(Inequalyties from http:// forum.mathscope org , posted by Kim Dinh Son) Kim Đình Sơn , 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc Email: thanphongvukiem_1992@yahoo.com Gmail: sonkd_92@gmail.com DeThiMau.vn 1.Các Bất Đẳng Thức Bài 1[Kim Đình Sơn] , với k>0 Bài 2[Kim Đình Sơn] Cho dương thỏa mãn: Khi đó: Bài 3[Kim Đình Sơn] Cho a,b,c số, Bài 4[Kim Đình Sơn] Nếu Khi Bài 5[Kim Đình Sơn] Nếu số thực, Bài có ba cách phân tích kiểu S-O-S, xin giới thiệu cách phân tích (do tình cờ tìm ra) Bài 6[Kim Đình Sơn] Cho khơng âm thỏa mãn Bài [Kim Đình Sơn] Cho a,b,c số thực dương thoả mãn DeThiMau.vn a b c 1 1 5 abc a b c Bài 8[Kim Đình Sơn] Cho x,y,z cá số thực, giả sử p=x+y+z >0,và q=xy+yz+zx Khi đó, với a,b,c số thực, ta có: Hệ quả: Đặt x=a(a-b), y=b(b-c), z=c(c-a), ta có bất đẳng thức Bài 9[Kim Đình Sơn] Với a,b,c thực phân biệt,ta có Remark Bài tốn tương tự sau Với a,b,c thực phân biệt, ta có a2 b2 c a 2b b c c a 0 b c c a a b b c c a a b Bài 10[Kim Đình Sơn] Giả sử x, y, z 2min(x,y,z)+2 > x+y+z > 2, 1 x 2 z x z z 2 z y x 2 x y 2 y y Bài 11[Kim Đình Sơn] Giả sử a,b,c số thực dương, a b c a b b c c a a b b c c a b c b c c a c a a b a b b c a Bài 12 DeThiMau.vn Giả sử x,y,z số thực dương thoả mãn x y z , x y z yz x zx y xy z Bài 12.5 Giả sử a,b,c số thực dương thoả mãn abc , 1 1 2 a a b b c c2 Bài 14 [Vasile Critoaje, ONI, GIL 2006] giả sử a1 , a2 , , an số thực dương thoả mãn a1a2 an , khiđó 1 1 n 1 n 1 a1 a a1 a2 a2 a2 an an an n 1 Bài 15[Kim Đình Sơn] Cho a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn c1 , c2 , , cn số thực thoả mãn n n n i 1 i 1 i 1 bi ci n Chứng minh n n n n n ( ) a b c a b b c c a n bi ci i i i i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 Bài 16[Phạm Văn Thuận] Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực a, b, c xa a (a b)3 b(b c)3 c(c a )3 Bài 17[Kim Đình Sơn] Cho số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện (a b c) 27 2(a b c) abc , 1 1 a b c Bài 18[Kim Đình Sơn] Giả sử x, y, z dương thoả mãn xy yz zx , x y z yz zx xy DeThiMau.vn 2.Lời Giải Bài 1[Kim Đình Sơn] , với k>0 Chứng minh Ta sử dụng Phương pháp phân tích tổng bình phương (S-O-S) Đặt c x ky, b y kz , a z kx , k (k 1) ( xy yz zx) 2 1 xy yz zx k a b c k k 1 Do đó, bất đẳng thức tương đương với k 1 bc k a a a 2 2 1 k 1 1 a b k a b a b2 c k 1a b1 a b S c 0, Không tổng quát giả sử a b c Chú ý x, y, z 1, 2 , nên b c a Vì a b b c a x z y k ( x y z ), S c b c S a c a Sb b Sb c S c Ta cần chứng minh b Sb c S c đủ, chứng minh điều đơn giản, xin dành cho bạn đọc, Bất đẳng thức coi chứng minh xong Bài 2[Kim Đình Sơn] Cho dương thỏa mãn: Chứng minh Đặt Khi đó: x a , y b3 , z c3 , toán tương đương với DeThiMau.vn x2 y2 z2 3 3, with x y z , áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm xy yz zx số lồi , với u , ta có u x2 y2 z2 x2 y z 2 2 3 (x y z ) 3 xy yz x y y3 z z3 x zx Sử dụng bất đẳng thức (1) ( x y z ) x3 y y z z x , suy vế trái (1) lớn 3, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 3[Kim Đình Sơn] Cho a,b,c số, Chứng minh Ta sử dụng bất đẳng thức Jensen Trước hết, bất đảng thức tương đương với a2 b2 c2 1 ab bc ca Áp dụng Bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi x ln x ,với x , a ln 1 a b2 c2 a b2 c2 b ln c ln ln (2) ab bc ca a b b3c c3 a a 3b b3c c3 a Áp dụng bất đẳng thức ( x y z ) x3 y y z z x , suy vế trái (2) lớn 0, bất đẳng thức ban đầu chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 4[Kim Đình Sơn] Nếu Khi Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức sau Với x, y, z không âm , DeThiMau.vn x xy y y yz z z zx x x y z xyz sử dụng bất đẳng thức Holder cho ba x ( x , xy, y ), ( yz , z , y ), ( x , z , xz ) ta có xy y yz z y x z xz x y z xyz 1 1 ( x, y, z ) (a, b, c) ( x, y, z ) , , ta có điều phải chứng minh a b c Đẳng thức xảy a b c a 0, b c với bất đẳng thức thứ Lần lượt thay Bài 10[Kim Đình Sơn] Giả sử x, y, z 2min(x,y,z)+2 > x+y+z > 2, 1 x 2 z x z y z 2 z 1 x 2 x 2 y y y Chứng minh.Từ giả thiết suy tồn số thực b thoả mãn b 0, and , x y z 2b , b min( x, y, z ) , tồn số thực dương thoả mãn x b a, y ab ac a b a , c, d b c, z b d Đưa bất đẳng thức dạng bc bd bc cd ca cd d a d b d a 1 Khi áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi x ln x , với x Tương tự ta cần chứng minh ac bd ca bd 4 ab bc cd d a Bài 11[Kim Đình Sơn] Giả sử a,b,c số thực dương, a b c a b b c c a a b b c c a b c b c c a c a a b a b b c a Chứng minh Đưa bất đảng thức dạng a b c a b c a b b c c a a b b b c c c a a b c a ca ab bc DeThiMau.vn Sau ta sử dụng BĐT Jensen cho hàm số lồi x ln x , với x ta càn chứng minh BĐT sau a b c ab bc ca b c a bc ca ab Bài 16[Phạm Văn Thuận] Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực a, b, c xa a (a b)3 b(b c)3 c(c a )3 (a b c) 27 Chứng minh(by Kim Dinh Son) Nếu a b c bđt đơn giản Xét trường hợp cịn lại, đó, w.l.o.g, ta giả sử a b c Bất đẳng thức trở thành 3 a b b c b c c a c a a b 27 3 3 3 a b b c c a a b b c b c c a c a a b 27 a b b c c a 3 a b x, b c y, c a z , ta cần CM x3 y z x3 y y z z x 2 2 3 ý x y z Sử dụng BĐT ( x y z ) x y y z z x Khi ta đặt CM bất đẳng thức sau 3( x3 y z ) ( x y z ) Tương đương đương với ( x y z ) 3( xy yz zx)( x y z ) xyz 6( xy yz zx) x y z 2 Mặt khác ( x y z ) , nên ta CM 2 9 3q (4 2q ) 9r 6q Hay 9r 6q 6q xyz r , Nếu q hiển nhiên 6q 6q Nếu q , từ hệ Bất đẳng thức Schur bậc ba ta có ( x y z ) 9r 4( x y z ) q , Với xy yz zx q, DeThiMau.vn 4 9r 6q 14q 8, and ,14q 6q (q 1)(q ) (do q ( x y z ) ),vậy 3 ta có điều phải chứng minh _© by Kim Dinh Son DeThiMau.vn ... y z z x , suy vế trái (2) lớn 0, bất đẳng thức ban đầu chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 4[Kim Đình Sơn] Nếu Khi Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức sau Với x, y, z khơng âm ,... (1) lớn 3, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 3[Kim Đình Sơn] Cho a,b,c số, Chứng minh Ta sử dụng bất đẳng thức Jensen Trước hết, bất đảng thức tương đương với a2 b2 c2... dụng Bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi x ln x ,với x , a ln 1 a b2 c2 a b2 c2 b ln c ln ln (2) ab bc ca a b b3c c3 a a 3b b3c c3 a Áp dụng bất đẳng