Toán học 8 Bất đẳng thức47189

Bất đẳng thức 1.Bất đẳng thức VD1.1: CMR với moi số thực dương a,b,c CMR: a  b  c  3 abc Giải: Xét bổ đề sau: a b c dương a  b3  c3  3abc a  b3  c3  3abc  a  b3  c3  3abc   a  b  c a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ca  a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a   a  b   b  c   c  a   2 a  b  c  3 abc  a  b  c   27 abc  a  b3  c3  a  b b  c c  a   27 abc a  b3  c3  a  b b  c c  a   3abc  a  b b  c c  a   27 abc  a  b b  c c  a   24abc  a  b b  c c  a   8abc a  b   ab ; b  c   bc ; c  a   ac  a  b b  c c  a   ab bc ac  8abc Bất đẳng thức cuối nên a  b  c  3 abc VD1.2 Chứng minh a, b, c dương CMR x y  z yz zx 4( x  y  z )   x y ( x  y )( y  z )( z  x) ThuVienDeThi.com x y yz zx 4( x  y  z )    z x y ( x  y )( y  z )( z  x)  ( x  y )( x  y )( y  z )( z  x) ( y  z )( y  z )( z  x)( x  y ) ( z  x)( z  x)( y  z )( x  y )    x  y  z  z2 x2 y2  x  y  ( y  z )( z  x) ( x  y )( x  z ) ( x  y )( y  z )  y  z   z  x   x  y  z  2 z x y 2 xy xy  z  z ( x  y )  xy ( y  z )( z  x) x  y xy xy  xy   1   1   1     2 z z z z z z z  z   ( y  z )( z  x) xy   x  y 1    x  y  x  y  z z    ( x  y )( z  x) yz   y  z    y  z 1    y  z   y  z  x x    ( x  y )( y  z ) xz   z  x   z  x 1    z  x  z  x  y y    x  y   xy xy xy  x  y  xy  x  y  z z z yz yz yz  y  z  yz  y  z  x x x xz zx  zx y y ( x  y )( x  y )( y  z )( z  x) ( y  z )( y  z )( z  x)( x  y ) ( z  x)( z  x)( y  z )( x  y )  xy yz   xz zy   xy zx     x  y  z              2 z x y  z x y x  z y  x  y  z  VD1.3: Cho số a, b, c dương CMR a2 b2 c2    abc bc a c  a b a bc Xét bổ đề sau: a b a  b  a y  b x a  b       a y  b x x  y   a  b  xy   a xy  b x  a y  b xy  a xy  2abxy  b xy   x y x y xy x y 2  a x  2abxy  b y   ax  by   a  b   c  a  b  c   a  b  c a2 b2 c2 Áp dung ta có:    bc a c  a b a bc abc abc 2c VD1.4: Cho a ,b, c cạnh tam giác.CMR: a b c   3 bc a a c b a bc ThuVienDeThi.com a  b  c  0; b  c  a  0; a  c  b  abc  a  b  c b  c  a c  a  b ; a  b  c   x; b  c  a   y; c  a  b   z xz x y z y y  z x  z x  y  y  z x  z x  y  ;b  ;c   abc   2 2 2  xyz   y  z x  z x  y  a 2a 2b 2c a b c yz xz x y   2        6  x y z  bc a a c b a bc  bc a c  a b a bc a b c    3 bc a a c b a bc VD1.5: Cho a, c, b dương CMR: 2 a a b  2 b a   1   a  b  c    b  c  a  1 a  b     a b 1 a  b  c      a b c 1 1 16     a b c d abcd a) a  b) c) d) e) f) 1   a) a    a      a   0 a a a   a a b a b b b)            b a b a b a   c) a b c   1 1   a    b    c    8; a   ; b   ; c   b  c  a b b c c a a    1 a b c    a  b  c    2 8 b  c  a b c a  a b a b 1 1 d) a  b            b a b a a b a b c a b c 1 1 a b c b a c e) a  b  c                           b a b c c a a b c b a b c c a 1 1 16 16 1 1 1             a b c d abcd  a b c d  abcd 1 4 ab      a  b   4ab  a b ab ab ab f) 1 4 cd      c  d   4cd   c d cd cd cd 4  16 1 1 1            4   4 abcd abcd  a b c d  ab cd  ab cd  ThuVienDeThi.com VD1.6: Cho a ,b, c, d dương CMR: a b c d    2 bcd cd a d ab abc a2 b2 c2    a c  d  a  b c  d  a  c d  a  b  a b c d    2 bcd cd a d ab abc d2 a b c d     d a  b  c  a c  d  a  b c  d  a  c d  a  b  d a  b  c  1 a c  d  a   a  b  c  d  ; b c  d  a   a  b  c  d  ; c d  a  b   a  b  c  d  2 d a  b  c   a  b  c  d  2b 2c a b c d 2a        a c  d  a  b c  d  a  c d  a  b  d a  b  c  a  b  c  d a  b  c  d a  b  c  d  2d 2 abcd Nhưng dấu xảy a  b  c  d ; b  a  c  d ; c  a  b  d  d  a  b  c hệ vô nghiệm  a b c d    2 bcd cd a d ab abc VD1.7: Cho số a, b dương a + b = 2.CMR : xy x  y  x  y  xy  2 1 2 xy  x  y  2  xy x  y  xy x  y  2 2 2 VD1.9: Cho a ,b dương CMR ab a  b   a  b3 ab a  b   a  b3  a  b a  ab  b  ab a  b   a  b a  ab  b  ab a  b    a  b a  b   VD1.10: Cho a ,b, c dương CMR: 1 1  3  3  a  b  abc b  c  abc c  b  abc abc 1  3  3  a  b  abc b  c  abc c  b  abc 1 1 1       ab a  b   abc bc b  c   abc ac a  c   abc a  b  c ab a  b  c bc a  b  c ca a  b3  ab a  b ; b3  c3  bc b  c ; c3  a  ac a  c   abc  abc a  b  c  abc VD1.11 Cho a, b, c dương CMR : 1 1 1      abc bca caa a b c ThuVienDeThi.com 1 1 1 1   1 1       2     2    a bc bc a c  a b a b c  a bc bc a c  a b  a b c 1 1 1    ;    ;    a  b  c b  c  a 2b b b  c  a c  a  b 2c c a  b  c c  a  b 2a a 1   2 1 1  2        2     a bc bc a c  a b  b c a a b c a2 b2 c2 VD1.12: Cho số a ,b, c dương a + b + c = CMR   1 bc ca ab a b c b c  b c   a  a     a  b  b  c  c  a         a  b  c   bc ac ab bc ac ab bc ac ab a b c a b c  4,5   1 1  4,5     bc ac ab bc ac ab b c  a2 b2 c2  a  a  b  c            a  b  c   a b c    bc ca ab bc ac ab a  b  c  c2 a2 b2    a  b  c   bc ca ab 2 2 a  b  c    a b c     bc ca ab 2 VD1.13: Cho a, b, c dương CMR : ab  cd  a  b c  d  a  b c  d a  b  c  d a  d   b  c  ad  bc ab  cd       2 2 2 a  d b  c  1 16 64     a b c d abcd 1 1 4 1 1 16 16          4  4     4   a b ab a b c ab c abc a b c d abc d  ab c  VD1.14 Cho a b c dương CMR 1 64       16  16    abc d   abcd  abcd VD1.15: Cho số dương a ,b cho a  b  CMR : a 3a a  2b   b 3b b  2a   3a  a  2b  2a  b  a 3a a  2b   2a  ab 3b  b  2a 3b b  2a    2b  a  b 3b b  2a   2b  ab 3a a  2b    a 3a a  2b   b 3b b  2a   a  b  2ab  a  b  3.2  VD1.16: Cho c > a,b > c CMR: c a  c  c b  c   ab ThuVienDeThi.com c a  c  c b  c   1 ab ab c ac c ac c c c c      11 b b a a a b b  a 1 2 c a  c   c c  b   ab  Vậy bất đẳng thức chứng minh hoàn toàn VD1.17: Cho a,b,c,x,y,z số dương.CMR: xyz  abc  VD1.18 : Cho a,b,c dương CMR x  y  x  y 4  x 8  y2  2 a  x b  y c  z  5 xy  x  y  2  x  y 2  x  y   4  x  y    4      xy  x  y   xy xy  x  y  5 xy VD1.19: Cho a,b,c số dương a + b + c = 3.CMR a 2b  b c  c a  9a 2b c  2a 2b c a 2b  b c  c a 1  2a 2b c   9a 2b c 2 2 2 2 2 a bb cc a   a b  b c  c a 1  2a b c  9a b c   2a 2b c a 2b c 1       a 2b  b c  c a  2     a 2b  b c  c a       a b c   ab bc ca  2 1 a 4b b4c c4a2 2 2 3 3 ; a b c b c ;       b c a  c a    3c ab ab bc bc ca ca 1    a 2b  b c  c a       3a  3b  3c  a  b  c    ab bc ca  a 2b  a 2b  9a 2b c  a bb cc a   2a 2b c 2 2 VD1.20: Cho a,b,c dương.CMR: x2  x2  y2 1 y2  z2 1 z2 2 x2 y2 z2 1  x3 ;  y3 ;  2z3 x 1  x   ; y 1  y   ; z 1  z    2 2 2 1 x 1 y 1 z  x2 1 x  y2 1 y  z2 1 z  x3  y  z  Dấu xảy : x   x ; y   y ; z   z ; x3  y  z  hệ vô nghiệm nên dấu không xảy ThuVienDeThi.com VD1.21: Cho a + b + c = Chứng minh : a  b  c  a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a  a  b  c  2ab  2bc  2ca   a  b  c   a  b  c  VD1.22: Cho a,b,c > Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c      2 2 2 b c a c a b bc ac ab Do vai trò a,b,c nên giả sử a  b  c Ta có a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a b c            0 2 2 2 2 2 2 b c a c a b bc ac ab b c a c a b bc ac ab  a2 a2 b2 c2 a b c a   b2 b   c2 c             2   2  0 2 2 2 b c a c a b bc ac ab b c bc   a c ac   a b ab a ab  ac  b  c  b ab  bc  a  c  c ac  bc  a  b  ab a  b  bc b  c  ac c  a     2  2  2 2 2 b  c b  c  a  c a  c  a  b a  b  b  c b  c  a  c a  c  a  b2 a  b   b ac c  a   c b  c   a ab a  b   c a  c     1      ab a b    b  c b  c  a  b a  b   a  b2 a  b    bc b  c      1 1  0   bc b  c  2    ac a c    b  c b  c  a  b a  b    a  c a  c  a  b a  b       a2 b2 c2   1 b  bc  c a   ac  c a  ab  b a2 a2 b2 b2  a2  2 b       2 ; ;  2 2 2 2 2 b c a c b  bc  c  b  c  a  ac  c 3a c  b2  a2   c2  c2 2  c2   a2 c2 c2 a2 b2 c2 b c2              a  b2  a  b2  a  ab  b b  bc  c a  ac  c a  ab  b  b  c a  c a  b  2 b a  1 VD1.23.Cho a,b,c > CMR 1 1 1 VD1.24: Cho n số dương a1 ; a2 ; a3 ; ; an CMR: a1  a2  a3   an        n an   a1 a2 a3 ThuVienDeThi.com a1  a2  a3   an   n n a1a2 a3 an  a1  a2  a3   an   n a a a a n n 1 1 1       a a2 a3 an  1 1 1 1  n        n n an  a1a2 a3 an n a1a2 a3 an  a1 a2 a3 1 1 1       an  1 1 a  a  a   an   a1 a2 a3 1    a1  a2  a3   an        n an  n n  a1 a2 a3 VD1.25: Chứng minh bất đẳng thức cô-si: a1  a2  a3   an n  a1a2 a3 an ( n sổ dương) n Với n = bất đẳng thức tương đương với: a  a ( đúng) Với n = bất đẳng thức tương đương với: a  b  ab  a  ab  b   Với n = bất đẳng thức tương đương với:  a  b   ( ) abcd abcd ; Áp dụng trường hợp n = Ta : a  b  c  d a  b   c  d  ab  cd    4  ab  cd  ab  cd abcd   abcd 2 Trường hợp n = Áp dụng trường hợp n = : abc abc abc abc   abc  abc   abc      abc      abc     abc 3 3         abc   abc Giả sử bất đẳng thức đến n  k Có hai trường hợp: k hợp số k = pq ( p,q  k ) a pq 11  a pq 1  a pq 13   a pq a1  a2  a3   a p a p 1  a p   a p 3   a2 p a2 p 1  a2 p   a2 p 3   a3 p     a1  a2  a3   an p p p p  n q p  a1a2 a3 a p  p a p 1a p  a p 3 a2 p   p a pq 11a pq 1 a pq q  q p a1a2 a3 a p p a p 1a p  a p 3 a2 p p a pq 11a pq 1 a pq  pq a1a2 a3 an  n a1a2 a3 an ThuVienDeThi.com TH2: k số nguyên tố k + hợp số áp dụng trường hợp ta được: a  a  a   ak a1  a2  a3   ak   a  a  a   ak  k  k 1 a1a2 a3 ak   k 1 k    a  a  a   ak    k   k 1  a  a  a   ak   a1a2 a3 ak   k   a1  a2  a3   ak k  a  a  a   ak    a1a2 a3 ak   a1a2 a3 ak  k k   k Dấu xảy a1  a2  a3  a4   an x4  y y  z z  x4    x yz VD1.25: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: x  y y  z z  x3 Giải:  x4  y   y4  z4   z  x4  x4  y y  z z  x4 x y z x z y                 0 3 3 3 x3  y y  z z  x3 x y   y z  z x  3 y x  y  y  y  z   z  y  z   x3 x  y  x  y  x  y x y  z  zy  z z  x  yz  x3 y       x3  y y3  z3 z  x3 x  y3 y  z3 z  x3  x  x  y  y  x  y   y  y  z  z  y  z   x3  y3 y3  z3          x  y     y  z   3 x  y3   y3  z3 z  x3  x  y3  z  x3  z x y z  z x Do vai trò a,b,c nên giả sử x3 y3 x3 y3 x3  y abc z x  x  y ;y z  z x      0 z  x3 x3  y x3  y x3  y x3  y 3 3 3 3 y3 z3 y3 z3 y3  z3      0 y  z z  x3 z  x3 z  x3 z  x3  x4  y y  z z  x4    x  y  z฀ x3  y y  z z  x3 VD1.26: a + b + c = CMR : b  c  16abc a  b  c   a  b  c   1; a  b  c   4a b  c    4a b  c   b  c  4a b  c  b  c  2  4bc  b  c  4a 4bc  16abc Dấu xảy khi: b  c  ; a  ThuVienDeThi.com VD1.27: Cho abc = ( a b c dương ) CMR: b+ 1 a+ = ; = b+ a+ a + b + ab = Þ a + b + ab + = Þ (a + 1)(b + 1) = Þ (a + b ) (a + b ) (a + b ) + (a + b ) - 12 ³ 4 éa + b ³ ù ê úÞ a + b ³ Þ ab + = ab + a + b = Þ (a + b - )(a + b + ) ³ Þ ê ú a+b a+b a+b êa + b £ - ú ë û ab Þ = - a+b a+b 3a 3b ab 3 3 + + = 3a + 3b + - = (a2 + b2 ) + (a + b ) + - b+ a + a + b b+ a+ a+b a+b 4 é3 ù æ2 3 3 3 Û (a2 + b2 ) + (a + b ) + - £ a2 + b2 + Û ê (a2 + b2 ) + (a + b ) + - 1ỳÊ ỗ a + b2 + ỗ ỗ ờ4 ỳ ố a+b a+b 4 ë û 12 12 Û (a2 + b2 ) + (a + b ) + - £ (a2 + b2 ) + Û (a + b ) + £ a2 + b2 + 10 Û a2 + b2 ³ (a + a+b a+b 2 (a + b ) (a + b ) 12 Û a2 + b2 ³ ³ (a + b ) + - 10 2 a+b 12 24 x2 ³ 3x + - 10 Û x - 6x + 10 ³ Û x - 6x + 10x - 24 ³ a+ b= x Þ x x Û (x - )(x - 4x + 12 ) ³ ab £ a + b3 + Þ a + b + ab £ + b3 + c3 + + + a+ bÞ 3£ c3 + a + ỉ ỉ ỉ + a+ bÞ (a + b ) Ê (a + b3 + 1)ỗỗốỗa1 + b1 + c2 ø÷÷÷ ³ (a + b + c )2 Ta cú : (b3 + c3 + 1)ỗỗỗốb1 + c1 + a2 ø÷÷÷ ³ (a + b + c )2 (c3 + a + 1)ỗỗốỗc1 + a1 + b2 ø÷÷÷ ³ (a + b + c )2 Þ 3 a +b +1 £ a + b + c2 ; (a + b + c ) 3 b +c +1 £ c + b (a + b + c ) 1 + a2 3 c +a +1 1 £ c = a + b + c2 + 1 c + b + a2 + c + a + b2 (a + b + c ) 10 ThuVienDeThi.com + + a2 a + b2 (a + b + c ) 1 + b2 a b c b c a Þ + + £ + + a + b3 + b3 + c3 + c3 + a + (a + b + c )2 (a + b + c )2 (a + b + c )2 + + c2 ; + + Mà abc = Þ Þ a + b a + c2 + 1 = bc; = ac; = ab c + b c + a2 + b c + a + b2 2ab + 2bc + 2ca + a2 + b2 + c2 = 2 (a + b + c ) (a + b + c ) VD1.28: Với số ngun dương Ta có: ab a+b Þ £ ab ; bc ab b + c £ bc ; ca bc c + a ab bc ca + + £ a + b b+ c c+ a =1 £ ca ca ab bc + + 2 ab a+b Û ca = + ab a+b ab + bc b+ c £ ab bc + ca + c+ a ; bc b+ c ca £ £ £ a + b+ c bc ; ca c+ a £ ca a + b+ c ab bc ca a + b+ c Þ + + £ a + b b+ c c+ a 2 VD1.29: Cho xuz = 1.CMR: x + y + z4 ³ xyz x + y + z4 ³ (x + y + z2 ) VD1.30: Cho xyz = CMR: x2 1+ y 2 ứ éỉ ữ x y z + + ỗ ( ) ỳ ữ ữ ờỗỗỗ ỳ ữ ữ ờỗ ỳ ÷ú (x + y + z ) ø ờỗố ỷ = = xyz 27 27 + y2 1+ z + z2 ³ + x2 x2 1+ y y2 1+ z z2 1+ x x2 1+ y y2 1+ z z2 1+ x + ³ x; + ³ y; + ³ zÞ + + + + + ³ x+ y+ z 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x + (x + y + z ) x + y + z + (x + y + z ) x2 y2 z2 x2 y2 z2 Þ + + + ³ Þ + + ³ x + y+ z1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 2 3 x y z Þ + + ³ - + (x + y + z ) ³ - + xyz = 1+ y 1+ z 1+ x 4 4 2 2 z x y + ³ Þ + 1+ y 1+ z 1+ x VD1.31: Cho ab + a + b = CMR: 3a 3b ab + + £ a2 + b2 + ( a ,b , c dương ) b+ a + a + b 11 ThuVienDeThi.com b+ 1 a+ = ; = a+ b+ a + b + ab = Þ a + b + ab + = Þ (a + 1)(b + 1) = Þ (a + b ) (a + b ) (a + b ) + (a + b ) - 12 ³ 4 éa + b ³ ù ab ab + a + b ú Þ (a + b - )(a + b + ) ³ Þ ê = êa + b £ - úÞ a + b ³ Þ a + b + = a+b a+b ê ú ë û ab Þ = - a+b a+b 3 3 ab 3a 3b + 3b + - = (a2 + b2 ) + (a + b ) + - + + = 3a a+ a+b a+b b+ a + a + b b+ 4 é3 ù æ 3 3 3 Û (a2 + b2 ) + (a + b ) + - £ a2 + b2 + Û ê (a2 + b2 ) + (a + b ) + - 1ú£ ỗỗa2 + b2 + ỗố ỳ a+b a+b 4 ë4 û 12 12 Û (a2 + b2 ) + (a + b ) + - £ (a2 + b2 ) + Û (a + b ) + £ a2 + b2 + 10 Û a2 + b2 ³ (a a+b a+b 2 (a + b ) (a + b ) 12 2 ³ (a + b ) + - 10 a +b ³ Û a+b 2 ab £ Đặt Þ a + b + ab £ a+ b= x Þ Û x2 ³ 3x + 12 + a+ bÞ 3£ - 10 Û x - 6x - x 2 x x x 12 + ( )( )³ 24 x + a+ bÞ (a + b ) + 10 ³ Û x - 6x + 10x - 24 ³ Điều nên bất đẳng thức chứng minh hoàn toàn VD1.32.Cho a, b, c > a, b, c > 12 ThuVienDeThi.com 3ö ÷ ÷ ÷ 2ø + b) + 12 - 10 a+b ... a1 a2 a3 VD1.25: Chứng minh bất đẳng thức cô-si: a1  a2  a3   an n  a1a2 a3 an ( n sổ dương) n Với n = bất đẳng thức tương đương với: a  a ( đúng) Với n = bất đẳng thức tương đương với:...   c c  b   ab  Vậy bất đẳng thức chứng minh hoàn toàn VD1.17: Cho a,b,c,x,y,z số dương.CMR: xyz  abc  VD1. 18 : Cho a,b,c dương CMR x  y  x  y 4  x ? ?8  y2  2 a  x b  y... c) a b c   1 1   a    b    c    8; a   ; b   ; c   b  c  a b b c c a a    1 a b c    a  b  c    2 ? ?8 b  c  a b c a  a b a b 1 1 d) a  b 