1 Định nghĩa: Số nguyên A gọi số phương ⇔ A = a ( a ∈ Z ) Một số tính chất áp dụng giải toán: ( A, B ) = AB số phương A, B số phương Số phương tận 0,1,4,5,6,9 Nếu A số phương : A ≡ 1( mod ) +Cịn số tính chất số dư chia cho 5,6 ,7… bạn tự suy cách đặt số ban đầu nk+q (Ví dụ 5k+1,5k+2,5k+3…) Số phương khơng tận số lẻ 3.Một số cách nhận biết số khơng phương: A p A / p (p số nguyên tố) B < A < ( B + 1)2 với B ∈ Z A có chữ số tận 2,3 ,7 ,8 4.Một số điều cần lưu ý: >>>Khi giải toán số phương ta áp dụng phương pháp mơđun, nghĩa xét số dư số phương chia cho số nguyên Ta xét ví dụ sau: Tìm k để 4k + = a Giả sử 4k + = a ⇒ a ≡ (mod 4) (1) lại có a số phương A ≡ 0,1(mod 4) (2) Từ (1) (2) ⇒ vô lý Vậy không ∃k để 4k + số phương >>> Số phương dùng để giải tốn phương trình nghiệm ngun Ví dụ:Tìm a ∈ N * để phương trình sau có nghiệm ngun: x + 2ax-3a=0 ' Xét ∆ = a + 3a Để phương trình có nghiệm ngun a + 3a số phương Lại có a < a + 3a < a + 4a + ⇒ a < a + 3a < (a + 2) Do a + 3a = a + 2a + ⇒ a =1 Với a = phương trình có nghiệm x = hay x = −3 Một số tập ví dụ: Bài 1:Tìm a để 17 a + số phương Theo đề ∃y ∈ N để 17a + = y DeThiMau.vn ⇒ 17(a − 1) = y − 25 ⇒ 17(a − 1) = ( y − 5)( y + 5) y − 17 ⇒ y + 17 ⇒ y = 17 n ± ⇒ a = 17n ± 10n + Bài 2:Chứng minh số 3n +63 khơng phương (n ∈ N , n ≠ 0, 4) Xét n lẻ Đặt n = 2k + Có 32 k +1 ≡ (−1)2 k +1 ≡ −1(mod 4) 63 ≡ 3(mod 4) ⇒ 32 k +1 + 63 ≡ 2(mod 4) ⇒ 3n + 63 khơng phương Xét n chẵn Đặt n = 2k ( k ≠ 0) Giả sử 3n + 63 số phương tức 3n + 63 = y ( y ∈ N * ) ⇒y Đặt y = 3t ta có: 32 k + 63 = 9t ⇒ 32 k − + = t ⇒ t − (3k −1 ) = ⇒ (t − 3k −1 )(t + 3k +1 ) = t − 3k −1 = ⇒ k +` t + = ⇒ 2.3k −1 = ⇒ 3k −1 = ⇒k =2 ⇒ n = (trái với giả thiết đề bài) n Vậy + 63 không số phương ∀n ≠ 0, n ≠ Bài 3:Chứng minh phương trình x + y + = z có vơ số nghiệm ngun ∀n ∈ N * , ta chọn x = 2n ; y = 2n; z = 2n + Ta có: x + y + = (2n ) + (2n) + = (2n + 1) = z Do phương trình có vơ số nghiệm Bài 4: Cho p tích n số nguyên tố ( n > 1) DeThiMau.vn Chứng minh p − khơng phải số phương Giả sử p − số phương Do p tích số nguyên tố ( n > 1) suy p Do p − ≡ −1(mod 3) Đặt p − = 3k − Một số phương khơng có dạng 3k − Từ ta có điều mâu thuẫn Bài 5: Chứng minh n7 + 34n + không phương Bổ đề: x ≡ i (mod 7); i ∈ {0,1, 2, 4} Theo định lý Fermat ta có: n7 ≡ n(mod 7) ⇒ n + 34n + ≡ 35n + 5(mod 7) ⇒ n + 34n + ≡ 5(mod 7) Giả sử n7 + 34n + = x , x ∈ N Suy x ≡ 5(mod 7) (vô lý) Do n7 + 34n + khơng phải số phương Bài 6: Cho k1 < k < k3 < số nguyên dương, khơng có hai số liên tiếp đặt S n = k1 + k2 + + k n , ∀n = 1, 2, Chứng minh với số nguyên dương, khoảng [ S n , Sn +1 ) chứa số phương Nhận xét: khoảng [ S n , Sn +1 ) có số phương khoảng ) S n , Sn +1 có số nguyên dương, tức là: Ta có: S n +1 − S n ≥ ⇔ S n +1 ≥ ( ) Sn + ⇔ S n + kn +1 ≥ ( ) Sn + ⇔ kn +1 ≥ S n + Theo đề rõ ràng: kn +1 ≥ k n + 2, ∀n ∈ N * ⇒ S n ≤ nk n +1 − n(n + 1) Ta cần chứng minh: kn +1 ≥ nkn +1 − n(n + 1) + ⇔ kn2+1 − 2kn +1 + ≥ 4nkn +1 − 4n(n + 1) ⇔ kn2+1 − 2(2n + 1)kn +1 + ( 2n + 1) ≥ ⇔ ( k n +1 − 2n − 1) ≥ DeThiMau.vn S n +1 − S n ≥ Bất đẳng thức cuối Do với n khoảng [ S n , Sn +1 ) chứa số phương Bài 7: Chứng minh với số nguyên dương m, tồn số nguyên dương n cho số phương số lập phương Chọn n = m + 3m + thì: m + n + = (m + 2) J mn + = (m + 1)3 Bài tập luyên tập a + b2 a + b2 Bài 1: Nếu a, b ∈ Z ∈ Z ∈ Z số phương + ab + ab Bài 2: Tìm tất số nguyên dương ( x, y , z ) cho x + y + z + xy + x( z − 1) + y ( z + 1) số phương Bài 3: Tìm a để 19a + số phương Bài 4:Chứng minh rằng: 192 n + 5n + 2000(n ∈ N * ) số phương Bài 5: Tìm n để tổng bình phương số từ đến n số phương Bài 6: Với số nguyên dương n , xác định (phụ thuộc theo n ) số tất cặp thứ tự hai số nguyên dương ( x, y ) cho x − y = 102.302 n Ngoài chứng minh số cặp không số chiứnh phương Bài 7:Cho dãy {an }n≥0 dãy số mà a0 = a1 = an = Chứng minh ( an + 1) an −1 + an +1 , ∀n ∈ N * 98 số phương , ∀n ∈ N * Bài 8: Cho số A = 11 11 ( 2m chữ số 1) B = 11 11 ( m + số 1) C = 66 66 ( m chữ số ) Chứng minh rằng: số phương Bài 9: Một số có tổng chữ số 2000 số phương hay khơng DeThiMau.vn ... + 5n + 2000(n ∈ N * ) số phương Bài 5: Tìm n để tổng bình phương số từ đến n số phương Bài 6: Với số nguyên dương n , xác định (phụ thuộc theo n ) số tất cặp thứ tự hai số nguyên dương ( x, y... minh số cặp không số chiứnh phương Bài 7:Cho dãy {an }n≥0 dãy số mà a0 = a1 = an = Chứng minh ( an + 1) an −1 + an +1 , ∀n ∈ N * 98 số phương , ∀n ∈ N * Bài 8: Cho số A = 11 11 ( 2m chữ số 1)... 8: Cho số A = 11 11 ( 2m chữ số 1) B = 11 11 ( m + số 1) C = 66 66 ( m chữ số ) Chứng minh rằng: số phương Bài 9: Một số có tổng chữ số 2000 số phương hay khơng DeThiMau.vn