4b2 ۳ ۳ ۳ + 2a2 - 10ab +8b2   b2 2ab b2 - + a +4b2 3a2 +2b2 �۳ 2 3a +2b + 3a2 - 3b2 0۳    +3 a - b  a +b a - b a - 4b a2 +4b2 3a2 +2b2 a2 +4b2 3a2 +2b2 a- b � a - 4b 3a2 +2b2 +3 a +b a2 +4b2 � � � 2 2 a - b 9a - 21a b +16ab - 4b ۳ a - b 3a - 2b              Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a =b 3a =2b Thí dụ Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:  3a2 +2ab +3b2 �2 a2 +b2 a +b  Hướng dẫn giải Đẳng thức xẩy a  b , ta cố biến đổi bất đẳng thức làm xuất   đại lượng a - b Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nên để xuất nhân  tử chung    a2 +b2 - a +b có dạng   = a- b  a - b ta cần ý đến phép biến đổi     a2 +b2 - a +b = Khi ta có  a - b     a2 +b2 + a +b Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh sau   3a2 +2ab +3b2 �2 a2 +b2 a +b 3a2 +2ab +3b2 ۳ - a +b 2 a2 +b2 - a +b a +b  ۳  a - b ۳  a - b ۳    a- b a +b           a2 +b2 + a +b       � a2 +b2 + a +b - a +b � � � � �     a - b � a2 +b2 - a +b � ۳ � � � �   a - b  a2 +b2 +a +b Bất đẳng cuối a , b dương Vậy bất đẳng thức chứng minh Thí dụ Cho biểu thức : P  xy  x    y    12x  24x  3y  18y  36 Chứng minh P dương với x;y thuộc R (Đề toán vào lớp 10 Quảng Ninh năm 2010-2011) Hướng dẫn giải Ta có: P  xy  x    y    12x  24x  3y  18y  36  xy  x    y    12x  x    3y  y    36  x  x  2 � y  y    12 � y  y    12 � � � � � �   y  6y  12   x  2x   Mà y  y  12   y  3   x  x    x  1   Vậy P > với x;y thuộc R Thí dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh bất đẳng thức : a b 16 �1 �   �5 �  � ab b a �a b � Hướng dẫn giải Ta có : 1 n   � � �   1 1  1! 2! 3!  n  1 !  n  1 ! Ta dược điều phải chứng minh 1  � � �  � n n Thí dụ Chứng minh : Hướng dẫn giải Ta có với n  k� 1� � n n   n n n k k n � � �  n �1144 2 4 4 31  n n �1 1 � � n�  � � �  �� n n n� �1 � 1  � � �  � n n Thí dụ Chứng minh bất đẳng thức sau với n γ N , n n - 3< + + + n < n - Hướng dẫn giải Đặt A = + + + n a) Chứng minh A > n - cách làm giảm số hạng A : k = k+ k > k +1+ k � ( n + 1Do A > � = 2( k + - n ) + + ( - � = 2( n + - k) với k �N * 3) + ( - 2)� � � 2) = n + - 2 > n + - > n - b) Chứng minh A < n - cách làm trội số hạng A : k = k+ k > � ( nDo A < � � = 2( n - k + k- = 2( k - n - 1) + + ( - k + 1) với k �N * 2) + ( - 1)� � � 1) = n - Thí dụ a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau: �1 �  2�  �  k  1 k � k k  � b) Chứng minh rằng: 1 1 88   L   2010 2009 45 (Trích đề chuyên Thái Bình năm 2009-2010) Hướng dẫn giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  k  1 k  k  1 k k k  � 2k  1 k  k  1  �  k  1 k  0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT  1   1 L  2010 2009 � �1 � �1 � �  2�   � L  2� � � 2�  2� � 3� 2010 � �1 � 2009 � � � � 88  2� 1 1 �  VP � 2� 2010 � � 45 � 45 � Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Thí dụ Với số tự nhiên n �3 Chúng minh Sn  Với Sn     5 1 2     2n  1   n  n1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình Định năm 2009-2010) Hướng dẫn giải Với n �3 , ta có  2n  1   n  n1   n  1 n  2n  4n2  4n  n 1 n n +1- n 4n2  4n  n  1 n n  n  �1 � �  � 2� n n  1� Do ta Sn  1� 1 1 � 1� 1      1 � � � 2� 2 n n  1� 2� � � n  1� Vậy bất đẳng thức chứng minh Thí dụ 10 Chứng minh bất đẳng thức: 1  3  5   79  80 4 (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội năm 2011-2012) Hướng dẫn giải Dễ thấy 1  2 ;  3 3 ; 79  80  80  81 Do ta 1  3   79  80  2  4   80  81 Suy � � 1 1 2�       � 3 79  80 �  2 80  81 � 1 � Hay 2� � 1  3   Nên ta � �      81  80 79  80 � 1  1   3 79  80 4 Vậy bất đẳng thức chứng minh Thí dụ 11 Chứng minh bất đẳng thức: 43 1 44      44   2002 2001  2001 2002 45 (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hùng Vương năm 2001-2002) Hướng dẫn giải Đặt S  1  22   2002 2001  2001 2002 Ta có:  k  1 k k k1   k  1  k  1 k k k1    k  k2 k   k  1  k k k1  k k1  k  k1 , k �1 Cho k = 1, 2, 3, …., n cộng theo vế ta được: S 1   Do S2001    2002   n  n1  1 n1 Như ta phải chứng minh: 43 44   1  �  44 45 45 2002 2002  � 44  2002  45 � 1936  2002  2025 44 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Thí dụ 12 Chứng minh bất đẳng thức: 21  32     n1 n  1 n n  1 n1 Hướng dẫn giải Để giải toán ta cần sử dụng bổ đề sau: Với số dương x, y ta có: x y  y x �x x  y y Thật vậy: x y  y x �x x  y y � x     x y y  y  x �0 � x y  x y  �0 bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có:  n  1 �   n   n n  1 n n  n n  1 n  1  n  1 n n n n  1 n   n  1 Vì thế: 1     21 32 n  n  1 n n 1     1  n1 n  n n1     Ta có:  k  1 k k k1   k  1  k  1 k k k1   kk k1   k  1  k k k1  k k1  k  k1 , k �1 Cho k = 1, 2, 3, …., n cộng theo vế ta được: 1  22    n  1 n  n n1  1 n1 Vậy tốn chứng minh Thí dụ Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 10 3n  3n  1 ��� � � � �  12 3n 3n  3 n  Hướng dẫn giải Gọi vế trái bất đẳng thức P, ta cần làm trội P thành Q với điều kiện Q phải dễ thu gọn hơn, điều có nghĩa Q phải có tử mẫu giống Để ý phân số có tử, mẫu hai đơn vị, nên ta nghĩ đến bất đẳng thức n n1  � n2  n2  n  � n  n2 n Đặt P  10 3n  3n  , lúc ta có ��� � � � � 12 3n 3n  Nhận thấy Q thu gọn hết nên khó để có đánh giá Để ý tiếp ta thấy tử biểu thức Q mẫu biểu thức P 3, 6, 9, mẫu biểu thức Q tử biểu thức P 4, 7, 10, tích PQ thu gọn Chú ý P  PQ , ta trình bày lời giải sau: �1 10 3n  3n  ��1 10 3n  3n  � P2  � � � � � � � � � � � �� � � � � � 12 3n 3n  3 12 3n 3n  � � �� �1 �1 10 3n  3n  � 3n  3n � ���� � � � � � � � � � ��� � � 3n 3n  � �3 10 3n  3n  1� �3 12 1 3n  3n  3n 3n  1  ������ � � � � �   3 3n  3n 3n  3n  3 3n  n1  Từ suy P  n1    Vậy bất đẳng thức chứng minh Thí dụ Chứng minh + + + + < (vế trái có 100 dấu căn) Hướng dẫn giải Kí hiệu a = + + + + (có n dấu căn) n Ta có a1 = < a2 = + a1 < + = a3 = + a2 < + = … a100 = + a99 < + = C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh rằng: S  3    1 1.4 4.7 n( n  3) 1 1 1  � � �    2) Chứng minh rằng: n   n  2000  2  n  1  n    n  1999  n n  1999 1 1   � � �  2 2 n 4) Chứng minh với số nguyên dương n : 3) Chứng minh bất đẳng thức: a) 1+1 + 2+2 + 3+3 + + (n + 1) n + n n + < 1; b) + + + + (n + 1) n < 5) Chứng minh với số tự nhiên n �1, ta ln có: 1 1      13 25 20 n2  n   6) Cho a =  2- 3- 4- 25 - 24 + + + + 1+ 2+ 3+ 24 + 25 7) Cho A = 2n - (n Σ N , n 2n Chứng minh a < 2) Chứng minh rằng: a) A < 2n + 8) Chứng minh ; b*) A < 2- + + + + 2- + + + + > 3n + (tử có 100 dấu căn, mẫu có 99 dấu căn) 9) Cho n số nguyên dương Chứng minh : 2 n n       n   n  1 n 3 10) Chứng minh bất đẳng thức sau với n �2, n �N : 1 1     2 2.3 3.4 n  n  1 Gợi ý : k  k  1  k 1 k k  k  1  1 �1 � 1 �1 � � � � �       , k �2 k  k  1  k  1 2 � k  k  1 �  k  1 2 � k  k  1 � � � � � PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí     Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A n �B n với n �n0, n �N , ta tiến hành bước sau: - Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức với n  n0   - Bước 2: Giả sử bất đẳng thức với n  k k �n0, k �N (gọi giả thiết quy nạp) - Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức với n  k  kết luận bất đẳng thức với n �n0 Chú ý: - Thơng thường chứng minh bất đẳng thức có phụ thuộc vào số nguyên dương n, ta nên ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học - Trong phương pháp quy nạp tốn học bất đẳng thức có từ bước thứ hai giả thiết dùng để chứng minh bất đẳng thức bước thứ ba Do cần phải khai thác thật hiệu giả thiết quy nạp B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Chứng minh với số tự nhiên n �2 , ta có bất đẳng thức: 1 1 13  � � �    n 1 n  2n  2n 24 Hướng dẫn giải Với n  , ta có VT > VP nên bất đẳng thức với n  Giả sử bất đẳng thức với : n  k �2 , tức : 1 1 13  � � �    k 1 k  2k  2k 24 Cần chứng minh bất đẳng thức với n  k  , tức : 1 1 13  � � �    k 2 k 3 2k  2k  24 Thật vậy, xét hiệu số: 1 ��1 1 � �1  � � �    � � �   � � � � 2k  2k  � �k  k  2k  2k � �k  k  1 1     0 2k  2k  k   k  1  2k  1 1 1 1 1 13  � � �     � � �    k 2 k 3 2k  k  k  k  2k  2k 24 Vậy với n �2 , ta có : � 1 1 13  � � �    n 1 n  2n  2n 24 Thí dụ Chứng minh với số tự nhiên n �2 , ta có bất đẳng thức: 1 1  � � �   2 n n Hướng dẫn giải 1   2 (đúng) nên bất đẳng thức với n  2 2 Giả sử bất đẳng thức với : n  k �2 , tức : 1 1  � � �   2  1 n n Cần chứng minh bất đẳng thức với n  k  , tức : 1 1  � � �   2  2 2 n 1  n  1 Với n  , ta có �1 � �  Thật vậy, từ (1) ta có: �2   � n � 1 �  2  � n  n  1 �  n  1  n  1  n n2  n   2   2 n  n  1 n  n  1  2 n2  n n  n  1  2 n  n  1 n  n  1  2 n 1 Vậy toán với số tự nhiên n �2 Thí dụ Chứng minh với số tự nhiên n �2 , ta có bất đẳng thức: 1   n  n Hướng dẫn giải Với n  , ta có   (đúng) nên bất đẳng thức với n  Giả sử bất đẳng thức với : n  k �2 , tức : 1   n  n  1 Cần chứng minh bất đẳng thức với n  k  , tức : 1   n 1  n 1  2 � 1 � 1 1 � � �   n Thật vậy, từ (1) ta có: � � n � n 1 n 1 �  n n 1  n  n  1  n 1  n2  n  n 1  n2  n 1  n 1 n 1  n 1 Vậy toán với số tự nhiên n �2 Thí dụ Chứng minh với số tự nhiên n �2 , ta có bất đẳng thức:  2n  ! 4n  n   n ! Hướng dẫn giải  2.2  ! 42 16  6 Với n  , ta có nên bất đẳng thức với n  2 1  2! Giả sử bất đẳng thức với : n  k �2 , tức :  2n  ! 4n  n   n !  1 Cần chứng minh bất đẳng thức với n  k  , tức :  2n   ! 4n 1  n2 � �n  1 !� �  2 Thật vậy, ta viết vế trái (2) có dạng:  2n   !  n  1  n  1  2n   !  n  1 4n 1 4n  n  1  2n  !  n  1     2 n  n 1 n  2n  1  2n    n   �   2n  1  n    n ! n  � � n  ! �n  1 !�   � � � 2 Mặt khác: 2 n  n   n  5n    n n 0    1  1, n  1, 2, 2n  5n  2n  5n   2n  1  n   2n  5n  2  n  1  2n   !  n  1  2n   ! 4n 1   Do đó: 2 n2 � n  1  n   �  � n  ! �n  1 !�   � � �  2 Vậy toán với số tự nhiên n �2 Thí dụ Chứng minh với số tự nhiên n khác 0, ta có bất đẳng thức : 1 n 1   � � �  n  1 Hướng dẫn giải , tức khẳng định n  Giả sử bất đẳng thức với n  k �1, nghĩa ta có : Khi n  ta có  1 k 1   � � �  k  1 Ta cần phải chứng minh khẳng định với n  k  , tức : 1 k 1 1   � � �  k 1  1 Ta có :  1 1 � �1 1 � 1 �  � � �  k 1 � 1   � � �  k  �k  k � � �  k 1 � � 1 �  � �2 1 1� 1 � �1 k � � �  k 1 Nhận thấy : � k  k �gồm phân số, tử số 1, mẫu số 1 1 � �2 : 2k , 2k  1, 2k  2, , 2k 1  1; nhỏ 2k 1 , : 1 1 1  k 1 , k  k 1 , k 1  k 1 k 2 1 2 1 1 � k 1 �1 � �k  k � � �  k 1 � �k 1  2 1 1� �2 1 � k �1 � � �  k Theo giả thiết quy nạp : �  k � 1 � �2  Do : 1 k k 1  k � � �  k    2 1 1 2 1 n  � � �  n  1 Thí dụ Chứng minh với số nguyên dương n ta có: Vậy với n �1 , ta có :  2n  ��� � �  2n 3n  Hướng dẫn giải + Kí hiệu bất đẳng thức cho (*) , với n  1, bất đẳng thức trở thành 1 � 3.1  Bất đẳng thức với n  + Giả sử (*) 2k  ��� � �  2k đến (đúng)   n  k k  N, k 1, tức ta 3k  + Ta cần chứng minh (*) với n  k  1, hay 2k  2k  ��� � � �  2k 2k  3k  Theo giả thiết quy nạp, ta có 2k  2k  ��� � � �  2k 2k  2k  � 3k  2k  Bất đẳng thức (*) với n  k  1khi 2k  �  3k  2k  1 3k    � 2k    3k   2k  3k     3k  4   2k  2  3k  1 � k  � 2k  2 (đúng) Do (*) với n  k  1, nên theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức với số nguyên dương n Thí dụ Chứng minh với số nguyên dương n, ta có 1 1     1 n1 n2 n n  2n  Hướng dẫn giải + Với n  bất đẳng thức có dạng: 1 13    1�  1(đúng) 1 1 1 12 Nên bất đẳng thức với n   + Giả sử bất đẳng thức đến n  k k  N, k  , tức 1 1     1 k1 k2 k 3k  + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n  k  1, hay Sk  Sk1  1 1     1 k2 k3 k4 3k  Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có Sk1  Sk  1 1     Sk  3k  3k  3k  k  k  3k  3k      Hay Sk1  Sk  Do bất đẳng thức với n  k  1, nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với số ngun dương n Thí dụ Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức: 3n  2n  7n Hướng dẫn giải Thử trực tiếp với n  1, 2, 3, ta thấy n  bất đẳng thức Ta chứng minh giá trị cần tìm n n �4, n �N Tức chứng minh bất đẳng thức sau với n �4, n �N : 3n  2n  7n + Với n  bất đẳng thức trở thành có dạng 34  24  7.4 � 81  44 (đúng) Nên bất đẳng thức với n =  + Giả sử bất đẳng thức đến n  k k  N, k + Ta phải  chứng  minh bất đẳng thức  tức là: 3k  2k  7k với 3k1  2k1  k    k1 k k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có  3.3   Nhưng với k �4 n  k  1, hay         2k  7k  2k1  2k  21k  2k1  k   2k  2k   2k1  k  Suy bất đẳng thức với n  k  1, nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức Vậy tốn hồn thành Thí dụ Chứng minh với n �1, n �N , ta có 1     n1 n2 2n 10 Hướng dẫn giải Kiểm tra trực tiếp ta thấy bất đẳng thức cho với n = 1, 2, Xét trường hợp n �4 ta chứng minh bất đẳng thức mạnh 1      n1 n2 2n 10 4n + Với n  bất đẳng thức trở thành 1 1 533 51      �  � 1066  1071 (đúng)     10 4.4 840 80 Nên bất đẳng thức với n    + Giả sử bất đẳng thức với n  k k  N, k , tức 1      k1 k2 2k 10 4k + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n  k  1, hay Sk  1      k2 k3 2k  10 k  Sk1    Sử dụng giả thiết quy nạp ta 1 1 1     Sk    k2 k3 2k  k  2k  2k  1  Sk     k  2k  10 4k k  2k  Sk1        Do cần chứng minh 1 1   �   4k k  2k  k k1 k1 k  2k  �  � 2k   2k �  k  2k  k k1               Đánh giá cuối hiển nhiên Vậy bất đẳng thức với n  k  1, nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với n �4 Bài toán chứng minh xong C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1  � � �  n n 1 2) Chứng minh với số nguyên n �5 , ta có: 2n  n 1) Chứng minh với n  ta có bất đẳng thức :  3) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: 1 1     1 n 1 n  n  n  2n  4) Chứng minh với số nguyên dương n : + + + + n �n n +1 5) Chứng minh bất đẳng thức sau với n �N 1 1 79     22 32 n2 48 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DÃY SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí Trong q trình làm tập, có lúc bạn gặp dạng toán giải phương pháp quy nạp Toán học cồng kềnh Bên cạnh đó, biết sử dụng bất đẳng thức phù hợp tốn trở nên gọn gàng ! B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Chứng minh rằng: 1.3.5….(2n – 1) < nn , n  Z  Hướng dẫn giải Ta có: 2n 1   2n  1 2 1. 2n  1 2n 3   2n  3 2 3. 2n  3 ……………… 2n  2n  1  2  2n  1.1 Nhân bất đẳng thức chiều theo vế ta có: n.n n 2n.1.3  2n  1 Suy ra: 1.3.5….(2n – 1) < nn , n  Z  Thí dụ Chứng minh rằng: 1 1    � � �   3 32 33 n   n  1  1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho ba số khác nhau: n  (n  1)  (n  1)  3 n(n  1) � 3n   3 n(n  1) �  3� n( n  1)2  n � � � �  33 n � ( n  1)  n � � � 3 3 �� � �  33 n � � ( n  1)  n �� (n  1)  n �  3 � �  33 n � � ( n  1)  n � ( n  1)  n  3� ( n  1)  n � � � n Cho n  1; 2;3 ; ta có: �   3�   12 � � 2� 3�   22 � � � 2 3�  (n  1)  n2 � � � n   1 1 3    � � �    n  1  3 32 33 n Thí dụ Cho n số a1, a2,…an 0 thỏa a1 + a2 +…+ an = Chứng minh : Cộng vế ta có : a1 a  a1 a3   a n  a n  n Hướng dẫn giải Áp dụng AM-GM cho n - số khơng âm ,ta có: a  a3 a  an2 a  a2 a1 a  an 1a n  n , a1 a3  , 2 Suy ra: a  an a  an a1  a a1  a3     n  2 2 n  a1  a   an   n  = 2 n Vậy : a1 a  a1 a3   a n  a n  a1 a  a1 a3   a1 a n   a n  a n  C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , un với n �3 Chứng minh rằng: u  u22   un21   u22  u32   un2  � u1u2  u2 u3   un1un  2 2 2) Cho x1  x   x n 1 Chứng minh rằng: x1  x   x n  n 3) Cho  x1 x2 xn �1 n �2  Chứng minh rằng: x1  x  xn  n  n1  x1 1  x2  1  xn  1 ... bất đẳng thức có dạng: 1 13    1? ??  1( đúng) 1? ?? 1? ?? 1? ?? 12 Nên bất đẳng thức với n   + Giả sử bất đẳng thức đến n  k k  N, k  , tức 1 1     ? ?1 k? ?1 k2 k 3k  + Ta phải chứng minh bất. ..  1 1 1 1   � � �   1? ??   � � �  1. 2 1. 2.3 1. 2.3.4 1. 2.3 n 1. 2 2.3 3.4 ( n  1) .n Nhận xét : � � ? ?1 � ? ?1 � ? ?1 �  � � � � � �  � � 1. 2 � �2.3 � �3.4 � � ? ?( n  1) .n �  1? ? ?1? ?? 1 1 1. ..  y vào P ta có: P  xy  z  10 y  11 x   xy    x  y   10 y  11 x   ? ?11 x   11  12 y  x  10 y  10 y hay 11 x   12 y  11  x  10 y  10 y  P  Để phương trình có nghiệm điều